2021年江苏高考数学一轮复习完整学案讲义(共72个专题)
全国卷五年考情图解高考命题规律把握
说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题. 1.考查形式
本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.
2.考查内容
从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算．常用逻辑用语主要从两个方面考查：充分必要条件的判断及全称量词与存在量词；不等式的解法常与集合运算交汇，不等式的性质常以比较大小的方式命题．基本不等式一般不单独考查.
3.备考策略
(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律
①集合的交、并、补集运算问题；
②充分条件、必要条件的
判断问题；
③含有一个量词的命题的
否定问题；
④一元二次不等式的解法
及基本不等式的应用.
(2)重视数形结合、分类讨
论、转化与化归思想的应
用.
第一节集合
[最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
)Z Q R
符号N N*(或N
＋
2.
关系自然语言符号语言Venn图
子集集合A的任意一个元素都是集合B
的元素(即若x∈A，则x∈B).
A?B或(B?A)
真子集如果A?B且A≠B A B或B A
集合相等如果两个集合所含的元素完全相
同(即A中的元素都是B中的元
素，B中的元素也都是A中的元
素)
A＝B
3.集合的基本运算
运算自然语言符号语言Venn图
交集由属于集合A且属
于集合B的所有元
素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且
x∈B}
并集由所有属于集合A
或属于集合B的元
素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或
x∈B}
补集设A?U，由U中不
属于A的所有元素
组成的集合称为U
的子集A的补集
?U A＝{x|x∈U且x?
A}
[常用结论]
1．非常规性表示常用数集
{x|x＝2(n－1)，n∈Z}为偶数集，{x|x＝4n±1，n∈Z}为奇数集等．
2．集合子集的个数
对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
3．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
(2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
(3)补集的性质：A ∪(?U A )＝U ；A ∩(?U A )＝?；
?U (?U A )＝A ；?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )；?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．
( )
(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}． ( )
(3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1. ( )
(4)直线y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点组成的集合是{1,4}．
( )
[答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编
1．若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }?A B ．a ?A C ．{a }∈A
D ．a ?A
D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ?A .]
2．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，则集合M ∪N 的子集的个数为________．
64 [∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}， ∴M ∪N ＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M ∪N 的子集有26＝64个．]
3．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则?U (A ∪B )＝________.
[答案] {x |x 是直角} 4．方程组??
?
x ＋y ＝1，
2x －y ＝1
的解集为________．
?
????????
?? ????23，13 [由??
?
x ＋y ＝1，
2x －y ＝1，
得???
??
x ＝23，y ＝13
，
故方程组的解集为??????
???
?? ????23，13.]
5．已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.
(－2,1) (－∞，3) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}，
∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，A ∪B ＝{x |x ＜3}．]
考点1 集合的概念
与集合中的元素有关的问题的求解思路 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，
则A 中元素的个数为( )
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以
x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 1
3＝9，故选A.]
2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． －3
2 [由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－3
2
.
当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2
＋m ＝3，符合题意，
故m ＝－3
2
.]
3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 0或9
8 [当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝
98
.] 4．已知
a ，
b ∈R ，若?
?????????a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则
a 2 020＋
b 2 020＝________.
1 [由已知得a ≠0，则b a
＝0，
所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.]
(1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T 2，T 4.
(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T 3.
考点2 集合的基本关系 判断两集合关系的方法
(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x
＝m 2，m ∈A }，则( )
A ．A
B B ．B A
C ．A ?B
D ．B ＝A
(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ?C ?B 的集合C 的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实
数m 的取值范围为________．
(1)B (2)D (3)(－∞，3] [(1)由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }， 所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．
所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 所以B
A ，故选B.
(2)因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ?C ?B ，则集合C 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．
(3)因为B ?A ，
所以①若B ＝?，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.
②若B ≠?，则???
2m －1≥m ＋1，
m ＋1≥－2，
2m －1≤5.
解得2≤m ≤3.
由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．]
[母题探究]
1．(变问法)本例(3)中，若B A ，求m 的取值范围．
[解] 因为B
A ，
①若B ＝?，成立，此时m ＜2.
②若B ≠?，则???
2m －1≥m ＋1，
m ＋1≥－2，
2m －1≤5，
且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.
综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．
2．(变问法)本例(3)中，若A ?B ，求m 的取值范围． [解] 若A ?B ，则??
?
m ＋1≤－2，
2m －1≥5，
即??
?
m ≤－3，m ≥3.
所以m 的取值范围为?.
3．(变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，试求m 的取值范围．
[解] 因为B ?A ，
所以①当B ＝?时，2m －1＜m ＋1，即m ＜2，符合题意．
②当B ≠?时，??
?
m ＋1≤2m －1，
m ＋1＞5或??
?
m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，
解得??
?
m ≥2，m ＞4
或?
??
m ≥2，m ＜－1
2，
即m ＞4.
综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区
间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．
(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ?A 时，应分B ＝?和B ≠?两种情况讨论．
1.设M 为非空的数集，M ?{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，
则这样的集合M 共有( )
A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
A [由题意知，M ＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．] 2．若集合A ＝{1,2}，
B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ?A ，则实数m 的取值范围为________．
[－2,2) [①若B ＝?，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，
解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，
解得m ＝－5
2，此时B ＝
??????
????2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．]
考点3 集合的基本运算 集合运算三步骤
集合的运算
(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
(2)(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?U A)∩B＝( )
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
(3)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
(1)C(2)A(3)C[(1)∵N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，
∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.
(2)∵?U A＝{－1,3}，∴(?U A)∩B＝{－1}，故选A.
(3)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，
∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.]
[逆向问题] 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，
(?U B)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
D[法一：(直接法)因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(?U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5?B(否则5∈A∩B)，从而5∈?U B，则(?U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5?A.同理，1?A,7?A，故A＝{3,9}．
法二：(Venn图)如图所示．
]
集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
利用集合的运算求参数
(1)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a 的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．a＞2 D．a≥2
(1)D(2)D[(1)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
(2)B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，
又A∩B＝B，故B?A.
又A＝{x|x＜a}，结合数轴，可知a≥2.]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．如T
(1)．
(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到，如T (2)．
提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
[教师备选例题]
1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A
B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，
y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )
A ．77
B ．49
C ．45
D ．30
C [如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A
B 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，
|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合A
B 表示如图所示
的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B 中元素
的个数为45.故选C.
]
2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}，若
A ∩
B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )
A.?
????0，34 B.??????
34，43 C.????
??34，＋∞ D ．(1，＋∞)
B [A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a ＞0)，f (0)＝－1＜0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，
所以有??
?
f (2)≤0，
f (3)＞0，
即??
?
4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，
所以???
??
a ≥34，a ＜43
，
即34≤a ＜4
3
.故选B.] 1.(2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0}，B ＝{x |x －1＜
0}，则A ∩B ＝( )
A ．(－∞，1)
B ．(－2,1)
C ．(－3，－1)
D ．(3，＋∞)
A [由题意得A ＝{x |x ＜2或x ＞3}，
B ＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |x ＜1}．]
2.(2019·洛阳模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A ．{x |－2≤x ＜4}
B ．{x |x ≤2或x ≥4}
C ．{x |－2≤x ≤－1}
D ．{x |－1≤x ≤2}
D [依题意得A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，因此?R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(?R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，故选D.]
3．已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }．若A ∩B ＝{4}，则a ＝________. 3 [因为A ∩B ＝{4}，所以a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，
a ＝3.]
第二节充分条件、必要条件
[最新考纲] 1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.2. 理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系.3. 理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系．
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件p?q且q?/p
p是q的必要不充分条件p?/q且q?p
p是q的充要条件p?q
p是q的既不充分也不必要条件p?/q且q?/p
2．数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系
①判定定理中前提是结论的充分条件；
②性质定理中结论是前提的必要条件；
③数学定义中条件是结论的充要条件．即定义可以用于判定也可以作为性质．
3．充分条件与必要条件的两个特征
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”则“q ?p”．
②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p?q且q?r”，则“p?r”(“p?q且q?r”，则“p ?r”)．
[常用结论]
1．p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．
2．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q 的充分不必要条件?A B；p是q的必要不充分条件?A B；p是q的充要条件?A＝B.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“a＞－1”是“a≥－1”的必要条件. ( )
(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分条件．( )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．
( )
[答案](1)×(2)×(3)√(4)√
二、教材改编
1．已知m，n为两个非零向量，则“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B[设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π
2
＜θ＜π，则cos
θ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|＜0成立，但m，n 的夹角不为钝角．故“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.]
2．设x∈R，则“x3>1”是“|x|>1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A[由x3>1可得x>1，由|x|>1可得x>1或x<－1，故“x3>1”是“|x|>1”的充分而不必要条件．故选A.]
3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]
4.△ABC中，“sin A＝4
5
”是“cos A＝－
3
5
”的________条件．(选填“充
分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
必要不充分[△ABC中，sin A＝4
5
，所以cos A＝±
3
5
，所以“sin A＝
4
5
”
是“cos A＝－3
5
”的必要不充分条件．]
考点1 充分、必要条件的判定
充分条件和必要条件的3种判断方法
(1)定义法：可按照以下三个步骤进行
①确定条件p是什么，结论q是什么；
②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；
③确定条件p和结论q的关系．
(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如p是q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．
(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(3)(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.
(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然B
A ，
∴“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.
(3)|AB →＋AC →|＞|BC →|?|AB →＋AC →|＞|AC →－AB →|?AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＞AB →2＋AC →2
－2AB →·AC →??AB →·AC →＞0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →
〉∈? ????0，π2，故
AB →
·AC →＞0?AB →，AC →的夹角为锐角．故选C.]
[逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A ．m ＞1
4
B ．0＜m ＜1
C ．m ＞0
D ．m ＞1
C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞1
4
，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，
不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.] 判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么．
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的( )
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B[x2－5x－6＝0?x＝－1或x＝6，
∵x＝－1?x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，
∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]
2．给定两个命题p，q，若p是q的必要不充分条件，则p是q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A[因为p是q的必要不充分条件，所以q?p，但p?/q，其等价于p?q，但q?/p，故选A.]
3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
D[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]
考点2 充分条件、必要条件的应用
根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集
合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋
m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．
[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，
由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ?P . 又S 为非空集合，
则???
1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，
∴0≤m ≤3.
即所求m 的取值范围是[0,3]．]
[母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．
[解]
由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ?S ，则???
1－m ≤1＋m ，
1－m ≤－2，
1＋m ≥10，
解得m ≥9，
即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．
利用充要条件求参数的2个关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．
设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n
＝________.
3或4 [由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根；
当n＝3时，方程有整数根1,3，
当n＝4时，方程有整数根2.
综上可知，n＝3或4.]
第三节全称量词与存在量词
[最新考纲] 1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称
为全称量词．通常用符号“?x”表示“任意
x”．
(2)存在量词：“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．通常用符号“?x”表示“存在x”．
2．全称命题和存在性命题
命题名
称
语言表示符号表示命题的否定
全称命题对M中任意一个x，都有p(x)
成立
?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)
存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成
立
?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)
(1)全称命题为真，严格证明；全称命题为假，列举反例；
(2)存在性命题为真，列举特例；存在性命题为假，严格证明．[常用结论]
含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)?x ∈M ，p (x )与?x ∈M ，p (x )的真假性相反． ( )
(2) 命题“末位数字都是0的整数能被5整除”的否定为“末位数字都不是0的整数不能被5整除”．
( )
(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． ( )
(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题． ( )
[答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编
1．命题“?x ∈R ，x 2＋x ≥0”的否定是( ) A ．?x 0∈R ，x 2
0＋x 0≤0 B ．?x 0∈R ，x 2
0＋x 0＜0 C ．?x ∈R ，x 2＋x ≤0
D ．?x ∈R ，x 2＋x ＜0
B [由全称命题的否定是存在性命题知选项B 正确．故选B.] 2．下列命题中的假命题是( ) A ．?x 0∈R ，lg x 0＝1 B ．?x 0∈R ，sin x 0＝0
C ．?x ∈R ，x 3＞0
D ．?x ∈R,2x ＞0
C [当x ＝10时，lg 10＝1，则A 为真命题；当x ＝0时，sin 0＝0，则B 为真命题；当x ≤0时，x 3≤0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，?x ∈R,2x ＞0，则
D 为真命题．故选C.]
3．若“?x ∈??
?
???0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 1 [因为0≤x ≤π4，所以0≤tan x ≤1，又因为?x ∈
???
???0，π4，tan x ≤m ，故m ≥1，即m 的最小值为1.]
4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．
存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是存在性命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]
考点1 全称命题、存在性命题 (1)全称命题与存在性命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加
2012届江苏高考数学填空题1-10
2012届江苏高考数学填空题“精选巧练”1 1. 设函数)(x f 是定义在R 上的以5为周期的奇函数,若3 3 )3(,1)2(2-++=>a a a f f ,则a 的取值范围是_____． 2．如图,平面内有三个向量,,OA OB OC 其中OA 与OB 的夹角为60°,OA 与OC 、OB 与OC 的夹角都为30°,且1OA OB ==,23OC =若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______． 3．奇函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,且(1)0f -=,则不等式 () 0f x x >的解集为_______． 4．在ABC ?中, 已知4,3,AB BC AC ===则ABC ?的最大角的大小为_________． 5．在区间[0,10]上随机取两个实数,,x y 则事件“22x y +≥”的概率为_________． 6．“2=a ”是“函数1)(2 ++=ax x x f 在区间)1[∞+-，上为增函数”的______．（填写条件） 7．若将函数5sin()(0)6y x πωω=+ >的图象向右平移3 π 个单位长度后,与函数sin()4y x πω=+的图象重合,则ω的最小值为_______． 8．已知地球半径为R ,在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两城市,甲在东经70°的经度圈上,乙在东经160°的经度圈上.则甲、乙两城市的球面距离为________． 9．已知偶函数()log ||a f x x b =+在(0,)+∞上单调递减,则(2)f b -与(1)f a + 的大小关系是________． 10．双曲线22 122:1x y C a b -=的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为12,F F ,抛物线C 2的准线为l ,焦点 为F 2,C 1与C 2的一个交点为P ,线段PF 2的中点为M ,O 是坐标原点,则 112|||| |||| OF OM PF PF ==_______． 11．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数,()0,()()()(),g x f x g x f x g x ''≠<(1)(1)5 ()(), (1)(1)2 x f f f x a g x g g -=+=-在有穷数列(){ }(1,2,,10)()f n n g n =…中,任意取前k 项相加,则前k 项和大于63 64 的概率是________． 12．在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c , 且tan B = ,则B ∠=_____． 13．关于函数2()()1|| x f x x R x = ∈+的如下结论：①()f x 是偶函数；②函数()f x 的值域为(2,2)-； ③若12x x ≠,则一定有12()()f x f x ≠；④函数|(1)|f x +的图象关于直线1x =对称； 其中正确结论的序号有__________． B O A C
2019年江苏高考数学试题
2016年江苏数学高考试题 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________________. 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173 x y -=的焦距是________________. 4.已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是________________. 5.函数y ＝232x x --的定义域是________ 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________ 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________
8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________ 9.定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________ 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆 22 22 1( ) x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线 2 b y=与椭圆交于B，C两点，且90 BFC ∠=，则该椭圆的离心率是________ 11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1，1)上， ,10, ()2 ,01, 5 x a x f x x x +-≤< ? ? =? -≤< ? ? 其中. a∈R若 59 ()() 22 f f -=，则f（5a）的值是________ 12. 已知实数x，y满足 240 220 330 x y x y x y -+≥ ? ? +-≥ ? ?--≤ ? ，则x2＋y2的取值范围是________ 13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4 BC CA ?=，1 BF CF ?=-，则BE CE ?的值是________ 14.在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________
江苏省高中数学知识点大全
数学必修一知识点大全 一．集合 1．集合的表示：描述法、列举法 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 如： ①已知集合}23|{},1lg |{2x x y y B x x A --==<=，则B A = ； ② 设集合},5|{},73|{>=<<∈=x x B x N x A 则B A = ； 2．子、交、并、补运算： 数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具 如： ③集合}042|{},032|{2 2 2 ≤-+-=≤--=m mx x x B x x x A （1）若]3,0[=?B A ，求实数m 的值； （2）若B C A R ?，求实数m 的取值范围。 3．含n 个元素的集合的子集数为n 2,真子集数为12-n 4．B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况。 如： ④设}1|{},0232|{2===--=ax x Q x x x P ，若P Q ?，则实数a 为： ；
二．函数概念及基本初等函数： 1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母0≠; 偶次根式被开方数非负; 对数真数0>,底数0>且1≠； 零指数幂的底数0≠；实际问题有意义； 如:（2009江西卷文）函数y =的定义域为: ; ②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域） （1）利用基本初等函数的值域：如函数1 31 -=x y 的值域是： （2）二次函数配方法：如223x x y +-= 的值域是______________. （3）利用函数单调性：如函数x x y 1 -=在]2,1[上的值域是_______________
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
江苏高考数学填空题压轴题精选3
高考压轴题精选 1. 如图为函数()1)f x x = <<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别 交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值围为 ▲ . 解： 2. 已知⊙A ：22 1x y +=，⊙B : 2 2 (3)(4)4x y -+-=，P 是平面一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切 点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ . 解：设)(y x P ，，因为PE PD =，所以22PD PE =，即14)4()3(2222-+=--+-y x y x ，整理得： 01143=-+y x ， 这说明符合题意的点P 在直线01143=-+y x 上，所以点)(y x P ，到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143=-+y x 的距离，为 5 11 3. 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．求n a 与n b ； 解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数， 3(1)n a n d =+-，1n n b q -= 依题意有1363(1)22642(6)64n n nd a d n d a b q q b q S b d q +++-?====? ??=+=? ① 由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1，2，3，6之一， 解①得2,8d q == 故1 32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= 4. 在ABC ? 中，2==?AC AB （1）求2 2 +（2）求ABC ?面积的最大值． ||||2BC AC AB =-=422 2
2019江苏卷数学高考真题【2020新】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 样本数据12,,,n x x x …的方差()2 2 11n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑． 柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积1 3 V Sh = ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I ▲ . 2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ . 4．函数y =的定义域是 ▲ . 5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ . 6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .
7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 8．已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ . 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ . 10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4 (0)y x x x =+ >上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自 然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ， 则 AB AC 的值是 ▲ . 13．已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数. 当2(]0,x ∈ 时，()f x =，(2),01 ()1,122 k x x g x x +<≤??=?-<≤??，其中k >0.若在区间(0，9]上，关 于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．． 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
考点18 函数y=Asin(ωx φ)的图像-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)
考点18 函数y=Asin（ωx+φ）的图像 1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）将函数 的图象向右平移个单位得到函数的图象，则以函数与的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________________． 【★答案★】 【解析】 解：函数的图象向右平移个单位得到函数＝，如下图所示， 点坐标为，之间为一个周期： 所以，三角形的面积为： 故★答案★为： 2．（江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试）将函数的图像向左平移()个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则＝_______． 【★答案★】 【解析】 将函数的图象向左平移φ（）个单位弧，可得y=5sin（2x+2φ+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2?+2φ+=kπ+，求得φ=﹣，k∈Z，令k=1，可得φ=， 故★答案★为：．
3．（江苏省南通市2019届高考数学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，将函数的图象向右平移个 单位得到 的图象，则 的值为______ 【★答案★】 【解析】 由题意得，将函数的图象向右平移个单位，得的图象， 所以 ． 4．（江苏省扬州树人学校2019届高三模拟考试四）若将函数（）的图象向左平 移 个单位所得到的图象关于原点对称，则 __________． 【★答案★】. 【解析】分析：先求得平移后图象对应的解析式，然后再根据函数为奇函数求得． 详解：将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象对应的解析式为 由题意得函数为奇函数， ∴， ∴， 又， ∴ ． 点睛：关于三角函数的奇偶性有以下结论： ①函数y ＝A sin ωx 是奇函数，y ＝A cos ωx 是偶函数． ②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)． ③若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)． 5．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π? ? =+ ?? ?
2020届江苏高考数学应用题专题复习
高三数学应用题专题 1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满 足u ＝? ??100v ＋23，0
2018江苏高考数学填空中高档题专练
2018江苏高考数学填空中高档题专练 2018.5.22 1.等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________． 2.将函数y ＝sin ????2x ＋π6的图象向右平移φ????0＜φ＜π 2个单位后，得到函数f(x)的图象， 若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________． 3.已知函数f(x)＝ax ＋b x (a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y －1 ＝0垂直，且函数f(x)在区间????12，＋∞上单调递增，则b 的最大值等于__________． 4.已知f(m)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是__________． 5.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tanA ＝2tanB ，a 2－b 2＝1 3c ，则c ＝____________． 6.已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则12x ＋x y ＋1 的最小值为____________． 7.设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I 上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反．若函数f(x)＝1 3x 3－2ax 与函数g(x)＝x 2＋2bx 在开区间(a ，b)(a ＞0)上单调性相反，则b －a 的最大值等于____________． 8.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________． 9.已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10.直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________． 11.已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________． 12.将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点????π6，3 2，则φ 的最小值为____________． 13.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO → ＝xAB →＋yAC → (x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________． 14.已知函数f(x)＝e x － 1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________． 15.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为__________． 16.将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝____________．
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的 周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．
2011年江苏省高考数学试卷加解析
2011年江苏省高考数学试卷
2011年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2011?江苏）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________． 2．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________． 3．（5分）（2011?江苏）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________． 4．（5分）（2011?江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________． 5．（5分）（2011?江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _________． 6．（5分）（2011?江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= _________． 7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为_________． 8．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两 点，则线段PQ长的最小值是_________． 9．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）=_________． 10．（5分）（2011?江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则 实数k的值为_________．
11．（5分）（2011?江苏）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 _________． 12．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________． 13．（5分）（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________． 14．（5分）（2011?江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是_________． 二、解答题（共9小题，满分120分） 15．（14分）（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 16．（14分）（2011?江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证： （1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD． 17．（14分）（2011?江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）． （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
江苏省2020高考数学填空题提升练习(10)
2020江苏高考数学填空题 “提升练习”（10） 1、已知函数x x x f +=sin )(，则对于任意实数)0(,≠+b a b a ， b a b f a f ++)()(的 值__________．（填大于0，小于0，等于0之一）. 2、函数34)(2+-=x x x f ，集合}0)()(|),{(≤+=y f x f y x M ，集合 }0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ， 则在平面直角坐标系内集合N M I 所表示的区域的面积是__________． 3、已知21)125sin()12sin(3)12(sin )(2--+-+=πωπ ωπ ωx x x x f )0(>ω在区间]8 ,6[ππ-上的最小值为-1，则ω的最小值为__________． 4、如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个 等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形L ， 如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为 22 ，则最小正方形的边长为__________． 5、实数x,y 满足1+1)1)(1(2)132(cos 222 +--+++=-+y x y x y x y x ,则xy 的最小值 是__________． 6．已知,,A B C 是直线l 上的三点，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足 [2'(1)]OA y f OB =+-u u u r u u u r ln 2 x OC u u u r ，则函数()y f x =的表达式为__________． 7.已知关于x 的不等式 x + 1x + a < 2的解集为P ，若1?P ，则实数a 的取值范围为__________． 8．在数列{a n }中，若对于n ∈N *，总有1n k k a =∑＝2n －1，则21 n k k a =∑=__________． 9．化简()()()???+-+++15cos 345cos 75sin θθθ=__________． 10．已知集合P ={ x | x = 2n ，n ∈N }，Q ={ x | x = 2n ，n ∈N }，将集合P ∪Q 中的所有 元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n }，则数列{a n }的前20项之和S 20 =__________． 11. 已知函数???<≥+=0 x ,10x ,1x )x (f 2, 则满足不等式: )x 1(f 2-)x 2(f >的x 的范围 是__________． 12．设函数f （x ）的定义域为D ，如果对于任意的D x D x ∈∈21,存在唯一的，使 )(2 )()(21为常数C C x f x f =+成立，则称函数f （x ）在D 上均值为C ，给出下列四个函数 ①3x y =，②x y sin 4=，③x y lg =，④x y 2=，则满足在其定义域上均值为2的函数是 __________．
江苏高考数学应用题题型归纳
应用题题型归纳 在备考中,需要重点关注以下几方面问题: 1、掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起重视; 2、加强阅读理解能力的培养,对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强; 3、对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视; 4、应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线,如圆,抛物线等围成的图形;空间旋转体等的面积、体积的最值问题 5、熟悉应用题的解题过程:读题、建模、求解、评价、作答、 一、利润问题 1、某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新与 营销策略改革,并提高定价到．x 元.公司拟投入21(600)6 x -万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．． 之与？并求出此时商品的每件定价. 2某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件,现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5、5元/件到7、5元/件之间,经调查,顾客的期望价格为4元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格与顾客期望价格的差成反比,比例系数为k ,该商品的成本价格为3元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。 (2)设2k a =,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？ 3、近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年 的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0、5、 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能与电能互补供电的模式、 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C (与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的 函数关系就是 ()(0,20100k C x x k x = ≥+)、 记F 为该村安装这种太阳能供 电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之与、 (1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式; (2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值就是多少万元? 4、某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件. (Ｉ)求该连锁分店一年的利润L (万元)与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ;
高考数学填空题100题
江苏省高考数学填空题训练100题 1．设集合}4|||}{<=x x A ，}034|{2 >+-=x x x B ，则集合A x x ∈|{且=?}B A x I __________； 2．设12)(2 ++=x ax x p ，若对任意实数x ，0)(>x p 恒成立，则实数a 的取值范围是________________； 3．已知m b a ==32，且21 1=+b a ，则实数m 的值为______________； 4．若0>a ，94 32= a ，则=a 3 2log ____________； 5．已知二次函数3)(2 -+=bx ax x f （0≠a ），满足)4()2(f f =，则=)6(f ________； 6．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当),0(+∞∈x 时，22)(-=x x f ， 则方程0)(=x f 的解集是____________________； 7．已知)78lg()(2 -+-=x x x f 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是________________； 8．已知函数x x x f 5sin )(+=，)1,1(-∈x ，如果0)1()1(2 <-+-a f a f ，则a 的取值范围是____________； 9．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负数解，则实数a 的取值范围是______________； 10．已知函数)(x f 满足：对任意实数1x ，2x ，当2`1x x <时，有)()(21x f x f <，且)()()(2121x f x f x x f ?=+． 写出满足上述条件的一个函数：=)(x f _____________； 11．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ，则=)(x f ______________； 12．函数1 22)(2+++=x x x x f （1->x ）的图像的最低点的坐标是______________； 13．已知正数a ，b 满足1=+b a ，则ab ab 2 + 的最小值是___________； 14．设实数a ，b ，x ，y 满足12 2=+b a ，32 2 =+y x ，则by ax +的取值范围为______________； 15．不等式032)2(2≥---x x x 的解集是_________________； 16．不等式06||2 <--x x （R x ∈）的解集是___________________； 17．已知???<-≥=0 ,10 ,1)(x x x f ，则不等式2)(≤+x x xf 的解集是_________________； 18．若不等式 2 22 9x x a x x +≤≤+在]2,0(∈x 上恒成立，则a 的取值范围是___________； 19．若1>a ，10<-x b a ，则实数x 的取值范围是______________；
【同步检测】2020届江苏省高考数学应用题模拟试题选编(十二)
2020届江苏高考应用题模拟试题选编（十二） 1、（江苏省淮阴中学2020届高三阶段模拟考试试题）一个拐角处为直角的走廊如图所示，走廊宽2m.，为了美化环境，现要在拐角位置布置一处盆景. 盆景所在区域为图中阴影部分，其中直角边OA ，OB 分别位于走廊拐角的外侧. 为 了不影响走廊中正常的人流走动. 要求拐角最窄处CH 不得小于3 2 m. (1) 若OA=OB=1m ，试判断是否符合设计要求； (2) 若O1=2OB ，且拐角最处恰好为3 2 m 时，求盆景所在区域的面积； (3) 试判断对满足AB ＝5 2 m 的任意位置的A ，B ，是否均符合设计要求? 请说明 理由. （第1题） （第2题） 2、（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟（三）数学试题）杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园．欲在该公园内搭建一个平面凸四边形ABCD 的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中DC ＝4百米，DA ＝2百米，△ABC 为正三角形．建成后△BCD 将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，△ABD 将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域． （1）当∠ADC ＝3 π 时，求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD 的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD 的面积的最大值． 3、（上海市杨浦区2020届高三下学期第二次模拟数学试题）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-； 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.
(完整word版)江苏高考数学填空题压轴题精选3
江苏高考压轴题精选 1. 如图为函数()1)f x x = <<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别 交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ . 解： 2. 已知⊙A ：22 1x y +=，⊙B : 2 2 (3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线， 切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ . 解：设)(y x P ，，因为PE PD =，所以22PD PE =，即14)4()3(2222-+=--+-y x y x ，整理得： 01143=-+y x ， 这说明符合题意的点P 在直线01143=-+y x 上，所以点)(y x P ，到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143=-+y x 的距离，为 5 11 3. 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．求n a 与n b ； 解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数， 3(1)n a n d =+-，1n n b q -= 依题意有1363(1)22642(6)64n n nd a d n d a b q q b q S b d q +++-?====? ??=+=? ① 由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1，2，3，6之一， 解①得2,8d q == 故1 32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= 4. 在ABC ? 中，2==?AC AB （1）求2 2 AC AB +（2）求ABC ?面积的最大值． 解：（1）因为||||2BC AC AB =-=u u u r u u u r u u u r ，所以422 2=+?-AB AB AC AC ，
2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)
2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上） 1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=． 2．命题：“?x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是． 3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为． 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人． 5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．
6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为． 7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程． 8．已知函数的定义域是，则实数a的值为． 9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为． 10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣ a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11 ．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则? 等于． 12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a
（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是． 13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是． 14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图 象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B= （1）若a=2，b=2，求c的值； （2）若tanA=2，求tanC的值． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点． （1）求证：直线EF∥平面BC1A1； （2）求证：EF⊥B1C．
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