《中国现代史》专题性系统总复习(高中)

《中国现代史》专题性系统总复习（高中）

中国现代史

中华人民共和国的成立和向社会主义过渡

新中国成立初期，帝国主义对华政策分析★★中华民国临时政府和中华人民共和国成立之初，帝国主义对这两个新生政权采取的手段有哪些相似之处，你从中可以得出什么认识？两个新生政权采取的外交政策和结果有什么不同？为什么会有这种不同？★手段：政治上不承认，外交上孤立，经济上封锁，军事上威胁、包围。★认识：帝国主义对新生政权的扼杀手段，说明了他们坚持与中国人民为敌的立场，害怕中国独立富强。因此，帝国主义是中国人民革命的主要敌人，要捍卫民族独立和国家主权，必须坚持反对帝国主义。★外交政策和结果：①南京临时政府成立后，在“告友邦书”中，承认清政府与帝国主义各国签订的一切不平等条约继续有效，保护外国侵略者在华既得利益。结果，帝国主义支持袁世凯窃取革命果实，中华民国名存实亡。②新中国成立后，坚持独立自主的外交政策，没收了帝国主义在华企业，提出了和平共处五项原则，积极同邻国苏联和新生国家建立友好关系，使中国国际地位不断提高。★原因：两种不同的外交政策，主要是由各自的阶级本质决定的。由于资产阶级的软弱性和妥协性，致使他们不愿同帝国主义决裂，甚至对帝国主义存在严重幻想，而无产阶级代表广大人民的利益，坚决捍卫民族主权和国家独立。

★★★社会主义过渡时期总路线的分析★★（1）过渡时期总路线提出的原因：①在我国社会生活中出现了一些新矛盾：在农村，主要是土改以后农民分散落后的个体经济难以满足城市和工业对粮食和农

业原料的不断增长的需要；在城市，工人阶级和国营经济与资产阶级之间限制和反限制的矛盾突出，这就不可避免地把国民经济的社会主义改造提到日程中来。②国际上社会主义和帝国主义两大阵营尖锐对立，但二战后各国急需恢复元气，发展经济，短期内难以爆发大战。中国必须争取有利时机，加快工业化建设，增加综合国力。③在中国实现社会主义，是中国共产党的奋斗目标，新中国成立后向社会主义的过渡是历史的必然。

★★（2）提出过渡时期总路线的历史条件：①实行土地改革，镇压

反革命等一系列民主改革和社会政治斗争，巩固了人民民主政权。③我国已有了相对强大和迅速发展的国营经济，已经成为整个国民经济的社会主义改造的重要开端和重要依靠力量。③已经积累了利用和限制私营工商业的许多经验，这实际上成为对资本主义经济的社会主义改造的最初步骤。④已经积累了土改完成后的农村开展农业互助合作的许多经验，这实际上也成为对个体农业进行社会主义改造的最初步骤，也为个体手工业的改造提供了借鉴。⑤从国际环境看，帝国主义对我国军事上侵略威胁，经济上严密封锁。只有苏联援助中国。苏联的巨大成就，显示了社会主义制度的优越性，对我国具有巨大的榜样作用。正是在上述条件下，中国共产党制定了过渡时期总路线。★（3）过渡时期总路线的特点、实质及成因：特点：①实现工业化和社会主义改造同时并举。体现了生产力和生产关系的统一。②规定在一个相当长的时间内实现“一化三改造”，符合生产力发展水平。实质：改造生产关系，解决私有制问题，即把资本家所有制、个体所有制改造成为全民所有制或集体所有制，使公有制占统治地位，成为我国社会的惟一的经济基础。成因：①实现社会主义是党的奋斗目标，新中国成立后向社会主义过渡是历史的必然。②吸取了苏联建设的经验教训。③我国经济发展落后，经济基础薄弱。（4）社会主义工业化和社会主义改造的关系：过渡时期总路线是社会主义工业化和社会主义改造并存的路线，是变革生产关系和发展生产力的有机统一。社会主义工业化是对整个民主经济实行社会主义改造的物质基础，是总路线的主体；对农业、手工业和资本主义工商业实行社会主义改造，为社会主义工业化的实现创造了前提条件。只有进行社会主义改造，才能建立社会主义生产关系，进一步解放生产力，支持社会主义工业化的发展。二者是相互联系、不可分割的。

世界史

第一章俄国十月社会主义革命

俄国十月革命的胜利和向社会主义过渡★l．十月革命的胜利和历史意义（1）条件：客观条件：俄国已具有帝国主义的基本特征；俄国成为各种矛盾的集合点；一战激化了俄国的各种矛盾。主观条件：无产阶级及其政党的成熟。（2）十月革命的胜利：二月革命及两个

政权并存局面；《四月提纲》；七月事件；十月革命及工农苏维埃政府成立；《布列斯特和约》；共产国际的成立。★★（3）历史意义：建立世界上第一个社会主义国家；打破资本主义一统天下的局面，向全世界宣告一种新的社会制度由理想变为现实；对国际无产阶级革命运动和被压迫民族的解放运动是一个极大的鼓舞和推动；使人类进入探索社会主义发展道路的新时期，是世界现代史的开端。 2．苏维埃政权的巩固（1）国内外敌人勾结起来进攻苏维埃政权。（2）措施：实行义务兵役制，组建工农红军；实施战时共产主义政策，保证军事胜利。 3．向社会主义的过渡（1）新经济政策：巩固了工农联盟；工农业生产逐渐恢复到战前的水平，苏维埃政权得到进一步巩固。（2）苏联的成立：1922年成立，1924年第一部宪法生效。 2．巴黎公社革命与俄国十月革命的联系和国际影响的比较★结果：①巴黎公社革命失败了，因为当时法国资本主义正处于上升时期，无产阶级在思想上、政治上还不成熟，革命只限于巴黎，未得到农民的支持，不能从根本上摧垮资本主义制度。②俄国十月革命成功了。因为当时俄国资本主义发展表现出较强的落后性，俄国资产阶级也表现出政治上的软弱性，工人阶级在斗争中接受并发展了马克思主义，具有较强的组织性、战斗性。★国际影响：①巴黎公社革命未能开辟一个国际工人运动发展的新阶段，其后的工人运动并未继承巴黎公社武装夺取政权打碎旧国家机器的传统，而是以合法斗争和经济斗争形式为主流。原因是第二次工业革命开始后，科技进步，生产力水平提高，资本主义民主政治得到发展，工人的经济政治状况有所改善。②十月革命成为世界无产阶级革命新纪元的开端。由于“一战”后资本主义各国经济受到严重削弱，各国阶级矛盾激化，加之十月革命的鼓舞，因此形成了战后初期无产阶级斗争的高潮。

第二章第一次世界大战后的资本主义世界

“凡尔赛－华盛顿体系”的建立 1．巴黎和会的召开──凡尔赛体系的形成。（1）时间：1919年1月～1919年6月28日地点：法国巴黎凡尔赛宫参加国：27个战胜国（2）操纵者：英国劳合?乔治、美国威尔逊、法国克里蒙梭★★（3）大国意图：美国：威尔逊提出“十四点和平计划”，企图攫取战后世界领导权；英国：实行“势

力均衡”政策，维护庞大的殖民帝国；法国：最大限度削弱德国，

重建欧洲大陆霸权，收回阿尔萨斯和洛林。（4）凡尔赛体系的形成①巴黎和会上协约国先后同德国、奥地利、保加利亚、匈牙利、土耳其签订了一系列和约，这些和约构成了所谓的“凡尔赛体系”。★

凡尔赛体系的影响①对战败国德国进行了严惩和限制，建立起帝国

主义重新瓜分世界的分赃体系。②欧洲和中东的政治格局发生了很

大变化。首先，奥匈帝国解体。匈牙利分立，建立新的国家捷克斯

洛伐克；奥地利南部领土被割让给意大利；巴尔干部分地区并入塞尔维亚，成为南斯拉夫，另一部分归还波兰。其次，奥斯曼帝国解体，在欧洲仅保有伊斯坦布尔及其附近地区。

评价：构成“凡尔赛体系”的一系列条约，标志着战后列强在欧洲

近东和非洲建立了战后资本主义世界的新秩序，但也隐含着许多矛盾，这一体系不可能持久。华盛顿会议（1）背景：一战后，美、英、

日三国在远东太平洋地区相互争夺。为缓和它们之间的矛盾和重新分割太平洋地区的势力范围而召开这一会议。（2）时间：1921年到1922年，参加国除美英日以外，还有中法意比荷葡。★★（3）内容：①《四国条约》：美、英、法、日相约：互相尊重它们在太平洋岛屿属地和岛屿领地的权利。英日同盟解散。②《五国海军条约》：美、英、日、法、意分别规定各自的主力舰和航母的总吨位。③《九国公约》名义尊重中国的独立和领土完整，实质上又使中国陷入几个帝国主义国家共同支配的局面。④中日协定：山东主权归还中国。

★★（4）影响：①《四国条约》的签订是美国外交的胜利，它埋葬了英日同盟，消除了其在远东争霸的一个障碍；对英国来说，既维护了英日友谊，又促进英美关系，使英帝国主义在太平洋上的巨大权益暂时得到保障；对日本来说，日本的扩张野心受到美英法大国的制约。

②《五国海军条约》使英国正式承认美英海军的对等原则，标志着英国海上优势的丧失，并使日本的扩军计划受到限制，从这个意义上说，它是美国外交上的胜利。③《九国公约》的签订，是美国外交取得

的重要成果。它使美国长期追求的“门户开放”在中国终于成为现实；它打乱了日本对中国的独占，“又使中国回到几个帝国主义国家共同支配的局面”，为美国进一步对华扩张和争夺亚太地区的霸权主义提

供了条件。★（5）评价华盛顿会议是巴黎和会的继续，它调整了

帝国主义之间在东亚和太平洋地区特别是中国地区的利益冲突，构成了“华盛顿体系”，标志着战胜国帝国主义在全球范围内基本上完成了战后列强关系的调整和对世界秩序的重新安排。凡－华体系形成。凡尔赛体系的特点特点：①该体系的基本特点是仍以欧洲尤其以英

法为主导。②该体系具有反动性。③该体系具有不牢固性、脆弱性。

④该体系具有一定的进步性。4．华盛顿体系的影响①确立了美国在东亚和太平洋地区的主导地位。②日本在亚太地区的扩张受到遏制。

③中国成为帝国主义国家共同宰割的对象。总之，华盛顿体系在美国居主导地位、宰割中国、遏制日本的基础上，确立了帝国主义在东亚和太平洋地区的统治秩序。★★5．凡－华体系的总体特点它是主

要资本主义国家在实力的基础上通过相互妥协而建立的；英法仍不失欧洲大国地位，在世界通过操作国际联盟发挥主导作用；美国依靠经济实力夺取世界霸权的企图失败，但在拉美进一步巩固了西半球霸权，在东亚和日本共同占据主导地位；日本在东亚的霸主地位受到削弱。6．凡尔赛－华盛顿体系隐藏的各种矛盾。（1）战胜国与战败国之

间的矛盾a．法德矛盾b．战败的土耳其与战胜的帝国主义国家的矛盾（2）战胜国之间的矛盾a．英美争夺世界霸权的矛盾。b．英法争夺欧洲大陆霸权的矛盾。

c.美日争夺亚太地区的矛盾。（3）殖民地半殖民地国家与帝国主义国家之间的矛盾

2．一战后的世界主要矛盾一战后的世界主要矛盾有下列四对矛盾：（1）帝国主义与社会主义的矛盾。表现为协约国对苏俄的武装干涉。（2）帝国主义战胜国与战败国之间的矛盾。（3）帝国主义战胜国

之间的矛盾。（4）帝国主义与殖民地半殖民地国家之间的矛盾。

第二节20世纪20年代的主要资本主义国家

1.美英世界霸权地位的变化概括指出并结合史实简要说明英美先后

确立世界霸权地位的共同点，扼要说明美取代英的主要原因。概况

说明国内安全的政治局面英：资产阶级革命确立了君主立宪制的资

产阶级专政美：独立战争、内战、两党政治有利的国际环境英：处

于大西洋航路的有利位置，资本主义制度确立比较早美：两次大战

本土远离战场，大发战争财先进的科技与强大的经济实力英：工业革命，19世纪中期处于“世界工场”的地位美：第二、第三次科技

革命，一战后掌握了世界的经济霸权强大的军事力量英：拥有强大

的海军美：取得与英相等的制海权，二战中军事力量膨胀对外扩张

与争夺霸权英：到18世纪中期先后打败荷、法成为最大的殖民国家美：运用大棒、金元外交在西半球确立霸权，一战后推行“金元外交”，二战后通过“冷战”“热战”确立世界霸权★★★主要原因：（1）经济发展和政治发展的不平衡，是资本主义的必然规律，第二次工业革命使这种不平衡性大力加强。（2）英国在拥有广阔的殖民地后对更新技术和设备采取了消极态度，经济发展缓慢；而美在第二次工业革命积极开发和利用新技术，加上市场、资源、劳动力、资本等有利条件，经济飞速发展。（3）在两次世界大战中，英国损失惨重，力量削弱；而美国则靠发战争财使经济军事实力大为加强。★★（五）一战后欧洲霸权地位的削弱这种削弱，首先表现为欧洲自身实力的

削弱。①经济上，一战使欧洲各国的经济受到严重破坏，英法都从

债权国变成了债务国。②政治上，各国都出现了无产阶级革命的高潮，政局动荡。特别是苏俄社会主义国家的建立，强烈地震憾着世界资本主义的统治中心。③殖民地民族独立运动的高涨，严重削弱了

欧洲国家对世界各地的殖民统治。特别是自治领的分离运动，已使英国的殖民统治开始瓦解。这种削弱其次表现为美日实力增强，特别

是美国开始同英国争夺世界霸权。①在经济上，美国取代了英国，

逐渐掌握了世界经济霸权。②在军事上，美国取得了同英国相同的

制海权。③在国际事务上，美国操纵了华盛顿会议，并利用金元外

交积极参与欧洲事务。美国的崛起与争夺，严重地威胁和动摇着欧洲的世界霸权地位。

第三节1929年～1933年资本主义世界经济危机

★1．罗斯福新政的特点及其影响（1）罗斯福新政是美国垄断资产

阶级为克服危机作出的政策调整，它是在维护资本主义的前提下，对美国生产关系进行局部调整，以使其适应社会发展的需要。其特点是尽量避免国有化形式而力图保持资本主义的自由企业制度，同时也采取了一些有利于工人和小生产者的措施，以缓和国内阶级矛盾。（2）

新政没有改变资本主义的本质，也不能从根本上消除资本主义经济危机。但它在多方面产生了积极影响。①直接影响：它在一定程度上减轻了经济危机对美国社会的严重破坏，促进了生产力的恢复，巩固了资本主义的经济。②间接影响：由于经济的恢复，使社会矛盾相对缓和，在一定程度上恢复了人们对美国国家制度的信心，从而遏制了由于经济危机造成的法西斯势力，使美国避免走上法西斯道路。③深远影响：新政采用的国家出面干预经济的政策，开了资本主义国家加强经济干预的先河。它不仅仅成为现代美国国家垄断资本主义经济制度的开端，而且对其他许多资本主义国家经济政策的发展产生了重要影响。从此，西方国家陆续放弃纯粹的自由放任的经济政策，逐渐加强政府对经济的宏观指导。二战后，国家垄断资本主义得到进一步发展。 2．20年代～30年代关国经济繁荣、危机的原因分析 20世纪30年代美国经济出现了繁荣的局面，逐步掌握了世界经济霸权，纽约成为世界金融中心。其原因应包括：国内的技术革新和政府的自由放任政策的推动；国际上第一次世界大战的刺激和战后相对稳定的政治经济局面提供了极好的条件。在经济繁荣的背后，美国长期盲目投资，经济比例失调，农业不景气，失业人员增加。日益膨胀的供应量大大超过国内外的支付能力，潜伏着生产相对过剩的危机。到20年代后期美国经济出现危机、萧条，1929年～1933年爆发了世界性的经济危机。

A．罗斯福新政，新在何处？（1）新的理论和政策自由主义到凯思斯主义，罗斯福新政就是对凯思斯主义进行的大规模实践。（2）新的特点尽量避免国有化形式而力图保持资本主义自由企业制度，同时也采取了一些有利工人和小生产者的措施，以缓和阶级矛盾。（3）新的起点是对生产关系进行的局部调整，把美国的私人垄断资本主义推向美国式的、非法西斯式的国家垄断资本主义。二战后这种模式被普遍采纳，资本主义制度由此获得了新的生命力，成为继续向前发展的新起点。

★★B．罗斯福新政的实质罗斯福新政不是法西斯主义。“新政”不仅不是法西斯主义，而且还起到了避免走向法西斯道路的作用。罗斯福新政也不是社会主义。因为它没有触动资本主义制度。罗斯福

新政是美国资产阶级为了克服经济危机，在维护资本主义制度的前提下进行的政策调整，起到了一定的积极作用，最多也只能说是一次资产阶级改革。

★C．对罗斯福新政的评价（1）罗斯福新政在美国现代历史上基本上是一个进步现象，起着积极的、肯定的作用。它为垄断资产阶级维护资本主义的统治提供了宝贵的经验，为以后美国和其他许多西方国家的资产阶级政府所效法；它的实施是美国历史上资产阶级某些民主传统的继承和发展。（2）新政所起的作用只是暂时地、略微地缓和了一些经济危机在美国经济中所造成的严重的局面，它没有也不可能克服危机。新政实施的结果是，巩固和加强垄断资产阶级在国家经济和政治上的统治地位，它所包含的一部分对工人阶级让步的措施，不过是资产阶级对付工人运动的一种手段而已。新政实行后美国工业生产指数逐年回升的现象，并不是新政药方的功效，而是资本主义经济周期自发规律作用的结果。而所包含的资产阶级改良主义政策，则对工人阶级和革命事业有巨大的危害。（3）对罗斯福新政既不能过分赞誉，也不能过分贬低。它将美国的私人垄断资本主义迅速地、大规模地推向美国式的、非法西斯式的国家垄断资本主义，在一定程度上改善了广大劳动人民的处境，缓和了阶级斗争，挽救和加强了美国的垄断资本主义制度。但是，它的结果又加深了资本主义的矛盾，造成新的、更深刻的危机。然而，不能说新政的主要目的是阻止农民及工人参加革命行动，因为当时美国并不具备进行无产阶级革命的主客观条件。

★6．比较德、日法西斯专政建立的异同相同点：①历史原因相同。两国长期以来是君主专制的国家，都具有浓厚的军国主义传统，缺乏资产阶级民主政治传统；一战后，两国的海外市场都受到制约，德国丧失了全部海外殖民地，日本在东亚的市场亦受到压制。②利用时机相同。30年代经济大危机为两国法西斯势力扩张提供了条件。两国法西斯都利用经济、政治危机，乘机扩张势力，进而夺取政权。③法西斯专政的本质相同。都是帝国主义极端反动的公开恐怖独裁，对内独裁，对外侵略扩张，使世界大战的欧、亚两个战争策源地形成，把世界引向战争。★不同点：①法西斯政权建立方式不同。德国是

依靠纳粹党夺取政权建立法西斯专政。纳粹党通过欺骗性宣传，骗取中下层群众的支持，并讨好军队，与垄断资产阶级勾结，使势力大增。然后通过合法的形式，竞选为国会第一大党，进而夺取政权。日本不是依靠法西斯党自下而上地掌握政权后，立即建立法西斯专政，而是依靠现有的天皇制和军部法西斯势力实现法西斯化。军部法西斯分子通过制造一连串暗杀、政变等恐怖事件，以及对外策动侵华战争来扩大势力和影响，进而自上而下建立军事法西斯专政。

★★第四章两极格局下的世界

第一节战后初期的国际关系和两极格局的形成

1．战后初期国际力量的对比

世界格局，即相对稳定的国际关系结构，是建立在世界主要大国实力对比的基础上的。第二次世界大战极大地改变了世界范围的力量对比。这是雅尔塔体系得以确立的条件、基础和背景。★西欧各国普遍衰落：①法西斯德国被彻底摧毁，国土被盟军占领，殖民地被剥夺殆尽，国外市场和海外投资全部丧失。②英国赢得了战争却输尽了财富，黄金储备几乎枯竭，昔日的威风一扫而光。③法国更是元气大伤。战争使法国经济遭到极大破坏，贝当政府的卖国投降，更使法国的国际威望急剧下降。总之，旧的欧洲衰落了，欧洲列强主宰世界的时代一去不复返了。★美国独占鳌头：①在军事上，美国拥有世界上最强大的常规军事力量；垄断原子弹；在世界各地建立了几百个军事基地，成为头号军事强国。②在经济上，美国拥有最雄厚的工业

实力；最丰富的黄金储备；建立了以美元为中心的世界资本主义货币体系；关税和贸易总协定的成立又形成了以美国为中心的国际贸易体系。从而实际上形成以美国为中心的资本主义世界经济体系。③在

政治上，美国一度操纵联合国，把它作为推行全球扩张政策的工具；英法等资本主义国家也唯美国马首是瞻。苏联空前强大：①经过二战，苏联的军事力量空前壮大。②政治影响和国际威望空前提高。二战中苏军是抗击德军的主要力量；在战争中苏联扩展了疆土，解放了东欧大片领土；战后初期苏军驻扎在东欧、南欧、中国的东北和朝鲜北部等广大地区。总之，苏联成为唯一能与美国抗衡的政治军事大国。西欧的衰落，美苏战时军事实力的均势，奠定了两极格局的基础。

4．两极格局的形成①奠定基础：战后初期国际力量对比发生重大变化，西欧衰落，美苏势均力敌。社会主义和帝国主义两大阵营的出现。②初步形成：二战后，世界大国按照雅尔塔等会议确立的基本原则，重新划分世界版图和势力范围，建立新的国际关系格局，构成雅尔塔体系。③最终确立：到1947年美国开始实施全面冷战政策，美苏盟友关系彻底结束，转变为敌对关系。1949年、1955年先后建立了北约、华约两大组织，标志着以美苏为首的两大军事政治集团对峙局面的形成。

1．雅尔塔体系问题（1）雅尔塔体系的确定及影响问题①确定：雅尔塔体系是二战后，世界大国依据雅尔塔等国际会议已经确立的基本原则，对世界政治版图和势力范围重新划分，建立起的新国际关系格局。它的确定，标志着近代以来以欧洲为中心和以欧洲大国均势为主的传统的国际关系格局被美苏两极格局所取代，现代国际关系开始进入一个新阶段。雅尔塔体系的形成不是偶然的，它是反法西斯战争胜利和世界反法西斯同盟发展的产物。它集中体现了国际关系中主要矛盾方面的重大变化。②影响：a．它有利于苏联和社会主义体系的发展。b．它确立了美国在资本主义世界的霸权地位，并有利于美国在

全球的霸权扩张。c．它有利于美苏称霸和争霸。可以说，战后的一

系列重大国际争端都直接或间接地和这一体系的存在和活动紧密相联，美苏双方都力图保护和发展有利于自身的势力范围。

（2）雅尔塔体系和凡－华体系的相同点和不同点相同点：①都是在世界大战破坏了原有的世界体系的基础上建立起来的；②都通过一系列会议确立的基本原则重新划分世界版图和势力范围，建立新的国际体系；③都是大国意志的体现，其内容体现大战前后各大国力量对比的消长变化，打上了大国强权的烙印，都随着各国力量的消长而瓦解、破坏。不同点：①凡－华体系体现了英法美等帝国主义大国的意志，而雅尔塔体现了美苏两国的意志；②前者调和了帝国主义之间的矛盾，后者则是资本主义大国和社会主义大国的暂时妥协；③前者是以欧洲为中心的国际格局，后者则超出了欧洲的范围，反映了欧洲地位的下降

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高中数学中对称性问题总结.doc

对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。

2021新高考数学二轮总复习专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题含解析

专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.

3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.

(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值.

高中数学中对称性问题

标准文档 实用文案对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1.函数()yfx?有()()faxfbx???（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()axbxab?????），则()fx的图像关于2abx??轴对称；当ab?时，若()() (()(2))faxfaxfxfax?????或，则()fx关于xa?轴对称； 2.函数()yfx?有()()fxafxb???（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()xaxbab?????），则()fx是周期函数，其周期Tab??；当ab?时，若 ()()fxafxa???，则()fx是周期函数，其周期2Ta?； 3.函数()yfx?的图像关于点(,)Pab对称?()(2)2 (()=2(2))fxfaxbfxbfax?????或；函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称? ()=(2) fxfax??( ()=())faxfax???或； 4.奇函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且 4Ta?是函数的一个周期； 5.奇函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且4Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期； 6.函数()yfx?的图像关于点(,0)Ma和点(,0)Nb对称?函数()yfx?是周期函数，且2()Tab??是函数的一个周期； 7.函数()yfx?的图像关于直线xa?和直线xb?对称?函数()yfx?是周期函数，且 2()Tab??是函数的一个周期。 标准文档

高中数学中的对称性问题

高中数学中的对称性与周期性 一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =，解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。

高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性： 设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ?A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数． 如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间． 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的． 对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律． 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述． 奇偶性： (1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数． 函数的奇偶性有如下重要性质： f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称． 此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点． 周期性： 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 关于函数的周期性，下面结论是成立的． (1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)． (2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0． 对称性： 若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +，0)对称． 函数的图象： 函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用． (1)利用平移变换作图：

高中函数对称性总结分析

高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上

立体几何中的探索性问题精编WORD版

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立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设． 8如图,在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由． (2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF． (3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。? 拓展提升 (1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型．一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解． (2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在． 9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P 为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD． (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小． (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由． 如图所示，在正方体ABCD—A l B l C 1 D l 中，M,N分别是AB，BC中点． (1)求证：平面B 1MN⊥平面BB 1 D 1 D； (2)在棱DD 1上是否存在点P，使BD 1 ∥平面PMN，若有，确定点P 的位置；若没有，说明理由． 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中 点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求异面直线PB与CD所成角的大小： (3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD3若存在，求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由． 立体几何中探索性问题的向量解法 高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.

数学高考二轮复习专题教案：探索性问题的常见类型及其求解策略

探索性问题的常见类型及其求解策略 在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 一、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 例1．（2002年上海10）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是。 分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴)22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。由此可得 )(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(4 12Z k k t ∈+=π 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力． 二、结论探索型

高中数学点线对称问题

对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上

高中数学-立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题测试卷

立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题 （一）选择题（12*5=60分） 1．在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,DAB=60∠?,E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分别沿ED 、 EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ） A ． 27 B ．2 C. 8 D ．24 【答案】C 2．ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B AC D --.则四面体ABCD 的内切球的半径为（ ） A ．1 B ．1 D ．2【答案】D 【解析】设球心为O ，球的半径为R ，由D ABC O ABC O ADC O BCD O ABD V V V V V -----=+++，知2r =选D. 3．【湖南省株洲市2018届质量检测】已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC ，分别交于三点,,M N Q ，若MNQ ?为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ） A. 【答案】C 【解析】建立直角坐标系如下：点M 在侧棱1AA 上，设M ()0,1,a -，点N 在1BB 上，设) N b ，点Q 在1CC 上，设()0,1,Q c ，则( )( ) 3,1,,3,1,MN b a QN b c = -= -- 因为MNQ ?为直角三角形，所以 ()()020MN QN b a b c ?=∴--+=，斜边

MQ==≥= =，当 a b b c -= -时取等号. 故答案为故选 C. 4 2.236 ≈，如图，在矩形ABCD中，3, AD AB E F ==、分别为AB边、CD边上一点，且1 AE DF ==，现将矩形ABCD沿EF折起，使得ADEF BCFE ⊥ 平面平面，连接AB CD 、，则所得三棱柱ABE DCF -的侧面积比原矩形ABCD的面积大约多（） A B D F A.68% B.70% C.72% D.75% 【答案】D 5．【河南省漯河市2018届第四次模拟】已知三棱锥P ABC -中，AB BC =，AB BC ⊥，点P在底面ABC ?上的射影为AC的中点，若该三棱锥的体积为 9 2 ，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（ ） A. 2 B. C. 【答案】D

立体几何中的探索性问题

精心整理 立体几何中的探索性问题 一、探索平行关系 1．[2016·枣强中学模拟]如图所示，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况) 答案：M 位于线段FH 上(答案不唯一) [解析]连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ，DD 1∩BD ＝D ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，故只要M ∈FH ，则MN ?平面FHN ，且MN ∥平面B 1BDD 1. 2.(1)(2)1A 1为ABB 1A 1则(2)事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG . 因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝ BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形， 因此D 1C ∥A 1B . 又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，

所以EG∥D1C，从而EG∥A1B. 这说明A1，B，G，E四点共面．所以BG?平面A1BE. (8分) 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点， 所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B， 因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG， (10 而 故 3＝2，E为PC (1) (2) 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴AD是三棱锥A-PDE的高． ∵E为PC的中点，且PD＝DC＝4， ∴S△PDE＝S△PDC＝×＝4. 又AD＝2， ∴V A－PDE＝AD·S△PDE＝×2×4＝. (2)取AC中点M，连接EM，DM，∵E为PC的中点，M是AC的中点，∴EM∥P A.

高中数学中对称性问题5

对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。

高中数学复习专题讲座(第41讲)探索性问题

题目高中数学复习专题讲座探索性问题 高考要求 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 重难点归纳 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题 条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征 解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法 （1）直接求解； （2）观察——猜测——证明； （3）赋值推断； （4）数形结合； （5）联想类比； （6）特殊——一般——特殊 典型题例示范讲解 例1已知函数1)(2++= ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)5 （1）求函数f (x )的解析式； （2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由 命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力 知识依托 函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题 错解分析 不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解 技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证 解 （1）∵f (x )是奇函数 ∴f (–x )=–f (x )，即 1 122++-=++-ax c bx ax c bx

高中数学中的对称性问题

高中数学中的对称性 一、 关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标(,)x y ，则P 为M 'M 的中点，利用中点坐标公式可得00, 22 x x y y a b ++==，解算的'M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。 例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'M 的坐标是. ① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标; ② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点' M 的坐标. (2) 直线关于点对称 ① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线 设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'(,)M x y --，因为'M 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=； ② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l 解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于P 的对称点为' (2,2)M a x b y --，因为'M 点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=。

解法（二）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点(,)P a b 的对称直线为'0Ax By C ++= =求设'C 从而可求的及对称直线方程。 (3) 曲线关于点对称 曲线1:(,)0C f x y =关于(,)P a b 的对称曲线的求法：设(,)M x y 是所求曲线的任一点，则M 点关于(,)P a b 的对称点为(2,2)a x b y --在曲线(,)0f x y =上。故对称曲线方程为(2,2)0f a x b y --=。 二、 关于直线的对称 (1) 点关于直线的对称 1) 点(,)P a b 关于x 轴的对称点为'(,)P a b - 2) 点(,)P a b 关于y 轴的对称点为'(,)P a b - 3) 关于直线x m =的对称点是'(2,)P m a b - 4) 关于直线y n =的对称点是'(,2)P a n b - 5) 点(,)P a b 关于直线y x =的对称点为'(,)P b a 6) 点(,)P a b 关于直线y x =-的对称点为'(,)P b a -- 7) 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标 解法设对称点为'(,)P x y ，由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22 a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++? +?+=①；再由'PP B K A =得b y B a x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。

高中数学对称问题

对称问题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 00x x y y -'-'·k =－1， 20y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（y ，x ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 0x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 方法一：设直线b 的斜率为k ，又知直线a 的斜率为－2，直线l 的斜率为－4 3. 则)2()43(1)2(43-?-+--- =)43(1)43(-+--k k .解得k =－112.代入点斜式得直线b 的方程为 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上.

高中数学专题讲义-函数的奇偶性与对称性

题型一：判断函数奇偶性 1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 【例1】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ 1 y x =； ⑵ 422y x x =++； ⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-． 【例2】 判断下列函数的奇偶性： ⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+ ； ⑷21()f x x =． 【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： ⑴ 221()1x x a f x a +=-(0a >且1)a ≠； ⑵ ()11f x x x =-+-； ⑶ 2()5||f x x x =+． 典例分析 板块二.函数的奇偶性与对称 性

【例4】 判别下列函数的奇偶性： （1）31 ()f x x x =-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 【例5】 判断函数 的奇偶性． 2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数； （2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数． 【例6】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ ()(f x x =- ⑵ 11 ()()( )12 x f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数． 【例7】 若函数f(x)= 3 (x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性． 【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有 ()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2() ()()()1 f x F x f x g x = +-是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数

立体几何中的探索性问题27536

立体几何中的探索性问题 一、探索平行关系 1．[2016·枣强中学模拟] 如图所示，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况) 答案：M 位于线段FH 上(答案不唯一) [解析] 连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ，DD 1∩BD ＝D ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，故只要M ∈FH ，则MN ?平面FHN ，且MN ∥平面B 1BDD 1. 2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值； (2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． 解：(1)如图所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .(2分) 又在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1， 所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角．(4分) 设正方体的棱长为2， 则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3. 于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23 ，(5分) 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23 .(6分)

高一数学《函数的对称性》知识点总结

高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留

给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a －b是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， ∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得： f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a －b）－x代x得 f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且