高中数学常用公式及结论
高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x ∈?? A A ??≠??
2德摩根公式 :();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C == 3包含关系 A B ??
A B A A B B
=?= U U C B C A ??U A C B ?=Φ
U C A B R ?=
5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有
21n -个；非空的真子集有22n -个
6二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2)顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）
(3)零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为
12(,0),(,0)x x 时，设为此式）
（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+当已知抛物线与直线
y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时，设为此式）
8方程)0(02≠=++a c bx ax 在),(21k k 内有且只有一个实根,等价于
12()()0f k f k <或122240
b k k a
b a
c ?
<-
二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a
b
x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)
当
a>0时，若
[]q p a
b
x ,2∈-=，
则
{}m
i
n m a x
m
a
x
(
)
(),()
()
,()
2b
f x f f x f p
f q a
=-=；
[]q p a
b
x ,2?-
=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{min min ()(),()f x f p f q = (2)当a<0时，若[]q p a
b
x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =， 若[]q p a
b
x ,2?-=，则{}m a x ()m a x (),()f x f p f q =，{min ()min (),()f x f p f q =18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数
19常见函数的图像：
24两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数(y f =-0(即y 轴)对称
(2)函数()y f mx a =-与函数y =2a b
x m
+=对称
30分数指数幂
(1)m
n a =0,,a m n N *>∈(2)1
m n m n
a a -=（0,,a m n N *>∈31．根式的性质
（1）n =
（2）当n a =；
当n ,||,a a a a ?==?-?
32．有理指数幂的运算性质
(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈
(2) ()(0,,r s rs a a a r s Q =>∈(3)()(0,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈注： 若a ＞0，p 33指数式与对数式的互化式: log 0,1,a N ≠>
数的换底公式 :log a N =
1a ≠,0m >,且1m ≠,
0N >)
对数恒等式：log a N a N =(0a >推论 log log m n a a n
b b m
=(0a >,35．对数的四则运算法则:若a ＞，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+log a M N -;
(3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,m n a a n
N N n m R m
=
∈38 平均增长率的问题（负增长时0p <）
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有
(1)y N p =+
45同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θ
cos sin ，tan 1cot θθ?=48二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=21tan α
=+
2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22
1tan α
=+2tan 21tan αα=-221cos 21cos 2sin ,cos 22
αα
αα-+==
57实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a
;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa
;
(3)第二分配律：λ(a +b )=λa
+λb 58向量的数量积的运算律：
(1) a ·b
= b ·a （交换律）;
(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a
·（λb ）;
(3)（a +b ）·c = a ·c
+b ·c 59平面向量基本定理
如果1e 、2e
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，
有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e
．
不共线的向量1e 、2e
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则a b
(b ≠0 )1221x y x y ?-=
53 a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ 61 a ·b
的几何意义：
数量积a ·b 等于a 的长度|a
|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62平面向量的坐标运算
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b
=1212(,x x y y ++
(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b
=1212(,x x y y --
(3)设A 11(,)x y ，B
22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--
(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa
=(,x y λλ
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b
=1212(x x y y +
63两向量的夹角公式
cos ||||a b a b θ?==? (a
=11(,)x y ,b =22(,)x y )
64平面两点间的距离公式
,A B d =||AB =
=11(,)x y ，B 22(,)x y )
65向量的平行与垂直 ：设a
=11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则
a ||
b ?b =λa
1221x y x y ?-=
a ⊥
b (a ≠0 )? a ·b
=01212x x y y ?+= 67三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心
的坐标是12
3123
(,33
x x x y y y G ++++ 68点的平移公式 ''''
x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-????
'
'OP OP PP ?=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''
(,)P x y ，且'
PP
的坐标为(,h k
69“按向量平移”的几个结论
（1）点(,)P x y 按向量a
=(,)h k 平移后得到点'(,P x h y k ++
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a
=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h =-+
(3) 图象'C 按向量a
=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'
C 的函数解析式为()y f x h =+-
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a
=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)f x h y k --=(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m
=(,x y 70 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ?的外心222
OA OB OC ?== （2）O 为ABC ?的重心OA OB OC ?++=
（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC ??=?=?
（4）O 为ABC ?的内心aOA bOB cOC ?++=
（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+
76指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,
()()
()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0
()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??>?
(2)当01a <<时,
()()
()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0
()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??
77斜率公式
2121
y y
k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）
102二次函数2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241
(,
)24b ac b a a
-+-； 115空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a
．
(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a
＋(b ＋c )．
(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa
＋λb ．
高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用)
抛物线的几个常见结论 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2 124 p x x =，212y y p =-。 证明：因为焦点坐标为F(2 p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2p y k x =-， 由2()22p y k x y px ?=- ?? ?=? 得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242 121222244 y y p p x x p p p =?==。 当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2 p x =，则1y p =，2y p =-，∴2 12y y p =-，同上也有：2124p x x =。 例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。 结论二：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2 p y k x =- 由2()22p y k x y px ? =-?? ?=? 得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-， ∴12AB y -=2222 22(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα ++===。 易验证，结论对斜率不存在时也成立。 （2）由（1）：AB 为通径时，90α= ，2 sin α的值最大，AB 最小。 例：已知过抛物线2 9y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切 （2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，
精双曲线中常见结论
双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （
例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线 交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（ ） A ．3 B ． 3 1 C ．3或 3 1 D ．以上都不对
椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？
高中数学公式大全(必备版)
高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐
高中数学常用公式及结论
高考数学常用公式及结论200条 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
初中抛物线常见结论汇总(教师版)
初中抛物线常见结论汇总（教师版） 1. （唯一交点或最值） （1）已知抛物线y=x 2－2x －3，过点D （0,-4）求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。 (判别式) （2）已知抛物线y=x 2－2x －3，在第四象限的抛物线上求点P ，使四边形ACPB 的面积最大。 2. (焦点—准线：顶点上下14a 个单位)已知抛物线y ＝12 x 2－x ＋1，直线过点P （1，1）与抛物线交于A 、B 。过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。 （1）连PM 、PN ，求证：△PMN 为直角三角形； （2）①求证：AB ＝AM+BN ；②求1AP ＋1BP 的值。 （3）已知点D （1，0），求证：DP 经过△AB D 的内心。 3. 如图，抛物线y ＝12x 2﹣x －32 顶点为D ，对称轴上有一点E （1，4），在抛物线上求点P ，使∠EPD=90°。 4. （定直角特殊点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点构成以O 点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。（定点：顶点向上平移1/a 个单位长度）
5. （定直角特殊点——半特殊）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，交点C 向上平移t 个单位长度到D ，过D 作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠ECF＝90°。求t 与a 的关系。 6. （定直角特殊点——一般）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点P （m,n ）为抛物线 上任意一点，过D （0，n+t ）作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠EPF＝90°。求t 与a 的关系。 7. （纵向平分对称点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点为A 、B ，在对称轴负半轴上有点Q （0，-2），且∠AQB 被对称轴平分，求P 点坐标。 8. （纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y ＝x 2-x －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点D 和点C 关于对 称轴对称，MN ∥AD ，交抛物线于M 、N ，直线MD 、ND 分别交y 轴于E 、F 。求证：CF ＝CE 。
抛物线常用性质总结
结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。 结论二：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p + 。 结论三：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
证明结论二： 例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+ ，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。 则：212 121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =22 2()424 AB p p p p AB p =+-+（常数 证明：结论四： 已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 切。 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB = +=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切 （2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN= 1 2 （∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1 2 MP NP FP MN ===， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB
椭圆与双曲线的必背的经典结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
高中数学常用公式汇总整理
高中数学常用公式汇总及结论 1 、元素与集合的关 系： 2 、集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 3 、二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式： (2) 顶点式：（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式） (3)零点式：（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式） （4）切线式：。（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时， 设为此式） 4、真值表：同真且真，同假或假 5 、常见结论的否定形式;
6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 充要条件： (1) 则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件； （2）且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；（4）p ≠> p ，且则P是q的既不充分又不必要条件。 7、函数单调性: 增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。 （2）数学符号表述是：设f（x）在上有定义，若对任意的，都有成立， 则就叫在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有 成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性： 等价关系： (1)设，那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。
高中数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=，
抛物线的常见结论
抛物线的常见结论 一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式 2122122124)(11x x x x k x x k l -+?+=-+=， 其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。 2122122124)(11y y y y m y y m l -+?+=-+=，其中弦长所在直线 方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。 2. 抛物线的焦点弦 对于抛物线，022 >=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有： ①2212 21,4 p y y p x x -==A B F C D O α
由?????+==222p my x px y 得0222=--p pmy y （＊） ，因此?? ???==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长 p x x AB ++=21，焦点弦长α 2 sin 2P AB = α αsin 4)(sin 212212 1y y y y y y AB -+= -=，结合（＊）式与αtan 1 =m 得： α ααααααααα sin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 442 22222 222 22+= +=+= += p p p p p m p AB α αα22sin 2sin sin 1 2p p == ③ P BF AF 211=+ 简单证明如下:p p p y y p y y P BF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积α sin 22 P S = 简单证明如下：以 AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为： α αααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB =??== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切 b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB. c. 以CD 为直径的圆与AB 相切 d. A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，?=∠90CFD e. 以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，
数学常用公式精致版
MBA 数学常用公式 初等数学 一、初等代数 1. 乘法公式与因式分解： （1） 222 )2a b a ab b ±=±+（ （2） 2222)222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（ （3）22()()a b a b a b -=-+ （4） 33223)33a b a a b ab b ±=±+±（ （5）3322()()a b a b a ab b ±=±+ 2. 指数 （1）m n m n a a a +?= （2）m n m n a a a -÷= （3）()m n mn a a = （4）()m m m ab a b = （5）()m m m a a b b = （6）1m m a a -= 3. 对数（log ,0,1a N a a >≠） （1）对数恒等式 log a N N a =，更常用ln N N e = （2）log ()log log a a a MN M N =+ （3）log ()log log a a a M M N N =- （4）log ()log n a a M n M = （5 ）1log log a a M n = （6）换底公式log log log b a b M M a = （7）log 10a =，log 1a a = 4.排列、组合与二项式定理 （1）排列 (1)(2)[(1)]m n P n n n n m =--???-- （2）全排列 (1)(2)321! n n P n n n n =--?????=
l O b b a A C （3）组合 (1)(2)[(1)] ! !!()!m n n n n n m n C m m n m --???--==- 组合的性质： （1）m n m n n C C -= （2）1 11m m m n n n C C C ---=+ （3）二项式定理 01111n n n n n n n n n n C a C a b L C ab C b ---=++++n （a+b) ● 展开式特征： 1）11,0,1,...,k n k k k n k T C a b k n -++==通项公式：第项为 2）1n +项数：展开总共项 3）指数： 1100;a n b n ???→???→逐渐减逐渐加的指数：由； 的指数：由各项a 与b 的指数之和为n 4）展开式的最大系数： 212132n n n n C n C +++n 当n 为偶数时，则中间项（第项）系数最大 2n+1当n 为奇数时，则中间两项（第和项）系数最大。 2 ● 展开式系数之间的关系 1）n r n C -=r n C ，即与首末等距的两相系数相等。 1 2.2n n n n n C C C ++=），即展开式各项系数之和为2n 0241 35 132,n n n n n n n C C C C C C -++=++=）即奇数项系数和等于偶数项系数和 二、平面几何 1. 图形面积 （1）任意三角形 11sin 22S bh ab C == (2)平行四边形：sin S bh ab ?== (3)梯形：S ＝中位线×高＝1 2（上底＋下底）×高 （4）扇形： 21 1 22S rl r θ== 弧长 l r θ=
高中数学常用公式及知识点总结
高中数学常用公式及知识 点总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
高中数学常用公式及知识点总结 一、集合 1、N 表示N+(或N*)表示Z 表示 R 表示Q 表示C 表示 2、含有n 个元素的集合，其子集有个，真子集有个，非空子集 有个，非空真子集有个。 二、基本初等函数 1、指数幂的运算法则 m n a a =m n a a ÷=()m n a =()m a b = n m a =m a -=()m ab = 2、对数运算法则及换底公式（01a a >≠且，M>0,N>0） log log a a M N +=log log a a M N -=log n a M = log a N a =log a b =log a a = log log a a a b =1log a = 3、对数与指数互化：log a M N =? 4、基本初等函数图像
（3）幂函数的图像和性质 三、函数的性质 1、奇偶性 （1）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=，则()f x 为函数，图像关于对称； （2）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=-，则()f x 为函数，图像关于对称； 2、单调性 设1122,[,],x a b x x x <∈，那么 12()()0()[,]f f f x x a b x --） 12()()0()[,]f f f x x a b x ->?在上是函数。（即 1212 ()() 0f x f x x x -<-） 3、周期性 对于定义域内任意的x ，都有()()f x T f x +=，则()f x 的周期为； 对于定义域内任意的x ，都有1 () ()()()f x f x T f x +=-或 ，则()f x 的周期为； 四、函数的导数及其应用 1、函数()y f x = 在点0x 处的导数的几何意义
抛物线的有关结论
探索与研究 圆锥曲线中抛物线的有关结论 山东省德州市实验中学 肖成荣 由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2 ( p F 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2 ( p F ，2||1p x AF +=； 2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上， 且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ 2 sin 2||p AB = （θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）； 3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。 （1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. （2）三直角：① ∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =24 3 p -=?； ②n BF m AF ==,mn GF =||. ③22sin AOB p S θ ?= 二、点)0,(p D 处的结论 例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？ 结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点， )0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物 线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论 B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则 ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程； ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ?面积的最小值. 结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ?直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=. 四、准线上的有关结论 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切 线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。反过来， 准线上任意一点做抛 物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。
双曲线中常见结论
双曲线中常见结论: 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线得距离c b 2,中心到准线得距离c a 2 12
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)与122 22=-b y a x 有相同得渐近线与相同得离心率。 9、P 为双曲线上一点,则21F PF ?得面积为S=θ θ cos sin b -12
离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （ 例(湖南卷)已知双曲线22a x －22 b y ＝1(a ＞0,b ＞0)得右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A, △OAF 得面积为2 2 a (O 为原点),则两条渐近线得夹角为 (D )
A.30o B.45o C.60o D.90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 得离心率为2,则n m 得值为( ) A.3 B. 3 1 C.3或 3 1 D.以上都不对 椭圆得几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程得讨论,使学生掌握椭圆得几何性质,能正确地画出椭圆得图形,并了解椭圆得一些实际应用. (二)能力训练点 通过对椭圆得几何性质得教学,培养学生分析问题与解决实际问题得能力. (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质得基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程得关系概念得理解,这样才能解决随之而来得一些问题,如弦、最值问题等. 二、教材分析 1.重点:椭圆得几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生利用方程研究曲线得性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率得概念得理解. (解决办法:先介绍椭圆离心率得定义,再分析离心率得大小对椭圆形状得影 响,最后通过椭圆得第二定义讲清离心率e 得几何意义.) 3.疑点:椭圆得几何性质就是椭圆自身所具有得性质,与坐标系选择无关,即不 随坐标系得改变而改变. (解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、教学过程
高中数学常用公式(超级实用).
【高中数学常用公式】 说明： 1.本篇所有公式都是用公式编辑器录入。 2.域的概念:本篇的公式都是通过域来实现的，一个{ }就是一个域，在大括号内输入所需的功能代码后按Shift+F9即可得到公式。 3.快捷键 Ctrl+F9添加域 Shift+F9更新域（得到公式） 4.可对所有公式进行复制、粘贴、修改。双击即可在公式编辑器中进行编辑。如不能编辑请安装最新版的公式编辑器。 5.可收藏备用，绝对高效。 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学公式大全(文科)
高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 2 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集 有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2) 顶点式2 ()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时， 设为此式） （4）切线式：02 ()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的 横坐标为0x 时，设为此式） 4 真值表： 同真且真，同假或假 5 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件； （2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件； 4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。 6 函数单调性: 增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
抛物线的几个常见结论及其用
抛物线的几个常见结论及其应用 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可 迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦(过焦点的弦)， 2 且A(x i,yy)，B(x2,y,)，贝卩：)xx2 —，y『2 p2。 4 例：已知直线AB是过抛物线y2 2px(p 0)焦点F, 求证：1 1为定值。 |AF| |BF| 结论二：(1)若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a, 则AB2p(aM 0)。( 2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线sin 2 对称轴的弦)最短。 例：已知过抛物线y2 9x的焦点的弦AB长为12,则直线AB 倾斜角为。AB倾斜角为—或乙。 3 3 结论三：两个相切：(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 (2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 例：已知AB是抛物线寸2px(p 0)的过焦点F的弦，求证：(1 )以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A、B做准线的垂线， 垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆 与直线AB相切。
结论四：若抛物线方程为y22pxp 0),过(2p , 0)的直线与之交于A B两点, 则OAL OB反之也成立。 结论五：对于抛物线x2 2py(p 0),其参数方程为％2pt；设抛物线x2 2py上动y 2 pt2, 点P坐标为(2pt,2p『),O为抛物线的顶点，显然心欝t，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率. 例直线y 2x与抛物线y2 2px(p 0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB 和OA垂直，且线段AB长为5 13，求P的值. 解析：设点 A B 分别为(2pt A2,2pt A),(2pt B2,2pt B), 贝S t A 占1, t B 占k oA 2 . k OA 2 k OB A B的坐标分别为 2, p ,(8p, 4p) .|AB J 8p p (p 4p)2 I屆p 5厢./? p 2 . 练习： 1?过抛物线y ax2(a 0)的焦点F作一直线交抛物线于P, Q两点，若线段PF与FQ的长分 别是p, q,则丄1二 _____________________________ 故丄14a】 p q p q 2?设抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A B两点.点C在抛物线的准线上，且BC // x轴. 证明直线AC经过原点O . 【证明：抛物线焦点为F卫,0 .设直线AB的方程为x my卫, 2 2，代入抛物线方程，得y2 2 pmy p2 0 .若设A(X1 , y" , B(X2, y2), 则yy p2. T BC // x轴，且点C在准线k CO也； y1 又由y2 2pX1 ,得k AO上空，故k CO k AO ,即直线AC经过原点O .] 为y1 3?已知抛物线的焦点是F(1,1)，准线方程是x y 2 0，求抛物线的方程以及顶点坐标