高中数学必修一第五章《三角函数》解答题提高训练 (39)(有解析)
高中数学必修一第五章《三角函数》解答题提高训练 (39)
一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）
1.已知向量a?=(cosx,sinx),b? =(sinx,cosx)，且x∈[0,π
2
]，
(1)求a??b? 的取值范围；
(2)求函数f(x)=a??b? ?√2|a?+b? |的值域．
2.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BC?，AD?和线段AB，CD四部分组成，在极
坐标系Ox中，A(2,π
3),B(1,2π
3
),C(1,4π
3
),D(2,?π
3
)，弧BC?，AD?所在圆的圆心分别是(0,0)，(2,0)，
曲线是弧BC?，曲线M2是弧AD?．
(1)分别写出M1,M2的极坐标方程：
(2)点E，F位于曲线M2上，且∠EOF=π
3
，求△EOF面积的取值范围．
3.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(?3,√3).
(1)求2sinαcosα?tanα的值；
(2)若函数f(x)=cos(x?α)cosα?sin(x?α)sinα.求函数y=√3f(π
2
?2x)?cos2x?1在区间
[0,π
2
]上的值域．
4.已知函数f(x)=4sin2(π
4+x
2
)?sinx+(cosx+sinx)(cosx?sinx)?1．
(1)化简f(x)；
(2)常数ω>0，若函数y=f(ωx)在区间[?π
2,2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围；
(3)若函数g(x)=1
2[f(2x)+af(x)?af(π
2
?x)?a]?1在[?π
4
,π
2
]的最大值为2，求实数a的值．
5.已知函数f(x)=cosx?sinx?√3cos2x．
(1)若tanx0=2，求f(x0)；
(2)求f(x)的周期，单调递增区间．
6.已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx?2sin2ωx(其中ω>0)图像的两条相邻对称轴之间的距离为π
2
.
(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；
(2)若f(x0)=1
5,x0∈[?π
12
,π
6
]，求cos2x0的值．
7.已知函数f(x)=1+sinxcosx,?g(x)=cos2(x+π
12
)
(1)设x=x0是函数y=f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求使得函数?(x)=f(ωx
2)+g(ωx
2
)?(ω>0)在区间[?2π
3
,π
3
]上是增函数的ω的最大值．
8.已知向量m??? =(√3sin x
4,1)，n?=(cos x
4
,cos2x
4
)，记f(x)=m??? ·n?．
(1)若f(x)=1，求cos(2π
3
?x)的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a?c)cosB=bcosC，求函数f(A)
的取值范围．
9.已知角α的终边在直线y=?√3
3
x上，
(I)求，并写出与α终边相同的角的集合S;
(II)求值
10.已知，其图象过(π
3
,2)这个点．
(1)求a的值和函数f(x)的对称中心；
(2)当α∈(0,π
3)，且f(α)=6
5
，求sin2α值．
11.已知函数f(x)=x2+(m?2)x?m，g(x)=f(x)
x
，且函数y=f(x?2)是偶函数．
(1)求g(x)的解析式；．
(2)若不等式g(sinx)?n
sinx ≤0在(0,π
2
]恒成立，求实数n的取值范围；
(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k?2
log2(x2+4)
?9恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．
12.已知函数f(x)=(1+1
tanx )sin2x+msin(x+π
4
)?cos(x+π
4
)?1
2
．
(1)当sinθ=√5
5，0<θ<π
2
时，f(θ)=7
10
，求m的值；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，当m =1且f(A 4)=√3
4，√2a =√3b 时，求
角C ．
13. 已知向量a →
=(cos 3
2x,sin 3
2x)，b →
=(cos x 2,?sin x
2
)，且x ∈[0,π
2]． (1)求a →
?b →及|a →
+b →
|；
(2)若f (x )=a →
?b →
?2λ|a →
+b →
|的最小值为?3
2，求λ的值．
14. 已知函数f(x)=3sin(x +π
4).
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)写出f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．
15.已知平面向量a?=(sinx,cosx)，b? =(sinx,?cosx)，c?=(?cosx,?sinx)，x∈R，函数f(x)=a?·
(b? ?c? ).
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f(α
2)=√2
2
，求sinα的值．
16.已知f(x)=(1+1
tanx )sin2x?2sin(x+π
4
)sin(x?π
4
)
(1)若tanα=2，求f(α)的值；
(2)已知sinθ，cosθ是方程x2?ax+a=0的两根，求f(θ)?1
2cos2θ?1
2
的值．
17. 已知α,β都是锐角，sinα=45，cos (α+β)=5
13．(Ⅰ)求sinβ的值；
(Ⅱ)求sin (π
2
+2β)的值． 18. 已知函数
的最小正周期为π．(1)求ω和函数f(x)的
最小值；
(2)求函数y =f(x)的单调递增区间．
19. 已知sinθ+cosθ=√3?1
2
，θ∈(?π
4 , π
4)． (1)求θ的值；
(2)设函数f(x)=sin 2x ?sin 2(x +θ)，x ∈R ， ①求函数f(x)的单调增区间．
②x ∈[π4,π
2]时，求f(x)的最大值和最小值及相应的x 的值。
20.如图，已知单位圆x2+y2=1与x轴正半轴交于点P，当圆上一动点Q从P出发沿逆时针旋转
一周回到P点后停止运动．设OQ扫过的扇形对应的圆心角为xrad，当0 (1)写出程序图中①②处的函数关系式； (2)关于x的方程[f(x)]2?mf(x)?6m2+5m?1=0恰有四个不同的实数根，求m的取值范 围． 21. 已知向量a ? =(sinωx,cosωx)，b ? =(cosφ,sinφ)(ω>0,π 3 <φ<π)，函数f(x)=a ? ·b ? 的最小正周期为2π，其图象经过点M(π 6 ,√3 2). (1)求函数f(x)的解析式； (2)已知α，β∈(0,π 2)，且f(α)=3 5，f(β)=12 13，求f(2α?β)的值． 22. 已知函数：f(x)=3x 2?2mx ?1，g(x)=|x|?7 4， (1)若对任意的x ∈(?1,2)，f(x)≥g(x)，求m 的取值范围． (2)?(x)为奇函数，当x ≥0时，?(x)=f(x)+2mx +1，若3?(x)≤2?(x +sinα)对α∈R 恒成立，求x 的取值范围． 23. 已知f(α)= cos 2(π 2 ?α)sin(π2 +α)cot(π2 ?α)sin(?π+α)tan(?α+3π) (1)化简f(α)； (2)若f(α)=1 8，且π 4<α<π 2，求cosα?sinα的值；