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四川省成都市航天中学等差数列单元测试题含答案百度文库

一、等差数列选择题

1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（） A ．9

B ．12

C ．15

D ．18

2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足

122527

n n

a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）

A ．6-

B ．2-

C ．1-

D ．0

3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ．

两 B ．

845

两 C ．

865

两 D ．

885

两 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45

B ．50

C ．60

D ．80

5．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了

3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米

6．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -

B ．

n - C ．

3122

n - D ．

n + 7．已知数列{}n a 的前n 项和2

21n S n n =+-，则13525a a a a +++

+=（）

A ．350

B ．351

C ．674

D ．675

8．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12

a b =（） A ．

B ．

7059

C ．

7159

D ．85

9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（） A ．7

B ．12

C ．14

D ．21

10．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（） A ．

尺布 B ．

尺布 C ．

尺布 D ．

尺布

11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（） A ．10

C ．64

D ．4

12．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．

B ．2

C ．8

D ．13

13．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9

S a =（） A ．9 B ．5 C ．1 D ．

14．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）

A ．7

B ．9

C ．21

D ．42

15．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（） A ．13

B ．26

C ．52

D ．56

16．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(

111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）

A ．0m S <且10m S +>

B ．0m S >且10m S +>

C ．0m S <且10m S +<

D ．0m S >且10m S +<

17．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36

B ．48

C ．56

D ．72

18．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23

，且

11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(

)n －1

B ．(

23)n C ．

n + D ．

n + 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：

①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60

B ．120

C ．160

D ．240

二、多选题

21．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >

B ．130S >，140S <，则78a a >

C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12S

D ．若2

n S n n a =-+，则0a =

22．设数列{}n a 的前n 项和为*

()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是

（）

A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列

B ．若2

n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列

C ．若()11n

n S =--，则{}n a 是等比数列

D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈也成等差数列23．题目文

件丢失！

24．题目文件丢失！

25．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >

D ．数列

{}n

a 也是等差数列

26．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减

D ．数列{}n S 有最大值

27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．70a =

C ．95S S >

D ．67n S S S 与均为的最大值

28．下列命题正确的是（）

A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式

B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列

C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c

可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列

29．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）

A ．若59S S =，则必有14S =0

B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项

C ．若67S S >，则必有78S S >

D ．若67S S >，则必有56S S >

30．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{

a n

是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．A 【分析】

在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】

在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，

所以139522639a a a =-=?-=，故选：A 2．A 【分析】转化条件为

122527

n n

a a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.

【详解】因为

122527

n n a a n n +-=--，所以122527n n

a a n n +-

=--，又1127a =--，所以数列27n a n ??

??-??

是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以

()1212327

a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得

3722

n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()

()()3123min

13316p q

S S a a S S =-=+=?-+--?=-.

故选：A. 【点睛】

解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 3．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，数列{}n a 是等差数列，

8106

100

a S =??

=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，

则由题意得8106100a S =??=?，即1176109

101002a d a d +=??

??+=??，解得186585a d ?

=????=-??

. 所以长兄分得86

两银子. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n 项和公式. 4．C 【分析】

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===

故选：C 【点睛】

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 5．B 【分析】

利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】

根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，

则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故

143600a =，

则()()11521411

151********

n S a a a a =

+?=+?=. 故选：B. 6．C 【分析】

根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】

因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为313

a a d -=

=，因此通项公式为()331

11222

n a n n =+-=-. 故选：C. 7．A 【分析】先利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?

-≥?求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出

13525a a a a +++

+的值.

【详解】

当1n =时，2

1112112a S ==+?-=；

当2n ≥时，()

()()2

121121121n n n a S S n n n n n -??=-=+---+--=+??

12a =不适合上式，

2,121,2n n a n n =?∴=?+≥?

因此，()()

3251352512127512235022

a a a a a a ?+?+++++=+

=+=；

故选：A. 【点睛】

易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，但需要验证

1a 是否满足()2n a n ≥.

8．C 【分析】

可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】

因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且

3221

n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，

又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴

1215(6121)71(4151)59

a k

b k ?-==?-，故选：C ． 9．C 【分析】

判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】

∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()

1422

a a a a S ++===. 故选：C 10．D 【分析】

设该女子第()

N n n *∈尺布，前()

N n n *

∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公

差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】

设该女子第()

N n n *∈尺布，前()

N n n *

∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公

差为d ，

由题意可得30130293015015293902

S a d d ?=+=+?=，解得16

29d =.

故选：D. 11．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 12．B 【分析】

设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】

设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2，故选：B 13．B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9

S a . 【详解】

4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，

∴1999()

452

a a S d ?+==，99a d =，且0d ≠， ∴

5S a =. 故选：B 14．C 【分析】

利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()

1212121632

a a S +=

=，所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++

+=++++++

111111111122277321a a a a a =+++==?=，

故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，

()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++

+=++++++=即可求解.

15．B 【分析】

利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】

由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=，因为()()3589133224a a a a a ++++=，可得410322324a a ?+?=，即4104a a +=，故数列的前13项之和()()113410131313134

26222

a a a a S ++?====. 故选：B. 16．D 【分析】

由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】

由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()

m m m a a S ++++=<. 故选：D. 17．A 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】

因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()199998

3622

a a S +?===. 故选：A . 【点睛】

熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 18．C 【分析】由已知可得数列1n x ??????是等差数列，求出数列1n x ??

????

的通项公式，进而得出答案．【详解】

由已知可得数列1n x ???

???

是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则

()1111122n n n x +=+-?=，故21

n x n =+

故选：C 19．D 【分析】

由()

1213n n n n S S a n +++=+-+得到()

1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得

到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，

所以()

1132n n n a a n ++=-+-，

所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，

从而15941a a a a ===???=，

22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，

则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，

()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，

()()20

1411820622

k k =+?=-=

∑1220，

故①②③正确. 故选：D 20．B 【分析】

根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()

11515815152

a a S a +==，从而可得出结果.

【详解】

解：由题可知，2938a a a +=+，

由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，

故()1158

158151521515812022

a a a S a +?=

===?=. 故选：B.

二、多选题

21．AD 【分析】

对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；

对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；

对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】

对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，

所以2

4619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；

对于B ，因为130S >，140S <，所以

77713()

1302

a a a +=>，即70a >，

787814()

7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以

7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；

对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++

++=，所以12133()0a a +=，即

12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值

是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；

对于D ，若2

n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，

221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，

所以12120a a =?-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】

关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键. 22．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，

故错; 选项B:

2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;

选项C: ()11n

n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立，

12(1)n n a -∴=?-是等比数列，故对;

选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.

23．无 24．无

25．AB 【分析】

根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，

1149249,2

a d a d =-=-

. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149

a d =-

，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ?

?=+-=-

+-=- ??

?，令0n a ≥得5151

0,22n n -

≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列

{}n

a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.

故选：AB 【点睛】

等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 26．ABD

由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；

由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 27．ABD 【分析】

由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】

因为5665600S S S S a ?>，677670S S S S a =?-==，

788780S S S S a >?-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；

()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；

由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 28．BCD 【分析】

根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】

A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；

C 选项：1a b c ===时，

111

1a b c

===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以

11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；

故选：BCD 【点睛】

本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 29．ABC

根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】

解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以

()114141402

a a S +==，故A 选项正确；

对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故

780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；

C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】

本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 30．AD 【分析】

根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】

0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，

()()2

111n na n a n d dn a d n =+-=+-????，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，

故选：AD 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.