4函数奇偶性讲义 2
函数的奇偶性
知识回顾
1． 函数奇偶性的定义
（1）奇函数:如果对于函数)(x f y =在定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么这个函数叫奇函
数；
（2）偶函数:如果对于函数)(x f y =在定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么这个函数叫偶函数； 【说明】函数定义域是否关于原点对称，是判断一个函数奇偶性的前提条件，若函数定义域关于原点不对称，则函数一定不是奇函数，也一定不是偶函数， 例：]7,3[,)(2-∈=x x x f
（3）奇函数的图象关于坐标原点成中心对称图形；反之，一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，那么
函数一定是奇函数。
（4）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；反之，一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形，那么函数一定是偶
函数。
一、判断函数的奇偶性??
?=-±是否成立
看对称看定义域是否关于原点0)()(21
x f x f 、、
1、勿忘定义域
例：①1
()11x f x x
+=+ ②1()(1)1x f x x x +=-- ③21()|2|2x f x x -=
+-
2、勿忘化简解析式
例：22()44f x x x =---
3、勿忘分段讨论（图象）
例：判断(1),0
()(1),0x x x f x x x x -?
的奇偶性
练习：判断下列函数的奇偶性
（1）]1,1()(3
2-∈=x x x f ； （2）x
x x
x x g cos sin 1cos sin 1)(++-+=
；
（3）)4lg()4lg()(x x x f -++=； （4）)2
1
121(
)(+-=x x x g ； （5）)1lg()(2
++=x x x g ； （6）)2
cos()(5
3π
-
=x x x f ；
（7）2
)(x
x a a x f -+=
； （8）???????<-->+=)0(,12
1)0(,12
1)(22
x x x x x g ；
二、函数奇偶性的性质??
?
??==偶则偶，内奇同外函数奇偶性的特点：内为奇函数的既不是则有义(2)充分也不必要条件。(x)f 0
(x)0.但(x)，0域中含有定)(若奇函数(1)f f x f
1、已知函数的奇偶性求未知量（通常采用赋值法） 例1的值求为奇函数a ，a x x y )ln(22++
=
例2 若22
()21
x x a a f x +-=+为奇函数，求实数a 。
例3、已知a x f x x lg 22)(--=为奇函数，求实数a 的值；
2、已知函数的奇偶性求表达式
例1已知函数y=f(x+2)是定义域R 的偶函数，且当x ≥2时，f(x)=13-x
,刚当x<2时，f(x)的解析式为
A.f(x)=13
2
--x B.f(x)=132--x C.f(x)=134--x D.f(x)=134--x
例2已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则在R 上)(x f 的表达为
A 、)2(--x x
B 、)2|(|-x x
C 、)2(||-x x
D 、)2|(|||-x x 例3已知)(x f y =是奇函数且当0≥x 时，)(,2)(2x f x x x f 求-=的表达式
3、利用函数奇偶性求函数值
例1已知函数()()()538,210,2f x x ax bx f f =+++-=且那么等于 例2.已知8)(35-++=bx ax x x f ，且f(-2)=10,求f(2)
例3、 f(-1)=
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 【模拟试题】
一、选择题
1、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=－f （x ），则，f （6）的值为 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2、若奇函数f （x ）在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在[－7，－3]上是（ ） A. 增函数且最小值为－5 B. 增函数且最大值为－5 C. 减函数且最小值为－5 D. 减函数且最大值为－5
3、y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，则下列坐标所表示的点在y=f （x ）的图象上的是（ ） A. （a ，－f （a ）） B. （－a ，f （a ）） C. （－a ，－f （－a ）） D. （－a ，－f （a ））
4、已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x （1＋x ），当x ＜0时，f （x ）等于 [ ]
A. －x （1－x ）
B. x （1－x ）
C. －x （1＋x ）
D. x （1＋x ） *5、函数y=f （x ）与y=g （x ）的图象如图所示，则函数y=f （x ）·g （x ）的图象可能为（ ）
**6、设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ） A 、()()f x f x -是奇函数；
B 、()()f x f x -是奇函数；
C 、()()f x f x +-是偶函数；
D 、()()f x f x --是偶函数
二、填空题
7、设函数()()()x
a x x x f ++=
1为奇函数，则实数
=a 。
**8、已知函数y =f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) （x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，那么f （x ）是__________函数（填奇、偶）．
*9、已知函数53
()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，则(2)f 的值为 。
三、解答题
10、已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数，
证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。
*11、()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()231f x x x =-++，求()f x 的解析式。
**12、已知函数()),0(2
R a x x
a
x x f ∈≠+
=； （1）判断函数()x f 的奇偶性； （2）若()x f 在区间[)+∞,2上是增函数，求实数a 的取值范围。
课后练习二．巩固练习
1．已知()2
f x ax bx 3a b =+++是偶函数，且定义域为[],a 22a -，则____,____;a b ==
2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，图象过点（－1，0），则()f x 0>可以写成()(
)f x f >或
()()f x f >或()()f x f >；
3．已知f （x ）38(2)10,.ax bx f =++-=且则f (2)=_______. 三．函数奇偶性应用
例1 已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时，()2f x x x =-，求()f x 的表达式.
例2 设偶函数()f x 的定义域为[－5，5]，若[0,5]x ∈时，()f x 的图象如下左图所示，求()0f x >的解.
变式自己练 设奇函数()f x 的定义域为[－5，5]，若[0,5]x ∈时，()f x 的图象如上右图所示，求
()0f x <的解.
例3 已知()f x 是偶函数，它在区间[,]a b 上单调减函数()0a b <<，试证：()f x 在区间[],b a --上是单调增函数.
变式自己练 已知()f x 是奇函数，它在区间[,]a b 上单调减函数()0a b <<，试证：()f x 在区间[],b a --上是单调减函数.
例4 已知奇函数()f x 是定义在（-1，1）上的增函数，试解关于a 的不等式：f (a -2)＜0.
变式自己练 已知奇函数()f x 是定义在（-1，1）上的增函数，试解关于a 的不等式：f (a -2)+f (a -3)＜0.
函数奇偶性练习题
1、若函数R x x f y ∈=),(是奇函数，且)2()1(f f <，则必有 （ ）
A ．)2()1(-<-f f B. )2()1(->-f f C.)2()1(-=-f f D.不确定
2、函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是
（ ）
A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->- C.)2()0()1(->>f f f D.)0()2()1(f f f >-> 3、已知函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)=x(1+x 3),则x<0时，f(x)=( ) A. x(1+x 3) B. -x(1+x 3) C. -x(1-x 3) D. x(1-x 3)
4、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f __________
5、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右
图,则不()0 6．若函数2 ()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为 _____________ 7．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是 __________________ 8．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________ 9、判断函数???<≥-=) 0() 0()(2 2x x x x x f 的奇偶性。 10、若3)3()2()(2 +-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？ 11、已知函数)0()(2 3 ≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判cx bx ax x g ++=2 3 )(的奇偶性。 12．已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-. 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； 13.已知奇函数f(x)是定义在][1,1-上的增函数，且f(x-1)+f(1-2x)<0，求实数x 的取值范围。 14.若f(x)是定义在R 的奇函数，当x<0时，f(x)=x(1-x),求函数f(x)的解析式. 第三讲 函数的单调性、奇偶性 一、知识点归纳 函数的单调性 （1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D. 函数的奇偶性及其应用举例 （湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚） 【摘要】 函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线，也是高中数学的核心 内容，那么真正掌握函数，其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶性是函数重要性质之一。近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。 【关键词】 函数的奇偶性，判定，应用 一、奇、偶函数的定义： 若函数)(x f ，在其定义域内，任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者， 则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数（或者偶函数） 二、函数的奇偶性分类 ???? ? ?? =--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数： 且非奇非偶函数偶函数奇函数 三、奇、偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数 偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 四、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称 ②若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。 五、 判断函数奇偶性的方法： （1）定义法：欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性： 第一步：先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称，若 不对称，则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。 第二步：若对称，再判断)(x f -与)(x f 的关系： ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数 ③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数 （2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数； 图象关于y 轴对称的函数是偶函数。， 六、函数奇偶性的应用： （1）函数奇偶性的判断 例1、（2011年高职统考第4题）下列函数为奇函数的为 )0(.5 1<=x x y A )0(.7 1>=x x y B 2 1.x y C = 3 1.x y D = 析：A,B ，C 这三个函数的定义域都不关于原点对称，故均为非奇非偶函数， 只有D 选项，定义域为()+∞∞-,，关于原点对称，并且()3 13 1x x -=-，故D 项所在函数为奇函数。 例2、（2014年文化综合第25题改编）下列函数中为奇函数的是 A ．2 ()1f x x =- B ．3 ()f x x = C ．5()3x f x ?? = ??? D ．2 ()log f x x = 析：A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称，但 () 11)(2 2 -=--=-x x x f ，)()(x f x f =-故为偶函数； C 项5()3x f x ?? = ??? 定义域 为()+∞∞-,关于原点对称，但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x -≠-≠-??? ??=--且， 故为非奇非偶函数；D 项2()log f x x =，定义域为()+∞,0，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，只有B 项符合。 例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性： 析：（法1-定义法）()f x 函数的定义域是()-∞+∞， ， ∵ 2()21f x x x =-+， 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 对应学生用书P106 基础达标 一、选择题 1．有下列4个命题： ①偶函数的图象一定与纵轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)； ④偶函数的图象关于纵轴对称． 其中正确的命题有() A．1个B．2个 C．3个D．4个 解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．答案：A 2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为() A．y＝[f(x)]2B．y＝f(2x) C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x) 解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称． 答案：C 3．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数．若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则() A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0 B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0 C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0 D．f(x1)＋f(x2)>f(x3) 解析：利用减函数和奇函数的性质判断． ∵x1＋x2>0，∴x1>－x2. 又∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数， ∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0. 同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0.∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0. ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0. 答案：B 4．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是() A．f(－2)>f(0)>f(1) B．f(－2)>f(1)>f(0) C．f(1)>f(0)>f(－2) D．f(1)>f(－2)>f(0) 解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)， 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴f(－2)>f(1)>f(0)． 答案：B 5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为() A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0. 答案：B 6．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是() A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数 C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数 解析：令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1，令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1， 所以f(x)＋1为奇函数． 答案：C 二、填空题 7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知． 答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3] 8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数． 答案：奇函数 9．若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，又在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集是________． 解析： 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 例3已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）的奇偶性． （2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论． 解：因为f（x）的定义域为R，又 f（-x）＝＝＝f（x）， 所以f（x）为偶函数． （2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． 其证明：取x1＜x2＜0， f（x1）-f（x2）＝- ＝＝． 因为x1＜x2＜0，所以 x2-x1＞0，x1+x2＜0， x21+1＞0，x22+1＞0， 得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在（-∞，0）上为增函数． 评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反． 例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论． 1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义； 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即 . .. 函数的奇偶性问题 一、选择题 1．已知函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(?为奇函数， ∴g （x ）＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx ＝f （x ）·)(x ?满足奇函数的条件． 答案：A 2．已知函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．3 1 = a ， b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0． 又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴3 1 =a ．故选A ． 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2 －2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2 －2x ，f （x ）为奇函数， ∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2 ＋2x ）＝－x 2 －2x ＝x （－x －2）． ∴(2) (0)()(2) (0),, x x x f x x x x ?? ?-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D 4．已知f （x ）＝x 5 ＋ax 3 ＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5 ＋ax 3 ＋bx 为奇函数， f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A 5．函数1 11 1)(22+++-++= x x x x x f 是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ?，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ?在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ） A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3 解析：)(x ?、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2 122)(x x x f ---= 的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ． 8．若y ＝（m －1）x 2 ＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2 ＋2mx ＋3为偶函数， ∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2 ＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2 ＋2mx ＋3，整理，得m ＝0． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的 解析式为____1 1)(2 -= x x f ___． 解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数， 课次教学计划（教案） 课题 函数的单调性和奇偶性 教学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别 2. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性 教学策略 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略：讲练结合，查漏补缺 1.例1：观察y=x 2的图象，回答下列问题 问题1：函数y=x 2的图象在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随着x 的增加，y 值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x 1、x 2∈[0，+∞]，得y 1=f(x 1), y 2=f(x 2).当x 1 函数的单调性和奇偶性 一、目标认知 学习目标： 1.理解函数的单调性、奇偶性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 重点、难点： 1.对于函数单调性的理解； 2.函数性质的应用. 二、知识要点梳理 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数； 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数. 如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间. 要点诠释： [1]“任意”和“都”； [2]单调区间与定义域的关系----局部性质； [3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； [4]不能随意合并两个单调区间. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 基本方法：观察图形或依据定义. 2.函数的奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： [1]奇偶性是整体性质； [2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； [3]f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：； 1.2.11 函数奇偶性的运用 【学习目标】 1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性； 2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想． 【学习重点】利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性． 【难点提示】函数奇偶性的综合运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题． （1）函数奇偶性的种类有 ； （2）奇函数图象特征是 ，代数特征是 ； （3）偶函数图象特征是 ，代数特征是 ． （4）奇（偶）函数的定义域特点是 ． 2.方法梳理：（1）函数奇偶性的判断方法有 、入手点 ； （2）函数奇偶性的价值在： （链接1）. 二、探究新知 1. 观察思考 已知奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增函数，请画出其示意图． （1）根据奇函数的图象特征，你能判断出函数)(x f y =在区间()a b --,上的单调性吗？ （2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？ （3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？ （4）若函数)(x f y =是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括 通过对以上问题的探究，请填空． （1）奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ； （2）偶函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ． ●想一想：能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性 —函数的单调性和奇偶性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1］∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“ 2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往 往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设； （2） 比较大小； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域； （2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系； （3）下结论. 【典型例题】 例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ （五）函数的单调性、奇偶性与周期性 （一）知识归纳 ▲函数的单调性 1．单调性概念 如果函数y= f (x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x、x，当x 函数单调性和奇偶性 一、选择题 (每小题 5 分，一共 12 道小题，总分60 分) 1．命题“若x, y都是偶数，则x y 也是偶数”的逆否命题是（）A．若x y 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数 B．若x y 是偶数，则x与y不都是偶数 C．若x y 是偶数，则x与y都不是偶数 D．若x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数 2．下列函数是偶函数的是（） 1 ． y 2x 1 A．y sin x B． y x sin x C．y x 2D 2x 3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（） A．y2x B． y 2 x C．y2x 2 x D．y 2x 2 x 4．下列函数中，不是偶函数的是（） A．y x24B． y tan x C．y cos2x D． y3x 3 x 5．（ 2015 秋?石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞ +∞）上单调递增的 是（） A． y=﹣B．y=sinx C． y=x D．y=ln|x| 6．如图，给出了偶函数y f x 的局部图象，那么 f 1 与 f 3的大小关系正确的是( ) A. f 1 f 3 B. f 1 f 3 C. f 1 f 3 D. f 1f3 7．设函数 f ( x), g( x) 的定义域为R ，且 f (x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A．f ( x) g(x)是偶函数B．| f ( x) | g( x)是奇函数 8 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 y f ( x) 具 有 下 列 性 质 : ① f ( x) f ( x) 0 ; ② f (x 1) f ( x) 1 ; ③ y f ( x) 在 [ 0,1] 上为增函数 , 则对于下述命题： ① y f (x) 为周期函数且最小正周期为 4; ② y f (x) 的图像关于 y 轴对称且对称轴只有 1 条 ; ③ y f (x) 在 [3,4] 上为减函数 . 正确命题的个数为 ( ) A ．0 个 B ．1个 C ． 2 个 D ．3个 9．设 f ( x) 是奇函数，且在 ( 0, ) 内是增函数，又 f ( 3) 0 ，则 x f ( x) 的解集 是 A ． x | 3 x 0或x 3 B ． x | x 3或0 x 3 C ． x | 3 x 0或 0 x 3 D ． x | x 3或x 3 10 ． 函 数 f x 的 定 义 域 为 R , 若 函 数 f x 的周期 6．当 3 x 1 时 , f x x 2 2 ，当 1 x 3 时， f x x ．则 f 1 f 2 f 2013 + f 2014 （ ） A ． 337 B ． 338 C ． 1678 D ． 2012 二、填空题 (每小题 5 分，一共 6 道小题，总分 30 分) 11 ．若函数 f ( x) x (2 a 1)x 1 1 为奇函数，则 a ________． x 12 ．已知奇函数 f （x ）当 x ＞ 0 时的解析式为 f （ x ） = ，则 f （﹣ 1）= ． 13 ． 已 知 f ( x) 3 b x 4其 中 a, b 为 常 数 ， 若 f ( 2) 2 ， 则 f ( 2 ) 的 值 等 a x 于 ． 14 ．若函数 f ( x) kx 2 ( k 1)x 2 是偶函数，则 f (x) 的递减区间是 ． 15 ．设定义在 R 上的函数 （fx ）满足 f ( x 2) f (x) 7，若（f 1）=2，则 （f 107）=__________. 16 ．设函数 f(x) 是奇函数且周期为 3，若 f(1) ＝－ 1，则 f(2015) ＝ ________． 三、解答题 (每小题 5 分，一共 4 道小题，总分 20 分) 17．已知函数 f ( x) a (1,3) 、 (2,3) 两点． bx ( 其中 a ， b 为常数 ) 的图象经过 x函数的单调性和奇偶性精品讲义
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