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高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?

2 集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n -个.

3 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2) 顶点式2

()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）

(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）

（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0

x 时，设为此式）

4 真值表：同真且真，同假或假

.）

充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；

（2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件；（4）、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()

f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212,,x x D x x ∈<且，

都有

12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

(1)设[]

1212,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 .

偶函数：定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数；（2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性：

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；

（2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ；

(3)、1

()()

f x m f x +=-

，此时周期为2m 。 10常见函数的图像：

11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

a x +=

;两个函数)(a x f y +=与)

(x b f y -= 的图象关于直线2

b a

x -=

对称. 12 分数指数幂与根式的性质： (1)m n

0,,a m n N *>∈，且1n >）.

（2）1m n

m n

a a

（0,,a m n N *

>∈，且1n >

）.

（3）n

a =.

（4）当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥?==?-

13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 指数性质： (1)1、1p p a a

；（2）、01a =（0a ≠）； (3)、()mn m n

a a = (4)、(0,,)r

r s

a a a a r s Q +?=>∈ ； (5)、m n

a = ；

指数函数：

(1)、 (1)x

y a a =>在定义域是单调递增函数；

（2）、 (01)x

y a a =<<在定义域是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1）对数性质：

(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a

M M N N

-= ； (3)、 log log m

a a

b m b =? ；(4)、 log log m n a a n

b b m

? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 log a b a b = 对数函数：

(1)、 log (1)a y x a => 在定义域是单调递增函数；

（2）、log (01)a y x a =<<在定义域是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或

(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x

N a

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

对数恒等式：log a N a N =(0a >,且1a ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n

b b m

(0a >,且1a ≠, 0N >). 15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m

n a a n

N N n m R m

=∈。

16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x

y N p =+. 17 等差数列：

通项公式：（1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

（2）推广： ()n k a a n k d =+-

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：（1）1()

n n n a a S +=

；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。（2）1(1)

n n n S na d -=+

（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）（4）12n n S a a a =++

+ （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；

注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、m 、p 成等差。（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

（4）、,,0p q p q a q a p a +===则；（5） 1+2+3+…+n=

)

1(+n n 等比数列：

通项公式：（1） 1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

?∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。（2）推广：n k

n k a a q -=?

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）

（2）12n n S a a a =++

+ （注：该公式对任意数列都适用）

（3）1

1(1)(1)

(1)

1n n na q S a q q q =??

=-?≠?-?

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ?=? ；

注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2

m n p a a a =??n 、m 、p 成等比。

（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ?为等比数列。

18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1

n n

ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 19三角不等式：

（1）若(0,)2

x π

∈，则sin tan x x x <<.

(2) 若(0,

x π

∈

，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.

20 同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=

cos sin ， 21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±=

sin cos a b αα+)α?+

(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a

?= ). 23 二倍角公式及降幂公式

sin 2sin cos ααα=22tan 1tan α

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan α

+. 22tan tan 21tan ααα=

-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα

ααα-==

+ 221cos 21cos 2sin ,cos 22αα

αα-+==

24 三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||

T π

ω=

；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||

T πω=

. 三角函数的图像：

25 正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=

26余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.

27面积定理：

（1

）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.

(3)OAB S ?=2,2

a b c S r r a b c ?

??+==

++斜边内切圆直角内切圆－ 28三角形角和定理

：

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B

π+?

222()C A B π?=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;