初一数学特训班讲义教师版
第一讲和绝对值有关的问题
一、知识结构框图：
数
二、绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
()
()
() ||0
a a
a a
a a
?
??
=?
?
-
??
当为正数
当为0
当为负数
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）
A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：
| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++
的值（ C ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：
所以
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12
例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程
a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，
所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。
例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．
0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y
x z y z x
2010
2008
1
8
6
1
6
4
1
4
2
1
?
+
+
?
+
?
+
?
()()()()()()
1111
112220072007
ab a b a b a b
++++
++++++
分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2
于是
()()()()()()
1111
112220072007
ab a b a b a b
++++
++++++
2009
2008
2009
1
1
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1
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1
4
1
3
1
3
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2
1
2009
2008
1
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3
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2
1
=
-
=
-
+
+
-
+
-
+
=
?
+
+
?
+
?
+
=
在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，
如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2
-，3与5，2
-与6
-，4
-与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等.
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
分析：点B B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A 与B两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1时，距离为-x-1, 当-1
+
x
（3）结合数轴求得23
x x
-++的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.
分析：2
-
x即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。
)3(3--=+x x 即x 与-3的差的绝对值，
它也可以表示数轴上x 与-3之间的距离。 如图，x 在数轴上的位置有三种可能：
图1 图2 图3
图2符合题意
（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 x<-4或x>-1
分析： 同理1+x 表示数轴上x 与-1之间的距离，4+x 表示数轴上x 与-4之间的距离。本题即求，当x 是什么数时x 与-1之间的距离加上x 与-4之间的距离会大于3。借助
数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，B A - 表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。
四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
2008
2007120072007
2007
2222323=+=++=+++=++a a a a a a a 二、典型例题
例1．若多项式()
x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，
求()[]
m m m m +---45222的值.
分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零
因为()
()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4
将m=4代人，()[]
44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m
利用“整体思想”求代数式的值
例2．x=-2时，代数式63
5
-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63
5
-++cx bx ax 的值。
分析： 因为863
5=-++cx bx ax
当x=-2时，862223
5
=----c b a 得到862223
5
-=+++c b a ， 所以14682223
5-=--=++c b a
当x=2时，63
5
-++cx bx ax =206)14(62223
5-=--=-++c b a
例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932
-+x x 的值. 分析：观察两个代数式的系数
由7532
=++x x 得232
=+x x ，利用方程同解原理，得6932
=+x x 整体代人，42932
=-+x x
代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
例4． 已知012
=-+a a ，求200722
3
++a a 的值.
分析：解法一（整体代人）：由012
=-+a a 得 02
3
=-+a a a
所以：
解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
2008
2007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 由012=-+a a ，得a a -=12
， 所以：
解法三（降次、消元）：12
=+a a （消元、、减项）
2008
200712007
2007)(2007
200722
2222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a
例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？ 分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元） 第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050 第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250 第n 年：A 公司 10000+200(n-1）；
B 公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)
由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元，如不细心考察很可能选错。
例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc
bc
ac ac ab ab c c b b a a x +
++++=
， 则 12
3+++cx bx ax 的值是_______ 。
解：因为abc<0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数，或三个都是负数
又因为a+b+c>0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数。 不妨设a<0，b>0，c>0 则ab<0，ac<0，bc>0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。
同理，当b<0，c<0时，x=0。 另：观察代数式
bc
bc
ac ac ab ab c c b b a a +
++++，交换a 、b 、c 的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a 、b 、c 再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。
规律探索问题：
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始
按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 ____上，
“2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________． 分析：OA 上排列的数为：1，7，13，19，…
观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， 归纳得到，这列数可以表示为6n-5
因为17=3×6-1，所以17在射线OE 上。
因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD 上
例8． 将正奇数按下表排成5列:
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25
根据上面规律，2007应在
A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列 分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1
所以，2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，
所以2007应该在第251行第5列
例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；
②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k
n
2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例
如，取n ＝26，则：
26 13 44 11
第一次
F ② 第二次
F ① 第三次
F ② …
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．
分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F ”的第二种运算，即当n 为偶数时，结果为k
n 2
（其中k 是使k
n 2 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。
449奇数，经过“F ①”变为1352；1352是偶数，经过“F ②”变为169， 169是奇数，经过“F ①”变为512，512是偶数，经过“F ②”变为1， 1是奇数，经过“F ①”变为8，8是偶数，经过“F ②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，
所以，结果是8。
三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
第三讲：与一元一次方程有关的问题
一、知识回顾
一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。 典型例题：
二、典型例题
例1．若关于x 的一元一次方程
2332
x k x k
--+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-13
11
D ．0
分析：本题考查基本概念“方程的解”
因为x=-1是关于x 的一元一次方程
2332
x k x k
--+=1的解，
所以
12313)1(2=--+--?k k ，解得k=-13
11
例2．若方程3x-5=4和方程03
31=--x
a 的解相同，则a 的值为多少？ 分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x ，所以可以解这个方程求得x 的值；第二个方程中有a 与x 两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a 与x 的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x 代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。 解：3x-5=4， 3x=9， x=3 因为3x-5=4与方程 0331=--
x
a 的解相同 所以把x=3代人03
31=--x
a 中 即03
3
31=--a 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2
例3.（方程与代数式联系）
a 、
b 、
c 、
d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d c b a -=.
（1）则2121
-的值为 ；（2）当
185
)1(4
2
=-x 时，x = .
分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，
因为bc ad d c b a -=，所以2121-=2-（-2）=4
（2）由
185
)1(4
2
=-x 得：10-4（1-x ）=18
所以10-4+4x=18，解得x=3
例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖
好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）
A ．
b a a + B ．b a b + C ．h a b
+ D ．h a h + 分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题
解：设墨水瓶的底面积为S ，则左图中墨水的体积可以表示为Sa 设墨水瓶的容积为V ，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb 于是，Sa= V-Sb ，V= S(a+b)
由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为
b
a a
b a S Sa V Sa +=+=)(
例5． 小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6
人买了
饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 分析：“B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B 窗口前的队伍每分钟减少1人，
题中的等量关系为：小李在A 窗口排队所需时间=转移到B 窗口排队所需时间+ 2
1 解：设开始时，每队有x 人在排队，
2分钟后，B 窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2 根据题意，可列方程：
2
16224+-+=x x 去分母得 3x=24+2(x-2)+6
去括号得3x=24+2x-4+6 移项得3x-2x=26 解得x=26
所以，开始时，有26人排队。
课外知识拓展：
一、含字母系数方程的解法：
思考：b ax =是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以b ax =不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 例6．解方程b ax =
解：（分类讨论）当a ≠0时，a
b
x =
当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解
当a=0，b ≠0时，即 0x=b ，方程无解 即方程b ax =的解有三种情况。
例7．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
分析：先解关于x 的方程，把x 用a 、b 表示，最后再根据系数情况进行讨论。 解： 将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4 当2+b0，即b-2时，方程有唯一解b
a x +-=
24
， 当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解， 当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a ≠4时，方程无解， 例 8． 解方程
11x x a b
a b ab
--+-= 分析：根据题意，ab ≠0，所以方程两边可以同乘ab
去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b 去括号，得bx-b-a+ax=a+b 移项，并项得 (a+b)x=2a+2b 当a+b ≠0时，b
a b
a x ++=
22=2
当a+b=0时，方程有任意解
说明：本题中没有出现方程b ax =中的系数a=0，b ≠0的情况，所以解的情况只有两种。
二、含绝对值的方程解法
例9． 解下列方程523x -= 解法1：（分类讨论）
当5x-2>0时，即x>
5
2
， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因为x=1符合大前提x>52
，所以此时方程的解是x=1
当5x-2=0时，即x=52
， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解
当5x-2<0时，即x<52， 5x-2= -3，x=5
1
-
因为x=51-符合大前提x<52，所以此时方程的解是x=5
1
-
综上，方程的解为x=1 或x=5
1
-
注：求出x 的值后应注意检验x 是否符合条件 解法2：（整体思想） 联想：3=a 时，a=±3
类比：523x -=，则5x-2=3或5x-2=-3
解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=5
1
-
例10． 解方程
215
13
x --= 解：去分母 2| x-1|-5=3
移项 2| x-1|=8 | x-1|=4
所以x-1=4或x-1=-4 解得x=5或x=-3
例11． 解方程 121x x -=-+ 分析：此题适合用解法2
当x-1>0时，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=
3
2
因为x=
3
2
不符合大前提x>1，所以此时方程无解 当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解
当x-1<0时，即x<1，1-x=-2x+1，x=0
因为x=0符合大前提x<1，所以此时方程的解为x=0
综上，方程的解为x=0
三、小结
1、体会方程思想在实际中的应用
2、体会转化的方法，提升数学能力
第四讲：图形的初步认识
一、相关知识链接：
1．认识立体图形和平面图形
我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆
2．立体图形和平面图形关系
立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法
（1）画出立体图形的三视图
立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。
（2）立体图形的平面展开图
常见立体图形的平面展开图
圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）
二、典型问题：
（一）正方体的侧面展开图（共十一种）
分类记忆：
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
基本要求：
1. 在右面的图形中是正方体的展开图的有（ C ）
（A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种
2．下图中, 是正方体的展开图是( B )
A B C D
3．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ D ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②④
较高要求：
4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的 一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( A ) A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10
5．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ B ） A ．40 B.38 C.36 D. 34 分析： 由题意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17
所以
a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38
1
2
3
6 4
5
c 84
25b
a
6．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ C ）
A．B．C．D．
7．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ D ）
还原正方体，正确识别正方体的相对面。
（二）常见立体图形的平面展开图
8．下列图形是四棱锥的展开图的是（ C ）
（A）（B）（C）（D）
9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( A )
A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
10．下列几何体中是棱锥的是（ B ）
A. B.C. D.
11．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？
（2）若F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）
答案：（1）F ；（2）C，A
（三）立体图形的三视图
A
．
B
．
C
．
D
．
12．如图，从正面看可看到△的是( C )
13．对右面物体的视图描绘错误的是 （ C ）
14．如图的几何体，左视图是 （ B ）
15．如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个 几何体的小正方体的个数是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （四）新颖题型
16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .
分析：正面—黄，右面—红，上面—蓝，后面—紫，下面—白，左面—绿 所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫 数字和为：4+6+2+5=17
17．观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴ 所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：
共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见……（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有 125 个；（2）猜想并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为____ (n-1)3 ______个. 分析：
1 1=1 0=03
2 8=2
3 1=13 3 27=33 8=23
4 64=43 27=33
D C B A
俯视图
左视图
主视图
C (2)
A D B
n n 3 (n-1) 3
第五讲：线段和角
一、知识结构图
二、典型问题：
（一）数线段——数角——数三角形
问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段
2 1
3 3 =1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4
6 15=1+2+3+4+5 ……
n 1+2+3+ … +(n-1)=
()2
1-n n 问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ D ）个
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
N
拓展：1、 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 ……
n 1+2+3+ … +(n+1)=
()()2
21++n n
类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角
2 1
3 3 =1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4 ……
n 1+2+3+ … +(n-1)=
()2
1-n n
类比联想：如图，可以得到多少三角形？
（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：
文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点
图形语言：M
几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 1
2
AM BM AB ==
，22AM BM AB == 典型例题：
1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ D ）
（A ）AP=
21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2
1
AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 2
1
=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．
其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=1
2
AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ． 分析：据题意画出图形
设QN=x ，则PQ=x ，MP=2x ，MQ=3x ，
所以，MR=23x ，则8
3
423==x x
MN MR
5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）
A 2（a-b ）
B 2a-b
C a+b
D a-b 分析：不妨设CN=ND=x ，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b
因为AD=AM+MN+ND 所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b （三）与角有关的问题
1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，
则∠A OC =____80°或40°________度（分类讨论）
2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，
试证明你的结论． 猜想：_90°______
证明：因为OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线 所以∠MOC=
12∠AOC ，∠CON=1
2∠COB 因为∠MON=∠MOC+∠CON 所以∠MON=12∠AOC +12∠COB=1
2
∠AOB=90°
3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF =
∠，
求BOD ∠的度数．
分析：因为COE ∠是直角，34COF =
∠， 所以∠EOF=56°
因为OF 平分AOE ∠ 所以∠AOF=56°
因为∠AOF=∠AOC+∠COF
所以∠AOC=22°
因为直线AB 和CD 相交于O 点
A
D
B
M
C
N
所以BOD
∠=∠AOC=22°
4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
（1）若∠A = 60°，求∠O；
（2）若∠A =100°，∠O是多少？若∠A =120°，∠O又是多少？
（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）
答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）∠O=90°+1
2
∠A
5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
6．互为余角的两个角（ B ）
（A）只和位置有关（B）只和数量有关
（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关
7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ C ）
A.1
2
（∠1＋∠2） B.
1
2
∠1 C.
1
2
（∠1－∠2） D.
1
2
∠2
分析：因为∠1＋∠2=180°，所以1
2
（∠1＋∠2）=90°
90°-∠2=1
2
（∠1＋∠2）-∠2=
1
2
（∠1－∠2）
D
C
B
A
第六讲：相交线与平行线
一、知识框架
二、典型例题
1.下列说法正确的有( B )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,下列说法不正确的是( D )
A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;
B.点C 到AB 的垂线段是线段AC
C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;
D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 3.下列说法正确的有( C )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;