不动点定理及其应用(高考)
摘要
本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.
关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.
Abstract
This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.
Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.
目录
第1章绪论3
1.1导论3
1.1.1 选题背景3
1.1.2 选题意义2
1.1.3 课题研究内容3
1.2 研究现状2
1.3本章小结3
第2章不动点定理4
2.1 有关概念4
2.2 不动点定理和几种推广形式4
2.3本章小结7
第3章不动点定理在数列中的应用8
3.1 求数列的通项公式8
3.2 数列的有界性9
3.3 数列的单调性及收敛性11
3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论11
3.3.2数列的单调性、收敛性的证明14
3.4本章小结17
第6章结束语18
参考文献19
第1章绪论
1.1导论
不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．
不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体[5]上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach 不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论．
1.1.1 选题背景
不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.
1.1.2 选题意义
利用“不动点”法巧解高考题，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.
1.1.3 课题研究内容
本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推
论，研究了以下的内容：
①利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.
②以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.
③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．
1.2研究现状
不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.
不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.
许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数把单位闭区间映到中，则有，使.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.
近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.
1.3 本章小结
本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.
第2章不动点定理
2.1 有关概念
函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数的取值过程中，如果有,使.就称为的一个不动点．
对此定义，有两方面的理解：
⑴代数意义：若方程有实数根，则有不动点．
⑵几何意义：若函数与有交点，则为的不动点．
为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.
定义1[7]度量空间: 设是一个集合，.如果对于任何，有
⑴（正定性）,并且当且仅当；
⑵（对称性）；
⑶（三角不等式），
则称是集合的一个度量,偶对是一个度量空间.
定义2[7]压缩映射：给定如果对于映射:存在常数,使得，则称是一个压缩映射.
定义3[7]Cauchy 列：给定,,若对任取的,有自然数使对,都成立则称序列是Cauchy列.
定义4[7]完备度量空间：给定，若中任一Cauchy 列都收敛,则称它是完备的.
定义5[8]不动点：给定度量空间及的映射如果存在使则称为映射的不动点.
定义6[9]凸集：设是维欧式空间的一点集，若任意的两点的连线上的所有的点;则称为凸集.
2.2 不动点定理和几种推广形式
不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成的形状这里的是某个适当的空间中的点，是到的一个映射，把每个移到.方程的解恰好就是在这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.
首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明
定理l（Banach 不动点定理——压缩映射原理[10]）设是一个完备的度量空间是到其自身的一个压缩映射,则在中存在惟一的不动点.
证明首先,证明存在不动点
取定以递推形式确定一序列是Cauchy 列.事实上，由任取自然数,不妨设那么
从而知是一Canchy 列,故存在使且是的不动点,因为
故,即,所以是的不动点.
其次,下证不动点的惟一性
设有两个不动点,那么由及有
设,则,得到矛盾，从而，唯一性证毕.
作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：
定理2设是Banach空间，为中非空紧凸集，是连续
自映射，则在中必有不动点.
Sehauder不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意，是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其为Schauder不动点定理II：
定理3设E是Banach空间，为中非空凸集，是紧的连续自映射，则在中必有不动点.
定义6设是线性拓扑空间，如果中存在由凸集组成的零邻域基，则称是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.
1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理：
定理4设是局部凸线性拓扑空间，是其中的非空紧凸集，是连续自映射，则必有不动点，即存在，使得.
1950年，Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder--Tychonoff不动点定理：
定理5 设是局部凸线性拓扑空间，是其中的非空凸集，是紧连续自映射，则必有不动点，即存在，使得.
从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点，
定义如下：
定义7设是拓扑空间，是集值映射，其中表示的所有非空子集的集合.若存在，使，则称是的不动点.
1941年，kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani不动点定理：
定理6设是凸紧集，且是具闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.
1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形：
定理7设是Banach空间，是中的非空紧凸集，是具有闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.
1952年，Fan，Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理.即：
定理8 设是局部凸的Hausdorff线性拓扑空间，是中的非空紧凸集，是具有闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.
1968年，Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder不动点定理：
定理9 设是Hausdorff线性拓扑空间E中的非空凸紧子集，集值映射满足：
(1)对任意，是中的非空凸集
(2)对任意是Z中的开集
则存在，使.
本章小结
本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式.
第3章不动点定理在数列中的应用
在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I为例，2007年，2008年、2010年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决．
用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.
3.1求数列的通项公式
定理10已知数列满足,其中，设是唯一的不动点，则数列是一个等差数列.
证明因为是唯一的不动点，所以是方程，亦即是一元二次方程的唯一解.得
所以
把代入上式，得:
令，可得数列是一个等差数列.
在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.
例1若（，且）求数列的通项公式.
解根据迭代数列，构造函数，易知有唯一的不动点，
根据定理可知，
则
即数列是以首项，公差为的等差数列.则对应的通项公式为
解得
又也满足上式.所以的通项公式为.
对于此类形式的数列，已知数列满足,其中，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列是以首项，公差为的等差数列.
推论已知数列满足,其中，设是唯一的不动点，则数列是一个公比为等比数列
例2 若，（，且），求数列的通项公式.
解根据迭代数列，构造函数，易知有唯一的不动点，
根据推论可知，
则
所以
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则当时，有，
故
又也满足上式.
所以的通项公式为.
在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知及递推公式，求数列的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.
3.2 数列的有界性
在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳法证明.
例3(2008年全国II)函数.数列满足．证明:．
分析函数的不动点是显然此题就是要证明数列向不动点收敛
证明当时，，所以在区间内是增函数；又，所以
；
假设时有，因为是增函数，所以，即，当时结论也成立．故原不等式成立
这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.
例4（2010年全国I)已知数列中，，求使不等式成立的的取值范围.
解:该数列应该是向其某个不动点收敛.不妨设该不动点为，则有，即方程在有一个实根．我们继续用不动点的思路方法解决该问题.
因为对任意自然数都成立，所以首先应有，可得．
设，则是增函数，.
令，即.当时，该方程有2个不等的实数根．设为，由韦达定理，可知只要让即可.
令.
即当时，在上存在不动点(就是)所以的取取范围是.再用数学归纳法证明结论的正确性：
因为且在是增函数，所以当时，
有.
假设时，有．因为是增函数，故，即，当时结论也成立，所以当的取值范围是时，
有在区间内的不动点，数列单调递增向该不动点收敛.
3.3 数列的单调性及收敛性
近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐，如求数列的通项公式，利用不动点研究数列的单调性等等．下文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．
3.3.1 关于数列单调性、收敛性的重要结论
定义8设，其中是的一个区间，数列由和递推关系来定义.则数列称为递推数列.称为数列的特征函数，称为数列的特征方程，称为初始值.
若设是连续的，若收敛而且有极限，.因此问题就变为寻找方程解(即的不动点)，并验证数列是不是收敛于数．
定理11设是定义在上的一个压缩映射，则由任何初始值和递推数列，生成的数列收敛．
证明：由于是上的一个压缩映射，故，则，且，使得，有
于是，（不妨设)，只要取，都有根据Cauchy收敛准则，收敛．[证毕]
定义9 在不动点处，若，则称为的吸引不动点；若，则称为的排斥不动点．
定理12若是定义在上的连续可导函数，是吸引不动点，则存在的邻域区间，对一切，都有且．这里的记号.
证明：因为连续可导，又，则这样的区间显然存在．
对任意一点，在为端点的闭区间上，由拉格朗日中值定理得
所以，由定理1可得数列收敛，且．[证毕]
定理表明吸引不动点在迭代过程中，可以吸引周边的点．下面研究数列将以何种方式收敛于.
定理13若是定义在上的连续可导函数，只有一个不动点，且为吸引不动点，初始值,递推数列，则(1)当在上递增时，则数列单调且收敛于；(2)当在上递减时，则的两个子列的和一递增一递减，且收敛于．
证明：(1)当在上递增时，若，则由数学归纳法可证明，递增；若，则由数学归纳法可证明，递减．
(2)当在上递减时，此时复合函数递增，而子数列和中有一个递增，另一个递减．若，用数学归纳法可证明单调递增．事实上，若，则，，由此可得单调递减；若，证明类似．[证毕]
定理14若是定义在上的连续可导函数，有且只有两个不动点且，异于的初始值，递推数列．则两个不动点至多只有一个吸引不动点．
证明：设函数，则.假设两个不动点同为吸引不动点，则从而.又，可得,使得，则，同理，使得．由连续及零点存在定理，得在区间上必有一个零点．这与仅有两个零点矛盾．因此假设不成立，则两个不动点，至多一个为吸引不动点．[证毕]
定理15若是定义在上的连续可导的凸函数，有且只有两个不动点，且，中有一个吸引不动点，．异于的初始值，递推数列，则为吸引不动点，为排斥不动点，且当 证明：由为凸函数，可得为增函数．由且中有一个吸引不动点及定理4得，即为吸引不动点，为排斥不动点．构造函数，则为增函数且．于是，使得，于是在上递减，在上递增．下面分四种情况进行说明： (1)当时，即，所以，结合数学归纳法易证单调递增且收敛于； (2)当时，即，所以，结合数学归纳法易证单调递减且收敛于； (3)当时，即所以，结合数学归纳法易证单调递减且收敛于； (4)当时，即，所以，结合数学归纳法易证单调递增且不收敛． 综上，当时，单调递增且不收敛；当时，单调递减且收敛于；当时，单调递增且收敛于[证毕] 定理表明初始值也将影响数列收敛与否、以何种方式收敛于. 3.3.2 数列的单调性、收敛性的证明 当初始值与特征函数都确定的情况下，主要判断特征函数的单调性，及不动点是否为吸引不动点，借助定理13可以解决． 例5 (2007广东理)已知函数,是方程的两个根() ,是的导数．设.(1)求的值；(2)证明：对任意的正整数,都有；(3)略． 解：(1)易得. (2)，则，特征函数，特征方程，即，于是不动点，，,可得均为吸引不动点． 又,当,由定理13可得数列单调递减，且. 本题的背景是牛顿切线法求方程的近似解.本题特征函数在定义域上不连续，有两个吸引不动点．由于初始值且不动点的导数值恰为，使得时恒有，使问题简单化．例6(2009陕西22)已知数列满足，. ⑴猜想数列的单调性，并证明你的结论；(2)略． 解：由得特征函数,在、上分别单调递减．由特征方程得不动点.由于，则，，可得为排斥不动点，为吸引不动点． 由在上单调递减，又且 由定理13得数列的两个子列单调递增，单调递减． 由于特征函数在上单调递减，结合定理13，可得如下结论： 当时，可得，数列单调递增，单调递减；当时，数列为常数列；当时，可得，数列单调递减，单调递增． 当初始值或特征函数中出现未知量或参数时，难度有所增加，考虑降低难度要求的需要，高考题给出的特征函数一般为凹或凸函数，此时主要结合定理15进行判断即可． 例7(2009安徽21)首项为正数的数列满足． (I)略；(II)若对一切n∈N ，都有，求的取值范围. 解：（II）记，则，，于是为凸函数.令得不动点.由对一切，都有，得数列为递增，根据定理15得，或，又，所以的取值范围或 本题已知数列的单调性，求首项的取值范围，利用不动点定理可以证明数列的单调性及 收敛性，所以此题是对数列单调性及收敛性的逆向考查，是高考中的难题，继续采用不动点定理的思想，根据定理15可以很简单快捷地求出首项的取值范围，有别出心裁的效果. 3.4 本章小结 本章详细研究了利用不动点定理解决求数列通项，数列有界性，数列的单调性及收敛性问题，对这类问题的解决方法做了简单的概括. 第6章结束语 本次的毕业论文创作过程是对大学四年学习的一个总结.在历时将近半年的时间里，我通过到图书馆翻阅资料，上网，质询指导老师，收集了足够的质料，按照指导老师提供的要求按时完成了我的论文. 通过撰写毕业论文，对不动点定理有了自己的认识和进一步的理解.不动点定理虽然是拓扑学中的一个著名的定理，但它在初等数学中也有极其广泛的运用，运用不动点定理可以简单快捷地解决初等数学中的一些问题，例如本文中提到的求数列通项、数列的有界性问题，数列的单调性及收敛性方面的问题；当然本文所涉及的不动点定理的应用不是很全面,还有很多方面的内容没有涉及. 本次毕业论文，我按照老师的要求完成了大部分论文的内容.不动点定理，我论文中有了详细的说明，不动点定理在数列中的应用文中也作了详细的分析. 这次毕业论文让我在数学理论知识应用上成熟了很多，是大学四年学习的总结，也是今后工作的宝贵经验和财富. 随着全国教育体系的逐步完善，我相信数学的学习深度将进一步提高，我希望本论文对读者了解不动点定理及其在数列中的应用有所帮助. 参考文献 [1] CLARKSON J A．Uniformly Convex Spaces[J]．Trans．Amer．Math．Soc．,1936,40(3)：396~414． [2]CLARKSON J A．1nhe von Neumann Constants for Lebesgue Space[J]．Ann of Math,1937，38(1)：114~115. 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[23]张恭庆,等.泛函分析讲义[M].北京：北京大学出版社,1990 . 办公用品领用记录 不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。 （一）、压缩算子: 1、定义： 设（1）X 距离空间； （2）算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤ （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。 （4）误差估计 ①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步，将* n x x ≈，则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取* n x x ≈。此方法简单，但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =； Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设（1）X ----完备的距离空间； （2）:T X X →的算子。 泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解， 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵，方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来： ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件： （1）(),F x y 在整个平面上连续； （2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明：用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体，其中d 满足1K d <。,f g X "?，用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于 题目：不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。 关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用 Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem. 目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1) 1.1压缩映射原理（距离空间） (1) 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14) 前言 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]． 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、 许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧 不动点理论及其应用 主要内容： 不动点理论一压缩映像原理 不动点理论在微分方程中的应用 不动点理论在中学数学中的应用目录： 一、弓丨言 二、压缩映像原理 三、在微分方程中的应用 四、在中学数学中的应用 五、其它 一、引言 取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上, 那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的这个重合点就是一个不动点 函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点 即函数f(x)在取值过程中，如果有一个点X。使f(X0)X o,则X o就是 一个不动点。 二、压缩映像原理 定理：(Banach不动点定理一压缩映像原理) 设(X,)是一个完备的距离空间，T是(X,)到其自身的一个压缩映射，则T 在X上存在唯一的不动点 这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射 距离空间又称为度量空间 定义：(距离空间)设X 是一个非空集合。X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数(x, y) ，满足下面三个条件： (1)。(x,y) 0，而且(x, y) 0，当且仅当x y； (y,x)； (2)。(x,y) (3)。(x,z)(x, y) (y,z)， ( x,y,z X )。 这里叫做X 上的一个距离，以为距离的距离空间X 记作(X, ) 定义：(完备的距离空间) 距离空间( X, ) 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。 定义：(压缩映射)称映射T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射，如果存在0 a 1，使得(Tx,Ty) a (x,y) ( x,y X )成立。 三、在微分方程中的应用 定理：(存在和唯一性)考虑如下初值问题 d y f(x,y), dx y(x o) y o. 假设f(x,y)在矩形区域 R： |x x o | a, | y y°| b 内连续，而且对y满足Lipschitz条件，则上述问题在区间I [X。h,X。h]上有且仅有一个解，其中 h min2，寻｝, M (m y a>R| f(x,y)|. (1)。传统的证明方法 通常，我们分成四步来证明： a.转换成等价的积分方程 x y y o x f(t,y)dt x o b.构造皮卡迭代序列 c.证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解 d.证明解唯一 (2)。压缩映像原理证明 根据上面的理论，先定义X C[x。h, X。h] C(l) 然后，给一个度量(x,y) max|x(t) y(t)| 摘要 本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用. 关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性. Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number. Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence. 目录 不动点定理及其应用综述 摘要本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理 压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为： 定义1.1设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有 ,x y X ∈，有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤（1.1） 则称T 是压缩映射。 定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2） 则{}n x 为柯西点列。实际上， 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （1.3） 根据三点不等式，当n m >时， 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++ 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 011(,)1n m m d x x ααα --=- （1.4） 由于1α<，故11n m α--<，得到 01(,)(,)()1m m n d x x d x x n m αα ≤>-（1.5） 所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。由于X 完备， x X ?∈， 不动点定理及其应用 摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理. 关键词不动点;不动点定理;Banach空间 Fixed Point Theorems and Its Applications Abstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved. Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space 不动点定理及其应用 0 引言 在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论 [1-3] .而在非线性泛函中是 研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义. 定义 0.1设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =. 对此定义,有以下理解. 1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x . 2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点. 在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算. 本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳. 1 Banach 不动点定理及其应用 1.1相关概念 首先介绍本文用的一些概念. 定义1.1.1[3] 设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在 0>N ,使得当N n m >,时,()ερ 目录 内容摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 1．引言 (1) 2．不动点定义及定理介绍 (2) 2.1不动点相关定义 (2) 2.2不动点思想 (2) 2.3不动点相关定理 (6) 3．不动点思想在其他学科的应用 (8) 3.1在求数列通项公式中的应用 (8) 3.2在求方程解中的应用 (11) 3.3在求函数解析式中的应用 (12) 4．不动点定理在证明中的应用 (14) 4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14) 4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15) 4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17) 4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17) 4.5 不动点定理在图论中的证明 (14) 参考文献 (18) 致谢 (19) 内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。 关键词：不动点不动点思想不动点定理应用 Abstract： Key words： 1．引言 泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽象的结果。 不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach 不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。 2．不动点相关定义及定理介绍 2.1不动点相关定义 定义1 设X 为非空集合，:T X X ?是一个映射，如果x X $ 使得T x x =成 立，则称x 为映射T 的一个不动点。 特别地，函数()f x 是定义在D R ì上的函数，如果x D $ 使得()f x x =成立，则称x 为函数()f x 的一个不动点。 定义 2 设(),X r 是距离空间，T 是X 到其自身的映射，且对于任意的 ,x y X ?，不等式()(),,Tx Ty x y r qr ￡都成立，其中q 是满足01q ?的常数。则 称T 是X 上的压缩映射。 2.2不动点思想 首先，对于函数()y f x =的不动点，有两个方面的理解： 1）()y f x =的不动点，是方程()0f x x -=的根。 2）()y f x =的不动点，是函数()y f x =与y x =的交点。 有了这两个方面的理解，很显然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的 不动点理论在数列中的应用 四川省宜宾市南溪第一中学校 潘昌明 摘要：理解度量空间下的不动点原理，同时研究其在递推数列中的应用，获得数学思维的提升，展望高考压轴题新方向。 关键字：不动点原理；连续函数；递推数列；通项公式；不等式。 Fixed point theory in the sequence of application Abstract : Understand metric space under the fixed point principle, and study its application in recursion sequence, the promotion prospects, mathematical thinking problem new direction launchs entrance. Key words : Fixed point principle;Continuous function; Recursion sequence;The general formula; Inequality. 1预备知识 1.1 定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在数)10<<αα（，使得对所有X y x ∈,，成立 ()()y x d Ty Tx d ,,α≤， （()y x d ,表示实数直线R 上任何两点y x ,之间的距离） 则称T 是压缩映射。 压缩映射从几何角度来说，就是点x 和y 经T 映射后，它们的像的距离缩短了，不超过()y x d ,的)10<<αα（倍。 1.2 定理及其证明 定理 1 设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么在X 内必 X x ∈?，使得x Tx =。 证明：设0x 是X 中的任意一点，令01Tx x =，...0212===x T Tx x ， Brouwer不动点定理的几种证明 学院名称： 专业名称： 学生姓名： 指导教师： 二○一一年五月 摘要 Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果. 关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想. 关键词：Brouwer；不动点. ABSTRACT Brouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results. About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought. Keywords: Brouwer; Fixed point. 不动点定理及其应用综述 摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和Volterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理 压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为： 定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有,x y X ∈，有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤ （） 则称T 是压缩映射。 定理（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 2 1021010,, ,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （） 则{}n x 为柯西点列。实际上， 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （） 根据三点不等式，当n m >时， 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤++ + 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 不动点定理及其应用 1 引言 大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述． 2 背景介绍 把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理． 3 基本的定义及定理 定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件： ①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ； ②对称性：),(y x ρ= ),(x y ρ； ③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素． 则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ． 注 距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的 ,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ 容易看到①、②、③都满足． 定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在 ,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则 称X 为完备的距离空间． 定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式 ),(),(y x a y x ρρ≤T T （1） 3.4 不动点理论 3.4.1 不动点定理 定义 3.4.1 设(X, )是度量空间，A:X X 是一个映射。若存在数, 0 1，使对 任意x,y X ，有 (Ax,Ay) (x,y) (3.4.1) 则称A 是X 上的一个压缩映射(Contraction Mapping ). 若X 是线性空间，则称A 是X 上的一个压缩算子(Contraction Operator ). 【注】为简明起见，这里用Ax 记A(x). 由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离 的(0 1) 倍。 定理 3.4.1 压缩映射是连续映射。 证证明压缩映射A 是连续映射，即证明：对任意收敛点列x n x0 (n ) ，必有 Ax n Ax0 (n ) . 因为点列x n x0 (n ) ，即：(x n ,x0) 0 (n ), 又因为A 是压缩映射，即存在数, 0 1，使得 (Ax n,Ax0) (x n,x0), 所以 (Ax n, Ax0) 0 (n ), 即： Ax n Ax0 (n ). 证毕！ 定义 3.4.2 设X 是一集，A: X X 是一个映射。若x* X ，使得Ax* x*, (3.4.2)则称x*为映射A的一个不动点(Fixed Point ). 设A:X X 是一个映射，即：A:x Ax (x X ) ，定k个义： A2 :x AAx ，A3: x AAA,x , k A: x A ，A x k 1, 2, 3,. 定理 3.4.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设(X, ) 是完备的度量空间，A:X X 是一个压缩映射，则X中必有A的唯一不动点。文档来自于网络搜索 证先证明映射A 在X 中存在不动点。 在X 中任取一点x0，从x0 开始，令 不动点定理在微分方程中的应用 摘要：本文在简介不动点定理的重要结论的基础上,重点研究了利用Banach压缩映射原理来证明Picard定理和Schauder不动点定理来证明Peano解的存在性定理,并且利用Banach压缩映射原理和Schauder定理进一步来研究不动点定理在微分方程中应用. 关键词：不动点定理;Banach压缩映射原理;Schauder不动点定理;微分方程 一引言 不动点定理是泛函分析理论的重要组成部分,我们可以看到多种不同形式的不动点定理,不动点定理在自然科学中有着广泛的应用.在文献[1]中利用Picard的逐次迭代法来证明微分方程初值问题解的存在和唯一性定理;在文献[2]中利用Schauder不动点定理和不等式证明了积分方程解的存在和唯一性;在文献[3]中作者用Banach不动点定理来简化了Picard 定理的证明,并且利用Leray—Schauder不动点定理以此说明了不动点定理在微分方程中的应用.在文献[7]中作者用分析方法讨论两类不动点定理即Banach压缩映像原理和Schauder 不动点定理分别在Picard解的存在唯一性定理和Peano解的存在性定理证明过程中的应用. 二不动点定理的重点结论 不动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”. ?α1使得ρ（Tx,Ty）定义1称T：（X,ρ）→（X,ρ）是一个压缩映射,如果存在0? αρ ≤(x,y),() x y X ?∈ ,. 定理1.1压缩映射原理(C.(C.-)é.皮卡(1890);S.Banach（1922）)：设X是一个完备的度量空间,映射?:Χ→Χ把每两点的距离至少压缩λ倍,即d（?（x）,?(y))≤λd(x,y),这里λ是一个小于1的常数,那么?必有而且只有一个不动点,而且从Χ的 任何点x0出发作出序列这序列一定收敛到那个不动点. 这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础. 定理 1.2布劳威尔不动点定理(1910):设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点. 用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解.把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间,就是绍德尔不动点定理(1930),常用于偏微分方程理论.这些定理可以从单值映射推广到集值映射,除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济 探究不动点的奥秘 一．不动点引入 在研学课的课堂上老师向我们简单的介绍了在数学函数中的不动点的性质，是指“被这个函数映射到其自身一个点”。老师举了一个简单的例子：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。 通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。 纸被揉成球以后，看它投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么底板的一部分就肯定对应于一部分纸团） 假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。 就是说： 整个纸盒对应于纸团 纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块 纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块 纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块 ………………………… 不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。 这是生活中不动点的例子。老师接下来又举了个函数的例子：定义在实数上的函数f， f(x) = x^2 - 3x + 4， 则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2。 也不是每一个函数都具有不动点。例如f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用图像的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上，或者换句话说，函数f(x)的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。 下面老师讲了不动点在函数迭代中的应用。迭代时只有函数单调才有不动点，并 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形 式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。 不动点定理fixed-point theorem 如果f 是n+1维实心球Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的连续映射（n=1，2，3…），则f 存在一个不动点x∈Bn+1（即满足f（x0）=x0）。此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明的。不动点问题实际上就是各种各样的方程（如代数方程、微分方程、积分方程等）的求解问题，在数学上非常 建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献．这个定理表明：在二维球 面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的．他把 这一定理推广到高维球面．尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射 至少有一个不动点．在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个 复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念．有了这些概念，他就能第 一次处理一个流形上的向量场的奇点． 康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的．1910年，布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想—— 维数的拓扑不变性．在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯 逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的 概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数．实践证明，这些概 念在解决重要的不变性问题时非常有用．例如，布劳威尔就借助它界定了n 维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性． 不动点定理在经济学中的应用 数本1301 王敏 摘要 不动点定理是拓扑学中很著名的定理，从一维到多维空间都保持这一性质。其次，在经济学特别是在博弈论中不动点定理有着广泛的应用，比如证明纳什均衡或者一般均衡的存在性。 关键词：不动点、博弈论、纳什均衡 一、不动点定理 定义1：设X 是一个拓扑空间。如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B ，使得B A X ?=，则称X 是一个不连通空间；否则，称X 是一个连通空间。]1[ 引理1：设X 是一个连通空间，R X →:f 是一个连续映射，则)(f X 是R 中的一个区间。]1[ 引理2:（介值定理）设R b a f →],[：是闭区间],[b a 到实数空间R 的一个连续映射，则对于)(f a 和)(f b 之间的任何一个实数r ，存在],[z b a ∈使得z z =)(f 。]1[ 定理：（不动点定理）设]1,0[]1,0[:f →是一个连续映射，则存在]1,0[z ∈使得z =）（z f 。]1[ 证明：如果0)0(f =或者1)1(f =，则定理显然成立。下设0)0(f >，1)1(f <。定义映射R →]1,0[:f 使得对于任何]1,0[x ∈有)()(x f x x F -=。容易验证f 是一个连续映射，并且这时又0)0(不动点定理及其应用
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