最新人教版初中八年级上册数学《最短路径问题》导学案

13.4 课题学习 最短路径问题

一、 学习目标

①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容

自学课本85页，完成下列问题：

追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题

将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？

师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边

l 饮马，然后到B 地；

（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地

到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在

l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．

B

。

。A

l

三、探究学习

1、活动2：尝试解决数学问题

问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在

l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？

追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所求

四、巩固测评

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的

问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．

如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：

（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；

（一）基础训练：1、最短路径问题

B

A l

C

l

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

（二）变式训练：.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

（三）综合训练：

茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿

糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

图a 图b

五、学习心得。

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后序

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