练习6 函数的单调性 练习学生版
课时作业(九) 函数的单调性
1．下列结论中，正确的是( )
A ．函数y ＝kx (k 为常数，且k ＜0)在R 上是增函数
B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数
C ．函数y ＝1x 在定义域内是减函数
D ．y ＝1x 在(∞-,0)上是减函数
2．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0,∞+)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )
A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝1x
C ．f (x )＝|x |
D ．f (x )＝2x ＋1
3．函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是( )
A ．(∞-,1]
B ．[1,∞+)
C ．(∞-,2]
D ．[2,∞+)
4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )
A ．(∞-,－3)
B ．(0,∞+)
C ．(3,∞+)
D ．(∞-,－3)∪(3,∞+)
5．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2,∞+)上是增函数，则有( )
A ．f (1)≥25
B ．f (1)＝25
C ．f (1)≤25
D ．f (1)＞25
6．已知函数y ＝ax 和y ＝－b x 在(0,∞+)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )
A ．减函数且f (0)＜0
B ．增函数且f (0)＜0
C ．减函数且f (0)＞0
D ．增函数且f (0)＞0
7．下列关于函数单调性的说法，不正确的是( )
A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数
B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数
C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数
D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数
8．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，则x 的取值范围为__________．
9．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为__________．
10．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3,∞+)，则a ＝__________.
11．作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间． 已知函数f (x )是定义在(0,∞+)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0,∞+)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.
(1)求f (2)的值；
(2)解不等式f (m －2)≤3.
课时作业(十) 函数的最大值、最小值
1．函数y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )
A ．1，12
B ．12，1
C ．12，14
D ．14，12
2．函数f (x )＝11－x (1－x )
的最大值是( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．43
3．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )
A ．最大值4，最小值0
B ．最大值0，最小值－4
C ．最大值4，最小值－4
D ．最大值、最小值都不存在
4．当0≤x ≤2时，不等式a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(∞-,1]
B ．(∞-,0]
C ．(∞-,0)
D ．(0,∞-)
5．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0,2])有最小值－2，则f (x )的最大值为( )
A ．4
B ．6
C ．1
D ．2
6．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A ．90万元
B ．60万元
C ．120万元
D ．120.25万元
7．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是__________．
8．函数f (x )＝x x ＋2
在区间[2,4]上的最小值是__________． 9．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ,b ](a ＜b ＜3)有最大值9，最小值－7．则a ＝__________，b ＝__________.
10．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a ，b 的值．
11．已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3.当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )．
12．用min{a ,b }表示a ，b 两个数中的最小值．设f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，求f (x )的最大值．
(完整版)函数的单调性练习题及答案
函数的单调性练习题 一 选择题： 1. 函数f （x ）=x 2+2x-3的递增区间为 ( ) A ．（-∞，-3] B ．[-3，1] C ．（-∞，-1] D ．[-1，+∞） 2. 如果函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5] D.[3，＋∞) 3. 函数111 y x =-- （ ） A ．在（-1，+∞）内是单调递增 B ．在（-1，+∞）内是单调递减 C ．在（1，+∞）内是单调递减 D ．在（1，+∞）内是单调递增 4. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ） A. 0k > B. 0k < C. 0b > D. 0b < 5. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ） A ．2y x =- B ．2y x = C ．||y x = D ．2y x =- 6. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 函数y x =+ ）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 二 填空题： 8. 函数f （x ）=2x 2一mx+3，在（一∞，一1）上是减函数，在[一1，+∞）上是增函数，则m=_______。 9.已知()x f 是定义在()2,2-上的减函数，并且()()0211>---m f m f ，则实数m 的取值范围______________。 三 解答题： 10. 利用单调函数的定义证明：函数)2,0(2)(在区间x x x f + =上是减函数.
11.已知定义在区间（0，+∞）上的函数()x f 满足()()2121x f x f x x f -=???? ??，且当1>x 时 ()0 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 函数的单调性奇偶性训练题 一、选择题 1. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ). A ． B ． C ． D ． 2．函数 的增区间是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 3． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 4 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ） A ．3 1=a ，b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 5.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是 A )2()3()(->->f f f π B )3()2()(->->f f f π C )2()3()(-<- 函数单调性 一． 填空题 1. 函数()1 2 x f x x -= +的单调递增区间是__________________. 2. 函数()2 32f x x x =-+的单调递减区间是__________________. 3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________. 4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是 _________. 5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________. 6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________. 7. 已知()()() () 2 3411a x a x f x x x --=<) 11. 已知函数( )f x = []0,1是减函数，则a 的取值范围是____________. 12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 . 二． 选择题 13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ ） 课时达标 1.已知()(21)f x k x b =++在(),-∞+∞上是减函数，则 （ ） A.12k > B. 12 k < C. 12k >- D. 12k <- 2.下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是（ ） A.y=2x+1 B.y=x 2+1 C.y=x 3 D.y=x 2+2x+1 3.若函数y=k 3x+2在R 上为增函数，则k 的范围是 ； 4.若函数y=x 2—kx+5在（—∞，2）为减函数，在（2,+∞）上为增函数，则k= . 5.函数的图象如下，则其定义域、值域分别可能是（ ） A ]2,0[],2,1[∈-∈y x B.x ∈[－1,0 ]∪[1,2],y ∈[0,+∞) C x ∈[－1,0 ]∪[1,2),y ∈[0,2) D x ∈[－1,0 ]∪[1,2),y ∈[0,+∞) 6. 判断一次函数 单调性. 思维升华 7. 函数)(x f y =在R 上单调递增，且)()12(m f m f ->-，则实数m 的取值范围是( ) A )1,(--∞ B ),3 1 (+∞ C )0,1(- D ),0()1,(+∞--∞Y 8. 函数 ,当 时,是增函数,当 时是减函数,则． 9. 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）. A ． B ． C ． D ． 10. 已知 在定义域内是减函数，且 ，在其定义域内判断下列函数的单调性： ① （ 为常数）是___________； ② （ 为常数）是___________； ③ 是____________； 11. 若函数)(x f 在]1,(--∞上递增，则f(－32 ),f(－1),f(－2)的大小顺序是_________. 12. 证明函数 在 上是增函数，并判断函数 在 上的单调性. 13. 设f (x )＞0是定义在区间U 上的减函数，则下列函数中增函数的个数是（ ） y =3-2f (x ) y =1+) (2x f y =［f (x )］2 y =1-)(x f A.1 B.2 C.3 D.4 14.已知f (x )是R 上的增函数，A (0，-1)，B (3，1)是其图象上的两个点，那么|f (x +1)|＜1的解集是_________. 15. 求函数 的单调递减区间. 函数的单调性基础练习 (一)选择题 1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2 A ．增函数 B ．既不是增函数又不是减函数 C ．减函数 D ．既是增函数又是减函数 2(1)y |x|(2)y (3)y (4)y x (0)．函数＝，＝，＝－，＝＋中在－∞，上为增函数的有 ||||||x x x x x x 2 A ．(1)和(2) B ．(2)和(3) C ．(3)和(4) D ．(1)和(4) 3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有 A k B k C k D k ．＞．＜．＞－．＜－1 21 2 1212 4．如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是 A ．a ≥－3 B ．a ≤－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 5．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是 A (] B [) C (] D [)．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞34 343434 6．若y ＝f(x)在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是 A y (a b)．＝在区间，上是减函数1f x () B ．y ＝－f(x)在区间(a ，b)上是减函数 C ．y ＝|f(x)|2在区间(a ，b)上是增函数 D ．y ＝|f(x)|在区间(a ，b)上是增函数 7．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则 A ．f(a)＞f(2a) B ．f(a 2)＜f(a) C ．f(a 2＋a)＜f(a) D ．f(a 2＋1)＜f(a) (二)填空题 1y 2y ．函数＝的单调递减区间是．．函数＝的单调递减区间是． 1111--+x x x 3．函数y ＝4x 2－mx ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________． 4y 5y ．函数＝的增区间是 ．．函数＝的减区间是．542322--+-x x x x 6．函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________． 7．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a 2－a ＋1) 与之间的大小关系是．．若＝，＝－在，＋∞上都是减函数，则函数＝f(34)8y ax y (0)y b x ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________函数(填增还是减)． (三)解答题 1f(x)x f(x)(4)2f(x)x +b (a b)．已知函数＝＋，证明在－∞，上是增函数．．研究函数＝＞的单调性．27-+x x a 3．已知函数f(x)＝2x 2＋bx 可化为f(x)＝2(x ＋m)2－4的形式．其中b ＞0．求f(x)为增函数的区间． 4．已知函数f(x)，x ∈R ，满足①f(1＋x)＝f(1－x)，②在[1，＋∞]上为增函数，③x 1＜0，x 2＞0且x 1＋x 2＜－2，试比较f(－x 1)与f(－x 2)的大小关系． 函数的单调性 (一)选择题 1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2[ ] A ．增函数 B ．既不是增函数又不是减函数 C ．减函数 D ．既是增函数又是减函数 2．函数(1) x y =,(2) x x y =,(3) x x y 2 -=,(4) x x x y +=中在)0,(-∞上围增函数的有[ ] A ．(1)和(2) B ．(2)和(3) C ．(3)和(4) D ．(1)和(4) 3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有[ ] A 、21>k B 、2 1 , 函数单调性练习题 1. （1）已知函数f(x)＝x 2 +2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 . （2）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a 的取值范围是 . （3）已知x ∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________ 2.讨论函数f(x)＝ 2 1x ax - (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性. 解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝2111x ax --2 2 2 1x ax -＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- / ∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 21)(1-x 22)＞0 于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2). 故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数. 3.判断函数f (x )=－x 3 +1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数 、 4. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1) 高一数学同步测试（6）—函数的单调性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2 ＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0， 2 1) B ．( 2 1，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞ 第四讲：函数的单调性 【 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2 )(x x f =的图象在y 轴左侧是______的， )(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)( 在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2)(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着 x 的增大而________. 讲授新课 函数的单调性 ※ 增函数、减函数的定义 【经典范例】 例1 下图是定义在区间[-5，5]上的函数(x f y =根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？ 思维点拔: x )()(21x f x < )()(21x f x > 例2 证明:函数x x f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 证明: 例3 物理学中的玻意耳定律V k p = （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积 V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数V k p =在区间()+∞,0上是减函数即可. 归纳:用定义法证明函数单调性的一般步骤: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【拓展训练】 1.下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( ) A.y=3x B.y=-x 2 C.y=︱x ︱ D.y=2x+1 2.函数3)1()(-+=x k x f 在),(+∞-∞上单调递减，则k 的取值范围是（ ） A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1 3.函数1062 +-=x x y 在区间（1，4）上为（ ）函数. A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 4．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ） A.f(-1) 函数的单调性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 / C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） / A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） } 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） 判断函数单调性的常用方法一、定义法 设x 1，x 2 是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x 1 ＜x 2 ，若f(x 1 )＜f(x 2 )，则此函数为增函数； 反知，若f(x 1)＞f(x 2 )，则此函数为减函数. 【例1】证明：当1≤X时，f(x)=x2-2x是增函数。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性； ⑵ f(x)与c?f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 三、同增异减法(适用于复合函数) 这是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； 设单调函数y=f(x)为外层函数，y=g(x)为内层函数 (1) 若y=f(x)增，y=g(x)增，则y=f﹝g(x)﹞增. (2) 若y=f(x)增，y=g(x)减，则y=f ﹝g(x)﹞减. (3) 若y=f(x)减，y=g(x)减，则y=f﹝g(x)﹞增. (4) 若y=f(x)减，y=g(x)增，则y=f ﹝g(x)﹞减. 例1. 求函数 2 2 2 ) (-+ =x x x f的单调区间. 四、图像法 1 函数的单调性·基础练习 (一)选择题 1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2 [ ] A ．增函数 B ．既不是增函数又不是减函数 C ．减函数 D ．既是增函数又是减函数 2(1)y |x|(2)y (3)y (4)y x (0)．函数＝，＝，＝－，＝＋中在 －∞，上为增函数的有 ||||||x x x x x x 2 [ ] A ．(1)和(2) B ．(2)和(3) C ．(3)和(4) D ．(1)和(4) 3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有 [ ] A k B k C k D k ．＞ ．＜ ．＞－ ．＜－ 12 12 1 21 2 4．如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是 [ ] A ．a ≥－3 B ．a ≤－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 5．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是 [ ] A (] B [) C (] D [) ．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞3 43 4 3 43 4 6．若y ＝f(x)在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是 [ ] A y (a b)．＝ 在区间，上是减函数1 f x () B ．y ＝－f(x)在区间(a ，b)上是减函数 C ．y ＝|f(x)|2在区间(a ，b)上是增函数 D ．y ＝|f(x)|在区间(a ，b)上是增函数 7．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则 [ ] A ．f(a)＞f(2a) B ．f(a 2)＜f(a) C ．f(a 2＋a)＜f(a) D ．f(a 2＋1)＜f(a) (二)填空题 1y 2y ．函数＝ 的单调递减区间是． ．函数＝的单调递减区间是 ． 1 111--+x x x 3．函数y ＝4x 2－mx ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________． 4y 5y ．函数＝的增区间是．．函数＝的减区间是 ． 542322 --+-x x x x 6．函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________． 7．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a 2－a ＋1) 与之间的大小关系是． ．若＝，＝－在，＋∞上都是减函数，则函数＝ f(3 4 )8y ax y (0)y b x ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________函数(填增还是减)． (三)解答题 1f(x)x f(x)(4 )2f(x)x +b (a b)．已知函数＝＋，证明在－∞，上是增函数． ．研究函数＝＞的单调性． 27 -+x x a 3．已知函数f(x)＝2x 2＋bx 可化为f(x)＝2(x ＋m)2－4的形式．其中b ＞0．求f(x)为增函数的区间． 4．已知函数f(x)，x ∈R ，满足①f(1＋x)＝f(1－x)，②在[1，＋∞]上为增 函数增减性及单调性练习 一、选择题 1．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 2．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<- 函数的单调性练习题 一选择题： 1. 函数f （x ）=x 2+2x-3的递增区间为 ( ) A ．（-∞，-3] B ．[-3，1] C ．（-∞，-1] D ．[-1，+∞） 2. 如果函数 f (x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5] D.[3，＋∞）3. 函数1 11 y x （）A ．在（-1，+∞）内是单调递增 B ．在（-1，+∞）内是单调递减 C ．在（1，+∞）内是单调递减 D ．在（1，+∞）内是单调递增4. 如果函数() f x kx b 在R 上单调递减，则（）A. 0 k B. 0k C. 0b D. 0b 5. 在区间( ,0)上为增函数的是（）A ．2y x B ．2y x C ．||y x D ．2y x 6. 函数2()2f x x x 的最大值是（）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 函数2y x x 的最小值是（）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 2二填空题： 8. 函数f （x ）=2x 2一mx+3，在（一 ，一1）上是减函数，在[一1，+）上是增函数，则m=_______。 9.已知x f 是定义在2,2上的减函数，并且0211m f m f ，则实数m 的取值范围______________。 三解答题： 10. 利用单调函数的定义证明：函数)2,0(2 )(在区间x x x f 上是减函数. 11.已知定义在区间（0，+∞）上的函数x f 满足2121 x f x f x x f ，且当1x 时 0x f 。 （1）求1f 的值； （2）判断x f 的单调性； （3）若13f ，解不等式2||x f 。 函数的单调性 1.已知()(21)f x k x b =++在(),-∞+∞上是减函数，则 （ ） A.12k > B. 1 2 k < C. 12k >- D. 1 2 k <- 2.下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是（ ） A.y=2x+1 B.y=x 2+1 C.y= x 3 D.y=x 2+2x+1 3.若函数y=k 3x+2在R 上为增函数，则k 的范围是 ； 4.若函数y=x 2—kx+5在（—∞，2）为减函数，在（2,+∞）上为增函数，则k= . 5.函数的图象如下，则其定义域、值域分别可能是（ ） A ]2,0[],2,1[∈-∈y x B.x ∈[－1,0 ]∪[1,2],y ∈[0,+∞) C x ∈[－1,0 ]∪[1,2),y ∈[0,2) D x ∈[－1,0 ]∪[1,2),y ∈[0,+∞) 6. 判断一次函数 单调性. 思维升华 7. 函数)(x f y =在R 上单调递增，且)()12(m f m f ->-，则实数m 的取值范围是( ) A )1,(--∞ B ),3 1(+∞ C )0,1(- D ),0()1,(+∞--∞ 8. 函数 ,当 时,是增函数,当 时是减函数,则 ． 9. 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）. A ． B ． C ． D ． 10. 已知 在定义域内是减函数，且 ，在其定义域内判断下列函数的单调性： ① （ 为常数）是___________； ② （ 为常数）是___________； ③ 是____________； 11. 若函数)(x f 在]1,(--∞上递增，则f(－3 2 ),f(－1),f(－2)的大小顺序是_________. 12. 证明函数 在 上是增函数，并判断函数 在 上的单调性. 13. 设f (x )＞0是定义在区间U 上的减函数，则下列函数中增函数的个数是（ ） y =3-2f (x ) y =1+ ) (2 x f y =［f (x )］2 y =1-)(x f A.1 B.2 C.3 D.4 函数的单调性与最值 提高练习 一、选择题 1．已知函数f (x )＝－2x 2＋mx －1在区间[1，＋∞)上单调递减，则m 取值的集合为 ( ) A ．{4} B ．{m |m <4} C ．{m |m ≤4} D ．{m |m ≥4} 解析：函数的对称轴是x ＝m 4，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是[m 4，＋∞)，若函数在区 间[1，＋∞)上单调递减，所以[1，＋∞)?[m 4，＋∞)，即m 4 ≤1，解得m ≤4，故选C. 答案：C 2．已知f (x )＝21 x ，若00，解得x <－2或x >4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．故选D. 答案：D 5．定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是 ( ) A ．(1，2) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞1) D ．(2，＋∞) 解析：由题意可知f (x )在R 上单调递增，所以要使f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立，只需x >x 2－2x ＋2，解得1 课题：函数的单调性(二) 复合函数单调性 北京二十二中 刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例 求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调 增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几 种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函数. 师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+ ∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考 虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理. (板书) 引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础
函数的单调性奇偶性训练题20130117
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