2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试题
2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
一、填空题（每小题6份，共60分，本题共10小题，要求直接将答案写在横线上） 1.已知集合
}1|2||{≤-∈=x R x A ，}025|{>--∈=x
x R x B ，则
B A ?= ；
2．图1是一个算法流程图，若输入,1=n 则最终输出的数据是 ；
3．设圆122
=+y x
的一条切线与x 轴、y
轴分别交于点A 、B ，则||AB 的最
小值为 ；
4．已知函数???≥+<=-2
),1(log 2
,2)(32x x x x f x ，若关于x 的方程
m x f =)(有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是
用区间形式表示）
5．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)1(=f ，当0>x 时，)(x f 是增函数，且对任意的x 、R y ∈，都有)(y x f +)()(y f x f +=，则函数)(x f 在敬意[-3,-2]上的最大值是
6．对于,+∈N n 若12+?n
n 是3的整数倍，则n 被6除所得余数构成的集合是 。
7．如图2，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两个动点，且CD ∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD 周长的最大值是
8．如图3，在△ABC 中，AB=3，AC=5，若O 为△ABC 的外心，则BC AO ?的值是
9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= 10．把长为a 的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为
二、解答题（每小题20分，共60分）
11．设,0πα<<,2πβπ<<若对任意的R x ∈，等式)sin()cos(βα+++x x +0cos 2=x 恒成立，试求α、β的值。
12．如图4,已知两点)0,5(-A 、)0,5(B ，ABC ?的内切圆的圆心在直线2=x 上移动。
(1).求点C 的轨迹方程；
(2).过点)0,2(M 作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于P 、Q 两点，且?=0，求证：直线PQ 必过定点。
13．已知函数4
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16)(++=
x x x f ，数列{n a }、{n b }满足01>a ，01>b ，)(1-=n n a f a ，)(1-=n n b f b ，
.3,2 =n
(1).求1a 的取值范围，使得对任意的正整数,n 都有n n a a >+1 (2).若,4,311==b a 求证：1
8
10-≤- 第二试 一、数列}{n a 满足0846,4111=--+=++n n n n a a a a a ，记+∈-= N n a b n n ,2 6 (1)求数列}{n b 的通项公式； (2)求数列}{n n b a ?前n 项和n S 二、如图，PA 、PB 为圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，过点P 的直线交圆O 于C 、D 两点，交弦AB 于点Q ， 求证：QD QC PD PC PQ ?-?=2 三 、 设 ,)3()1(12211n n n n n q p a x a x a x a x x x +++++=-?+--- + ∈N q p ,. (1).若21a a =,求证：n 3是完全平方数； (2)证明：存在无穷多个正整数对),(q p ,使得21a a =. 四、(1)证明：对任意的0,0>>y x 有 )() 1(111112 y x y y x -?+-+≥+； (2)证明：n n n n n n n n n n n C C C C 2 323133133133133222111000+?≥+?+++?++?++? . 参考答案 1.已知集合}1|2||{≤-∈=x R x A ，}025|{>--∈=x x R x B ，则B A ?= ； 2．图1是一个算法流程图，若输入,1=n 则最终输出的数据是 ； 3．设圆122 =+y x 的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则||AB 的最小值为 ； 4．已知函数???≥+<=-2 ),1(log 2 ,2)(32x x x x f x ，若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的实根，则实数m 的取值 范围是 用区间形式表示） 5．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)1(=f ，当0>x 时，)(x f 是增函数，且对任意的x 、R y ∈，都有)(y x f +)()(y f x f +=，则函数)(x f 在敬意[-3,-2]上的最大值是 6．对于,+ ∈N n 若12+?n n 是3的整数倍，则n 被6除所得余数构成的集合是 。 7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB,若半 圆的半径为1,则梯形ABCD周长的最大值是 8．如图3，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为 AO 的值是 △ABC的外心，则BC 9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= 10．把长为a 的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为 二、解答题（每小题20分，共60分） 11．设,0πα<<,2πβπ<<若对任意的R x ∈，等式)sin()cos(βα+++x x +0cos 2=x 恒成立，试求α、β的值。 12．如图4,已知两点)0,5(-A 、)0,5(B ，ABC ?的内切圆的圆心在直线2=x 上移动。 (1).求点C 的轨迹方程； (2).过点)0,2(M 作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于P 、Q 两点，且?=0，求证：直线PQ 必过定点。 13．已知函数4 47 16)(++= x x x f ，数列{n a }、{n b }满足01>a ，01>b ，)(1-=n n a f a ，)(1-=n n b f b ， .3,2 =n (1).求1a 的取值范围，使得对任意的正整数,n 都有n n a a >+1 (2).若,4,311==b a 求证：1 8 10-≤ - 第二试 一、数列}{n a 满足0846,4111=--+=++n n n n a a a a a ，记+∈-=N n a b n n ,2 6 (1)求数列}{n b 的通项公式； (2)求数列}{n n b a ?前n 项和n S 二、如图，PA 、PB 为圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，过点P 的直线交圆O 于C 、D 两点，交弦AB 于点Q ， 求证：QD QC PD PC PQ ?-?=2 三、设p 、a x a x a x a x x x n n n n n q p ,)3() 1(12211+++++=-?+--- + ∈N q . (1).若21a a =,求证：n 3是完全平方数； (2)证明：存在无穷多个正整数对(p,q),使得21a a =. 四、(1)证明：对任意的0,0>>y x 有 )()1(111112 y x y y x -?+-+≥+； (2)证明：n n n n n n n n n n n C C C C 2323133133133133222111000+?≥+?+++?++?++? .