三角形培优训练100题集锦(学生用)
三角形培优训练专题
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
【常见辅助线的作法有以下几种】
1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。
1、已知，如图ABC ?中，5=AB ，3=AC ，求中线AD 的取值范围。
分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。 解:延长AD 到E ，使DA DE =，连接BE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ???，3==AC BE
∵BE AB AE BE AB +-ππ (三角形三边关系定理) 即822ππAD ∴41ππAD
2、如图，ABC ?中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF DE ⊥，D 是中点，试比较CF BE +与
EF 的大小。
证明：延长FD 到点G ，使DF DG =，连接BG 、EG
E C A
B
D
∵CD BD =，DG FD =，CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ??? ∴CF BG = ∵DF DE ⊥ ∴EG EF =
在BEG ?中，EG BG BE φ+ ∵CF BG =，EG EF = ∴EF CF BE φ+
3、如图，ABC ?中，AC DC BD ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠.
证明方法一：利用相似论证。 证明：∵AC DC BD == ∴BC AC 2
1
=
∵E 是DC 中点
∴AC DC EC 21
21==，BCA ACE ∠=∠
∴BCA ?∽ACE ? ∴CAE ABC ∠=∠ ∵DC AC =
∴DAC ADC ∠=∠，BAD ABC ADC ∠+∠=∠ ∴CAE DAE BAD ABC ∠+∠=∠+∠ ∴DAE BAD ∠=∠ 即AD 平分BAE ∠
证明方法二：利用全等论证。
证明：延长AE 到M ，使AE EM =，连结DM 易证CEA DEM ??? ∴MDE C ∠=∠，DM AC = 又∵AC DC BD ==
∴DM BD =，CAD ADC ∠=∠
又∵CAD C ADB ∠+∠=∠，ADC MDE ADM ∠+∠=∠ ∴ADB ADM ∠=∠ ∴ADB ADM ??? ∴DAE BAD ∠=∠ 即AD 平分BAE ∠
4、以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，
?=∠=∠90CAE BAD ，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。探究：AM 与DE 的位置关系
及数量关系。
E C
A
B
D
G
F E
C A
B D M
E C
A
B
D
图 1
M N
C
A
B
D
N
E
C
A B D
M 图 2
（1）如图1 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；
（2）将图1中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转?θ（???900ππθ）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。
∴DE AM ⊥，DE AM 2
1
=
5、如图，ABC ?中，AC AB 2=，AD 平分BAC ∠，且BD AD =，求证：AC CD ⊥ 证明：过D 作AB DM ⊥，垂足为M ∴?=∠=∠90BMD AMD 又∵BD AD =，DM DM = ∴BDM ADM ??? ∴BM AM = ∵AC AB 2= ∴AM AC = ∵AD 平分BAC ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ 在ADC ?和ADM ?中
AM AC =，CAD BAD ∠=∠，AD AD =
∴ADC ADM ??? ∴?=∠=∠90ADM ACD 即: AC CD ⊥
6、如图，BD AC //，EA ，EB 分别平分CAB ∠，DBA ∠，CD 过点E ，求证：BD AC AB += 证明：在AB 上截取AC AF =，连接EF 在CAE ?和FAE ?中 ??
?
??=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ∴FAE CAE ??? ∴FEA CEA ∠=∠
∴?=∠+∠=∠+∠90FEB FEA BED CEA 即DEB FEB ∠=∠ 在DEB ?和FEB ?中 ??
?
??∠=∠=∠=∠DBE FBE BE
BE DEB FEB ∴FEB DEB ???（ASA ） ∴BF BD =
∴BD AC BF AF AB +=+=
7、如图，已知在ABC ?内，?=∠60BAC ，?=∠40C ，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，
BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BP AB AQ BQ +=+
证明：延长AB 到D ，使BP BD =，连接PD ．则5∠=∠D
M
C
A
B
D
F
E
D
A B
C
∵AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线，?=∠60BAC ，?=∠40C ∴?=∠=∠3021，?=?-?-?=∠804060180ABC ，C ∠=?=∠=∠4043 ∴QC QB =
又?=∠+∠=∠+∠80435D ∴?=∠40D 在APD ?与APC ?中
AP AP =，21∠=∠，?=∠=∠40C D
∴APC APD ???（AAS ） ∴AC AD =
即QC AQ BD AB +=+ ∴BP AB AQ BQ +=+
8、如图，在四边形ABCD 中，BA BC φ，CD AD =，BD 平分ABC ∠. 求证：?=∠+∠180C A
解：过点D 作BC DE ⊥于E ，过点D 作AB DF ⊥交BA 的延长线于F ∵BD 平分ABC ∠
∴DF DE =，?=∠=∠90DEB F 在CDE Rt ?和ADF Rt ?中 ?
?
?==DF DE CD
AD ∴??CDE Rt ADF Rt ?（HL ） ∴C FAD ∠=∠
∴?=∠+∠=∠+∠180FAD BAD C BAD
9、如图，在ABC ?中，AC AB φ，CAD BAD ∠=∠，P 为AD 上任意一点。
求证：PC PB AC AB --φ
∴PC PE =
在PBE ?中，PE PB BE -φ，即PC PB AC AB --φ
4 5 2
3D
Q P
C
A
B
1 E
F D
C
A
B
10、在四边形ABCD 中，BC AD //，点E 是AB 上一个动点，若?=∠60B ，BC AB =，且
?=∠60DEC ，判断AE AD +与BC 的关系并证明你的结论。
分析：此题连接AC ，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。
11、如图D 为ABC ?的角平分线，直线AD MN ⊥于A .E 为MN 上一点，ABC ?周长记为A P ，
EBC ?周长记为B P .求证：A B P P φ.
证明：延长BA 到F ，使AC AF =,连接EF ∵AD 为ABC ?的角平分线 ∴CAD BAD ∠=∠ ∵AD MN ⊥
∴CAE CAD BAD FAE ∠=∠-?=∠-?=∠9090 ∵AC AF =，AE AE = ∴ACE AFE ??? ∴EC EF = ∵BF EF BE φ+
∴AC AB AF AB EC BE +=++φ
∴BC+BE+CE>AB+AC+BC BC AC AB BC EC BE ++++φ ∴ABC ?的周长小于EBC ?的周长，即A B P P φ
12、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，
F
N
M
D E
A
C
B
取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．
（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系
是 ；
（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说
明理由．
解：（1）BM =DM 且BM ⊥DM ． ………2分 （2）成立． ……………3分
理由如下：延长DM 至点F ，使MF =MD ，联结CF 、BF 、BD ． 易证△EMD ≌△CMF ．………4分 ∴ED =CF ，∠DEM =∠1．
∵AB =BC ，AD =DE ，且∠ADE =∠ABC =90°， ∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°． ∴∠BAD =∠2+∠4+∠6=90°+∠6． ∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9， ∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9） =360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ． ∴∠8=∠BAD ．
又AD =CF ． ∴△ABD ≌△CBF ． ∴BD =BF ，∠ABD =∠CBF ． ∴∠DBF =∠ABC =90°．
∵MF =MD ， ∴BM =DM 且BM ⊥DM ．
13、如图，已知在ABC ?中，?=∠60B ，ABC ?的角平分线AD ，CE 相交于点O .
求证：OD OE =
证明：在AC 上取点F ，使AE AF =，连接OF ∵AD 是A ∠的平分线 ∴FAO EAO ∠=∠
F E
A
D C
B A E M M E
A
B
C D
9
∵AO AO = ∴AFO AEO ???
∴FO EO =，AOF AOE ∠=∠ ∵CE 是C ∠的平分线 ∴FCO DCO ∠=∠ ∵?=∠60B
∴?=∠+∠120ACB BAC
∴=
∠+∠=∠OCA CAO COD ()?=∠+∠602
1
ACB BAC ∴?=?-?-?=∠-∠-?=∠606060180180AOF COD COF ∴COD COF ∠=∠ ∵OC OC = ∴OCF OCD ??? ∴OF OD =
∴CD AE CF AF AC +=+=，OD OE = 即：CD AE AC +=
14、如图，ABC ?中，AD 平分BAC ∠，BC DG ⊥且平分BC ，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于
F . （1）说明CF BE =的理由；（2）如果a AB =，b AC =，求AE 、BE 的长。
（1）证明:连接DB ，DC ∵BC DG ⊥且平分BC ∴DC DB =
∵AB DE ⊥，AC DF ⊥，AD 平分BAC ∠ ∴DF DE = ∴DFC Rt DEB Rt ??? ∴CF BE =
（2）解: ∵DF DE =，AD AD = ∴AFD Rt AED Rt ??? ∴AF AE =
∴()()AE AF AE CF AF BE AE AC AB 2=+=-++=+，即AE b a 2=+，2
b
a AE += ∴()()BE CF AF BE AE AC AB 2=--+=+ ∴BE
b a 2=-，2
b
a BE -=
15、如图①，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在ABC ?中，ACB ∠是直角，?=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
G
F
D
E A
C B
O P A
M
N
E
B
C
D F
A
E
F
B
D 图①
图②
图③ （2）如图③，在ABC ?中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
解：（1）FE 与FD 之间的数量关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立。 证法一：如图1，在AC 上截取AE AG =，连结FG ∵21∠=∠，AF 为公共边， ∴AGF AEF ???
∴AFG AFE ∠=∠，FG FE =
∵?=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴?=∠+∠6032
∴?=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴?=∠60CFG
∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ??? ∴FD FG = ∴FD FE =
证法二：如图2，过点F 分别作AB FG ⊥于点G ，BC FH ⊥于点H ∵?=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴可得?=∠+∠6032，F 是ABC ?的内心 ∴160∠+?=∠GEF ，FG FH = 又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ??? ∴FD FE =
16、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，EF DF BE =+，求EAF ∠的
度数。
解：将ADF ?绕点A 顺时针旋转?90，至ABG ? ∴EF BE DF BE GB GE =+=+= 又∵AE AE =，AG AF = ∴AEG AEF ???
图 1
图 2 F
D A
∴DAF BAE GAB BAE GAE EAF ∠+∠=∠+∠=∠=∠ 又∵?=∠+∠+∠90DAF BAE EAF ∴?=∠45EAF
17、D 为等腰ABC Rt ?斜边AB 的中点，DN DM ⊥，DM ，DN 分别交BC ，CA 于点E ，F 。
（1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证：DF DE =； （2）若2=AB ，求四边形DECF 的面积。
分析：（1）连CD ，根据等腰直角三角形的性质得到CD 平分ACB ∠，AB CD ⊥，?=∠45A ，
DA CD =，则?=∠45BCD ，?=∠90CDA ，由DN DM ⊥得?=∠90EDF ，根据等角的余角相等得
到ADF CDE ∠=∠，根据全等三角形的判定易得ADF DCE ???，即可得到结论；（2）由
ADF DCE ???，则ADF DCE S S ??=，于是四边形DECF 的面积ACD S ?=，由而2=AB 可得
1==DA CD ，根据三角形的面积公式易求得ACD S ?，从而得到四边形DECF 的面积。 解：（1）连CD ，如图，
∵D 为等腰ABC Rt ?斜边AB 的中点
∴CD 平分ACB ∠，AB CD ⊥，?=∠45A ，DA CD = ∴?=∠45BCD ，?=∠90CDA ∵DN DM ⊥ ∴?=∠90EDF ∴ADF CDE ∠=∠ 在DCE ?和ADF ?中 ??
?
??∠=∠=∠=∠ADF CDE DA
DC DAF DCE ∴ADF DCE ??? ∴DF DE =
（2）∵ADF DCE ??? ∴ADF DCE S S ??=
∴四边形DECF 的面积ACD S ?= 而2=AB ∴1==DA CD
∴四边形DECF 的面积2
121=?=
=?DA CD S ACD 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。
18、 如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，BDC ?是等腰三角形，且?=∠120BDC ，以
N
M
F
D
E
A
C
B
图 1
A
B C
D
E
F
M
N A
B
C
D
E F
M
N
图 2
F
E
A
N
D
C
B
图 3
D 为顶点做一个?60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN ?的周
长。
解：∵BDC ?是等腰三角形，且?=∠120BDC ∴?=∠=∠30DBC BCD
∵ABC ?是边长为3的等边三角形 ∴?=∠=∠=∠60BCA BAC ABC ∴?=∠=∠90DCA DBA
∵顺时针旋转BDM ?使DB 与DC 重合 在DMN ?和N M D '?中 ??
?
??=?='∠=∠'=DN DN M ND MDN M D DM 60 ∴M DN DNM '??? ∴BM NC N M MN +='=
∴6=+=++=++AC AB AN BM NC MN AN AM ∴AMN ?的周长为6
19、已知四边形ABCD 中，AD AB ⊥，CD BC ⊥，BC AB =，?=∠120ABC ，?=∠60MBN ，
MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC （或它们的延长线）于E 、F ．
（1）当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE =时（如图1），易证EF CF AE =+．
（2）当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
解：（1）∵AD AB ⊥，CD BC ⊥，BC AB =，CF AE = ∴CBF ABE ???（SAS ）； ∴CBF ABE ∠=∠，BF BE = ∵?=∠120ABC ，?=∠60MBN
∴?=∠=∠30CBF ABE ，BEF ?为等边三角形 ∴BF EF BE ==，BE AE CF 2
1
== ∴EF BE CF AE ==+ （2）图2成立，图3不成立。
证明图2，延长DC 至点K ，使AE CK =，连接BK
M ′
A
N M
D C B
则BCK BAE ???
∴BK BE =，KBC ABE ∠=∠ ∵?=∠60FBE ，?=∠120ABC ∴?=∠+∠60ABE FBC ∴?=∠+∠60KBC FBC ∴?=∠=∠60FBE KBF ∴EBF KBF ??? ∴EF KF =
∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+
图3不成立，AE 、CF 、EF 的关系是EF CF AE =-
20、已知: 2=PA ，4=PB ，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧。
（1）如图，当?=∠45APB 时，求AB 及PD 的长；
（2）当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小。 分析：（1）作辅助线，过点A 作PB AE ⊥于点E ，在PAE Rt ?中，已知APE ∠，AP 的值，根据三角函数可将AE ，PE 的值求出，由PB 的值，可求BE 的值，在ABE Rt ?中，根据勾股定理可将AB 的值求出；求PD 的值有两种解法，解法一：可将PAD ?绕点A 顺时针旋转?90得到AB P '?，可得AB P PAD '???，求PD 长即为求B P '的长，在P AP Rt '?中，可将P P '的值求出，在B P P Rt '?中，根据勾股定理可将B P '的值求出；解法二：过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，交PB 于G ，在AEG Rt ?中，可求出AG ，EG 的长，进而可知PG 的值，在PFG Rt ?中，可求出
PF ，在PDF Rt ?中，根据勾股定理可将PD 的值求出；
（2）将PAD ?绕点A 顺时针旋转?90，得到AB P '?，PD 的最大值即为B P '的最大值，故当P '、
P 、B 三点共线时，B P '取得最大值，根据PB P P B P +'='可求B P '的最大值，此时?='∠-?=∠135180P AP APB ．
解：（1）①如图，作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ?中，?=∠45APB ，2=PA
∴()
12
22
==
=PE AE
∵4=PB ∴3=-=PE PB BE 在ABE Rt ?中，?=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB
②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将将PAD ?绕点A 顺时针旋转?90得到AB P '?，
，可得AB P PAD '???，B P PD '=，A P PA '= ∴?='∠90P PA ，?='∠45P AP ，?='∠90PB P ∴2='P P ，2=PA
K A
B
C
D
E F
M
N
图 2
E
P
A
D
C
B
P ′
A C
D
图 1
N M
A
D C
B 图 2
N M A
D C
B
图 3
N
M
A
C
B P ′
P
A
C
B
D P ′
P
A
C
B
D
∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ；
解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，设DA 的延长线交PB 于G ． 在AEG Rt ?中，可得310cos cos =
∠=∠=ABE AE EAG AE AG ，31=EG ，3
2
=-=EG PE PG 在PFG Rt ?中，
可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ，15
10=FG 在PDF Rt ?中，可得 ()
523101*********
22
2=???
? ??+++???? ??=+++=FG AG AD PF PD （2）如图所示，将PAD ?绕点A 顺时针旋转?90,得到AB P '?，PD 的最大值，即为B P '的最大值
∵B P P '?中，PB P P B P +''π，22=='PA P P ，4=PB 且P 、D 两点落在直线AB 的两侧 ∴当P '、P 、B 三点共线时，B P '取得最大值（如图）
此时6=+'='PB P P B P ，即B P '的最大值为6 此时?='∠-?=∠135180P AP APB
21、在等边ABC ?的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC ?外一点，且
?=∠60MDN ，?=∠120BDC ，DC BD =. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、
NC 、MN 之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系。
G F P A
C
B
D
E
图 1
N M
A
D
C
B
（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DN DM =时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时
__________=L
Q
； （2）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DN DM ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则_____=Q （用x 、
L 表示）．
分析：（1）如果DN DM =，DNM DMN ∠=∠，因为DC BD =，那么?=∠=∠30DCB DBC ，也就有?=?+?=∠=∠903060NCD MBD ，直角三角形MBD 、NCD 中，因为DC BD =，DN DM =，根据HL 定理，两三角形全等。那么NC BM =，?=∠=∠60DNC BMD ，三角形NCD 中，
?=∠30NDC ，NC DN 2=，在三角形DNM 中，DN DM =，?=∠60MDN ，因此三角形DMN
是个等边三角形，因此BM NC NC DN MN +===2，三角形AMN 的周长=++=MN AN AM Q
AB AC AB NC MB AN AM 2=+=+++，三角形ABC 的周长AB L 3=，因此3:2:=L Q ．
（2）如果DN DM ≠，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC 至E ，使BM CE =，连接DE ．
（1）中我们已经得出，?=∠=∠90NCD MBD ，那么三角形MBD 和ECD 中，有了一组直角，CE MB =，DC BD =，因此两三角形全等，那么DE DM =，CDE BDM ∠=∠，?=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．
三角形MDN 和EDN 中，有DE DM =，?=∠=∠60MDN EDN ，有一条公共边，因此两三角形全等，NE MN =，至此我们把BM 转换成了CE ，把MN 转换成了
NE ，因为CE CN NE +=，因此CN BM MN +=．Q 与L 的关系的求法同（1），得出的结果是一
样的。
（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠，三角形BDM 和CDH 中，由（1）中已经得出的?=∠=∠90MB DCH ，我们做的角CDH BDM ∠=∠，CD BD =，因此两三角形全等（ASA ）
．那么CH BM =，DH DM =，三角形MDN 和NDH 中，已知的条件有DH MD =，一条公共边ND ，要想证得两三角形全等就需要知道HDN MDN ∠=∠，因为MDB CDH ∠=∠，因此?=∠=∠120BDC MDH ，因为?=∠60MDN ，那么?-?=∠60120NDH
?=60，因此NDH MDN ∠=∠，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN 和DNH 就全
等
了
．
那
么
BM AC AN NH NM -+==，三角形AMN 的周长
+++=++=BM AB AN MN AM AN Q
AB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =，L AB 31=
，因此三角形AMN 的周长L x Q 3
2
2+=．
解：（1）如图1，BM 、NC 、MN 之间的数量关系：MN NC BM =+；此时3
2
=L Q ． （2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图2，延长AC 至E ，使BM CE =，连接DE ∵CD BD =，且?=∠120BDC ∴?=∠=∠30DCB DBC 又ABC ?是等边三角形 ∴?=∠=∠90NCD MBD
N
在MBD ?与ECD ?中 ??
?
??=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴ECD MBD ???（SAS ） ∴DE DM =，CDE BDM ∠=∠ ∴?=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ?与EDN ?中 ??
?
??=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴EDN MDN ???（SAS ） ∴BM NC NE MN +==
故AMN ?的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++ 而等边ABC ?的周长AB L 3= ∴
3
232==AB AB L Q （3）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则L x Q 3
2
2+=（用x 、L 表示）．
点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。
22、如图2-7-1，△ABC 和△DCE 均是等边三角形，B 、C 、E 三点共线，AE 交CD 于G ，BD 交AC 于F 。 求证：① AE=BD;② CF=CG. 思路 ① 证明△ACE≌△BCD。
证明 ① ∵ △ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ CB=CA ， CD=CE ，∠BCA=∠ECD=，
∴ ∠BCD=∠ACE=
，∴ △BCD≌△ACE， ∴ AE=BD 。
思路 ② 证明△FCD≌△GCE。
证明 ② 由△BCD≌△DCE 都是等边三角形可知 ∴ CD=CE ，∠BCA=∠ECD=
∴ ∠ACD=
-∠BCA -∠ECD=
∴ △FCD≌△GCE， ∴ CF=CG
说明 证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。 23、如图2-7-2，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN⊥MD，BN 平分∠CBE。求证：MD=MN 。 思路：取AD 的中点P ，连结PM ，证明△DMP≌△MNB。 证明：取AD 的中点P ，连结PM ，则有DP=MB 。
H 图 3
N
M
A
D C
B
九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案
九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案 一、相似 1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）． （1）求函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率； （3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的 Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2， 把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4 （2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A（﹣1，0）， 当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）； 当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4）， 从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ， ∴△BCD为等腰三角形， ∴构造的三角形是等腰三角形的概率=
（3）解：存在， 易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC?OB= ×3×4=6， M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1， ∴△AMN的面积为△ABC面积的， ∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1， 当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan∠MAC= =4； 当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan∠MAC= =1； ②当N点在BC上，如图2， BC= =2 ， ∵BC?AN= AC?BC，解得AN= ， ∵S△AMN= AN?MN=2，
三角形培优训练100题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
全等三角形证明题培优提高经典例题练习题
全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O
4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１） 请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用 其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F
7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4
中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案
中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案 一、相似 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH?EA； （3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线 （2）证明：连接AC，如图2所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH?EA （3）解：连接BE，如图3所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ， ∴AB=5，BE=AB?sin∠BAE=5× =3， ∴EA= =4， ∵， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH?EA， ∴EH= ， ∴在Rt△BEH中，BH= . 【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°； （2）连接AC，要证CE2=EH?EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解； （3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。 2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．
初中几何经典培优题型(三角形)
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷及答案
浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（） A. 12cm≤h≤19cm B. 12cm≤h≤13cm C. 11cm≤h≤12cm D. 5cm≤h≤12cm 2.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 （第1题）（第2题）（第3题） 3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1，连接DE，将△AED 沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（） A. 8 B. C. D. . 4.如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（） A. 30° B. 25° C. 22.5° D. 20° （第4题）（第5题）（第6题） 5.如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的结论有（） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（） A. B. C. D. 7.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AC边上的高是（）． A. B. C. D. 8.如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长
(完整word版)三角形提高题 培优卷
1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）
8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2
相似三角形培优训练含答案
相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
word完整版培优专题3 等腰三角形含答案1推荐文档
3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系, 理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问 【知识精读】 （-）等腰三角形的性质 1.有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等; 3等腰三角形 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对 称轴的轴对称图形; 推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 2.定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系, 由两边相等推出两 角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、 底边上的高、顶 角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等， 两个角相等以及两条直线互相垂 直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角 对 等边”。） 推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 它是证明线段相等的重要定
题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题, 在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合， 添加辅助线时, 有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况 来定。 【分类解析】 例1.如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM 丄BC ,垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 所以/ 1 = - / ABC 2 又因为CE = CD ，所以/ CDE = / E 所以/ ACB = 2/ E 即/ 1=/ E 所以BD = BE ,又DM 丄BC ,垂足为 M 分析：欲证M 是BE 的中点，已知 DM 丄BC ,所以想到连结 BD ，证BD = ED 。因为△ ABC 是等边三角形，/ DBE = - / ABC ，而由 CE = CD ，又可证/ E = - / ACB ，所以/ 1 2 2 =/ E ,从而问题得证。 证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2.如图，已知: ABC 中，AB AC , D 是 BC 上一点，且 AD DB , DC CA , 求 BAC 的度数。 E D
金老师教育-中考数学总复习：28特殊三角形--知识讲解(附培优提高题练习含答案解析)
中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高） 【考纲要求】 【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】 1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： (1)具有三角形的一切性质； (2)两底角相等(等边对等角)； (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°． 要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3．判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形． 考点二、直角三角形 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
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全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C G 图2 F A E 图3 D
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．90 AEF ∠=o，且EF交正方 形外角DCG ∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的 中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E 图A D F C G E 图 A D F C G E B 图
相似三角形培优难题集锦(含答_案)
一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F， G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并 求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时， 求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它 们都停止移动．设移动的时间为t 秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的 面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关 于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中 ， ACB＝90°，AC＝6，BC＝ （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
等腰三角形培优提高试题
等腰三角形培优提高试题
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一．选择题（共6小题） 1．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或15 2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线且相交于点F，则图中的等腰三角形有（） A．6个B．7个C．8个D．9个 （第2题）（第3题）（第4题） 3．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、 A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2 5．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 6．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 二．填空题（共8小题） 7．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2：1两部分，已知三角形底边长为5cm，
则腰长为cm． 8．如图，在△ABC中，EG∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，AB=10，AC=12，△AEG的周长为． （第8题）（第9题）（第10题） 9．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=°．10．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm2，BP=6cm，且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP=cm． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．12．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是． （第12题）（第14题）（第14题） 13．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s 的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t （s）表示移动的时间，当t=时，△POQ是等腰三角形． 14．如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为． 三．解答题（共15小题） 15．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案
2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案 一、相似 1．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式． 【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x=﹣； （2）解：存在，∵AD=2t， ∴DF=AD=2t， ∴OF=4﹣4t， ∴D（2t﹣4，0）， ∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t）， ∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论： ①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC， ∴，即，解得：t= ； ②当∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE= AF，即t=2t， ∴t=0，（舍去）， ③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或； （3）解：∵B（1，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2， 当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）?OD= （t+2）?（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）； 当D在y轴的右侧时，如图2， ∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）?OD= （﹣8t+10+2）?（4t﹣4），即 （2＜t＜）． 综上所述： 【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。 （2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可； ②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。 （3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。 2．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点
三角形培优训练100题集锦.docx
三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折” 。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” 。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠” 。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围 . 2、如图，△ ABC中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . A E F B D C
三角形培优经典题型
《三角形》练习题 班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题（每题4分） 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长是（） A、13 B、16 C、17 D、13或17 2、如图1，图中三角形的个数为（） A．17 B．18 C．19 D．20 3、在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，则∠B=（） A、28° B、35° C、15° D、21° 4、如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， ∠A=50°，则∠D=（） A．15°B．20°C．25°D．30° 5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6、如图3，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°， 则∠P的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 7、一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520°， 则原来多边形的边数不可能是（） A、15条 B、16条 C、17条 D、18条 8、已知三条线段分别是a、b、c且a＜b＜c（a、b、c均为整数）， 若c=6，则线段a、b、c能组成三角形的个数为（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
图1 图2 图3 二、填空题（每题4分） 9、若△ABC的三边长分别是4，X，9，则X的取值范围是_____， 周长L的取值范围是_____；当周长为奇数时，X=_____ 10、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围__________． 11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分， 则此等腰三角形的腰长是_____ 12、如图4，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m， 又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________m 13、如图5，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，S△ABC=12， 则S△ADF -S△BEF=_____. 14、如图6，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______° 15、如图7，DC平分∠AD B，E C平分∠AEB，若∠DAE＝α， ∠D BE＝β，则∠D CE＝______ (用α、β表示)． 16、如图8，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，∠O=______°.
培优专题等腰三角形含答案
9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
三角形提高培优经典题
三角形提高培优经典题题 (1)/1与/2有何关系，为什么？ (2)BE与DF有何关系？请说明理由. 2. 已知：/ A=/ C=9C° . ⑴如图，若DE平分/ ADC,BF平分/ ABC的外 角，问DE与BF的位置关系，并证明； ⑵如图，若BF、DE分别平分/ ABC / ADC的外角，问BF与DE的位置关系并证明. 3. 如图，AC BD相交于点O,BE、CE分别平分/ ABD / ACD且交于点E,求证： / E=1/2( / A+/ D) 5. 在△ ABC中,/ ABC的平分线与/ ACB的平分线相交于点P,求证： 1 / P= 90° +丄/ A 2 6. 如图，/ ACD是△ ABC的外角，BP平分/ ABC CP平分/ ACD且BP CP交于1. 如图，四边形ABCD中，/ A=A C= 90BE DF分别是/ ABC / ADC的平分4. 如图，/ AEB / AFD的平分线相交于O点，求证：/ EOF=1/2(/ DAB/ BCD).
点 P. 求证：Z P=丄Z A 2 (1)如图，PB P0分别平分/ ABO / AOB, / A=70 ,则/ BPO= ⑵如图，将△ ABO皆x轴向右平移后可得△ COD,PBPD分别平分/ ABO / CDO. Z A=a ,求Z BPD, ⑶如图，直线0A与直线ED交于C, MA MB分别平分/ OAB / OBA,NC ND分别平分/ OCD Z ODE试探究/ AMB^Z CND有何确定的数量关系，并说明理由. 8.在平面直角坐标系中，B为x轴负半轴上点，A为第二象限内的点.
9如图，三角形ABC内任一点P,连接PA PB PC, 求证：1/2 (AB+BC+ACvAP+BP+CPvAB+AC+BC / A=52?,三条高所在直线的交点为H,求/ BCH的度数。 11如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I , IH 丄BC于H,求证 12。1｝一个等腰三角形的一个外角等于110?,则这个三角形的三个角应该 2} 在/ ABC中, AB = AC 周长为20cm D 是AC上一点, / ABD与/ BCD面积相等且周长差为3cm , / ABC各边的长为 ____________________ 。 13、如图，已知△ ABC中, / C=90 , AC=1.5BC 在AC上取点D,使得 AD=0.5BC 量得BD=1cm求厶ABD的面积。 14. 如图，在七星形ABCDEF中，求/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+ZG 的度数。/ CIH>Z CAD D 为
相似三角形培优训练(含答案)之令狐文艳创作
相似三角形分类提高训练 令狐文艳 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的 面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从 点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出 发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
三角形培优解析
有同学问我：“我听课能听懂，但是不会做题，这是怎么回事？”其实这样的同学大多数问题就出在这里：(1)你只听懂了浅层次的知识，没有深入，所掌握的东西达不到应用的高度；(2)有的同学浅尝辄止，会了一点就认为都会了，比如一个例题老师讲3种方法，他听懂一种就不再听其他解法了；(3)听懂了知识，但是没记住，或没弄明白怎么应用；(4)缺乏数学思想和数学方法的指导，像方程思想、分类讨论思想等都是重要的数学思想和方法；另外，还有些同学因为信心不足，认为数学很难，没有兴趣学，这样就失去了入门的过程，因此更没法深入。 知识点透析： 一.三角形的有关概念 1.三角形的概念包涵三层含义： （1）不在同一条直线上；（2）三条线段；（3）首尾顺次相连. 2.平时所说的三角形的角是指三角形的内角。 3.在表示三角形时，三个字母没有先后顺序，只要三个字母相同就表示同一个三角形。 二．三角形的分类 1.三角形的两种分类方法是各自独立的，但是同一个三角形可以同属于两种不同类别，例如，等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形。 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。 3.在等腰三角形中，若没有指明腰和底边或顶角和底角，则解题时要分类讨论。 三.三角形的高 1.三角形的高是一条线段，即顶点到对边的垂直线段。 2.任意三角形都有三条高。 四．三角形的中线 1.三角形的中线是一条线段，即顶点到其对边中点之间的线段。 2.三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。 五.三角形的角平分线 1.三角形的角平分线是线段，不是直线，不是射线。 2.一个三角形有三条角平分线，他们在三角形的内部，且交于一点。 六．三角形的稳定性 三角形的稳定性说明三角形三条边的长度确定后，其形状和大小也随之确定。 七．三角形的内角和定理 1.三角形内角和定理适用于任意三角形。 2.在三角形中，已知任意两个角，可以求出第三个角。 3.已知三角形中三个内角的关系，可以求出各个内角的度数，通常利用方程的知识来解决。 4.直角三角形的两锐角互余。 八．三角形的外角 1.在三角形的每个顶点处都有两个外角，这个两个外角相等。 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，特别注意“不相邻”。 3.三角形的一个外角大于与它不相邻的每一个内角。 九．多边形 1.多边形是由不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形，多边形的边数大于等于3，有几条边就是几边形。 2.用大写字母表示多边形时，字母必须按顺/逆时针的顺序排列。 3.正多边形必须具备的两个条件： （1）边相等（2）角相等。二者缺一不可。
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