4,∴???
m =-2,n =0.
故存在实数m =-2,n =0,
使f (x )的定义域为[m ,n ],值域为[2m,2n ].
求函数解析式及值域的基本方法
求函数解析式的基本方法 求函数解析式是中学数学的重要内容,是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法,供广大师生参考。 一、定义法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例1. 已知x 2x )1x (f +=+,求)x (f 。 解:因为 ) 1x (1x )x (f , 11x , 1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以 二、换元法 已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ,进行换元,从而求出)x (f 的方法。 例2. 同例1。 解:令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则, 所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=, 所以)1x (1x )x (f 2≥-=。 评注:利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围,即)x (f 的定义域。 三、方程组法 根据题意,通过建立方程组求函数解析式的方法。 例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-,求)x (f 的解析式。 解:1x )x (f 2)x (f +=+- , ① 1x )x (f 2)x (f +-=-+∴ ② ②①-?2得1x 3)x (f 3+=, 所以31x )x (f +=。 评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点,构造另一个方程。 四、特殊化法 通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ,并对一切实数x ,y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-,求)x (f 的解析式。 解:令 x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得, 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得, 所以0)0(f =, 所以 )R x (x x )x (f 2∈+= 五、待定系数法 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。 例5. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ,且不等式x 2)x (f ->的解集为(1,3),方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根,求)x (f 的解析式。 解:因为的0x 2)x (f >+解集为(1,3), 设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且, 所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---= a 3x )a 42(ax 2++-= ① 由方程0a 6)x (f =+ 得0a 9x )a 42(ax 2=++- ② 因为方程②有两个相等的实根, 所以0a 9a 4)]a 42([2=?-+-=?, 即,01a 4a 52=-- 解得51a 1a -==或 又51 a ,0a - =<所以,
函数的定义域、值域及解析式
函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A →B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.如:f(x)=x2 f(x)=2x+2等 (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数, k≠0) 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x-1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) = (√x)2 (3)f ( x ) = x 2;g ( x ) = (x + 1) 2 (4)f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3.区间的概念
函数的定义域值域和解析式
函数的定义域、值域和解析式 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 2.求函数定义域的主要依据: ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数; ③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0 注意:①当通过解不等式或不等式组求定义域时,常常借助数轴求交集,同时考虑端点是否可取;②在解决函数问题时首先考虑定义域,“定义域优先原则”;③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式;④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。 指数函数 x a y =(a >0且a ≠1) R (0,+∞) 对数函数 x y a log =(a >0且a ≠ 1) (0,+∞) R 正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1] 正切函数 y =tan x {x |x ≠k π +2 π,k ∈Z} R 解析式 定义域 值域 一次函数 y =kx +b (k ≠0) R R 二次函数 c bx ax y ++=2 (a ≠0) R 当a >0时,),44( 2 +∞-a b a c 当a <0时,)44, (2 a b a c --∞ 反比例函数 x k y = (k ≠0) {x |x ≠0} {y |y ≠0} 均值函数 x b ax y + =(a >0,b >0) {x |x ≠0} (-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞) 常见函数的定义域与值域
,0 ||0 1?? ?>-≠+x x x ,||1 ? ??>-≠x x x 例1求下列函数的定义域 (1)1 log 1 )(2-=x x f (2))1(log 1 |2|)(2---=x x x f (3)y=x x x -+||)1(0 ; 解:(1)由题意可得???>->01log 0 2 x x 解得x >2. ∴所求定义域为(2,+∞) ?? ? ??≠->-≥--110 10 1|2|x x x 解得x ≥3 (2)由题意得 ∴所求定义域为(3,+∞) (3)由题意 化简 故函数的定义域为{x|x <0且x ≠-1}. 练习:求函数的定义域 (1) y=2 3 2 531 x x -+-; (2))34lg(1 3)(22-+-+-=x x x x x f 3.抽象函数的定义域 求复合函数y =f(t),t =q(x)的定义域的方法: ①若y =f(t)的定义域为(a ,b),则解不等式得a <q(x)<b 即可求出y =f(q(x))的定义域; ②若y =f(g(x))的定义域为(a ,b),则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域. 例2. 设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域. (1)y=f(3x); (2)y=f(x 1);(3)y=f( )31 ()31-++x f x ; 解:(1)0≤3x ≤1,故0≤x ≤3 1 , y=f(3x)的定义域为[0, 3 1] . (2)仿(1)解得定义域为[1,+∞ ). (3)由条件,y 的定义域是f )31(+x 与)3 1 (-x 定义域的交集 .
求复合函数定义域值域解析式(集锦)
求复合的定义域、值域、解析式(集锦) 一、 基本类型: 1、 求下列函数的定义域。 (1)12)(-+=x x x f (2)x x x x f -+=0 )1()( (3) 1 11--= x y (4)()28 x f x = - 二、复合函数的定义域 1、 若函数y =f (x )的定义域是[-2, 4], 求函数g (x )=f (x )+f (1-x )的定义域 2(江西卷3)若函数()y f x =的定义域是[0,2],求函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域 2、 函数y =f (2x +1)的定义域是(1, 3],求函数y =f (x )的定义域 3、 函数f (2x -1)的定义域是[0, 1),求函数f (1-3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 (1)求二次函数232y x x =-+的值域 (2)求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法: (1) 求函数 y x =+
分分式法 求2 1 +-= x x y 的值域。 解:(反解x 法) 四、判别式法 (1)求函数22221 x x y x x -+=++;的值域 2)已知函数21 ax b y x += +的值域为[-1,4],求常数b a ,的值。 五:有界性法: (1)求函数1e 1e y x x +-=的值域 六、数形结合法---扩展到n 个相加 (1)|1||4|y x x =-++(中间为减号的情况?) 求解析式 换元法 已知 23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法 设函数f (x )满足f (x )+2 f (x 1 )= x (x ≠0),求f (x )函数解析式. 一变:若()f x 是定义在R 上的函数,(0)1f =,并且对于任意实数 ,x y ,总有2()()(21),f x f x y x y y +=+++求()f x 。 令x=0,y=2x 待定系数法 设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).
求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)
求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中,x 叫做自变量,x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域;与x 的值相对应的值y 叫作函数值,函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 (1)当函数是以解析式的形式给出的时候,其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义。 注意:(1)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,要注意逻辑连接词的恰当使用。 (2)定义域是一个集合,其结果可用集合或区间来表示。 (3)若函数)(x f 是整式型函数,则定义域为全体实数。 (4)若函数)(x f 是分式型函数,则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 (5)若函数)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 (6)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定。 (7)如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 (8)复合函数的定义域问题: ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出; ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域,即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 (1)1+= x y (2)x y -= 21 (3)0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 (1)x y ++ = 11 11; (2)1 42 --= x x y ;
高中数学函数的定义定义域值域解析式求法
课题7:函数的概念(一) 一、复习准备: 1. 讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时y 是x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: (一)函数的定义: 设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数(function ),记作: (),y f x x A =∈ 其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域(domain ),与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域(range )。显然,值域是集合B 的子集。 (1)一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ,值域也是R ; (2)二次函数2 y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ,值域是B ;当a>0时,值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ;当a ﹤0时,值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。 (3)反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠,值域是{}0y y ≠。 (二)区间及写法: 设a 、b 是两个实数,且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习:用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} (三)例题讲解: 例1.已知函数2()23f x x x =-+,求f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。 变式:求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2.已知函数1()2f x x =+, (1) 求()()2 (3),(),33f f f f --的值;(2) 当a>0时,求(),(1)f a f a -的值。 (四)课堂练习: 1. 用区间表示下列集合: {}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或 2. 已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值; 3. 课本P 19练习2。
函数解析式求法和值域求法总结及练习题
2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法. 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f . 解:设b ax x f +=)()0(≠a ,则 ∴?? ?=+=3 42b ab a , ∴??????=-===3 212b a b a 或 . 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 . 二、配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法.但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域. 例2 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式. 解:2)1()1(2-+=+ x x x x f , 21≥+ x x , 2)(2 -=∴x x f )2(≥x . 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.与配 凑法一样,要注意所换元的定义域的变化. 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f . 解:令1+= x t ,则1≥t ,2)1(-=t x . x x x f 2)1(+=+, ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x , x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x . 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知:函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式. 解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点. 则 ?? ???=+'-=+'3222y y x x ,解得:???-='--='y y x x 64 , 点),(y x M '''在)(x g y =上 , x x y '+'='∴2 .
函数的定义域值域及解析式
函数的定义域值域及解 析式 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
函数的定义域、值域及解析式【教学目标】 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A →B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.如:f(x)=x2 f(x)=2x+2等 (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数, k≠0) 注意:
1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 例. 判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x ; g ( x ) = (√x )2 (3)f ( x ) = x 2;g ( x ) = (x + 1) 2 (4)f ( x )=x 2-2x+2, g ( x )=t 2-2t+2 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间;“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”。 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <. 练习、请用区间表示 (1){|12}x x <<=____________, {|01}x x ≤≤=____________, {|10}x x -≤<=____________, {|23}x x <≤=____________, (2){|}x x a ≥=____________, {|}x x a >=____________,
2018届高三理科数学一轮复习试题选编2:函数的定义域与值域、解析式及图像(学生版)
2014届高三理科数学一轮复习试题选编2:函数的定义域与值域、解析式及图像 一、选择题 1 .(北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题)函数的定义域为 ( ) A . B . C . D . 2 .(北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学(理)试题)已知函数 1,0, ()1,0, x f x x -=? ≥?则不等式(1)1xf x -≤的解集为 ( ) A .[1,)-+∞ B .(,1]-∞ C .[1,2] D .[1,1]- 3 .(2013广东高考数学(文))函数 lg(1) ()1 x f x x += -的定义域是 ( ) A .(1,)-+∞ B .[1,)-+∞ C .(1,1)(1,)-+∞U D .[1,1)(1,)-+∞U 4 .(2012年高考(山东文))函数21 ()4ln(1) f x x x = +-+的定义域为 ( ) A .[2,0)(0,2]-U B .(1,0)(0,2]-U C .[2,2]- D .(1,2]- 5 .(北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学)函数21 y x =-的定义域是(,1)[2,5)-∞U ,则其值域 是 ( ) A .1(,0)(,2]2 -∞U B .(,2]-∞ C .1(,)[2,)2 -∞+∞U D .(0,)+∞ 6 .(北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学)已知函数2 y ax bx c =++,如果a b c >>且 0a b c ++=,则它的图象可能是 7 .已知???>-≤-=0 ,230,2)(2x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ) A .),0[]1,(+∞--∞Y B .]0,1[- C .]1,0[ D .)0,1[-
求函数的定义域与值域的常用方法
函数的定义域与值域的常用方法 (一)求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0; 2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等; 4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域; 5、分段函数的定义域是各个区间的并集; 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明; 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;(三)求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示; 2、在函数f:A→B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B的子集;若C=B,那么该函数作为映射我们称为“满射”; 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集; 4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述; 5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集; 6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结; (四)求函数的最值 1、设函数y=f(x)定义域为A,则当x∈A时总有f(x)≤f(x o)=M,则称当x=x o时f(x)取最大值M;当x∈A时总有f(x)≥f(x1)=N,则称当x=x1时f(x)取最小值N; 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题; 3、闭区间的连续函数必有最值。
高一数学函数的表示、值域、解析式解法
高一数学函数的表示、值域、解析式解法 学习目标 1、理解函数的三种表示方法,会根据具体问题选择不同的表示方法 2、学会利用函数的三种表示方法解决实际问题,结合函数的图象,利用数形结合分析解决问题 3、掌握函数值域、解析式的解法 知识框架 1、函数的表示方法 (1)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。(2)图象法:确定函数图象是否连续,函数的图象可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。 (3)解析法:明确函数的定义域 2、函数图象知识归纳 (1)定义: 在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C 上 . (2)画法 A、描点法: B、图象变换法:平移变换;对称变换, (3)函数图像平移变换的特点: 1)左加右减———只对x 2)上减下加———只对y 3)函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x) 4)函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x) 5)函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x) 6)函数y=| f(x)| 将x轴下面图象翻到x轴上面去,x轴上面图像不动得 7)函数f(|x|) 先作x≥0的图象,然后作关于y轴对称的图像得
随堂练习 1、下列四个命题正确的有_________. (1)函数是定义域到值域的映射; (2)x x y -+-=23是函数; (3)函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线; (4)? ??<-≥=)0(,)0(,22x x x x y 的图象是条抛物线. 2、某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y 元,已知甲、乙两户该月用水用水量分别为x x 3,5吨.求y 关于x 的函数; 3、分别画出下列函数的图象 (1).1||22--=x x y (2).|12|2--=x x y 4、函数值域的求法 (1)(观察法)求函数x y 323-+=的值域. (2)(反函数法)求函数2 1++= x x y 的值域. (3)(分离常数法)形如b ax d cx y ++=,求函数2 1++=x x y 的值域. 212,2312,121,212++-=++=++=++=x x y x x y x x y x x y (4)(配方法)求函数22++-=x x y 的值域. (5)(判别式法)求函数1 32222+-+-=x x x x y 的值域. (6)(图象法)求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域.
最全函数值域的12种求法(附例题,习题)
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨: 根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。 解: 由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评: 算术xx具有双重非负性,即: (1)被开方数的非负性, (2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习: 求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。( 答案: 值域为: {0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨: 先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解: 显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为: x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为 {y∣y≠1,y∈R}。 点评: 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习: 求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。( 答案: 函数的值域为{y∣y<-1或y>1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x+x+2)的值域。 点拨: 将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解: 由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值 一、 求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2)0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y =)0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f ,[]=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2 +-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ,x x 所以 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。
函数解析式,定义域,值域的求法
函 数 1:设,A B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中都有 和它对应,那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数,记做 2:对于函数(),y f x x A =∈,其中x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做 ;与x 的值相对应的y 值叫做 ,函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的 3:函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才能称为同一函数。4:函数的表示法有 、 、 . 5:在函数定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫 ,它是一个函数,而不是几个函数;分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。 函数解析式的四种求法: (1):换元法 (2):配凑法 (3):待定系数法 (4):构造方程组法 1:确定下列函数的解析式 (1) 已知1)(2+=x x f ,求)1(+x f (2) 已知11)1(2++=+)(x x f ,求)(x f (3)(换元法,配凑法)已知23)1(2++=+x x x f ,求()f x (4)(配凑法):已知2211()f x x x x +=+,求()f x (5) (待定系数法)设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f (6)(构造方程组法)已知12()()f f x x x +=,求()f x
2:求下列函数的定义域 1:21()3 f x x =- 2 :y = 3 :y = 4 :()f x =5:()0 1()x f x x x +=- 6:2(0)()2(01)(14)x x f x x x x ?-=≤?-≤≤? 7: 1122---=x x y 1.函数值域的求法: ①直接法:利用常见函数的值域来求. ②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ③分式转化法(或改为“分离常数法”) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想 ⑤利用某些函数的有界性:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如)0(>+ =k x k x y ,利用均值不等式公式或单调性来求值域; ⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域. 2.确定函数的值域的原则:定义域优先原则
函数的定义域值域,解析式具体解法
函数定义域,值域,解析式 教学目标:掌握不同函数定义域和值域的求解方法,并且能够熟练使用。 重点、难点:不同类型函数定义域,值域的求解方法。 考点及考试要求:函数的考纲要求 教学内容:常见函数的定义域,值域,解析式的求解方法: 记作D x x f y ∈=),(,x 叫做自变量,y 叫做因变量,x 的取值范围D 叫做定义域,和x 值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 定义域的解法: 1.求函数的定义域时,一般要转化为解不等式或不等式组的问题,但应注意逻辑连结词的运用; 2.求定义域时最常见的有:分母不为零,偶次根号下的被开方数大于等于零,零次幂底数不为零等。 3.定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示 值域的解法: 1. 分析法,即由定义域和对应法则直接分析出值域 2. 配方法,对于二次三项式函数 3. 判别式法,分式的分子与分母中有一个一元二次式,可采用判别式法,但因考虑二次项 系数是否为零只有二次项系数不为零时,才能运用判别式 4. 换元法,适合形如y ax b =+此外还可以用反函数法等求函数的值域,数形结合法,有界性法等求函数的值域 函数解析式的求法: 1. 换元法 2. 解方程组法 3. 待定系数法 4.特殊值法 求函数的定义域 一、 基本类型: 1、 求下列函数的定义域。 (1)12 )(-+=x x x f (2)x x x x f -+=0)1()( (3) 1 11--=x y (4)()f x =
二、复合函数的定义域 1、 若函数y =f (x )的定义域是[-2, 4], 求函数g (x )=f (x )+f (1-x )的定义域 2(江西卷3)若函数()y f x =的定义域是[0,2],求函数(2) ()1 f x g x x = -的定义域 2、 函数y =f (2x +1)的定义域是(1, 3],求函数y =f (x )的定义域 3、 函数f (2x -1)的定义域是[0, 1),求函数f (1-3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 (1)求二次函数2 32y x x =-+的值域 (2)求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法: (1) 求函数y x =+ 三. 部分分式法 求2 1 +-= x x y 的值域。 解:(反解x 法)
高一人教版必修一数学函数定义域、值域、解析式题型
高一人教版必修一数学函数定义域、值域、 解析式题型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3 )若函数()f x =R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。
三、 求函数解析式的方法 (一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?- ,求[()]f g x 的解析式
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
常见函数解析式、定义域、值域的求法总结 函数解析式的求法 (待定系数法、代入法):在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。 例1 已知)1,(11)(-≠∈+=x R x x x f 且,)(2)(2R x x x g ∈+= (1)求)2(f ,)2(g 的值; (2)求[])2(g f 的值; (3)求[])(x g f 的解析式。 例2 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 练习:1. 已知)1(11)(-≠+-=x x x x f 。 (1)求)0(f ,)1(f ; (2)求)1(x f -的值;(3)求[])(x f f 的解析式。 2. 设)(x f 是正比例函数,且x x f f 4)]([=,求)(x f 3. 设函数()23f x x =+,()35g x x =-,则(())f g x = ;(())g f x = ________. 4.已知函数()f x 是一次函数,且(3)7f =,(5)1f =-,则(1)f = _ ___. (配凑法):已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域。 例3 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式
高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法含答案
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法 一. 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值 二. 求函数的解析式 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y 。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数f [g (x )]的表达式,求f (x )的表达式时可以令t =g (x ),以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出f (x )和f (-x ),或f (x )和f (1/x )的一个方程,则可以x 代换-x (或1/x ),构造出另一个方程,解此方程组,消去f (-x )(或f (1/x ))即可求出f (x )的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等; 4、对复合函数y =f [g (x )]的定义域的求解,应先由y =f (u )求出u 的范围,即g (x )的范围,再从中解出x 的范围I 1;再由g (x )求出y =g (x )的定义域I 2,I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域; 5、分段函数的定义域是各个区间的并集; 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明; 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域; 一:求函数解析式 1、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。 例1. 已知2211()x x x f x x +++= ,试求()f x 。 解:设1x t x +=,则11x t =-,代入条件式可得:2()1f t t t =-+,t ≠1。故得: 2 ()1,1f x x x x =-+≠。 说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。 2、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。 例2. (1)已知21 ()2()345 f x f x x x +=++,试求()f x ; (2)已知 2 ()2()345f x f x x x +-=++,试求()f x ; 解:(1)由条件式,以1x 代x ,则得2111 ()2()345f f x x x x +=++,与条件式联立,消去 1f x ?? ? ??,则得: ()222845 333x f x x x x =+--+ 。 (2)由条件式,以-x 代x 则得: 2 ()2()345f x f x x x -+=-+,与条件式联立,消去()f x -,则得: