2009高考数学一轮复习——等比数列与数列求和

2009高考数学一轮复习——等比数列与数列求和

一、解决等比数列有关问题的常见思维方法： (1)方程的思想(“知三求二”问题)。 (2)分类的思想。

二、数列求和的方法： 1.已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =_______. 解析：由已知得q 7

=

a

a 10=128=27，故q=2.∴a n =a 3·q

n －3

=3·2

n －3

.

答案：3·2n －3

2.（2006北京卷）如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）

（A ）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9

解析：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B

3. （2006全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6

S 12＝

（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1

9

解析：由等差数列的求和公式可得

3116

1331,26153

S a d a d S a d

+=

==+可得且0d ≠

所以

6112

161527312669010

S a d d S a d

d

+=

=

=

+,故选A

4. 设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.

思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q

于是)3(54

1,081)

1()2()

2(65601)1()1(801)

1(1

1211==∴>∴>=?????

??=--=---n n n

n

n q

a a q q q

q q a q q a 又得

3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a q

a q

n

及得

代入

5. 已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=*

+a N n a S n n

(1)设)(21*

+∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列

(2)设n

n n

a c 2

=

,,求证:数列{}n c 是等差数列

思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n 项和S n 已知可求a n 解:(1) n n n n n n n n n n n a a a a a S S a S a S 444424,2412112121-=-=-?+=+=++++++++即

n n n n n n n n n b b a a b a a a a 22),2(2211112=∴-=-=-?+++++而,由此可得{}n b 是等比数列

且首项1

1212

3,2,32-?=∴==-=n n b q a a b 公比

(2)4

32

2322

2,2

1

1

1

1

11=

?=

=

-

=

-∴=+-++++n n n n n

n n n n n n

n n b a a c c b c

可知{}n c 是首项4

3,2

12

11=

==

d a c 公差的等差数列,4

14

3-

=

∴n c n

6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金800本年度当地旅游产业

收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1

4

(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元写出a n 、b n 的表达式；

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(Ⅰ)第1年投入800万元，

第2年投入800(1-15)万元，……， 第n 年投入800(1-

15

)n-1

万元

所以总投入为a n =800+800(1-15

)+……+800(1-

15

)n-1

=4000[1-(

45

)n

]

第1年的收入400万元， 第2的收入400(1+

14

)万元，……，

第n 年的收入为400(1+14

)n-1

万元

所以总收入b n =400+400(1+

14

)+……400(1+

14

)n-1

=1600[(

45

)n

-1]

(Ⅱ)要使旅游业的总收入超过总投入，即b n -a n ＞0

由(Ⅰ)得1600[(45

)n

-1]-400[1-(

45

)n

]＞0

化简得，5×(

45

)n

+2×(45

)n

-7＞0

设x=(45

)n ，则5x 2

-7x+2＞0 ∴x ＜

25

或x ＞1(舍) 即(

45

)n

＜

25

，故n ≥5

故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入

7.（2006北京卷）设4710

310

()22222

()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（

）

（A ）

2(81)7

n

- （B ）

1

2(8

1)7

n +- （C ）

3

2(8

1)7

n +- （D ）42

(81)7

n +-

解析:依题意()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式D 8.若数列{}n a 满足：1.2,111

===+n a a a n n ，2，3….则=

+++n a a a 21 .

解析:数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴

=

+++n a a a 21212121

n

n

-=--.

9. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =3

1(a n -1)(n ∈N,n ≥1) (1)求a 1,a 2

(2)求数列{a n }的通项公式

(3)b n =n,令C n =b n a n ,求数列{C n }的前n 项和 解：（1）由)1,)(1(3

1≥∈-=

n N n a S n n 2

1),1(3

11111-

=∴-==∴a a S a

4

1),1(3

122221=

∴-=

=+a a S a a ……………………4分

（2）)(3

1)1(3

1)1(3

1111----=

--

-=

-=n n n n n n n a a a a S S a

)1(2

11

>-

=∴

-n a a n n }{n a ∴是首项公比均为2

1-

的等比数列 n

n a )2

1(-

=……8分

（3）设}{n C 前n 项的和T n ，n

k n n n a b C )2

1(-

?==

n

n n T )2

1()2

1(3)2

1(2)21(13

2

-

++-

?+-

?+-?=∴ ………………①

1

3

2

)

21()2

1()1()2

1(2)2

1(21+-?+-?-++-

?+-

=-n n

n n n T ………………②

①－②：1

3

2

)

2

1()2

1()2

1()21()2

1(2

3+-

?--

++-

+-+-

=n n

n n T

6

2

)

21)(23(2

)

21()21(1]

)21(1[21--+=

-

?+

-

--

--=

n

n

n

n n

9

2

)

2

1)(23(--

+=

∴n

n n T ………………14分

10. 求和：)(,32114

3211

3211

211

1*

N n n

∈++++++++++

+++

++

。

解：)

1(2211

+=

+?++=

k k k

a k ，

])

1n (n 1

3

212

11[

2S n ++

?+?+

?=∴

11121113121211[2=

??

? ??

+-=??? ??+-+?+??? ??-+??? ?

?-

=n n n

高三等比数列复习专题

一、等比数列选择题 1．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()( )* 21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记 数列{} 2n n a ?的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．10 D ．11 2．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16- 3．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝ （ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 4．已知数列{}n a 满足112a = ，* 11()2 n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列 {}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．3 (1,)2 - C ．3(,)2 -∞ D ．(1,2)- 5．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2 n n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ． 11021 B ． 11022 C ．1 1023 D ．1 1024 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111 30(2),3 n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ?????? 是等差数列 B ．13n S n = C ．1 3(1) n a n n =- - D ．{} 3n S 是等比数列 7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n D ．1+(n -1)×2n 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ）

等比数列求和教案

课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标

●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程

高考等比数列专题及答案百度文库

一、等比数列选择题 1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ）

2019高三第一轮复习：等比数列

2019高三第一轮复习：等比数列 1．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．已知等差数列的公差为，若成等比数列，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为( ) A ． B ．-2 C ．1或 D ．-1或 4．已知等比数列满足，则（ ） A ．243 B ．128 C ．81 D ．64 5．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．1 2 C ． 3 D ．1 3 6．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ） A ． B ． C ． D ． 7．若等差数列的公差且成等比数列，则（ ） A ． B ． C ． D ．2 8．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 9．如果数列的前n 项和为，则这个数列的通项公式是（） A ． B ． C ． D ． 10．记为数列的前项和，若，则等于 A ． B ． C ． D ． 11．若公差为的等差数列的前项和为,且成等比数列，则 A ． B ． C ． D ． 12．等比数列中，，则的前4项和为（ ） A ．48 B ．60 C ．81 D ．124

13．已知是等比数列前项的和，若公比，则（ ） A ． B ． C ． D ． 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，*12()n n a a n N +=∈，则5S 等于（ ） A ．32 B ．48 C ．62 D ．93 15．等比数列{}n a 的各项均为正数，且544a a =，则212822log log log a a a ++?+=（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 16．等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求． 17．已知数列满足，，设． （1）求 ；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式． 18．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.

高二数学必修5等比数列前n项求和法：等比数列求和公式

高二数学必修5等比数列前n项求和法|等比数列 求和公式 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提， 是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想 到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系 的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解 题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重 点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理 解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知 识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什 么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有 这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即 将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以 有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思 维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听

等比数列求和公式

等比数列求和公式 万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π 2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义

2021版高三数学(新高考)一轮复习检测 (35)第5章第三讲等比数列及其前n项和

[练案35]第三讲等比数列及其前n项和 A组基础巩固 一、单选题 1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( A ) A．－24 B．0 C．12 D．24 [解析] 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x ＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项等于－24，故选A. 2．(2020·广东百校联考)在等比数列{a n }中，a 1 ＝2，公比q＝2.若a m ＝ a 1a 2 a 3 a 4 (m∈N*)，则m＝( B ) A．11 B．10 C．9 D．8 [解析] 因为a m ＝a 1 a 2 a 3 a 4 ＝a4 1 q6＝24×26＝210＝2·2m－1＝2m，所以m＝10，故 选B. 3．(2020·贵州贵阳期中)设S n 为等比数列{a n }的前n项和，8a 2 ＋a 5 ＝0，则 S 5 S 2 ＝( C ) A．11 B．5 C．－11 D．－8 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q，∵8a 2 ＋a 5 ＝0， ∴q3＝－8，∴q＝－2，∴S 5 S 2 ＝ 1－q5 1－q2 ＝－11，故选C. 4．(2020·陕西西安远东中学期中)已知等比数列{a n }的前n项和为S n ，S 3 ＝a 2＋10a 1 ，a 5 ＝9，则a 1 ＝( C ) A． 1 3 B．－ 1 3 C． 1 9 D．－ 1 9 [解析] 设数列{a n }的公比为q，∵S 3 ＝a 2 ＋10a 1 ，

∴a 3＝9a 1，∴q 2＝9，又a 5＝9，∴a 1q 4＝9， ∴a 1＝1 9 ，故选C. 5．(2020·甘肃天水二中月考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝ a n ＋1 a n ，若b 10b 11＝2，则a 21＝( C ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．212 [解析] ∵b 10b 11＝2，∴b 1·b 2·……·b 10·b 11·……·b 19·b 20＝210，又b n ＝a n ＋1a n ，∴a 2a 1·a 3a 2·……·a 20a 19·a 21a 20＝210，∴a 21 a 1 ＝210，又a 1＝2，∴a 21＝211，故选C. 6．(2020·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列{a n }的公比为q>0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a n S n ，则( D ) A ．T 3≤T 6 B ．T 3T 6 [解析] T 6－T 3＝a 6(1－q )a 1(1－q 6)－a 3(1－q )a 1(1－q 3)＝q 5(1－q )1－q 6－q 2(1－q )1－q 3＝－q 2(1－q ) 1－q 6 ，由于q>0且q ≠1，所以1－q 与1－q 6同号，所以T 6－T 3<0，∴T 6

高二数学等差等比数列与数列求和

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【高考命题】 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． (1)1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； (2) 1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n （4） {}n a 为等差数列，公差为d ，则 1 1 n n a a += 【小测】 1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2 ＝________. 解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5 S 2＝ a 11－q 51－q · 1－q a 1 1－q 2 ＝1－q 51－q 2 ＝1－ －25 1－4 ＝－11. 3．(无锡市第一学期期末考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由2S 9＝S 3＋S 6得2· a 11－q 91－q ＝ a 11－q 31－q ＋a 1 1－q 61－q ，所以2q 9 ＝q 3＋q 6，即1＋q 3＝2q 6.由于a 2＋a 5＝2a m ，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q m －1，即1＋q 3＝2q m －2，所以m －2＝6，所以m ＝8. 4．数列{a n }是等差数列，若a 11 a 10 ＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________. 解析 由题意，可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11 a 10 ＜－1，所以a 10＞0， a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19. 【考点1】等差数列与等比数列的综合

高三数学等比数列问题常见错误

等比数列问题常见错误剖析 一、概念不明 例1 若2233k k k ++， ，是一个等比数列的前三项，则k = ． 错解：依题意22k +是k 和33k +的等比中项， 2(22)(33)k k k +=+∴，整理得2540k k ++=， 解得1k =-或4k =-． 剖析与正解：此解忽视了等比数列任意一项都不为0这一条件，所以1k =-不适合题意，应舍去，答案为4k =-． 二、忽视隐含条件 例2 已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1 238a a a =··，求n a ． 错解：2132a a a =∵·，312328a a a a ==∴··， 22a =∴，1313 54a a a a +=??=?，，∴· 解得1314a a =??=?，，或13 41a a =??=?，． 231a a q =∵，2q =±∴或12 q =±， 12n n a -=∴或1(2)n n a -=-或32n n a -=或3(2)n n a -=-． 剖析与正解：由上面求出的123a a a ，，的值，可得到题目的一个隐含条 件0q >，所以2q =或12 q =，所以12n n a -=或32n n a -=． 三、忽视公式的使用范围 例3 已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差为d ，2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 错解：11()1222n n n n a a a n a n b b ++-+==∵，∴数列{}n b 是一个首项为124a =，公比为2d 的

等比数列， 4(12)12 nd n d S -=-∴． 剖析与正解：等比数列的前n 项和公式1(1)1n n a q S q -=-只在1q ≠时适用，当1q =时，1n S na =． 4(0)4(12)(0)12nd n d n d S d =??=?-≠??-∴ ，． 例4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2log (1)1n S n +=+，求数列{}n a 的通项公式． 错解：由2log (1)1n S n +=+，得121n n S +=-， 1121(21)2n n n n n n a S S +-=-=---=∴， ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =． 剖析与正解：错因在于忽略了公式1n n n a S S -=-成立的条件为1n >． 当1n =时，113a S ==，不满足2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为 3(1)2(1) n n n a n =?=?>?，．

高三第一轮复习等比数列教案

高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列 一、考点分布 1. 等比数列的概念（B ） 2. 等比数列的通项公式与前n 项和的公式（C ） 二、考试要求 1. 理解等比数列的概念； 2. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式 3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题； 4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点 1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点； 2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程 2. 基础练习 （1）在等比数列{}n a 中，已知333 1,4 a S == ，则6a =__________. 提示：-8 方法一：基本量法列出1,a d 方程组；方法二：求和公式 （2）在等比数列{}n a 中，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则公比q =_________. 提示：由题意，得21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，故(31)0q q -=. 又0q ≠,所以13 q = .

说明：等比数列通项公式与和n S 之间的联系，注意0,0.n a q ≠≠ （3）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则 46a a += 9 ． （4）设4710310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n 等于 （A ） 2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42 (81)7n +- 3. 典型例题 例1.（1） 若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 2a 3与S 3a 2的大小关系是 (A) S 2a 3＞S 3a 2 (B) S 2a 3＜S 3a 2 (C) S 2a 3= S 3a 2 (D)不确定 （2）已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ∈N *)，则{a n }的通项公式为_______． 例2.若数列}{n a {}:n b 满足1211,(),(1,2,3,).n n n a a a a b a a n +===?=???为常数且 （Ⅰ）若{a n }是等比数列，试求数列{b n }的前n 项和S n 的公式； （Ⅱ）当{b n }是等比数列时，甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解：（1）因为{a n }是等比数列a 1=1,a 2=a .∴a ≠0，a n =a n －1. 又1n n n b a a +=?， 1 2112211211,n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a +++++-+?=?=====?则, 即}{n b 是以a 为首项, a 2为公比的等比数列. 22 (||1),(1) (||1). 1n n na a S a a a a =?? ∴=?-≠? -? （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{b n }的公比为q ，则 1122 10n n n n n n n n b a a a q a b a a a +++++===≠且 又a 1=1,a 2=a , a 1, a 3, a 5,…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列； 而a 2, a 4, a 6, …, a 2n , …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{a n }为：1，a , q, a q , q 2, a q 2, …. 当q=a 2时，{a n }是等比数列；当q≠a 2时，{a n }不是等比数列. 例3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11 3 n n a S +=，n =1，2，3，……， 求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）13521n a a a a -+++ +的值.

等比数列的求和公式

等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1） 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。 例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ； （2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。

例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。 例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？ 例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。 例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。 例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。

高三第一轮复习《等比数列》教学设计

高三第一轮复习《等比数列》教学设计 教学目标：1.使学生理解等比数列的概念，掌握其通项公式，并能运 用定义及其通项公式解决一些简单的实际问题。 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系 3.用类比的方法研究等比数列 ,使学生对数列建立起一个 知识体系,培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力和计算能力,多让学生动手,让学生在解题中,体会成功的快乐 教学重点：1.等比数列的通项公式及其推导过程 2.等比数列性质的应用 教学难点：等比数列的实际应用问题或与其他知识交汇题的题目 教学方法：自主探究、合作学习 教学过程： 一、知识点的整理: 1．等比数列的定义: 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1， 公比为q ，则它的通项a n ＝11-n q a 3.等比中项：若xy G =2，那么 G 叫做x 与y 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 5．等比数列的前n 项和公式 二、典例分析 练习 （口答) 性质的应用 (1)．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________. (2)．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________. (3)．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比

q 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 (4)．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 例1等比数列的基本量的运算 （1）已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n （2）在等比数列中，若.14321=a a a a ，816151413=a a a a ，求44434241a a a a 例2等比数列的判定与证明 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 变式:设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1， S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式 课堂小结 通过本节课的学习，你对等比函数有什么认识？你有什么收获？ 1.设计意图： 等比数列在高中数学中占有很重要的位置.这一节的难点是对公式的理解及灵活应用,如何突破这一难点,就要让学生理解公式的由来和涉及的数学思想,比如累乘法.然后讲一些典型题,易错易漏题.本节课，力图让学生从不同的角度去研究数列，对等比数列进行一个全方位的研究，并通过类比的方法,把研究等差数列的方法迁移过来. 本课的教学中我努力实践以下两点： （1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式. （2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法. （3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法.

考点19 等比数列(讲解)(原卷版)-2021年高考数学复习一轮复习笔记

考点19 等比数列【思维导图】

【常见考法】 考法一：定义的运用 1.已知数列{}n a ，11a =，n N +?∈，121n n a a +=+.求证：{1}n a +是等比数列； 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，() * 11n n a S n n N +=++∈.求证：{}1n a +为等比数列，并 求{}n a 的通项公式；

3．已知数列{}n a 中，其前n 项和n S 满足22(*)n n S a n =-∈N ．求证：数列{}n a 为等比数列，并求{}n a 的通项公式； 考法二：中项性质 1．已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为 。 2．已知数列{}n a 是等比数列，函数2 =53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a = 。

3．在等比数列{}n a 中，4a ，6a 是方程2510x x ++=的两根，则5a = 。 4．在正项等比数列{}n a 中，10101 10 a =，则1232019lg lg lg lg a a a a ++++=L _______. 5．己知数列{}n a 为正项等比数列，且13355724a a a a a a ++=，则26a a += 。 6．实数数列2 1,,4,a b 为等比数列，则a = 。 7．在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，则 216 9 a a a 的值为 。 8．已知0ab >，若2是2a 与4b 等比中项，则41121 a b +++的最小值为 。 9．已知1291a a －，，，－ 四个实数成等差数列，12391b b b －，，，，－五个实数成等比数列，则

高二数学 等比数列求和公式的推导过程及方法

等比数列求和公式的推导过程及方法 Sn=a1+a2+……+an q*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n (1-q)*Sn=a1*(1-q^n) Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) 等差数列 通项公式： an=a1+(n-1)d 前n项和： Sn=na1+n(n-1)d/2 或Sn=n(a1+an)/2 前n项积： Tn=a1^n + b1a1^(n-1)×d + ……+ bnd^n 其中b1…bn是另一个数列,表示1…n中1个数、2个数…n个数相乘后的积的和等比数列 通项公式： An=A1*q^（n－1） 前n项和： Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 前n项积： Tn=A1^n*q^(n(n-1)/2) 设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为Sn Sn=a1+a2+a3+……+a(n-1)+an =a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1) 等式两边乘以公比q q*Sn=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^(n-1)+a1*q^n 两式相减 Sn-q*Sn =a1+(a1*q-a1*q)+(a1*q^2-a1*q^2)+……+[a1*q^(n-1)-a1*q^(n-1)]-a1*q^n =a1-a1*q^n 即(1-q)*Sn=a1*(1-q^n) 得Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) F=100*[1+(1+0.06)^3+(1+0.06)^2+(1+0.06)] =100*[(1+0.06)^0+(1+0.06)^1+(1+0.06)^2+(1+0.06)^3] 可以看出中括号内是首项为1、公比为1+0.06的等比数列前4项求和 套用上面的公式,a1=1,q=1+0.06,n=4,可得 F=100*{1*[1-(1+0.06)^4]/[1-(1+0.06)]} =100*[(1+0.06)^4-1]/0.06 第1页共1页

高三第一轮复习《等比数列》教学设计

高三第一轮复习《等比数列》教学设计 教学目标：1.使学生理解等比数列的概念，掌握其通项公式，并能运 用定义及其通项公式解决一些简单的实际问题。 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系 3.用类比的方法研究等比数列 ,使学生对数列建立起一个知识体系, 培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力和计算能力,多让学生动手,让学生在解题中,体会成功的快乐 教学重点：1.等比数列的通项公式及其推导过程 2.等比数列性质的应用 教学难点：等比数列的实际应用问题或与其他知识交汇题的题目 教学方法：自主探究、合作学习 教学过程： 一、知识点的整理: 1．等比数列的定义: 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1， 公比为q ，则它的通项a n ＝11-n q a 3.等比中项：若xy G =2，那么 G 叫做x 与y 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 5．等比数列的前n 项和公 式 二、典例分析 练习 （口答) 性质的应用 (1)．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________. (2)．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.

(3)．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比 q 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 (4)．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 例1 等比数列的基本量的运算 （1）已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n （2）在等比数列中，若.14321=a a a a ，816151413=a a a a ，求44434241a a a a 例2等比数列的判定与证明 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 变式:设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1， S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式 课堂小结 通过本节课的学习，你对等比函数有什么认识？你有什么收获？ 1.设计意图： 等比数列在高中数学中占有很重要的位置.这一节的难点是对公式的理解及灵活应用,如何突破这一难点,就要让学生理解公式的由来和涉及的数学思想,比如累乘法.然后讲一些典型题,易错易漏题.本节课，力图让学生从不同的角度去研究数列，对等比数列进行一个全方位的研究，并通过类比的方法,把研究等差数列的方法迁移过来. 本课的教学中我努力实践以下两点： （1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式. （2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话

常用的一些求和公式

下面是常用的一些求和公式：

a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数) 称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数. 通项公式 前n项和 等差中项 a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数) 称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数. 通项公式 前n项和 等比中项

无穷递减等比级数的和 更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数) 等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

高考数学等比数列知识点总结

2019年高考数学等比数列知识点总结 1、会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列一些简单问题；提高分析、解决实际问题的能力。 2、通过公式的灵活运用，进一步渗透分类讨论的思想、等价转化的思想。 一、课前导入 1、等比数列的前n项和公式： 当时，①或② 当q=1时， 当已知，q，n时用公式①；当已知，q，时，用公式② 2、目前学过哪些数列的求和方法? 二、反馈纠正 例1、在等比数列中，为前n项的和，若=48，=60，求。 例2、在等比数列共有2n项，首项a1=1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数2n。 例3、数列满足a1=1，a2=2，且是公比为q的等比数列，设bn=a2n-1+a2n(n=1，2，3，) 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言

警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章，还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落，对提高学生的水平会大有裨益。现在，不少语文教师在分析课文时，把文章解体的支离破碎，总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲，学生头疼。分析完之后，学生收效甚微，没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍，其义自见”，如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文，或细读、默读、跳读，或听读、范读、轮读、分角色朗读，学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧，可以在读中自然加强语感，增强语言的感受力。久而久之，这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中，就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。 (1)求证：数列是等比数列； 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确