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线性代数综合练习zhongkai精讲

线性代数综合练习

一. 填空题

1. 1.设,135213241

111

5312-=

A 1

352132*********-=B 则41424344A A A A +++= ，=+++44434241B B B B 。

41424344423A A A A +++= ，41424344235B B B B +-+= 。详解： 41424344A A A A +++=414243441111A A A A ?+?+?+?

21351111

042311111

-==

414243442

1351

111

423042314231A A A A -+++=

= 4142434421351

112

235042312135

B B B B -+-+=

=- 2.设行列式2

35007022

220403--=

D 则第4行各元素代数余子式之和为。

4142434424

232135

2135

12000142314231111111

213213

(1)423009(1)99

111111

B B B B ++--+++=

--=-==-?=-

详解：41424344304022

22007001111

A A A A +++=

=- 3、设A 的特征值为：1，─2，3，则2A 的特征值是

1A -的特征值详解： 2，─4，6

11123

-，，

4、正交矩阵A 的行列式的绝对值等于 1 解答：对，

,(,)()()0,0T T T T T T T A A A A A A A A A E αλαααααααααααααα=?=====>≠22,(,)(,)(,)T A A A αλαααλαλαλααλαα=?=== 21λ∴= 二. 选择题

1. 设1200221011011k k ?????? ? ?

?=- ? ? ? ??? ?--??????

，则k =

(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 详解：选Ａ .

2. 设A =2145?? ???，0319B ??= ?-??

则AB =

(A) 18； (B) 18-； (C) 13 ； (D) 15. 详解：B

3. 设非齐次线性方程组Ax = b ，其中A m ?n 且R(A )=m

(A) 方程组Ax = b 仅有唯一解. (B) 方程组Ax = b 仅有零解. (C) 方程组Ax = b 有无穷多解. (D) 方程组Ax = b 无解. 详解：选C;

4．设A 是n 阶可逆阵，λ是非零常数，则下列等式错误的是

(A) ()T T A A λλ=； (B) 111()A A λλ---=； (C) A A λλ=； (D) 1*A A A -= 详解：选C

5．若1A =，则n 阶方阵A 的秩是

(A) 2 (B) 1； (C) n ； (D) 不能确定详解：选C

6．已知x ),0,2,5,1(),9,7,5,3(-==βα满足23X αβ+=,则X =

(A)1(7,5,4,6)3----； (B) 1

(7,5,12,18)3

----；

(C)(7,5,4,6)----； (D) (7,5,12,18)---- 详解：选B

7．行列式3

3221

--中元素2-的代数余子式等于 (A) 9-； (B) 9； (C) 29-； (D) 29 详解：选D

8．设A 为n 阶方阵，如果T AA O =，则A =

(A) T A ； (B) A ； (C) E ； (D) O 详解：选D

9．设,A B 均为n 阶方阵，下列各式正确的是：

(A) 22()()A B A B A B +-=-； (B) 222()2A B A AB B +=++； (C) ()A B C BA CA +=+； (D) ()A B C AB AC +=+ 详解：选D

10. 设A =101λ?? ???，则3

A =

(A) 101λ?? ?-?? ； (B)

1021λ?? ???； (C) 1031λ?? ???； (D) 101λ?? ???

详解：选C

11．设A 是n 阶可逆阵，λ是非零常数，则

(A) ()T T A A λλ=； (B) 11()A A λλ--=；(C) A A λλ=； (D) 1*A A -= 详解：选A

12．齐次线性方程组(1)20

3(2)0x y x y λλ--=??-+-=? 存在非零解，则λ =

(A) 1,

4- ； (B) 2,3-； (C) 1,4； (D) 2,3-

13．设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，则该方程组的通解为

(A) 2312ηηη+- (B) 2311(2)k ηηηη+-+ (C) 2311(2)k ηηηη+-+ (D) 1k η 详解：选C

14．设非齐次线性方程组Ax b =，其中m n A ?且()R A r =，()R A b R =，则 (A) r = m 时方程组Ax b =无解； (B) m = n 时方程组Ax b =有无穷多解； (C) r = R = n 时方程组Ax b =有唯一解；(D) r = n 时方程组Ax b =有唯一解. 详解：选C

15．向量组α= (1，1，1)T ，β= (1，2，3)T ，γ= (1，3，6)T 的秩等于 (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 详解：选C

16．若2A =，则3阶方阵A 的秩等于

(A) 3 (B) 2； (C) n ； (D) 不能确定详解：选A

17．设A ，B 是n 阶方阵，则

(A) A B A B +=+ (B) A B A B -=- (C) AB BA = (D)

AB BA =

详解：选C

18．已知向量组α= (1，1，1)T ，β= (1，2，3)T ，γ= (1，3，t )T 的秩是2，则t =

(A) 1 (B) 3； (C) 5； (D) 7 详解：选C

19. A 满足2A －2A ＋E ＝0则A 逆（）

A 不存在;

B E;

C (2E －A);

D (A －2E) 详解：由定义选C

20. .如果03332

31232221

1211

≠=a a a a a a a a a D ，则=------=33

2313

3232221231

312111

434343a a a a a a a a a a a a M 。 A.D 3- B.D 4-

C.D 12-

D.T D 4-

21 .行列式D 非零的充分条件是。

A.D 所有元素都不为零

B.至少有n n -2个元素不为零

C.D 的任意两列元素之间不成比例

D.以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解详解：选D

22.设非齐次线性方程组??

??=+-=++=+12120z y kx z ky x z kx

有唯一解，则。

A.0≠k

B.1-≠k

C.2≠k

D.2-≠k 详解：选C

23. 对于同一n 阶矩阵A ,关于非齐次线性方程组=Ax b (≠0b )和齐次线性方程组=0Ax ,下列说法中正确的是 ( )

(A ) =0Ax 无非零解时,=Ax b 无解 (B ) =0Ax 有无穷多解时,=Ax b 有无穷多解 (C ) =Ax b 无解时,=0Ax 无非零解 (D ) =Ax b 有唯一解时,=0Ax 只有零解详解：选D

24. 设12,αα是齐次线性方程组=0Ax 的两个解向量,12,ββ是非齐次线性方程组=Ax b 的两个解向量,则 ( )

(A ) 12+αα是=Ax b 的解 (B ) 11+αβ是=0Ax 的解 (C ) 12-ββ是=0Ax 的解 (D ) 11-αβ是=Ax b 的解详解：选C

25. 设123,,ααα都是非齐次线性方程组=Ax b 的解向量,若123()k +-ααα是导出组 AX=0的解向量,则k = ( )

(A ) 3 (B ) 2 (C ) 1 (D ) 0 详解：选B,对式子左乘一个Ａ后，令其等于零，即可得

26. 方程组1231233202640x x x x x x -+=??

-+-=?的

基础解系由几个解向量组成?

( )

(A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个详解：选D ，3-1＝2

27. 已知A 是96?矩阵,齐次线性方程组=0Ax 有4个自由变量,则秩(A )= ( )

(A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D ) 5 详解：选A ，自由变量的个数与秩之和等于未知数的个数

28. 设n 元线性方程组=Ax b 的增广矩阵为()A b ,秩(A )1r =,秩()A b 2r =,问:在下列何种情况下,方程组必定有解

( )

(A ) 1r n = (B ) 2r n = (C ) 12r r = (D ) 12,r n r n << 详解：选C ，此为有解的充要条件

29. 设A 是108?矩阵,秩(A )r =,则齐次线性方程=0Ax 有非零解的充分必要条件是 ( )

(A ) 8r < (B ) 810r ≤≤ (C ) 10r < (D ) 0=A 解：选A ，有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于方程组中未知数的个数

30 若方程组123232

32132(3)712

x x x x x x λλλλλ?-+=-?

-+=-??-=-+?有无穷多解,则λ=

( )

(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4 详解：选C ，满秩

?行列式不为零?AX=0只有零解?AX=b 有唯一解，当系数

矩阵的秩小于3时，即系数矩阵的行列式等于零，

设线性方程组=Ax b 的增广矩阵经初等行变换化为

()→A b 202301000a a a ?? ? ? ???,则此方程组 ( )

(A ) 有唯一解或有无穷多解 (B ) 一定有无穷多解 (C ) 可能无解 (D ) 一定无解

详解：选D ，当a=0，时第三个方程为矛盾，当不等于零时，第二个为矛盾方程 32. 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换,如果能将某一行的全部元素变为0,则该方程组 ( )

(A ) 有唯一解 (B ) 无解 (C ) 有无穷解 (D ) 有多余方程详解：选D ，

33、设n 阶矩阵A 的行列式为A ,则kA (k 为常数)的行列式为( )

(A).;

(B);

(C).;(D).n k A k A k A k A -

详解：选B ，参阅行列式的性质

34、线性方程组12323232004

2000222006

x x x x x x x ++=??-=??-+=?

一定( )

(A)有无穷多解 (B)有唯一解 (C)只有零解 (D).无解详解：选D ，

35、线性方程组12323232004

2000222006

x x x x x x x ++=??-=??-+=?

一定( )

(A)有无穷多解 (B)有唯一解 (C)只有零解 (D).无解

详解：选D 方程一和方程三为矛盾方程

36、设向量组,,αβγ线性无关，则关于向量组,,αββγγα+++，下列说法正确的是：

（）

A 、线性无关

B 、线性相关

C 、无法判断

D 、秩为2

详解：选A,注意,因为变换矩阵的行列式不为零,所以秩相同

37、设四元非齐次线性方程组AX=b 的三个解分别为：

123212090,,091490ααα?????? ? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????，又知R(A)=2，则此方程级的通解为：（） A 、1212212090

,(,)091490X k k k k R ??????

? ? ? ? ? ?=++∈ ? ? ? ? ? ???????

B 、1212102900

,(,)910544X k k k k R ?????? ? ? ?- ? ? ?=++∈ ? ? ?-- ? ? ?-??????

C 、1212221009

,(,)019409X k k k k R ?????? ? ? ? ? ? ?=++∈ ? ? ? ? ? ???????

D 、1212122900,(,)910904X k k k k R ?????? ? ? ? ? ? ?=++∈ ? ? ? ? ? ???????

详解：选B,非齐次的两个解之差为对应齐次方程组的解，先作两个差，作为基，再加上其中一个作为特解

38、设有向量组123126041

,,001000ααα?????? ? ? ?- ? ? ?=== ? ? ?- ? ? ???????

，则向量组的秩为：（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 详解：选C

39．若1A =，则n 阶方阵A 的秩是（）

(A) 2 (B) 1； (C) n ； (D) 不能确定详解：选C, 满秩

?行列式不为零?AX=0只有零解?AX=b 有唯一解

40、行列式3

--中元素1的代数余子式等于：（） A 、4 B 、－4 C 、8 D 、0

详解：选D, 33

(1)050

+--= 41、设1231231222005522200610542007

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?

，则方程组：（）

A 、无解

B 、有无穷多解

C 、只有零解

D 、有唯一的非零解详解：选D, 因系数矩阵的行列式不为零,所以只有零解

42、设000x y z x y z x y z λλλ++=??

++=??++=?

，问λ为下列哪种情况下有非零解：（）

A 、只有当1λ=

B 、只有当2λ=-

C 、只有当1,2λλ≠≠-

D 、当1λ=或2λ=-

详解：选D,只有满足此条件,系数矩阵的行列式才为零,才有非零解

43、设A 为n 阶方阵，如果线性方程组AX=b 有唯一解，则下列说法不正确的是（）

A 、|A|＝0;

B 、|A|不为零;

C 、A 可逆

D 、R(A)＝n 详解：选A, 有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于未知数的个数

44、21

00110

=-的充分条件是：（） A 、k = 2; B 、k = 0; C 、k =-2 D 、k = 3

详解：选C

45、如果

11121311111213

21222321212223

31323331313233

423

1,423(),

423

a a a a a a a

D a a a D a a a a

a a a a a a a

===-=

的充分条件是：

（）

A、k = 2;

B、k = 0;

C、k =-2

D、k = 3

详解：选C

46、如果A为三阶矩阵，|A|＝a ≠0，*A为A的伴随矩阵，那么|*A|＝（）

A、1

; B、a; C、2a; D、3a

详解：因为***

||,||n

AA A E AA A E A A A

=?=?=，三阶时

*3*2

a A a A a

=?=，所以选C

47、设A，B是n阶方阵，则（）

A、A或B可逆，必有AB可逆;

B、A或B不可逆，必有AB不可逆;

C、A和B都可逆，必有A＋B可逆;

D、A和B都不可逆，必有A＋B不

可逆;

详解：A、A或B可逆(即其中之一可逆,若另一矩阵的秩小于n)，不一定有AB 可逆，R(AB)≤min{R(A),R(B)}

B、A或B不可逆(即其中之一不可逆,即其秩小于n)，R(AB)≤min{R(A),R(B)}

C、A和B都可逆，如单位矩阵E与-E都可逆，但必有E＋（-E）不可逆;

D、A和B都不可逆，

100000100

010,000,010

000001001

A B A B

??????

? ? ?==+=

? ? ?

??????

;

A，B都不可逆，但A+B可逆。

故选B

48、设A，B是n阶方阵，则（）

A、A或B可逆，必有AB可逆;

B、A或B不可逆，必有AB不可逆;

C、A和B都可逆，必有A＋B可逆;

D、A和B都不可逆，必有A＋B不

可逆;

详解：A、A或B可逆(即其中之一可逆,若另一矩阵的秩小于n)，不一定有AB

可逆，R(AB)≤min{R(A),R(B)}

B、A或B不可逆(即其中之一不可逆,即其秩小于n)，R(AB)≤min{R(A),R(B)}

C、A和B都可逆，如单位矩阵E与-E都可逆，但必有E＋（-E）不可逆;

D 、A 和B 都不可逆，100000100010,000,010*********A B A B ?????? ? ? ?

==+= ? ? ? ? ? ???????

;

A ，

B 都不可逆，但A+B 可逆。

故选B

49、设非齐次线性方程组AX=b ，其中,(),m n A R A r ?=则（）

A 、r = m 时，AX=b 有解；

B 、r = n 时, AX = b 有唯一解;

C 、m = n 时，AX=b 有无穷多解;

D 、r < n 时，AX = b 有无穷多解; 详解：A 、AX=b 有解()(,)R A R A b ?=，而不是r = m (m 为方程个数)； B 、n(未知数的个数) ＝r ＝R(A) ≤min{m 行数,n 列数}, 所以n ≤m,其中某n 个方程通过初等行变换得到其余m -n 个方程，即这n 个方程和原方程组同解。而这n 个方程的系数矩阵组成一个n 阶可逆矩阵，故n 个方程组成的方程组有唯一解，所以原方程组AX = b 也只有唯一解，

C 、m = n ，即系数矩阵为方阵，不是有穷的充要条件，有穷解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数;

D 、r < n 且r = R(A,b)时，才有AX = b 有无穷多解故选B

50、若方程组1231231

202(2)0(1)0x x x x x x x x λλλ-+

=??

++-=??++=?有非零解，则λ=（）

A 、2或1；

B 、-2或-1;

C 、-2或1;

D 、2或-1; 详解：齐次方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，所以：

11111

22202(2)(1)021

111021

λλ

λλλλλλλλλ--+--=+-==-+-=+-++-，所以先C

51、设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1A -有一个特征值等于（） A 、2； B 、-2; C 、

12; D 、-1

; 解：11111A a A A A a aA a A αααααααα-----=?=?=?=，所以选C 52、零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（）

A 、充分条件；

B 、充要条件;

C 、必要条件;

D 、无关条件; 解：123||n A λλλλ=，所以选B

三判断题

1、若n 阶方阵A 与B 相似，则R(A) = R(B)

解答：对，1P AP -其中1P A -表示对A 进行初等行变换，之后

1(),P A P -表示对进

行初等列变换

1()P A -，得到B ，由于初等变换不改变矩阵的秩，故R(A) = R(B) 2、若n 阶方阵A 与B 相似，则

()()k k

E A E B λλ--与相似，k 为整数解答：对，1111()()()()()k k k k k k E A E P BP P P P BP P E B P λλλλ-----=-=-=-

111(),()(),k k k k P P E P P ---==

3、设A 、B 都是n 阶方阵，A 可逆，则AB 与BA 相似解答：对，11()()();A AB A A A BA E BA BA --===

4、正交矩阵A 的行列式|A|＝─1，则─1是A 的特征值。

解答：对，()T T A E A A A E A A E A A E A +=+=+=+=-+；0A E ?+= 5、n 阶矩阵A 是奇异矩阵（即：|A| ＝ 0）的充分必要条件是A 有一个特征值为零。

解答：对，00(1)0n A E A A =?-=-=?A 有一个特征值为零；

6、矩阵A 的每个特征值的特征向量个数等于该特征值的重数，则A 一定可以对角化。

解答：对，1111()()()()()k k k k k k E A E P BP P P P BP P E B P λλλλ-----=-=-=- 7、A 与B 是相似矩阵，则R(A) = R(B),且|A| = |B|，如A 可逆，则B 也可逆。解答：对。

8、α是A 的对应于特征值λ的特征向量，则α是k A 对应于特征值k λ的特征向量，对于多项式f(x),α是f(A)的对应于f(λ)的特征向量。解答：对。四. 计算题

1. 当k 为何值时，线性方程组12312342343224330x x x x x x x k x x x ?+-=?

+--=??+-=?

有解，有解时求其通解

详解：利用初等行变换得 2k =

12592130

100010X c c -??????

? ? ?- ? ? ?=++ ? ? ? ? ? ? ? ? ???????

2．求向量组123(1,1,2,1)(2,1,0,2)(1,5,6,7)

T T T

ααα=--==-，，的一个最大线性无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.

详解： 123121(,,)012000000A ααα?? ? ? ?=→ ? ? ??? 秩为2 又 123103(,,)012000000A ααα?? ?- ?

?=→ ? ? ???

31232,ααα=-+ 3．计算4阶行列式D =

2512371

459274612

----- 详解：计算4阶行列式9D =-

4．设方阵A = 211210111-??

? ?

-?? ，113432B -??= ???，解矩阵方程XA B =

详解：法一 11

112

3233

30A -??

?=-- ? ?-??

182533X BA --?? ? ?==-- ? ???

法二：1111

,B BA BA A A AA E ----??????== ? ? ???????

初等变换矩阵为1

A -经初等列变换， 1

131

321

233

2122143234232535225

2/38/35

2/32111

211

001

001002101

201

011

100

101111

111

301

031

01------?????????? ? ? ? ? ?------ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?→→→→→-- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-----?

??????????? ? ? ? ? ? ???

（1,B BA A E -????→ ? ?????

）1

22182533X BA --??

? ?==-

- ? ???

5．设423110,2,123A AB A B B ?? ?

==+ ? ?-??求

详解： 1143(2)153164A E ---??

-=-- ? ?-??

386296(2)2129B A E A ---?? ?--

?=-= ?- ? ???

6．计算行列式D = 0

40262

013

1095705131

-- 详解：计算行列式D = 200

7．当λ为何值时, 非齐次线性方程组1234123412

342202132x x x x x x x x x x x x λ

+--=??

--+=??+--=? 有解? 并解之。

详解：利用初等行变换得

1λ= 2分

12301111501011X c c ??????

? ? ? ? ? ?=++ ? ? ? ? ? ? ? ? ???????

8.计算下列各行列式：

（1）?

???

??????71

0251020214214；（2）????????????-26

52321121

31412；（3）??????

???---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）????????????---d c b a

100

110011001

详解：(1)7

110

25102021

42143

4327c c c c --010

0142310202110

214---

=34)1(1431022110

14+-?---

=14

3102211014--321

132c c c c +

+1417172

001099-=0

(2)2

2321

12131412-2

4c c -2

032122130412-

4r r -0

032122130412-

4r r -00

032122130412-=0

(3)ef cf bf de cd

bd ae ac ab ---=e c b e c b e

c b adf ---

1111

111

11---adfbce =abcdef 4

(4)d

b a 10

011001---2

1ar r +d c

b a ab 10

10011010---+

2)1)(1(+--d

c a ab 10110

1--+2

3dc c +010111-+-+cd c ad

a ab

3)1)(1(+--cd ad

ab +-+11

1=1++++ad cd ab abcd

9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ???

??=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

详解：

μλμμ

-==1

2111

3D ，

齐次线性方程组有非零解，则03=D

即 0=-μλμ

得 10==λμ或

不难验证，当,10时或==λμ

该齐次线性方程组确有非零解.

10. 已知0

513422111542131

12225

4321=D ，

求333231)1(A A A ++，)()2(3534的代数余子式为ij ij a A A A +。详解：

31323334351234522211

(1)0011100

111224315012345000110111000002243150

A A A A A +++?+?===

31323334351234522211

(2)00000011

11122431501234522200000011111004

3150

A A A A A ?+?+?++===

11．求A = 460350361?? ?

-- ? ?--??

的特征值、特征向量，并将矩阵A 对解化。

解：2460

463

50(1)

(1)(2)3

61A E λ

λλλλλλ

---=---=-=--+------＝0

故121;2λλ==-为其特征值。

当11λλ==时，360()03600360A E X X λ??

-=?--= ? ?--??

123601203600002,360000x x ????

? ?--→?=- ? ? ? ?--????自由未知量为23,x x ，非自由未知量为1x ，2311231212201,02,1,0,10,0,,01x x x p x x x p p p -????

? ?

==?=-===?== ? ? ? ?????

为属于特征值1的两个无关特征向量。

当12λλ==-时，660()03300,363A E X X λ?? ?

-=?--= ? ?--??

660110101101330000000011,363121011000????????

? ? ? ?--→→→- ? ? ? ? ? ? ? ?----????????

自由未知量为3,x 非自由未知量为12,x x

132331231,,1,1,1,11x x x x x x x p -?? ?

=-===-== ? ???取为属于特征值2-特征向量，记

矩阵1123100(,),010002P p p p P AP -?? ?

=?= ? ?-??