人教版初中数学一元二次方程知识点总结(含答案)

一元二次方程

一、本章知识结构框图

二、具体内容

（一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). {

（3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： $

(1)开平方法：对于形如n x =2

或)0()(2

≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未

知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.

形如n x =2

的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2

)(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ：

②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；

③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2

)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±

-=，若0

（3）公式法：一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根a

ac b b x 242-±-=

当042

>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当042

=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a

b x x 221-==； 当042

<-ac b 时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42

-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042

≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

—

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0=ab ，则00==b a 或； ②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。

（6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 （三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）?=ac b 42

-

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ） ①当??

?≥?≠时00a ?方程有实数根；（当???>?≠时00a ?方程有两个不相等的实数根；当???=?≠时

00

a ?方程有

两个相等的实数根；） … ②当??

?

00

a ?方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况

①先计算出判别式（关键步骤）；②用配方法将判别式恒等变形；③判断判别式的符号；④总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧

》

（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 （四）、一元二次方程的应用

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（x ），变化的次数（n ），变化后的基数（b ）,这四者之间的关系可以用公式b x a n

=+)1(表示。 4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题

）

（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢

（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜（36岁）

。

(3)已知：c b a ,,分别是ABC ?的三边长，当0>m 时，关于x 的一元二次方程

02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根，求证：ABC ?是直角三角形。

（4）>

（5）

已知：c b a ,,分别是ABC ?的三边长，求证：方程0)(2

22222=+-++c x a c b x b 没有实数根。

（6）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与054442

2=--+-m m mx x 的根都是整数（1=m ）

$

（6）已知关于x 的方程0221

2222

=-+-++m

x x m x x ，其中m 为实数，（1）当m 为何值时，方程没有实

数根（2）当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根求出这三个实数根。 答案：（1）2-

（六）相关练习

（一） ！ （二） 一元二次方程的概念

1．一元二次方程的项与各项系数

把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：

（1）x x 3252

=- )2,3,5(2

--x x

（2）015622=--x x )2,15,6(2

-x x

（3）5)2(7)1(3-+=+y y y )9,4,3(2

--y y （4） m m m m m m 57)2())((2-=-+-+

)3,0,2(2-m

（5）2

2

)3(4)15(-=-a a )5,2,3(2

-a a

:

2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

(1) m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2

=+--是一元二次方程。（2-=m ）

（2）若分式01

8

72=---x x x ，则=x （8=x ）

。

3．由方程的根的定义求字母或代数式值

(1)关于x 的一元二次方程01)1(2

2=-++-a x x a 有一个根为0，则=a （1-=a ）

(2)￥

(3)

已知关于x 的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，

=+-c b a （0，0）

（3）已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032

=-+c x x 的一个根，求方程032

=-+c x x 的根及c 的值。 （0，-3， c=0）

（二）一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程： ）

（1）012552

=-x （5,521-==x x ） （2）289)3(1692

=-x （13

22

,135621=

=

x x ）

（3）03612

=+y （原方程无实根） （4）0)31(2=-m （021==m m ）

（5）~

（6）85

)13(22

=+x （3521±-=x ）

2．配方法解方程：

（1）0522

=-+x x （61±

-=x ） （2）0152=++y y （2

21

5±-=

x ）

\

（3）3422

-=-y y （2

101±

=y ）

3．公式法解下列方程：

（1）2632

-=x x （3

33±=

x ） （2）p p 3232

=+ （321==p p ）

》

（3）y y 1172

= （0,7

11

21==y y ） （4）2592-=n n （原方程无实数根） （5）~

（6）

3)12)(2(2---=+x x x （2

15

3±=

x ）

4．因式分解法解下列方程： （1）094

12

=-x （6±=x ） （2）04542=-+y y （5,921=-=y y ）

,

（3）031082

=-+x x （2

3

,4121-==x x ） （4）02172=-x x （3,021==x x ）

（5）6223362

-=-x x x （3

2,2321==x x ） （6）1)5(2)5(2

--=-x x （621==x x ）

{

（7） 08)3(2)3(2

22=-+-+x x x （1,4,1,2=-=-=-=x x x x ）

5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：

（1）128)72(22

=-x （22

7

±=

x ） （2）222)2(212m m m m -=+-（262±=m ）

,

（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （5

3,221==x x ）

（4）3)13(2)23(332-+-=+y y y y y （2,2

3

21==y y ）

\

（5）2

2)3(144)52(81-=-x x （2

3,102721==x x ）

（

6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）：

（1）022

22=-+-n m mx x (n m x n m x +=-=21,)

（2）12432

2+-=+a ax a x （1,1321+=-=a x a x ）

.

（3）n m nx x n m -=++2)(2

（0≠+n m ） （n

m n

m x x +-=-=21,1 ）

（4）x a x a x x a )1()1()1(2

222-=--+- （讨论a ）

(

（三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况：

（1）4x x x 732

=+-（有两个不等的实数根） （2）x x 4)2(32

=+ （无实数根）

（3）x x 54542

=+ （有两个相等的实数根）

【

2．k 为何值时，关于x 的二次方程0962

=+-x kx （1）有两个不等的实数根 （01≠k ） ,

3．已知关于ｘ的方程m x m x -=+-1)2(42

有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根． (21,221=

==x x m 或2

3,1021===x x m )

4．若方程054)1(22

2=-++++a a x a x 有实数根，求：正整数a. （3,2,1===a a a ）

；

5．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(2

2

2

=++-+m mx x m 无实数根.

%

6．k 为何值时，方程0)3()32()1(2

=+++--k x k x k 有实数根.

（当01=-k 时，原方程有一个实数根，5

4=

x ； ^

当???≥?≠-001k 时，解得??

???-≥≠4211

k k ，所以当421-≥k 且1≠k 时方程有两个实数根。

综上所述，当4

21

-≥k 时，方程有实数根.）

7．设m 为整数，且404<

2

=+-+--m m x m x 有两个相异整数根，求m 的值及方程的根。（当m =12时，方程的根为26,1621==x x ；当m =24时，方程的根为52,3821==x x ）

~

（四）一元二次方程的应用

1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.（3，4，5，面积为6）

:

2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.（84）

3．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册(550, 605)

>

4．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率（不计利息税）（10℅）

：

5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元（20元）

。

6．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距10

2

千米(2分钟后)

-

7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%)

8．如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走，

速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通

过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米时，每个人的位置。（甲离O84米，乙离O13米）东

9．已知关于x 的方程01)1(2

=++-mx x n ①有两个相等的实数根.

(1)求证：关于y 的方程03222

2

2

2

=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。 (2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122

+的值。（14）

10．一次函数6+-=x y 和反比例函数x

k y =

，（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点（2）设（1）中的两个公共点为A 、B ，AOB ∠是锐角还是钝角（09≠