佛山市顺德区2020届高三第三次教学质量质检(理数)
佛山市顺德区2020届高三第三次教学质量质检
数学（理科）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．在复平面内表示复数（1﹣i）（a+i）的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）2．已知函数f（x）＝log2x+3x+b的零点在区间[0，1]上，则b的取值范围为（）A．[﹣3，0] B．（﹣∞，3] C．[0，3] D．[﹣3，+∞）3．设x1，x2，…，x n为样本数据，令f（x）（x i﹣x）2，则f（x）的最小值点为（）A．样本众数B．样本中位数C．样本标准差D．样本平均数
4．在直角坐标系xOy中，动点A在抛物线y2＝x上，点P满足2，则点P的轨迹方程是（）
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
5．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）
A．0.75 B．0.6 C．0.52 D．0.48
6．设正数m，n满足1，则m+n的最小值为（）
A．26 B．25 C．16 D．9
7．已知函数f（x）＝（x﹣3）2﹣1，则平面图形D内的点（m，n）满足条件：f（m）+f（n）＜0，且f（m）﹣f（n）＞0，则D的面积为（）
A．πB．3 C．D．1
8．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为DD1的中点，M为直线BD1上一点，N为平面AEC内一点，则M，N两点间距离的最小值为（）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共2小题，每小题4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则（）
A．在α内存在直线与直线AB异面
B．在α内存在直线与直线AB相交
C．在α内存在直线与直线AB平行
D．存在过直线AB的平面与α垂直
E．存在过直线AB的平面与α平行
10．对任意A，B?R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x?A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差．例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）
A．若A，B?R且A⊕B＝B，则A＝?
B．若A，B?R且A⊕B＝?，则A＝B
C．若A，B?R且A⊕B?A，则A?B
D．存在A，B?R，使得A⊕B＝?R A⊕?R B
三、填空题：本大题共5小题，每小题4分。
11．设f（x）＝ln为奇函数，则a＝．
12．若等比数列{a n}满足a1，a2a3＝2，则a7＝．
13．已知tanα，则；cos2α＝．
14．设△ABC中AC＝1，AB＝2，∠CAB＝60°，，，，则
???．
15．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得
分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是．
四、解答题：本大题共6小题。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（15分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin（A+B）＝c sin．（1）求A；
（2）求sin B sin C的取值范围；
（3）若△ABC的面积为，周长为8，求a．
17．（15分）已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，AC＝BD ＝2，BC＝1，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
（1）求AC与底面所成的角；
（2）求该几何体的体积；
（3）求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．
18．（15分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时不超过1小时男20 8
女12 m
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）从该校学生中随机调查60名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，求X的分布列和数学期望．
附：
P（K2≥k）0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
K2．
19．（15分）已知椭圆C：1（a＞b＞0），A（﹣a，0），B（0，﹣b），P为C上位于第一象限的动点，P A交y轴于点E，PB交x轴于点F．
（1）探究四边形AEFB的面积是否为定值，说明理由；
（2）当△PEF的面积达到最大值时，求点P的坐标．
20．（15分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的不动点．设f（x）＝x3+ax2+bx+3．（1）当a＝0时，
（i）求f（x）的极值点；
（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，也是f（x）的不动点，求b的值；
（2）是否存在a，b，使得f（x）有两个极值点，且这两个极值点均为f（x）的不动点？
说明理由．
21．（15分）设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为n，这些三角形的个数为a n．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）在1，2，…，100中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率．
附：1+22+32+…+n2
1+23+33+…+n3
数学（理科）参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．∵（1﹣i）（a+i）＝a+i﹣ai﹣i2＝a+1+（1﹣a）i，
其对应的点（a+1，1﹣a）在第二象限，
故1﹣a＞0且a+1＜0，即a＜﹣1．
故选：B．
2．因为函数f（x）＝log2x+3x+b的零点在区间（0，1]上是单调递增，
函数f（x）＝log2x+3x+b的零点在区间（0，1]上，x→0，log2x+3x→﹣∞，f（x）＜0，可得b∈R
所以log21+3×1+b≥0，解得﹣3≤b．
故选：D．
3．f（x）（x i﹣x）2（x2﹣2xx i）＝nx2﹣2n
因为n＞0，开口向上，对称轴为x，
故最小值点为平均数，
故选：D．
4．设P（x，y），A（a，b）点P满足2，则：（x，y）＝2（a，b）
所以a x，b y，代入抛物线方程，化简可得
y2＝2x，
故选：B．
5．由题意有：因为这种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，这种元件使用到1年时还未失效的前提下，这个元件使用寿命超过2年的概率为
P0.75，
故选：A．
6．∵m，n满足1，
则m+n＝（m+n）（）＝1313+12＝25，
当且仅当且1，即m＝10，n＝15时取等号，此时取得最小值25．故选：B．
7．根据题意，函数f（x）＝（x﹣3）2﹣1，
若f（m）+f（n）＜0，则有（m﹣3）2﹣1+（n﹣3）2﹣1＜0，变形可得（m﹣3）2+（n ﹣3）2＜2，
设C（3，3），则其对应的区域为圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝2的内部，
若f（m）﹣f（n）＞0，则有（m﹣3）2﹣1+（n﹣3）2+1＝（m﹣n）（m+n﹣6）＞0，则有或，
故区域D为如图所示的阴影区域：其面积为π×（）2＝π；
故选：A．
8．如图，F为底面中心，连接EF，
则BD1∥EF，
∴BD1∥平面ACE，
∴M，N之间的最短距离即为直线BD1与平面ACE之间的距离，
易知平面ACE⊥平面BB1D1D，
∴EF与BD1的距离即为所求，
在△DBB1中，求得D到BD1的距离为，
∴EF与BD1的距离为，
故选：B．