抽象函数的定义域和求值(教师版)

抽象函数的定义域和求值

1、抽象函数的定义域：记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。

所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数。此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则作用下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域，其有三种情况：

（1）已知()f x 的定义域是[],a b ，求()f g x ????的定义域。

该类题目实质上是由不等式()a g x b ≤≤所求x 的取值范围就是()f g x ????的定义域。

例 2：已知函数()f x 的定义域是[]0,9，求函数()2f x 的定义域

解：由题意知：209x ≤≤ 解得：33x -≤≤ 即函数()2f x 的定义域为[]3,3-。

（2）已知函数()f g x ????的定义域是[],a b ，求函数()f x 的定义域。该类型题目的实质是由x 的取值范围所求得的()g x 的取值范围就是函数()f x 的定义域。

例 3：已知函数()32f x +的定义域是(],3-∞，求函数()f x 的定义域。

解：∵3x ≤ ∴39x ≤ ∴3211x +≤ 即函数()f x 的定义域为(],11-∞。

（3）已知函数()f g x ????的定义域是[],a b ，求函数()f h x ?

???的定义域。该类题目的解决方法是：先由函数()f g x ????的定义域求出函数()f x 的定义域，再由函数()f x 的定义域取得函数()f h x ?

???的定义域。

例 4：已知函数()12f x -的定义域是1,52??????

，求函数()2f x -的定义域。 解：∵152

x ≤≤ ∴1021x -≤-≤- ∴9120x -≤-≤ 即函数()f x 的定义域为[]4,9 ∴290x -≤-≤ 解得：解得：33x -≤≤ 即函数()2f x -的定义域为[]3,3-。

1、若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域。 解：要使函数有意义，必须：4343454

3434514111411≤≤-??????≤≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x 2、已知函数()f x 的定义域为[)1,1-，则函数()()()12f x f x f x =-++的定义域为 (]1,2 。

3、设函数)(x f 的定义域是[-3，2]，则函数)2(-x f 的定义域 0,642??+?? 。

4、已知函数()12f x -的定义域为()2,5-，则函数()f x 的定义域为 ()9,5- 。

5、已知函数()23f x +的定义域为(]1,2-，则函数()1f x -的定义域为 (]2,8 。

6、设函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()()21H x f x =+的定义为 {}0 。

题型二：函数的值

1、已知函数)(x f =32x -5x +2，求f (3)= 14 , f (-2)= 852+, f (a+1)= 23a a + 。

2、已知()21f x x x =++，则()

2f f ??=??

1572+ 。 3、已知函数()2f x x px q =++满足()()120f f ==，则()1f -= 6 。

4、已知() 1 00 01 0x x f x x x x ->??==??+

12f f ????= ??????? 12 。 5、已知函数()21f x x x =+-，则()2f = 5 ；若()5f x =，则x = -3或2 。

6、已知()2

1x f x x =+，那么()()()()1111234234f f f f f f f ??????++++++= ? ? ??????? 72 。

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f D P C P A P B

待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；

抽象函数定义域问题的教学反思

抽象函数定义域问题的教学反思 【摘要】抽象函数定义域问题一直是学生学习的难点，如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者从四个方面提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。 【关键词】抽象概念形象化具体化逐步渗透 函数出现在苏教版必修一第二章节，作为高考的必考内容，函数占了相当大的比例和分量，而其中抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是初学时求其定义域，许多同学解答起来总感觉到棘手．所以如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。 1、理解函数概念，追溯问题源头 新课改以来，概念教学的重要性日益提高，李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”但在实际的一线教学中，许多教师并不重视概念教学，一到概念教学就觉得“没意思，没用，难教”等等，往往就走走过场，既没有在概念的背景上下工夫，也不让学生经历概念的概括生成过程，以解题教学代替概念教学。 抽象函数定义域问题归根结底还是要回归到函数概念上。抽象函数通常指一类没有给出具体解析式的函数,其概念是非常简单的形式定义,它的意象表征抽象而又比较灵活,学生理解有相当难度,很难明确概念的内涵,并对概念的本质属性 准确揭示。而抽象概念学习是整个抽象函数的基础,概念不清就谈不上进一步讨论抽象函数的其它问题。一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,其中x叫做自变量,x的取值范围也就是集合A叫做函数的定义域.因此任何函数的定义域都是指自变量x 的取值范围.正是由于定义域中自变量x的首先变化，引起了函数值的变化，所以，函数的定义域确切的说是函数中首先变化的那个量的所有取值组成的集合。 2、抽象知识形象化，激发学生的学习兴趣 本人任教农村中学的高中数学,学生基础较差,接受能力较弱。绝大多数同学学不好数学,在于上课听不懂,对抽象知识难以理解。这就需要教师时时刻刻地站

抽象函数定义域快速理解

抽象函数定义域的求法 抽象函数是指只给出函数的一些性质,而未给出函数解析式的一类函数。 抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活.由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策. 在人教版必修1的教学中涉及到抽象函数定义域的求解，学生普遍感到难以理解，我们从如下方面，并结合例题看看常考题型。 首先让学生明确两点： ①单独看某个函数，定义域一定是指单位x（自变量）的取值范围（无论是已知的定义域还是所求的定义域）——绝对情况。 ②几个函数在一起，函数()Θ Θ，是关于x的表达式） y（其中Φ =f y与函数()Φ =f 中Φ Θ，即括号内Φ Θ，看作整体，它们的范围相同——相对情况。 ? 1、函数f(x)的定义域为[a,b]是指谁的范围 2、函数f(2x+1)的定义域为[a,b]是指谁的范围 3、函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f(2x+1)中谁的范围是[a,b] 4、函数f(2x+1)的定义域为[a,b]，则函数f(x)的定义域为[a,b]对吗 在给学生充分解释这两点的含义之后再让学生做下面的题目组： 1、已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求f(3x-5)的定义域；

2、已知函数f(3x-5)的定义域为[－1，5]，求f(x)的定义域； 3、已知函数f(1-2x)的定义域为[－1，5]，求f(3x-5)的定义域； 4、已知函数f(1-2x)的定义域为[－1，5]，求f(-x)＋f(x2)的定义域； 5、已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求f(1+m)+f(1-m)的定义域。

函数定义域几种类型及其求法

函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1、求函数8315 22-+--=x x x y 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足?????≠-+≥--0 8301522x x x 即???-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。 （一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。 其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。 例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。 解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤- x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x （二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。 其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。 例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。 解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

抽象函数定义域问题

抽象函数定义域问题 这类题往往困扰着高一同学，大家总弄不明白一会x是这个范围，怎么一会又是另一个范围了，在讲解这类题目之前请大家明确3个问题： 1)凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。 2)f( )表示的是同一对应法则，同一对应法则括号里的范围一致 3)f( )与g( )表示不同的对应法则括号里范围不一致 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 函数定义域括号里的范围 F(x) 0≦x≦30≦x≦3 F(3+2x) 3/2≦x≦00≦3+2x≦3易知F(3+2x)的定义域为｛x|3/2≦x≦0｝括号里范围一致 根据括号里范围求x范围定义域是指自变量x的取值范围

【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的 定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 解： 函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(x) -1≦x ≦5 -1≦x ≦5 v 易知F(x)的定义域为｛x|-1≦x ≦5｝ 【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))的定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域. 解：思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(3+x) -4≦x ≦2 -1≦3+x ≦5 v 易知易知F(x)的定义域为｛x|-4≦x ≦2｝ 根据括号里范围求x 范围 括 号 里 范 围一致 定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围 根据括号里范围求x 范围 括 号 里 范 围一致 定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围

(完整版)1求函数定义域类型几方法(word版)

函数定义域的类型及求法 、已知解析式型(所有同学一定要会的) 即给出函数的解析式的定义域求袪，苴解袪是由解析式有意义列出关于自变量的不等 式或不等式组■解此不等式(或组)即得原函数的定义域° Jx 1 - 2x - 1^ 例求函数p 二 _ 的定文域. I - 15 >0 f Y > 5或丫 < -3 解*要使函数有意5C 则必须满足］ ' - 即J ”工+引―8工0 ［工疋5且工工―11 解得r > §或斗< 且里工一11 即口数的定义域为{工r > 5或藍丈-3且工上-11 } o 二、含参问题(很重要) 例乳已知函数$ = J 沁亍一6沁一澈十8的定义境为E 求实数战的取值范围° 分析；函数的定文域为R ，表明他：-6林亠用十S 乙0 ,使一切工E R 都成立，由厂 项的系數是刖，所以应分刪=0或旳黑0进行讨论d 解.讨论. ① 当也二0时，函数的定义域为R ; ② 当用=0时，mx ■ - 6)KX + M ? -F X > 0杲二次不等式，其对一切实数X 都成立的充 综上可知；0 ￡ m 玉1 ° 三、抽象函数(复合函数)的定义域 1已知f(x)的定义域，求f g(x)的定义域 其解法是：若f (x)的定义域为a < x < b ，则在f g(x)中，a < g(x) < b ，从中解得x 的取值范 要条件是.

围即为f g(x)的定义域. 例1 已知函数f(x)的定义域为1,，求f(3x 5)的定义域. 分析：该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f (u)是同一个函数，因此这里是已知 1 < u < 5，即K 3x 5 < 5，求x的取值范围. 4 10 解：Q f(x)的定义域为1,， 1 < 3x 5 < 5，4< x < 10. 3 3 故函数f(3x 5)的定义域为-,10. 3 3 2、已知f g(x)的定义域，求f (x)的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x< n，则由m< x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义域. 2 例2已知函数f(x 2x 2)的定义域为0,3，求函数f(x)的定义域. 分析：令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)， 由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域. 解：由0 < x < 3，得 1 < x2 2x 2 < 5 . 令u x2 2x 2，贝y f (x2 2x 2) f (u)，1< u < 5 . 故f (x)的定义域为1，. 3，已知f g(x)的定义域，求f[h(x)]的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x < n，则由m < x < n确定的g(x)的取值范围即为h(x) 的取值范围，由h(x)的取值范围即可求出f[h(x)]的定义域x的取值范围。 例2 已知函数f(x 1)的定义域为1，，求f(3x 5)的定义域. 分析：令u x 1,t 3x 5，则f(x 1) f(u), f(3x 5) f(t)， f (u), f (t)表示的是同一函数，故u的取值范围与t相同。 解：Q f(x)的定义域为1，，即K x < 5 0 < x 1 < 6。

赋值法解答抽象函数的赋值

赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1 x 1，且x 10、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证：当x>0时，f(1 x )=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数； 解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=1x ，得f(x)+f(1x )=f(x ·1 x )= f(1)=0， ∴当x>0时，f(1 x )=﹣f(x)； (2)设x 1>0、x 2>0且x 11，∴f(x 2x 1)<0，又在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x= x 2，y=1 x 1 ， ∴f(x 2·1x 1)=f(x 2)+f(1x 1).由(1)得，f(1x 1)=﹣f(x 1)，∴f(x 2 x 1 )=f(x 2)﹣f(x 1) <0，∴f(x 2)0时，f(x)>0.试判

定义域和值域的求法

定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

抽象函数定义域的类型与求法.doc

抽象函数定义域 的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难 度，特别是求其定义域时， 许多同学解答起来总感棘手． 下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法． 一、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域 其解法是：若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g( x) 中， a ≤ g ( x) ≤ b ，从中 解得 x 的取值范围即为 f g( x) 的定义域． 例 1 已知函数 f (x) 的定义域为 15， ，求 f (3 x 5) 的定义域． 分析：该函数是由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函数，其中 x 是自变量， u 是中 间变量，由于 f ( x) 与 f (u) 是 同一个函数，因此这里是 已知 1≤ u ≤ 5 ，即 1≤ 3x 5≤ 5，求 x 的取值范围． 解： f ( x) 的定义域为 15， ， 1≤ 3x 5 ≤ 5 ， 4 ≤ x ≤ 10 ． 3 3 故函数 f (3 x 5) 的定义域为 4 10 3 ， ． 3 二、已知 f g( x) 的定义域，求 f (x) 的定义域 其解法是：若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g (x) 的范 围即为 f ( x) 的定义域． 例 2 已知函数 f (x 2 2x 2) 的定义域为 0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域． 分析： 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2 2x 2) f (u) ， 由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域． 解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 2x 2 ≤ 5 ． 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2 2x 2) f (u) ， 1≤ u ≤ 5 ． 故 f ( x) 的定义域为 15， ． 三、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各

专题：函数定义域的求法及常见题型 (定稿)

专题一：函数定义域的求法及常见题型 一、函数定义域求法 （一）常规函数 函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。 例1.求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得或。③ 由②解得或④ ③和④求交集得且或x>5。 故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+∞)。 注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。 例2.求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得③ 由②解得④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。 提示点：③和④怎样求公共部分？ （二）抽象函数 1.有关概念 定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围； 对应法则：通过“工厂”或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数 () y f x = 的对应法则“f”。把

函数 () y f x = 的对应法则“f”看作“工厂”或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应 函数值“y”看作“成品”。该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。 如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。 可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。 （1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。 因为(2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原料x满足[0,4]，变成初步产品2x+1,那么初步产品的限制条件就成了[1,9], 所以f(x)的原材料就是 [1,9]，这样好不好理解？ 值域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间； 显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5； 隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的； 复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。 2.四种类型 题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。 解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域 例题3.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域 解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]， 说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。 强化训练： 1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域； 2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log2x)的定义域； 3.已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。 题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的x。 解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法． 一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域 其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域． 例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?????? ，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤． 令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 三、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各

函数定义域的求法整理(整理详细版)

函数定义域的求法整理 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0x 160x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定

抽象函数定义域的求法

抽象函数的定义域 总结解题模板 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中 b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知 15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033 x ∴ ≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?? ???? ，． 变式训练： 若函数)(x f y =的定义域为?? ????2,2 1，则)(log 2x f 的定义域为 。

1 抽象函数定义域 高中数学 高考

一.定义域问题 总结解题模板 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中 b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1 已知函数()f x 的定义域为[]1 5-，，求(35)f x -的定义域． 分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知 15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]1 5-，，1355x ∴--≤≤，41033 x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033 ?????? ，． 变式训练： 1 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,2 1，则)(log 2x f 的定义域为 。

抽象函数的定义域

抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法． 一、已知f(x)的定义域，求f g(x) 的定义域 其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在f g(x) 中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f g(x) 的定义域． 例1 已知函数f(x)的定义域为15，，求f(3x 5)的定义域． 分析：该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知1≤u≤5，即1≤3x 5≤5，求x的取值范围． 410解：f(x)的定义域为15，，1≤3x 5≤5，3≤x≤3． 410 故函数f(3x 5)的定义域为．33 二、已知f g(x) 的定义域，求f(x)的定义域 其解法是：若f g(x) 的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 例2 已知函数f(x2 2x 2)的定义域为0，3 ，求函数f(x)的定义域．分析：令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)， 由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域．解：由0≤x≤3，得1≤x2 2x 2≤5． 令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)，1≤u≤5．

故f(x)的定义域为15，． 三、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集． 例３若f(x)的定义域为3，5 ，求(x) f( x) f(2x 5)的定义域． 3≤ x≤5，解：由f(x)的定义域为3则(x)必有解得4≤x≤0．，5 ，3≤2x 5≤5， 所以函数(x)的定义域为4，0 ．

抽象函数定义域,值域,解析式

抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中 b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知 15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，4 1033 x ∴≤≤ ． 故函数(35)f x -的定义域为41033 ?????? ，． 例2已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为 ()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。 本题中令2 22u x x =-+，则2 (22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．

抽象函数常见题型解法

如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 抽象函数常见题型解法 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类 函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 目录：一、定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题 七、周期性与对称性问题 八、综合问题 一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[] 11log ,13

关于抽象复合函数定义域的求法

关于抽象复合函数定义域的求法 有同学反映，昨天上数学课讲解的关于定义域的求法，上课听懂了(其实我认为根本没有真正的懂)，但是不会做题，为此我把本节课的内容换个角度（用换元法）讲解一下，希望你能彻底理解。 先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过） 【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间； 【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；； 【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5； 【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的； 【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。 讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数 y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的 g(x)相当于前者的x。 解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域 【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，