微积分之函数、极限与连续
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高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
从极限到微积分
从极限到微积分 第一部分：极限 一、极限概念的发展 分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率□的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础。 之上，从而得到举世一致的公认。 凡本质上与极限概念有关的数学分支统称为分析数学，以区别于完全不用这一概念的代数学。几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。 极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。 首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式 An+1
高等数学竞赛极限与连续真题
高等数学竞赛极限与连续真题 1. 计算：22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 析： ),(08 21144 22 x x x x +-+=+ )(08 1 1124422x x x x +=+-+ 又)(02 3 )](01[)](0211[cos 2222224 x x x x x x e x x +-=++-+- =- 故22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022 22 24 40-=?+-+=??+-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2.计算求n n n n n n n ln )ln ln ( lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 析：n n n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n n n n n n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+ 令,ln t n n =则原式.)11(lim 21 0e t t t t =-++ → 3.计算：)1)1(31211(lim 1n n n -∞→-+++- 析： )21 4121(12131121312112n n n S n +++--+++=- -+-= =n n n n n n ++++++=+++-++++1 2111)214121(22131211 =)11 211111(1n n n n n ++++++
高等数学求极限的常用方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
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【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
微积分-求极限的方法
求极限方法一：直接代入法 例一：（）=24 例二：（）= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。 知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于 方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘） 普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似=（） 下面讲个例 知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式） 例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式） 例六：
知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他） 例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大） 例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零） ） 例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数 分母最高次数项系数 方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式） 例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量） 例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
高等数学-求极限的各种方法
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；
高等数学同济大学版课程讲解函数的极限
课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．
定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1．
(完整版)极限与连续
第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函
微积分求极限的方法2·完整版
专题一 求极限的方法 【考点】求极限 1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目,一般为2-3题１2-１8分左右,而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则与利用定积分的概念求极限,使用这些方法时要注意条件,如等价量代换就是在几块式子乘积时才可使用,洛必达法则就是在0比０,无穷比无穷的情况下才可使用,运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则:归结准则(联系数列与函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、单调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在) 3、 要注意除等价量代换与洛必达法则之外其她辅助方法的运用,比如因式分解,分子有理化,变量代换等等。 4、 两个重要极限0sin lim 1x x x →= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,注意变形,如将第二个式子10lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。 5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结,如: （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限 （2） 函数在某点极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行 解题,如111lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。(当式子中出现绝对值与e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发) （3） 遇到无限项与式求极限时想三种方法: ①瞧就是否能直接求出这个与式(如等比数列求与)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。 (4)如果f(x)/g(x)当x →ｘ０时的极限存在,而当ｘ→x0时g(x)→０,则当x →x ０时f(x)也 →0 (５)一个重要的不等式:sin x x ≤(0x >) *其中方法②③考到的可能性较大。 6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、 闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理) 8、 此部分题目属于基本题型的题目,需要尽量拿到大部分的分数。 【例题精解·求极限的方法】 方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算。 【例1】求极限 11lim 1 m n x x x →--
大学微积分练习题1函数与极限
一、 极限与连续 一、填空题 1、极限=-+∞→x x x x 1sin 2357lim 2 2、若b x a x x =??? ? ?---→421lim 22，则=ab 3、21sin(1)lim 1 x x x →-=- 4、设1,0,(),ln(1),0x e x f x x x x +?≤?=?+>??0x =为)(x f 间断点 5、若03sin()2lim ,23 x mx x →=，则m = 二、选择题 1、“)(x f 在点0x x =处有定义”是“0x x →时，)(x f 有极限”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件 2、下列函数中，（ ）在点0=x 补充定义可成为连续函数 A ．2sin 2)(x x x f = B ．x e x f 1)(= C ．x x f 1sin )(= D ．211)(x x x x f +-= 3、若1619 12)(lim 23-=-+-→x x x f x ，则=)(x f （ ） A ．2+x B ．5+x C ．13+x D ．6+x 4、下列极限中（ ）正确 A ．1sin lim =∞→x x x B ．11sin lim =∞→x x x
C ．11sin 1lim =∞→x x x D ．1sin 1lim =∞→x x x 5、当0→x 时，下列变量（ ）与x 为等价无穷小 A ．x x sin B ．x x sin C ．x x --+11 D ．x x 1cos 三、计算题 1、 221lim ++∞→??? ??-x x x 2 、1lim 1x x →+∞?- ??? 3、 111lim x x x -→ 4、 1 0lim 1+)x x x xe →（ 5、0tan sin lim x x x x →- 6、30tan sin lim sin x x x x →- 7、1 1lim 31--→x x x 8 、4x → 9、3131lim 11x x x →??- ?--? ? 10、已知21lim 51x x ax b x →++=-，求,a b 的值。 四、应用题 1、 设函数1 11)(--=x e x x f ,补充定义)0(f ，使)(x f 在0=x 处连续。 2、求下列函数的间断点，并判断间断点的类型。 1）20 1()21, 121, 2x f x x x x x ??? 3、下列函数中，问k 为何值时，函数()f x 在其定义域内连续。 1) 1sin 0 () 01sin 1 0x x x f x k x x x x ??2) 2sin 2 0()32 0x x f x x x x k x ?
高等数学求极限的16种方法
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
微积分求极限的方法
求极限 方法一：直接代入法 例一：=24 例二：= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。 知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于 方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘） 普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0 的问题。类似= 下面讲个例 知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式） 例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式） 例六： 知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他） 例七：=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）
例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零） 例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为 ） 方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式） 例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量） 例十一：=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
微积分-函数、极限和连续
《微积分初步》单元学习辅导一（函数极限连续） 微积分初步学习辅导（一） ——函数、极限和连续部分 学习重难点解析 （一）关于函数的概念 1.组成函数的要素: (1)定义域:自变量的取值范围D ； (2)对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f . 函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量.因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定.所以说，两个函数相等（即)()(x g x f =）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等.若两者之一不同，就是两个不同的函数. 2.函数定义域的确定 对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定： (1) 函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零； (2) 函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负； (3) 函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零； (4)如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分； (5)对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集. (6)对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域. 3.函数的对应关系 函数的对应关系f 或f （ ）表示对自变量x 的一个运算，通过f 或f （ ）把x 变成了y ，例如152)(3 +-==x x x f y ，则f 代表算式 1)(5)(2)(3+-=f 括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值. （二）关于函数的基本属性 函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性.了解函数的属性有助于我们对函数的研究. 理解函数属性中需要注意下面的问题： 1.关于函数的奇偶性：讨论函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即
微积分测试题一(极限、连续)答案
微积分测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题3分，共21分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 6、设函数1 1()1 x x f x e -= -则（D ）。 A x=0,x=1都是()f x 的第一类间断点. B x=0,x=1都是()f x 的第二类间断点 C x=0是()f x 的第一类间断点，x=1是()f x )的第二类间断点. D x=0是()f x 的第二类间断点，x=1是()f x 的第一类间断点. . D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
且 0 l i m ()x f x →=∞，所以x=0为第二类间断点； 1 lim ()0x f x +→=，1 lim ()1x f x - →=-，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：1 l i m 1 x x x + →=+∞-，1lim 1x x x -→=-∞- 从而 +∞ =-→+ 1 1lim x x x e ， . 0lim 1 1=-→- x x x e 7已知lim( )9x x x a x a →∞+=-，则a =( C ). A.1； B.∞； C.ln 3； D.2ln 3. 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β= 等价，则常 数 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2x f x -= ， 则函数值(0)f 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++ ??+ 5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→ 三、 解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- -- 解：原式=132411111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?= 2、（6分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2 x x x x x x x x x x x x x →→→--===
微积分 求极限的方法
求极限 方法一:直接代入法 例一:=24 例二:= 类似这种您直接把x趋近的值代入到函数里面,就可以直接得到函数的极限了。 知识点1:当x趋近值代入后,分子为0,分母不为0时,函数极限等于0 知识点2:当x趋近值代入后,分子不为0,分母为0时,函数极限等于 方法二:因式分解法(一般就是平方差,完全平方,十字相乘) 普通的就就是分子分母约去相同的项,因为x就是趋近值,所以上下就是可以约去的,不用考虑 0的问题。类似= 下面讲个例 知识点3:=(x-y)() 例三:== 方法三:分母有理化(用于分母有根式,分子无根式) 例四:= 方法四:分子有理化(用于分子有根式,分母无根式) 例五:==1 方法五:分子分母同时有理化(用于分子有根式,分母有根式) 例六:
知识点4:(使用这个知识点时,必须注意只能在x趋近于无穷时使用,且使用时只用瞧各项的最高次数,不用管其她) 例七:=(分子的最高次就是两次,大于分母最高次一次,所以直接得出极限为无穷大) 例八:=0 (分子的最高次就是一次,小于分母最高次两次,所以直接得出极限为零) 例九:(分子的最高次就是一次,等于分母最高次一次,所以直接得出极限为 ) 方法六:通分法(若函数为两个分数相加减时,通常先同分再做处理,一般情况下同分后都要进行因式分解,然后分子分母约去相同的多项式) 例十:- 知识点5:当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时,新函数的极限仍为无穷小。(有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍就是无穷小量) 例十一:=0 函数左边用知识点4得出就是无穷小,右边3+cosx就是有界函数,所以新函数极限为无穷小,即0 所有求极限的题中,代入x趋近值后,若出现或,都可以使用洛必达法则求解极限。