伴随矩阵的性质及其应用

摘要：伴随矩阵在矩阵中占有重要地位，因此，总结伴随矩阵的性质及其相关应用对学习线性代数有很大帮助。本文就是带着这个目的出发，首先总结一下伴随矩阵的性质，然后用例子的形式来说明伴随矩阵的相关应用。

关键词：伴随矩阵；逆矩阵；行列式

中图分类号：o151.2 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2015）36-0195-02

设n阶方阵a=

a的行列式a的各个元素的代数余子式a所构成的如下矩阵：a=称为矩阵a的伴随矩阵，简称伴随阵。这个定义可以在文献[1]中找到。由伴随矩阵的定义及转置矩阵的定义，很容易得到下面的性质：（a）=（a），其中，a表示矩阵a的转置矩阵。由于矩阵ka的（i，j）元的代数余子式为：

（-1）=

ka，因此，（ka）=ka.

由伴随矩阵的定义及矩阵的乘法运算马上有下面的性质成立：aa=aa=ae （1）

其中e为n阶单位矩阵。

若n阶方阵a是非奇异的，即a≠0，此时矩阵a是可逆的。由（1）得a=a=e

结合逆矩阵的定义，有a=，

即a=aa，其中a表示矩阵a的逆矩阵。

若n阶方阵a是非奇异的，此时矩阵a是可逆的，由（1）得a=a=e

由矩阵逆的定义知：（a）= （2）

同时对（1）两边同时取逆，根据逆矩阵的性质有：（a）a=

即有（a）= （3）

结合（2）、（3）得到伴随矩阵的如下性质：（a）=（a）

若对（1）两边同时取行列式，由行列式的相关性质可得：a

a=a

e=a （4）

对于（4）式，若a≠0，则有

a=a

若a=0，由（1）得，aa=o （5）

此时假设

a≠0，则矩阵a可逆，在等式（5）两边同时右乘（a）得a=o.

由伴随矩阵的定义得a=o，从而有

a≠0矛盾，于是有，若a=0必有

a=0.居于以上分析，我们很容易得到下面的性质：

a=a.

设矩阵a为一n阶方阵，现总结其伴随矩阵的性质如下：

（1）（a）=（a）；（2）（ka）=ka；（3） aa=aa=ae；（4）

a=a.

此外，若a还是可逆矩阵，则有如下性质成立：

（5）a=aa；（6）（a）=；

（7）（a）=（a）.

下面举例来说明伴随矩阵性质的应用。

例1：设a为4阶方阵，a=，求

3a

-4a。

解：由伴随矩阵的性质（5）得，3a+2a=3×aa-4a=-3a，从而有

3a

-4a=

-3a=

3a=3

例2：设a为4阶方阵，且a的伴随矩阵的行列式

a=8，求

a

+a。

解：由伴随矩阵的性质（4）得a=

a=8，从而有a=2；再结合性质（5）得：

a

+a=

+a=（）

a=.

例3：设a为n阶方阵，证明a+（a）是对称矩阵。

证明：由性质（1）得：（a+（a））=（a）+（（a））=（a）+（（a））=（a）+a=a+（a）.

从而，a+（a）为对称矩阵。

以上是伴随矩阵一些非常基本的性质，只有掌握这些最基本的性质，才能探讨其更深层次的性质。

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日

目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系 摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义 设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .

2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证 设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ， 那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2-

对称矩阵的性质

对称矩阵的基本性质 在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： 1. 对称矩阵一定是方阵. 2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成 立.对称矩阵一定形如111211222212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ??? . 定义2 形式为12000000l a a a ?? ? ? ? ?? ? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵. 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知： 1. 反对称矩阵一定是方阵. 2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零.反对称矩阵一定形如12112212000n n n n a a a a a a ?? ?- ? ? ?--?? . 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 2 对称矩阵的基本性质 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵.

性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1 A-是对称矩阵（反对陈矩阵）. ?矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 性质4任一n n 性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T X AX是对称矩阵. 性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换. 1

对称矩阵与反对称矩阵

实对称矩阵 实数域内 <1> 定义：设A 为一n 阶实方阵，则A 称为是对称的如果A ˊ=A 。 <2> 性质：设A 为一n 阶实对称矩阵，令 A=(ij a )， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n 。 则有： 1) ;'A A = 2) ji ij a a =， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n ； 推论： 1),'2 AA A =A 2的主对角线上的元素为∑==n j ij n i a 12,...,2,1,全大于或等于0； 2)①若A 2的主对角线上的元素全为0，则A 为一零方阵； ②若,...3,2,1,0==n A n ，则A 为一零方阵； 3)每一个n 阶实对称矩阵A 对应于唯一的二次型f(X)=X ˊAX ， '*1321),...,,,(n n x x x x X =其中； 4)存在一n 阶正交矩阵U(即UU ˊ=E)，使得 ??????? ? ?,..., ,0 0 0, 0,=-n AU U λλλ.................0,...,0,0,....,0,0,211，其中ιλ，i=1，2，···,n 为A 的全部特征根。 5)实对称矩阵的特征根都是实数；属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。

<3>对称矩阵的构造 1)常见的对称矩阵： 对角矩阵，单位矩阵，正定矩阵，半正定矩阵； 2)设A为一n阶对称方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 k A，A k，A+k E，k A+E， 3)设A为任一n阶方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 A+Aˊ；k(A+Aˊ)；AAˊ，k AAˊ，(A-Aˊ)2； 4)设B为任一反对称矩阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 k B2， <4>相关例题 1、n阶实方阵A为对称方阵的充要条件是' 2AA A 。

伴随矩阵的性质及应用

一．伴随矩阵的定义及符号 伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的， 1.代数余子式的定义 为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式： 在行列式 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。 2.伴随矩阵的定义 设ij A 是矩阵 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ?????? ??=?????????? 中元素ij a 的代数余子式，矩阵 112111222 2*12.........n n n n nn A A A A A A A A A A ???? ??=?????? 称为A 的伴随矩阵。 二．伴随矩阵的性质

1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E == 由行列式按一行（列）展开的公式立即得出： **000000d d AA A A A E d ??????===?????? 其中d A =。 这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。 2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质 （1）A 可逆当且仅当* A 可逆。 证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知 * A A E A ?= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A A A -= 即*11n A A A ??= ? ??? 故*A 0≠，从而*A 可逆 （2）1*n A A -=，其中A 是n ?n 矩阵 证明：由**AA A A A E ==,知*n A A A = ①.当时，有及，故

对称矩阵的性质及应用

对称矩阵的性质及应用 班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥 内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用 1.导言 矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。 2.具体内容部分 2.1对称矩阵的基本性质

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。 2.1.1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件 T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： （1）对称矩阵一定是方阵 （2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即ij ji a a =，对任意i 、j 都 成立。对称矩阵一定形如1112112 22212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ?? 定义2 形式为1200000 l a a a ?? ? ? ? ??? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。由定义知： （1）反对称矩阵一定是方阵。 （2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零。反对称矩阵一定形如12112 212000n n n n a a a a a a ?? ? - ? ? ? --?? 。 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。 2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。

关于伴随矩阵性质的探讨

关于伴随矩阵性质的探讨 1引言 矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特 殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵??? ?? ??=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A 中元素ij a 的代数余子式，称矩阵? ???? ??=nn n n A A A A A 1 111* 为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学 习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前． 2伴随矩阵的性质 2.1伴随矩阵的基本性质 性质1[] 2(5253) P P - E A AA A A ==* * 性质2 若0=A ,则0* =AA . 性质3 1 * -=n A A . 证明 由性质E A AA =* 得E A AA =*， 从而 n A A A =* ，两边同时左乘1 -A 得 1 *-=n A A ，即为所证． 2.2可逆性质 性质4 若A 可逆，则1 * -=A A A （或*1 1 A A A --=）. 证明 由性质1，E A AA =* 两边同时左乘1 -A 得 E A A AA A 1*1--=， 即 *1 1 1 * A A A A A A ---==． 性质5 若A 可逆，则* A 可逆且() A A A 1 1 *--=.

证明 若A 可逆，即0,01 * ≠=≠-n A A A ，从而*A 可逆又有性质4得 () () A A A A A 1 1 1 1 *----==． 性质6[3] (124) P 若A 可逆，则() A A A n 2 * *-=. 证明 由性质1得() E A A A ** ** =，A 可逆，*A 也可逆，两边同时左乘() 1 *-A 得 () () A A A A A A A A n n 2 1 1 1 * ** *----===． 性质7[4] (181183) P P - 若A 可逆，则() () * 11 * --=A A . 证明 由性质5得 () A A A 1 1 *--=, 由性质1得()E A A A 1* 11---=. 两边同时左乘A 得 () () 1 * 1* 1---==A A A A ． 2.3运算性质 性质8 若A 可逆，k 为非零常数，则()* 1* A k kA n -=． 证明 由性质1得 ()()E kA kA kA =*, 两边同时左乘()1 -kA 得 ()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====． 性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵，则()* ** A B AB =． 证明 由已知条件可得 0≠A ，0≠B ． 从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得 ()()()*1 1 *1 1AB B A AB AB AB ----= = ， 又因为 ()*1 *1 111A A B B A B AB -----= =， 由以上可得()* * * .AB B A = 推论 若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()* 1*2*3*1** 1321A A A A A A A A A A t t t t --=． 2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义 矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵 的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

对称矩阵

摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。Abstract..................................................................................................... 错误！未定义书签。Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。前言.............................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.对称矩阵的基本性质..................................................................... 错误！未定义书签。 1.1对称矩阵的定义........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误！未定义书签。 2.对称矩阵的对角化.......................................................................... 错误！未定义书签。 2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 .............................. 错误！未定义书签。 2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例................... 错误！未定义书签。 3.对称矩阵的正定性.......................................................................... 错误！未定义书签。 3.1正定矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。 3.2对称矩阵正定性的判别......................................................... 错误！未定义书签。 4.应用举例 ............................................................................................... 错误！未定义书签。总结.............................................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ................................................................................................... 错误！未定义书签。 对称矩阵的性质及应用

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【文献综述】

文献综述 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 高等代数是最具有生命力的数学分支之一, 从它诞生起即日已成为人类认识并进而改造自然的有力工具, 成为数学科学联系实际的主要途径之一. 在长期不断的发展过程中, 它一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断地以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以它的问题和方法越来越显得丰富多彩[1]. 线性代数是高等代数的重要组成部分, 是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科. 它在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用, 因而它在各种代数分支中占居首要地位. 在计算机广泛应用的今天, 计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分. 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系, 还要进一步研究多个变量之间的关系, 各种实际问题在大多数情况下可以线性化, 而由于计算机的发展, 线性化了的问题又可以计算出来, 线性代数正是解决这些问题的有力工具[2]. 矩阵, 是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出的, 并形成了矩阵代数这一系统理论. 在实际生活中, 很多问题可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等[2-3]. 数学上, 一个矩阵乃一行列的矩形阵列. 矩阵由数组成, 或更一般的有某环n m m n 中元素组成, 矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析、解析几何, 以及组合数学等. 矩阵在微积分、图论、对策、数据拟合等模型中也有着非常广泛的应用. 如数学建模是把现实世界中的实际问题抽象成数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性后，用它的解来解释现实问题，这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具，在数学模型中具有重要的作用, 从数学规划模型和线性代数模型中分析矩阵应用, 通过分析来提高数学建模的技巧, 可以使数学建模更好地服务于各个领域[ 4]. 又如在图论中应用于顶点覆盖问题、最短路径问题、哈密顿回路问题和最大团问题等[2]. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵[5]、幂等矩阵[7]、Hankel 矩阵[8]等等, 近

伴随矩阵的若干性质及应用

伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A .

例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .

伴随矩阵

伴随矩阵 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵， 补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了） 即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。 。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式 此图片为相应代数余子式的计算过程。

则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4

-3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等 基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反

关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质

INTELLIGENCE 人 文 论 坛 162 关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 华北电力大学科技学院 朱亚茹 摘 要: 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义，而没有提到其性质。本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。 关键词:对称矩阵 反对称矩阵 性质 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要地位。教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义，但对其性质的研究很少，对反对称矩阵的性质则研究更少。本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明，为广大读者学习矩阵时提供参考。 一、对称矩阵 定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =，即(,1,2,,)ij ji a a i j n ==???，那么称A 为对称矩阵。 由于对称矩阵形式的特殊性，使其具有一般矩阵没有的性质，下面列举出对称矩阵一系列的性质，并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。 性质1：A 为n 阶对称矩阵，则m A （m 为正整数）也是对称矩阵。 证明：因为A 为n 阶对称矩阵，所以T A A =。则()()m T T m m A A A ==，所以由定义可知m A （m 为正整数）也是对称矩阵。 性质2：A 为n 阶对称矩阵，则T A A +也是对称矩阵。证明：因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+，所以T A A +也是对称矩阵。 性质3：A 为n 阶对称矩阵且A 可逆，则1A ?也是对称矩阵。证明：因为111()()T T A A A ???==，所以1A ?也是对称矩阵。性质4：A 为m n ×阶的矩阵，则T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。 证明：显然T AA 为m 阶矩阵，T A A 为n 阶矩阵，又由于 ()()T T T T T T AA A A AA ==，()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。 性质5：A,B 都为n 阶对称矩阵，则A B +也是对称矩阵。证明：因为()T T T A B A B A B +=+=+，所以A B +也是对称矩阵。 性质6：A,B 都为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =。 证明：必要性：设AB 为对称矩阵，则()T AB AB =，而()T T T AB B A BA ==，所以AB BA =。 充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===，所以AB 为对称矩阵。 二、反对称矩阵 定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =?，即(,1,2,,)ij ji a a i j n =?=???，那么称A 为反对称矩阵。 由于反对称矩阵形式的特殊性，使其具有了与对称矩阵不同的一些性质。 性质7：设A 为n 阶反对称矩阵，则A 的主对角线上的 元素都为0。 证明：因为A 为n 阶反对称矩阵，所以A 的主对角线上的元素有(1,2,,)ii ii a a i n =?=???，所以0(1,2,,)ii a i n ==???。 性质8：设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则A 的行列式值为0。 证明：因为(,1,2,,)ij ji a a i j n =?=???，所以将A 的每一行提 出一个公因子-1，由于n 为奇数，则：(1)n T T A A A =?=?。而根据行列式的性质有T A A =，所以0A =。 性质9：设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则(1)AB BA ?为对称矩阵。(2)AB BA +为反对称矩阵。 证明：(1)因为()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA ?=?=?=?,所以AB BA ?为对称矩阵。 (2)同(1)，因为()()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA +=+=+=?+,所以AB BA +为反对称矩阵。 性质10：任一n 阶方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 证明:假设n 阶方阵A B C =+,其中B 为对称矩阵, C 为反对称矩阵,则()T T T T A B C B C B C =+=+=?。由T A B C A B C =+?? =??得,22 T T A A A A B C +?==。 而( ),()2222 T T T T T T T T A A A A A A A A B B C C ++??===== =?，则B 为对称矩阵，C 为反对称矩阵，且A B C =+。 性质11：设A 为n 阶反对称矩阵，B 为n 阶对称矩阵， 则AB 为反对称矩阵的充分必要条件为AB BA =。 证明：必要性：设AB 为反对称矩阵，则()T AB AB =?，而()T T T AB B A BA ==?，所以AB BA =。 充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===?，所以AB 为反对称矩阵。 三、结束语 对称矩阵与反对称矩阵在高等代数和线形代数中的性质还有很多，比如对称矩阵的特征值均为实数，对应不同特征值得的特征向量必正交等等，由于篇幅所限，本文只介绍一些基本的性质，方便读者参考。 参考文献： [1]同济大学应用数学系：《线性代数》.高等教育出版社,2004 [2]肖马成、周概容：《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》.高等教育出版社,2008 [3] 陈惠汝、余巧生：《矩阵同时相似于对角矩阵问题的研究》[J].重庆三峡学院学报,2009，25

伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用 摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出

对称矩阵与反对称矩阵的若干性质3

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 行列式的几种解法 (1) 1.1将行列式化成上下三角形法 (1) 1.2按行列展开法 (3) 1.3拆项法 (3) 1.4递推法 (4) 1.5 加边法 (5) 1.6数学归纳法 (6) 参考文献 (8)

对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 摘要：本文结合实例介绍对称矩阵与反对称矩阵的性质． 关键词：对称矩阵；反对称矩阵；复对称矩阵；正定；合同 Some properties of symmetric and anti -symmetric matrix Abstract：This paper introduced the properties of symmetric and anti symmetric matrix Key words：Symmetric matrix；anti- symmetric matrices；Complex symmetric matrices;Positive definite； 前言 任何一个矩阵都可以唯一地分解成一个对称矩阵于一个反对称矩阵之和。对称矩阵与反对称矩阵即有类似的性质，也有各自特有的性质和应用，在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质和应用，它们作为特殊矩阵无论在理论方面还是在实际应用方面都有很重要的意义. 对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 一、预备知识： 定义1 子式称为的顺序主子式. 定义2 的所有顺序主子式全大于0，则正定. 定义3 如果n级复矩阵满足，那么是酉矩阵. 定义4：矩阵成为对称的，如果，即. 定义5 矩阵成为反对称的（斜对称的），如果，即. 定义6 正交对角化的定义：一个矩阵称为可正交对角化,如果存在一个正交矩阵和一个对角阵，使得. 定义7 矩阵对称，即满足，则称为复对称矩阵. 定义8 数域P上nn矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使 B. 二、对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 1、对称矩阵的特有性质 （1）实对称矩阵的性质