由于
11>a ，当n 充分大时，p
n p n n a n a 1
)1(11>
++， 则01→/p n n a ，从而01→/p n n a ，故级数∑∞
=11
n p
n n
a 发散. 3）当1=a 时， 若1=a ，原级数为1,1
1>∑
∞
=p n
n p
时收敛，1≤p 时发散. 若1-=a ，原级数为∑∞=-1)1(n p n
n
.
该级数在1>p 时绝对收敛；在10≤
k ,则级数∑∞
=+-12
)1(n n
n
n
k （A ）发散; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛; (D) 敛散与发散与k 取值有关.
解 ∑∑∑∞=∞
=∞
=-+-=+-1
1212
)1()1()1(n n
n n n n
n n k n n k ，
显然∑∞
=-12)1(n n n 绝对收敛，而∑∞
=-1
)1(n n
n 条件收敛，则原级数条件收敛，
故应选（C ）.
7.10设常数0>λ，且级数∑∞
=12
n n a 收敛，则级数∑∞
=+-1
2
||)1(n n n
n a λ
.
(A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)敛散性与λ有关. 解 由不等式222b a ab +≤知
)1(21)
1(2222λ
λ
λ
++≤
+=
+-n a n a n a n n n n
. 而∑∞
=1
2
n n a 和∑
∞
=+12
1
n n λ
都收敛，则原级数绝对收敛，故应选（C ）. 例7.11设n
a n 1
0<
≤,(???=,2,1n ),则下列级数中肯定收敛的是 (A) ∑∞
=1
n n a ; (B) ∑∞
=-1
)1(n n n a ;
(C) ∑∞
=1
n n a ; (D) ∑∞
=-1
2
)1(n n n a .
解法1直接法. 由n a n 10<≤知，22
21|)1(|n a a n n n <≤-. 而∑∞
=121n n
收敛，
则级数∑∞
=-1
2
)1(n n n a 肯定收敛，故应选（D ）.
解法2排除法. 1）取n a n 21=，显然n a n 10<<，但∑∑∞
=∞==1
121
n n n n a 发散，
∑∑
∞
=∞
==
1
1
12
1
n n n n
a 发散，则（A ）和（C ）不正确.
2）取???????=,
,21,,21
为偶数当为奇数当n n
n a n
n 显然有n a n 10<≤，但
-+--+-+-=--∞
=∑n a n n n n
412181214121)1(1
21
3
∑∑
∞=∞
=-+-=11
1214121n n n n
， 而∑
∞
=-1
1221n n 收敛，∑∞
=11
n n 发散，则∑∞
=-1
)1(n n n a 发散，则（B ）不正确.
故应选（D ）.
例7.12设级数∑∞
=1
n n u 收敛,则必收敛的级数为
(A)∑∞
=-1)1(n n n
n u ; (B) ∑∞=12
n n u ; (C)∑∞=--1212)(n n n u u ; (D)∑∞=++1
1)(n n n u u .
解法1直接法. 由于∑∞=1
n n u 收敛，则∑∞=+1
1n n u 也收敛. 从而有)(1
1∑∞
=++n n n u u 收敛，
故应选（D ）.
解法2排除法. 1）取n u n
n ln )1(-=，由交错级数的莱不尼兹准则知∑∞
=1
n n u 收敛，
但∑
∑∞
=∞
==-22
ln 1
)1(n n n n
n n n u 发散. 则（A ）不正确. 2）取n
u n n 1
)1(--=，显然∑∞=1
n n u 收敛，∑
∑∞
=∞
==11
2
1
n n n
n
u 发散，则（B ）不正确，而
∑∑∞=∞
=-+
-=-1
1
212)211
21(
)(n n n n n
n u u ，
由于n n n n n 221
2121121=
+≥+-，而∑∞
=1
2
n n 发散，则∑∞=--1212)(n n n u u 发散，（C ）不正确，故应选（D ）.
例7.13设0≠n u ,),2,1(???=n 且1lim =∞→n n u n
,则级数∑∞
=+-+
-11
1)11()1(n n n n u u . (A) 发散; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛; (D) 敛散性不定. 解 由0≠n u ，1lim
=∞→n n u n 知，01
lim 1lim =?=∞→∞→n
u n u n n n n .
令 ∑=+++-=n
k k k k n u u S 1
1
1)11(
)1( )11()1()11()11()11(
1
1433221+++-+-+++-+=n n n u u u u u u u u 11
1)1(1++-+=n n u u ，
则 1
1
lim u S n n =
∞
→. 由级数定义知原级数收敛，但由于
02)(lim 1)11()1(lim
111≠=+=+-+∞→++∞
→n n
n n n n n u n
u n n
u u ， 而∑∞
=11n n 发散，则∑∞
=+++-11
1)11()1(n n n n u u 发散，故原级数条件收敛.
例7.14设∑∞
=-1
2)1(n n
n n
a 收敛,则级数∑∞
=1
n n a .
(A)条件收敛; (B) 绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性不定. 解 由于级数∑∞
=-1
2)1(n n n n a 收敛，由级数收敛的必要条件知02)1(lim =-∞
→n n n n a ，
则数列n n n a 2)1(-有界，即存在0>M ，对一切的n 有M a n n n ≤-|2)1(|，从而有n n M
a 2
||≤
. 而级数∑∞
=12n n M
收敛，则级数∑∞
=1
n n a 绝对收敛，故应选（B ）.
题型四 证明题与综合题
例7.15设级数∑∞
=+-1
1)(n n n a a 收敛, ∑∞
=1
n n b 绝对收敛,证明级数∑∞
=1
n n n b a 绝对收敛.
证 由于级数∑∞
=+-1
1)(n n n a a 收敛，则其部分和数列
1112312)()()(a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-=++
有极限，从而数列}{n a 收敛，由于收敛数列必有界，则存在0>M ，使
),2,1(|| =≤n M a n ，从而有 n n n b M b a ≤，
而∑∞=1
n n b 绝对收敛，则||1
∑∞=n n n b a 收敛，即∑∞
=1
n n n b a 绝对收敛.
例7.16 设极限n n na ∞
→lim 存在,证明级数∑∞
=1
2
n n a 收敛.
证法1由于极限n n na ∞
→lim 存在，则数列}{n na 有界，即存在0>M ，使M na n ≤||，
从而有n M a n ≤|| 因此222n M a n ≤. 而级数∑∞=122n n
M 收敛，则∑∞
=12
n n a 收敛.
证法2由于极限n n na ∞
→lim 存在，不妨设为l ，则l na n n =∞
→lim ，从而有
2
22
lim l a n n
n =∞→，即22
2
1
lim l n a n
n =∞→. 由于级数∑∞
=121n n 收敛，则∑∞
=1
2
n n a 收敛.
例7.17设)(x f 在],[b a 上可导,且1|)(|<≤'h x f ,对一切],[b a x ∈,有
b x f a ≤≤)(,令)(1-=n n u f u ,),2,1(???=n ,其中],[0b a u ∈,证明)(11n n n u u -∑∞
=+
绝对收敛. 证 由于
|||)(||)()(|||1111--+-'=-=-n n n n n n u u f u f u f u u ξ
|)()(|||211----=-≤n n n n u f u f h u u h |||)(|212---'=n n u u f h ξ
||||01212u u h u u h n n n -≤-≤-- ， 而级数∑∞
=1
n n h 收敛，则级数∑∞
=+-1
1)(n n n u u 绝对收敛.
例7.18设21=a ,)1
(211n
n n a a a +=+,),2,1(???=n ,证明 (1) n n a ∞
→lim 存在;
(2) )1(11
-∑∞
=+n n n
a a 收敛.
证（1）因为11
)1(211=?≥+=
+n
n n n n a a a a a ，则n a 下有界. 又
1)11
1(21)11(2121=+≤+=+n
n n a a a ，则}{n a 单调减，由数列单调有界准则知n n a ∞
→lim 存在.
（2）由（1）知11
1110++++-≤-=-≤
n n n n n n n a a a a
a a a ， 记111
1)(+=+-=-=∑n n
k k k n a a a a S ，由于n n a ∞
→lim 存在，n n S ∞
→lim 存在，即级数
∑∞=+-1
1)(n n n a a 收敛，由比较判别法知级数∑∞
=+-1
1
)1(
n n n
a a 收敛. 例7.19设有方程01=-+nx x n ,其中n 为正整数,证明此方程存在唯一正实数
n x ,并证明当1>α时,级数∑∞
=1n n
x α
收敛. 证 令1)(-+=nx x x f n n ，当0>x 时，0)(1>+='-n nx x f n n ，则)(x f n 在],0[+∞ 上单调增，而0)1(,01)0(>=<-=n f f n n ，由此可知方程01=-+nx x n 存在
唯一正实根n x ，由01=-+n n
n nx x 及0>n x 知
a a
n n
n n n
x n n x x 10110<
当1>a 时级数∑∞
=11n a n 收敛，由比较判别法知级数∑∞
=1
n a
n x 收敛.
例7.20设)(x f 在点0=x 的某邻域内具有二阶连续导数,且0)
(lim
=→x
x f x ,证明
级数∑∞
=1
)1
(n n f 绝对收敛.
证法1由于0)
(lim
0=→x
x f x ，则0)0(=f ，且
0)
(lim )0()(lim )0(00==-='→→x
x f x f x f f x x .
由泰勒公式可知
)10(!
2)()0()0()(2
<<''+
'+=θθx x f x f f x f .
由题设可知)(x f ''在包含原点的某个闭区间)0](,[>δδδ上连续，则存在
0>M ，使]),[()(δδθ-∈≤''x M x f ，令n
x 1
=
，当n 充分大时，有212)1(n M n f ≤. 因为级数∑∞=12
1n n 收敛，则级数∑∞
=1
)1
(n n f 绝对收敛. 证法2 由于0)
(lim
0=→x
x f x ，则0)(lim 0=→x f x ，且
)(lim 1
)
(lim )(lim 0000x f x f x x f x x x '='==→→→.
加之)(x f ''的连续性，由洛必达法则知
2)
0(2)(lim 2)(lim )(lim
0020
f x f x x f x
x f x x x ''=''='=→→→ 从而有2|)0(|1)1(lim 2f n
n f n ''=∞→. 由于级数∑∞=121n n 收敛，则级数∑∞
=1
)1(n n f 收敛，即
∑
∞
=1
)1
(n n
f 绝对收敛. 第二节 幂 级 数
1.收敛半径;收敛区间;收敛域. 定理1(阿贝尔定理)
(1) 若∑∞
=1n n
n x a 当)0(00≠=x x x 时收敛，则当||||0x x <时，∑∞
=1
n n n x a 绝对收敛.
(2) 若∑∞
=1
n n
n x a 当0x x =时发散,则当||||0x x >时，∑∞
=1
n n n x a 发散.
定理2 如果ρ=+∞→n
n n a a 1
lim
,则ρ1=R .
定理3 如果ρ=→∞
n n n a ||lim ,则ρ
1
=
R .
2.幂级数的性质:
(1)四则运算性质: 和,差,积,商. (2)分析性质:连续性,可导性,可积性. 3.函数的幂级数展开.
1)定理:设)(x f 在0x x =处任意阶可导,则n n n x x n x f )(!
)
(010)(-∑
∞
=收敛于)(x f ?0)(lim =∞
→x R n n .
2)几个常用的展开式 （1）
;111
2 +++++=-n x x x x
)11(<<-x （2） +++++=!
!212n x x x e n
x
)(+∞<<-∞x
（3） +--++-=--)!12()1(!3sin 1
213n x x x x n n )(+∞<<-∞x
（4） +-++-=-)!
2()1(!21cos 212n x x x n
n )(+∞<<-∞x
（5） +-+
+-=+-n
x x x x n
n 12)1(2)1ln( )11(≤<-x （6） ++--+
+-+
+=+n x n n x x x !
)
1()1(!
2)
1(1)1(2ααααααα
)11(<<-x
题型一 求收敛域
例7.21求下列幂级数的收敛域 (1) ∑∞
=-1!)
1(n n
n
n x n (2) n n n n x n )1()2(31
--+∑∞
=
(3) ∑∞
=--12)1(2)1(n n
n n
x n (4) n n n n x n ∑∞
=-+1
])1(3[
解（1）01
111lim !)!1(1lim lim
1=++=?++=∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n n
n n ，则+∞=R .
故原幂级数收敛域为),(+∞-∞.
（2）n n n n n n n n n n n
n n n n u u )2(3)2(3lim )2(31)2(3lim lim 1
1111-+-+=-+?+-+=++∞→++∞→+∞→ 3)3
2
(1)32
(23lim
=-+--=∞→n
n
n . 或3)3
2
(1lim 3)2(3lim
||lim =-+=-+=∞→∞
→∞
→n
n n n
n
n
n n n n n n
u . 则3
1
=
R . 当311=-x 时，原级数为∑∑∑∞
=∞=∞=-+=-+1111
)32(131)2(3n n n n
n n n n n n ， 由于∑∞
=11n n 发散，∑∞
=-1
1
)32(n n n 收敛，则原幂级数在311=-x 处发散.
当311-=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞
=∞=+-=--+111)3
2(1)1(3)1()2(3n n
n n n
n n n n n n n ，则原幂级数在3
1
1-=-x 处收敛，故原幂级数收敛域为)34,32[.
（3）2
1
2lim
||lim ==∞
→∞
→n
n n n n n u ，由于该幂级数只有偶次项，则2=R . 当21±=-x 时，原级数为∑∞
=-1
)1(n n n 发散.
则原幂级数收敛域为)21,21(+-. （4）n
n
n n n n n
u )1(3lim
||lim -+=∞
→∞
→不存在，而
n n n n n n
n n n
n u u ])1(3[1])1(3[lim lim 111-+?+-+=++∞→+∞→，
由于11lim =+∞→n n n ，且1
])1(3[])1(3[lim 1=-+-++∞→n
n n n n ，但])1(3[lim 1
+∞→-+n n 不存在，则n
n n u u 1
lim
+∞→不存在.
???????=-+=为奇数，
为偶数，
n n
n n n u n
n
n n n ,
2,
4])1(3[ 因此，分别考虑幂级数∑∞
=---11212122k k k x k 和∑∞
=12224k k
k x k
.
容易求得幂级数∑∞
=---11212122k k k x k 的收敛半径211=R ，而幂级数∑∞
=12224k k
k x k
的
收敛半径412=
R ，则原幂级数收敛半径为4
1
. 当41±=x 时，∑∞=---11212122k k k x k 收敛，∑∞
=1
2224k k
k x k 发散，则原幂级数发散，故
原幂级数收敛域为)4
1
,41(-.
例7.22 设幂级数∑∞
=-1
)1(n n n x a 在0=x 收敛,在2=x 发散,则该幂级数收敛域
为____.
解 由于幂级数∑∞
=-1)1(n n n x a 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，由阿贝尔定理知
当|10||1|-<-x ，即1|1|<-x ，原幂级数收敛. 当|12||1|->-x ，即1|1|>-x ，原幂级数发散. 则该幂级数收敛域为).2,0[
例7.23已知∑∞
=-1
)(n n n a x 在2-=x 处条件收敛，则n n a x n )(12-∑∞
=在21
ln =x 处
(A) 绝对收敛 （B ）条件收敛
（C ）必发散 （D ）敛散性由a 确定 （A ）
题型二 将函数展开为幂级数
例7.24将下列函数展开为x 的幂级数.
(1)2
23)(x
x
x f +=
; (2)256512)(x x x x f ---=; (3)x x
x f -+=11arctan )( (4)21ln arctan )(x x x x f +-=
(5) x x x x x f -+-+=arctan 2
1
11ln
41)( (6))21ln()(2x x x f --= (7))1ln()(432x x x x x f ++++= 解
（1）)2,2(,23)1()2()1(232
112
3)(00
1
1222-∈-=-=+
=
∑∑∞=∞
=++x x x x x x
x f n n n n n n
n . （2）∑∑∞=∞
=+-=-++=--+=
00)6()1(116
11
1
1
66)(n n n n n x x x x x x x f ∑∞
=-∈+-=0
)1,1(,
)16)1((n n n n
x x .
（3）)1,1(,)1(11
)(0
22
-∈-=+='∑∞
=x x x x f n n n .
?
∑?∑∞
=∞
=++-=-='=-x
n x
n n n n
n
x x dx x dx x f f x f 0
000
1
2212)1()1()()0()(， 又41arctan )0(π==f ，则)1,1(,
1
2)1(4)(01
2-∈+-+=∑∞
=+x n x x f n n n π
.
（4）?∑∑?∞=+∞=+-=-=+=x n n n n n
n x
n x dx x x dx x 00
12020212)1())1((1arctan ， ∑∞=--=+=+1212
2
)1(21)1l n (211ln n n n n
x x x ，
则 ∑
∑∞=-∞
=+--+-=+-=1
210222
)1(2112)1(1ln arctan )(n n
n n n n n x n x x x x x f )1,1(,
)
22)(12()1(02
2-∈++-=∑∞
=+x n n x n n n .
（5）x x x x x f -+--+=
arctan 2
1
))1ln()1(ln(41)(， ∑∞==--=-++-++='1
44
21111)1(21)1111(41)(n n
x x x x x x f ， ?
?∑∑∞
=+∞
=-∈+==+'=x
x
n n n n
x n x dx x f dx x f x f 0
01
1414)1,1(,14)()0()()(.
（6）)21ln()1ln()]21)(1ln[()(x x x x x f -++=-+=
∑∑∑∞=∞
=++∞
=+-∈--=--+-=11
1111)21
,21(,2)1()2()1()1(n n n n n n n n n n x x n n x n x .
（7）)1ln()1ln(11ln
)1ln()(55
4
3
2
x x x
x x x x x x f ---=--=++++= ∑
∑∞=-∞
=------=1
1151)()1()()1(n n
n n n n n x n x )1,1(,
115-∈+-=∑∑∞
=∞=x n
x n x n n n
n .
例7.25将下列函数在指定点处展开为幂级数. (1)x x f sin )(=在4
π
=x 处; (2)2
31
)(2
++=
x x x f 在1=x 处; (3) 2
)
2(1
)(+=
x x f 在1-=x 处. 解 （1）)]4
cos()4[sin(22]4)4sin[(sin )(π
πππ-+-=+-==x x x x x f
])!
2()4
()1()!
12()4()1([22
21
2∑∑
∞
=∞
=+-
-++-
-=
n n n
n n n n x n x π
π
),(,
!
)4()1(22
2
)
1(+∞-∞∈-
-=
∑∞
=-x n x n n
n n π
.
（2）)
1(31
)1(212111)2)(1(1)(-+--+=+-+=++=
x x x x x x x f
3
111
3121112
1-+
?--+?=
x x ∑∑∞=∞=-----=00)3
1()1(31)21()1(21n n n n n
n x x
∑∞
=++<<---
-=0
1
1
31,)1)(3
12
1(
)1(n n
n n n x x .
（3）))1()1(())1(11
()21()(0
'+--='++-='+-=∑∞
=n n n x x x x f
∑∞
=-<<-+--=1
102,
)1()1(n n n x x n .
例7.26将)1ln()(2x x x f +=展开为x 的幂级数,并求)0()(n f .
解 ∑∞
=--∈-=+1
1)1,1(,
)1()1ln(n n
n x n x x ，
则 ∑∞
=+--=+=1
2
12
)1()1ln()(n n n n x x x x f .
于是n
x 项系数 2
)1(2)1(11--=--=--n n a n n n . 从而有 2!)1()0(2)1(!)0(1)(1)(--=?--=--n n f n n f n n n n . 例7.27 设?????=≠=0,
1 0
,sin )(x x x x x f ,求)0()(n f
解 由于∑∞
=++-=012)!12()1(sin n n n n x x ，则∑
∞=+-==0
2)!12()1(sin )(n n
n n x x x x f . 于是 )!
2()0()!12()1()2(2n f n a n n n
=
+-=，从而12)1()0()
2(+-=n f n n . 012=+n a ，从而0)0()12(=+n f .
题型三 级数求和
例7.27求下列幂级数的和函数
(1) ∑∞
=+1)
1(n n n n x (2) 22121
2-∞
=∑-n n n x n
(3) n n n x n n ∑∞
=+0
2!21 (4) 1
20)!12(1)1(+∞
=∑++-n n n x n n
解 （1）易求得该幂级数收敛域为]1,1[-.
令∑
∞
=-∈+=1]1,1[)
1()(n n
x n n x x S . 当0=x 时，0)(=x S .
当10≤∑∑∑∑∞
=∞
=∞=∞=++---=+-=+=11111
11)1ln(1
)1()(n n n n n n n n n x x x n x n x n n x x S )1ln()11
(1])1ln([1)1ln(x x
x x x x --+=------=，
故 ??
?
??≤<--+==.10),1ln()11
(1,0,
0)(x x x x x S （2）21212lim ||lim =-=∞→∞→n
n n
n n n u ，
则2=R . 当2±=x 时，原级数为∑∞
=-1
21
2n n 发散. 则原级数收敛域为)2,2(-. 令 2
21
212)(-∞
=∑
-=n n n
x n x S ， )2,2(-∈x ， 当0=x 时，2
1
)(=
x S . 当20<(212)(1212112221'='='=-=∑∑∑∑∞=∞=∞
=--∞
=n n
n n n n n n n n n x x x x x x n x S
222
22
2
)2(2)2(2121
x x x x x
x x -+=
'-='?????
?
?
?-?， 故 )2,2(,)
2(2)(2
22
-∈-+=x x x x S .
高等数学第六版课后全部答案
高等数学第六版课后全 部答案 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线 密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课
x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ →0 λ →0
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
高等数学第七章微分方程习题
第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
高等数学第七章测试题(第7版)
第七章测试题 一、填空（20分） 1、5322x y x y x y x =+'+'''是 阶微分方程； 2、与积分方程?=x x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题 是 ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2= （填“是”或“不是”）该微分方程的解； 4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解， 21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 （填“通解”或“解”）； 5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该 方程的通解为： ； 6、方程054=+'-''y y y 的通解为 . 7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为 ； 8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： ； 9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为： ； 10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解： 。 二、（10分）求x x y y =+'的通解. 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y . 四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。 五、（15分）求齐次方程0)1(2)21(=-++dy y x e dx e y x y x 的通解.
六、（15分）求解初值问题：?????='==+''==0,10 1311 x x y y y y . 七、（15分）求方程x y y y 2344-=+'+''的通解.
《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案
第七章 微分方程—练习题参考答案 一、填空题 1. 三阶； 2. 023=+'-''y y y ； 3. 1-=' x y y ； 4. x e 22ln ? ； 5. x x e c e c 221-+； 6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题 1-5:ACDCB; 6-8: CCB; 三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得， 1 1 2 2 -= +x xdx y ydy ， 两边积分得， c x y ln 2 1)1ln(2 1)1ln(2 12 2 +-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得， x y x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令 u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dx du x u ln =+， 变量分离得， x dx u u du = -) 1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln ，或写为1 +=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+ '1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(1 1 c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-= +=+??=??- . （4）解：整理得， x y x x dx dy 1ln 1= +，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2 ln (ln 1)ln (ln 1)1(2 ln 1 ln 1 c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+??=??- ， 代入初始条件1==e x y 得2 1= c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2 1x x y + = . （5）解：将方程两边逐次积分得，12 arctan 11c x dx x y +=+= '? ， 212 1)1ln(2 1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+= ? ，
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
高等数学第七章测试题答案(第7版)
第七章测试题答案 一、填空（20分） 1、5322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程； 2、与积分方程?=x x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是?????=='=0),(0 x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不是”）该微分方程的解； 4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解， 21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 解 （填“通解”或“解”）； 5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该 方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ； 6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=. 7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=； 8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ； 9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ； 10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。 二、（10分）求x x y y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式 )(11C xdx e e y x dx x +??=?-， x C x C dx x x +=+=?2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .
高等数学二第七章
第一讲 §7. 1 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 空间的点??→←--1 1有序数组),,(z y x 二、空间两点间的距离 ),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间两点 由 勾股定理知 ,22 2 2 12 1NM PN P M M M ++= 距离公式： ()()().2 122 122 122 1z z y y x x M M -+-+-= §7. 2 向量及其运算 一、1．向量的概念 向量：既有大小又有方向的量. 向量表示：a 或 21M M 向量的模：向量的大小||a 单位向量：模为1的向量. 零向量：模长为0的向量. 自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a - 2、向量的运算 [1] 加法：c b a =+（平行四边形法则） [2] 减法: )(b a b a -+=- 运算规律： （1）交换律：.a b b a +=+ （2）结合律：c b a c b a ++=++)( ).(c b a ++= （3）.0)( =-+a a [3] 数乘: 向量a 与数λ的乘积a λ规定为 ,0)1(>λa λ与a 同向，||||a a λλ= ,0)2(=λ0 =a λ ,0)3(<λa λ与a 反向，||||||a a ?=λλ 同方向的单位向量， 表示与非零向量 设a a 按 照向量与数的乘积的规定， 0||a a a =?.| |0a a a = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. . 0a b a b a λλ=?≠，使的实数存在唯一 平行于，设定理 运算规律： （1）结合律：)()(a a λμμλ=a )(λμ= （2）分配律：a a a μλμλ+=+)( b a b a λλλ+=+)( a b b -b - c x
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
高等数学第七章微分方程试题及答案
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
高等数学第七章空间解析几何与向量代数试题[1]
第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;(???) A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ??? ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+= -=z y x 的距离是：（ ??? ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ D ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 362 B ）3 6 4 C ）32 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0
高等数学第七章定积分的应用
第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；
（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ?---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 22π 20 2π 20 ππ22 1 d 21d R R R A A =?===? ?θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，
关于高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：
高等数学 课后习题答案第七章
习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0; 在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0; y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1 ）s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M （0，0，14 9）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -
高等数学经典求极限方法
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】) sin 1tan 1(sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 x x x x x x x x x x +++-=+-+→→
(完整版)高等数学第七章向量
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 空间直角坐标系 §7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法 一、判断题。 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =.则=同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若二向量b a ,满足关系b a ??-=a ?+b ? ，则b a ,反向。 （ ） 6． 若 +=+,则 = ( ) 7． 向 量 ,满 足 = ，则 ,同向。 （ ） 二、填空题。 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且|2|a b =，则b 由a 表示为b = 。 6．设,有共同的始点，则以,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。 三、选择题。 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB // OA 且 2 1 a ，OC = b ，则AB = （A ） 2 1 - （B ）21- （C ）-21 （D ）21- 3．设有非零向量,，若a ⊥ b ，则必有
（A+（B+- （C+<-（D+>- 三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直 角三角形。 四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的 点D。 六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
微积分十大经典问题
这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专 业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分 书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。
高等数学基础典型例题解析
高等数学基础典型例题解析 例1 计算极限3 2)1sin(lim 21-+-→x x x x ． 解 利用重要极限1sin lim 0=→x x x ，及极限的运算法则得 )1)(3()1sin(lim 3 2)1sin(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x )1()1sin()3(1lim 1--?+=→x x x x )1()1sin(lim )3(lim 111--?+= →→x x x x x 41141=?= 例2 计算极限12 76lim 223+---→x x x x x ． 解 利用极限的运算法则得 5)4(lim )2(lim )4)(3()2)(3(lim 1276lim 3 33223-=-+=--+-=+---→→→→x x x x x x x x x x x x x x 例3 设x y x ln e sin -=，求y '． 解 利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 )(ln )e (sin )ln e (sin '-'='-='x x y x x x x x 1e c o s e -= 例4 设2cos x x y =，求y '． 解 利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 )(cos cos )cos (222'+='='x x x x x y )(s i n s i n 222'-=x x x x 2 22s i n 2s i n x x x -= 例5 计算?x x x d e 21． 解 利用换元积分法得 ???-=--=)1d(e d e 1d e 11221x x x x x x x x c u u u u x +-===?=e d e 1c x +-=1 e
