概率论与数理统计题库

第8章假设检验

填空题

1、在进行假设检验时，事先对总体某方面的特征提出一个假设，称之为原假设或零假设；将拒绝原假设时准备接受的假设称为.

答案：备择假设

知识点：8.1.1 假设检验的基本概念

参考页:P161

学习目标:1

难度系数: 1

提示一：8.1.1 假设检验的基本概念

提示二：无

提示三：无

提示四（同题解）

题型：填空题

题解：由假设检验的基本概念知：拒绝原假设时准备接受的假设为备择假设.

2、假设检验的基本思想是应用了原理.

答案：小概率事件

知识点：8.1.2 假设检验的基本思想与步骤

参考页:P161

学习目标:1

难度系数: 1

提示一：8.1.2 假设检验的基本思想与步骤

提示二：无

提示三：无

提示四（同题解）

题型：填空题

题解：假设检验的基本思想是应用了小概率事件原理，即概率很小的事件在一次试验（或观察）中是几乎不可能发生的.

3、设在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加.

答案：扩大样本容量

知识点：8.1.3 两类错误

参考页:P163

学习目标:1

难度系数: 1

提示一：8.1.3 两类错误

提示二：无

提示三：无

提示四（同题解）

题型：填空题

题解：因为犯二类错误的概率，当一个缩小时另一个会扩大. 所以要犯二类错误的概率同时缩小，只能扩大样本容量.

4、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为α，则犯第一类错误的概率是. 答案：α

知识点：8.1.3 两类错误

参考页:P163

学习目标:1

难度系数: 1

提示一：8.1.3 两类错误

提示二：无

提示三：无

提示四（同题解）

题型：填空题

题解：显著性水平为就是犯第一类错误的概率.

5、设在显著性检验中，如果样本容量不变，若要使犯第一类错误的概率变小，则犯第二类错误的概率.（增大，减小或不变）

答案：增大

知识点：8.1.3 两类错误

参考页:P163

学习目标:1

难度系数: 2

提示一：8.1.3 两类错误 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题

题解：样本数不变的情况下犯二类错误的概率，当一个缩小时另一个会扩大. 6、设总体)16,(~μN X ，4321,,,X X X X 为其样本，对

μ进行假设检验. 检验假设

5:,5:10≠=μμH H ，显著性水平为0.05，则X 的接受域 . 若6=μ，则犯第二类

错误的概率=β . 答案： )92.8,08.1(；0.9209

知识点：8.2 一个正态总体参数的假设检验；8.1.3 两类错误 参考页: P163 学习目标: 1；2 难度系数: 4

提示一：8.2 一个正态总体参数的假设检验 提示二：8.1.3 两类错误 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题

题解：由题意知：4,4==σn .

因为X U =

~(0,1)N ，所以接受域为：2

||αu U <.即

92.3|5|2

=<-n

u X σ

α

，X 的接受域为)92.8,08.1(.

6=μ相当于0H 不真，此时

)1,0(~6

N n

X σ

-,故

}92.808.1{}|{00<<==X P H H P 不真接受β

9209.0)46.2()46.1(}4

46

92.844644608.1{

=-Φ-Φ=-<-<-=X P . 7、设12,,,n X X X ???是来自正态总体2

(,)N μσ的简单随机样本，μ和2

σ均未知，记 11n i i X X n ==∑,2

21

()n

i i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T ＝ .

答案：

n

S X 0

μ-

知识点：8.2 一个正态总体参数的假设检验 参考页: P163 学习目标: 2 难度系数: 2

提示一：8.2 一个正态总体参数的假设检验 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题

题解：在总体方差未知的情况下，通常用它的无偏估计量2

S 来代替.于是假设0:0H μ=的t 检验

使用统计量T =

n

S X 0

μ-.

8、设11m i i X X m ==∑和1

1n i i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体2

11(,)N μσ和222(,)N μσ的样本均值，

参数1μ，2μ未知，两正态总体相互独立，欲检验22

012:H σσ= ，应用 检验法，其检验

统计量是 .

答案：F ，212

1(1)()(1)()m

i i n

i i n X X F m Y Y ==--=

--∑∑

知识点：8.3 两个正态总体参数的假设检验 参考页: P168

学习目标: 2 难度系数: 2

提示一：8.3 两个正态总体参数的假设检验 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题

题解：在总体方差未知的情况下，要比较2

1σ和2

2σ，通常用它们的无偏估计量2

22

1,S S 来代替.于

是假设22

012:H σσ=，应该用F 检验，212

1(1)()(1)()m

i i n

i i n X X F m Y Y ==--=

--∑∑.

9、设总体X ～2

(,)N μσ，2

,μσ为未知参数，从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ，现

在要检验假设0100:,:μμμμ≠=H H ，则应选取的统计量是 ；当00:μμ=H 成立时，该统计量服从 分布.

答案：X T =

)1(-n t

知识点：8.2 一个正态总体参数的假设检验 参考页: P163 学习目标: 2 难度系数: 2

提示一：8.2 一个正态总体参数的假设检验 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题

题解：设总体X 服从2

(,)N μσ,12,,,n X X X L 是总体X 的样本. 2

,μσ为未知参数.

检验假设0100:,:μμμμ≠=H H

的统计量为X T =

~(1)t n -.

10、设总体X ～2

(,)N μσ，2

,μσ为未知参数，从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ，修正样本标准差为*

n S ，在显著性水平α下，检验假设0:80H μ=，1:80H μ≠的拒绝域为 ，在显著性水平α下，检验假设2200:H σσ=（0σ已知），2

110:H σσ≠的拒绝域

为 .

答案：)1(|80|2*-≥-n t n S X n

α， ??

?

???????????-<-??????????????->--==∑∑)1()()1()(2

212012

222012n x x n x x n i i n i i ααχσχσY 知识点：8.2 一个正态总体参数的假设检验 参考页: P163 学习目标: 2 难度系数: 2

提示一：8.2 一个正态总体参数的假设检验 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题

题解：设总体X 服从2

(,)N μσ,12,,,n X X X L 是总体X 的样本.给定显著性水平

α(10<<α).2,μσ为未知参数.

检验假设0100:,:μμμμ≠=H H

的统计量为X T =

~(1)t n -，拒绝域为2

(1)T t n α>-；

检验假设2200:H σσ=（0σ已知），2

110:H σσ≠，统计量为2

2

2

0(1)n S χσ-=

2~(1)n χ-，拒绝

域为22

2

(1)n αχχ>-或2212

(1)n αχχ-<-.

单项选择题

1．在进行假设检验的时候，有下列步骤：

①建立检验统计量. 在原假设成立的条件下确定检验统计量的分布；

②对原假设0H 作出统计推断. 如果检验统计量的观测值落入拒绝域，则拒绝原假设0H ； ③确定检验的拒绝域. 构造小概率事件，对给定的显著性水平α及检验统计量的分布，查表确定临界值，从而得到拒绝域；

④根据实际情况，提出原假设0H 及备择假设1H 则在下列操作中正确的是（ ）

（A ）①②③④ （B ）④③②① （C ）④①③② （D ）②④③①. 答案： C

知识点：8.1.2 假设检验的基本思想与步骤 参考页: P161 学习目标: 1 难度系数: 2

提示一：8.1.2 假设检验的基本思想与步骤 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：由假设检验的基本思想与步骤可知④①③②为正确的步骤，故选C . 2．在对一个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用（ ） （A ）T 检验法 （B ）U 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2

χ检验法. 答案： B

知识点：8. 2 一个正态总体参数的假设检验 参考页: P163 学习目标: 2 难度系数: 2

提示一：8. 2 一个正态总体参数的假设检验 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：设总体X 服从2

(,)N μσ,12,,,n X X X L 是总体X 的样本.给定显著性水平α(10<<α).

如果2

σ已知，检验统计量及其分布为

X U =

~(0,1)N ，故选B .

3．在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有（ ）

（A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）以上同时成立. 答案： D

知识点：8. 1 假设检验的基本思想与概念 参考页: P160 学习目标: 1 难度系数: 2

提示一：8. 1 假设检验的基本思想与概念 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：在一个确定的假设检验中，样本值与样本容量、显著性水平和检验统计量与判断结果都直接相关，故选D .

4. 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（ ）

（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H . 答案： A

知识点：8. 1 假设检验的基本思想与概念 参考页: P160 学习目标: 1 难度系数: 2

提示一：8. 1 假设检验的基本思想与概念 提示二：无

提示四（同题解） 题型：选择题

题解：显著水平α表示落入检验拒绝域的概率，所以显著水平变小，拒绝域更小，在显著水平0.05下能接受00:H μμ=，在显著水平0.01下也能接受. 故选A .

5. 在假设检验中，记1H 为备择假设，则称（ ）为犯第一类错误. （A ）1H 真，接受1H （B ）1H 不真，接受1H （C ）1H 真，拒绝1H （D ）1H 不真，拒绝1H 答案： B

知识点：8.1.3 两类错误 参考页: P163 学习目标: 1 难度系数: 2

提示一：8.1.3 两类错误 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：由定义知第一类错误是指，0H 真，但拒绝0H . 这等价于1H 不真，接受1H . 故选B . 6. 对假设检验，显著性水平的意义是（ ）. （A ）原假设不成立，经过检验而被拒绝的概率 （B ）原假设成立，经过检验而被拒绝的概率

（C ）原假设不成立，经过检验而不能被拒绝的概率 （D ）原假设成立，经过检验而不能被拒绝的概率 答案： B

知识点：8.1.3 两类错误 参考页: P163 学习目标: 1

提示一：8.1.3 两类错误 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：第一类错误即为弃真的概率. 故选B . 7. 假设检验的显著性水平是（ ）.

（A ）犯第一类错误的概率 （B ）犯第一类错误的概率的上界 （C ）犯第二类错误的概率 （D ）犯第一类错误的概率的下界 答案： A

知识点：8.1.3 两类错误 参考页: P163 学习目标: 1 难度系数: 2

提示一：8.1.3 两类错误 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：假设检验的显著性水平是犯第一类错误的概率. 故选A .

8. 总体)4,(~2

μN X ，检验假设0100:,:μμμμ>=H H . 如果取0H 的拒绝域为

}:),,,{(21c X x x x n >Λ，那么对于固定的样本容量n ，犯第一类错误的概率α（ ）

（A ）随c 的增大而减小 （B ）随c 的增大而增大小 （C ）随c 的增大保持不变 （D ）随c 的增大增减性不定. 答案： A

知识点：8.1.3 两类错误；8.2 一个正态总体参数的假设检验 参考页: P163；P163 学习目标: 1；2

提示一：8.1.3 两类错误；

提示二：8.2 一个正态总体参数的假设检验 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：当00:μμ=H 成立时，)4,(~2

0n

N X μ，犯第一类错误的概率为： ???

?

??-Φ-=>=>=4)(1}{}|{00μαc n c X P H c X P 成立，随c 的增大而减小. 故选A . 9. 自动装袋机装出的每袋质量服从正态分布，规定每袋质量得方差不能超过10，为了检验自动

装袋机的生产是否正常，对它生产的产品进行抽样检查. 取原假设10:2

0≤σH ，显著性水平

05.0=α，则下列命题中正确的是（ ）

（A ）如果生产正常，则检验的结果页认为生产正常的概率等于0.95 （B ）如果生产不正常，则检验的结果页认为生产不正常的概率等于0.95 （C ）如果检验的结果认为生产正常，则生产确实正常的概率等于0.95 （D ）如果检验的结果认为生产不正常，则生产确实不正常的概率等于0.95. 答案： A

知识点：8.1.3 两类错误 参考页: P163 学习目标: 1 难度系数: 2

提示一：8.1.3 两类错误； 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：显著性水平即为弃真的概率. 故选A .

10. 设总体),(~211σμN X ，),(~2

22σμN Y ，检验假设22210:σσ=H ，显著性水平1.0=α. 从

Y X ,中分别抽取样本容量为10,1221==n n 的样本，算得93.31,4.1182

2

21==S S ，则正确的检验为（ ）

（A ）用t 检验法，接受0H （B ）用t 检验法，拒绝0H （C ）用F 检验法，接受0H （D ）用F 检验法，拒绝0H . 答案： D

知识点：8. 3 两个正态总体参数的假设检验 参考页: P168 学习目标: 2 难度系数: 3

提示一：8. 3 两个正态总体参数的假设检验 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题

题解：21,μμ未知，检验两个正态总体方差相等，应该选取F 检验法.

)1,1(~212221--=n n F S S F 10.3)9,11(71.305.022

2

1=>==F S S F ，应拒绝0H . 故选D .

计算题

1. 设总体)04.0,(~μN X ，3621,,,X X X Λ为其简单随机样本，对

μ进行假设检验. 记

∑==36

1

361i i X X ，检验假设5.0:,5.0:10>=μμH H ，显著性水平为0.05，并取检验否定域为}:),,,{(3621c X x x x D >=Λ.计算：（1）c ；（2）如果已知总体期望为0.65，求犯第二类错误的概率.

答案：0.5548；0.0021

知识点：8.2 一个正态总体参数的假设检验；8.1.3 两类错误 参考页: P163

学习目标: 1；2 难度系数: 4

提示一：8.2 一个正态总体参数的假设检验 提示二：8.1.3 两类错误 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题

题解：(1) 由题意知：若假设0H 成立，则)04.0,5.0(~N X ，)36

04

.0,

5.0(~N X ?

??

???????-≤--=≤-=>==3015.030

15.01}{1}{}|{00c X P c X P c X P H H P 真拒绝α

05.0)1530(1=-Φ-=c 故5548.0,645.11530==-c c .

（2）若假设1H 成立，则)04.0,65.0(~N X ，)36

04.0,

65.0(~N X }30

165

.030165.0{

}{}|{00-<-=<==c X P c X P H H P 不真接受β

0021.0)855.2(1)855.2(}30

165

.05548.030165.0{

=Φ-=-Φ=-<-=X P . 2. 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？（显著性水平为0.05） 答案：不正常.

知识点：8. 2 一个正态总体参数的假设检验 参考页: P163 学习目标: 2 难度系数: 5

提示一：8. 2 一个正态总体参数的假设检验

提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题

题解：设重量),(~2

σμN X 05.016==αn

4252==S X

(1)检验假设250:0=μH

250:1≠μH ，

因为2σ未知，在0H 成立下，)15(~/250

t n

S X T -=

拒绝域为)}15(|{|025.0t T >，查表得1315.2)5(025.0=≠t 由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H

(2)检验假设9:2

0=σH

9:2

01>σH

因为μ未知，选统计量

2

2

2

)1(σ

χS n -=

在0H 成立条件下，2χ服从)15(2

χ分布，

拒绝域为)}15({205.02χχ>，查表得996.24)15(2

05.0=χ，

现算得966.24667.269

16

152>=?=

χ，拒绝0H . 综合(1)和(2)得，以为机器工作不正常.

3. 一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100=σ小时正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格. 答案：不合格.

知识点：8. 2 一个正态总体参数的假设检验 参考页: P163 学习目标: 2 难度系数: 4

提示一：8. 2 一个正态总体参数的假设检验 提示二：无 提示三：无

提示四（同题解） 题型：计算题

题解：设元件寿命),(~2

σμN X ，2σ已知10002=σ，05.0,950,25===αX n

检验假设1000:0=μH

1000:1<μH

在2

σ已知条件下，统计量)1,0(~/1000

N n

X U σ-=

拒绝域为}{05.0u U <，查表得645.195.005.0-=-=u u 而645.15.22050

25

/1001000950-<-=-=-=

U 拒绝假设0H 选择备择假设1H ，所以以为这批产品不合格.

4. 设某电子元件使用寿命（单位：小时）服从正态分布2

(,80)N μ. 从该种电子元件中随机抽取25个进行测试，测得平均使用寿命为968小时，标准差不变. 问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为该种电子元件平均使用寿命为1000小时？ 答案：不能认为该种电子元件平均使用寿命为1000小时. 知识点：8. 2 一个正态总体参数的假设检验 参考页: P163 学习目标: 2 难度系数: 4

提示一：8. 2 一个正态总体参数的假设检验 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题

题解：检验假设0:1000H μ=，1:1000H μ≠

检验统计量)1,0(~/1000

N n

X U σ-=

.

对于给定的0.05α=，由2

{}0.05P U u α>=，得拒绝域为}96.1|{|>U .