高数练习题 第一章 函数与极限

‰高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续

________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______

习题一 函数

一．选择题 1.函数216ln 1

x x

x y -+-=

的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)?(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(?] 2.3

arcsin 2lg

x

x x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-?-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[?- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++

=x x y 是 [ A ]

（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]

（A ）222

-+=x x y （B ）)1(2

x y -= （C ）|

|)2

1(x y = （D ）.||log 2x y =

二．填空题

1. 已知),569(log )3(2

2+-=x x x f 则=)1(f 2

2. 已知,1)1(2

++=+x x x f 则=)(x f

3. 已知x

x f 1

)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f

4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数

5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2

=：

(2) 3

2arcsin lg x y =

：__________ _____________________

三.计算题

1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2

x f x f 的定义域

2

1x x -+1102()

x y x R -=+∈1

1x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23

,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11]

(sin )[2,2]()

f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为

2.设?????<<-≤-=2||11

1

||1)(2x x x x x ? , 求)23(),21(),1(???-, 并作出函数)(x y ?=的图形.

4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角ο

40=?（图1-22）。当过水断面ABCD 的面积为定值时

0s ，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h 之间的函数关系，并指明其定义域。

5.收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.

（1） 将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数 （2） 将厂方所获的利润L 表示成订购量x 的函数 （3） 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解：

A D

B

C ?

h 图1-22

b 2290,0100,(1)()910.01,1001600,75,1600.30,0100,(2)()(()60)310.01,1001600,15,1600.(3)(1000)3110000.01100021000.x P x x x x x x L x x P x x x x x x L ≤≤?

?

=-<≤??>?≤≤?

?

=-=-<≤??>?=?-?

=131

(1)0,()()2222???=-=

=0002,,

tan sin 12(2)0,02tan tan 2,0sin tan h h AD b AB s h h s h b b h h s h h L h h ??????

=+==+?=->∴<<∴=+-<<

高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续

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习题二 数列的极限

一、填空题

1. 写出下列数列的前五项：

(1) 11+-=n n x n ：_______ _____ (2)n

x n

n 1)1(-= ：____ ________ (3)21

2n

x n +=：_________ _ _ (4) n

n x 31= ：____ __________ 2．写出下列数列的通项： (5) Λ,119,97,75,53,31--- =n x ______________ (6) K ,8

1

,0,61,0,41,0,21,0 =n y ________________

(7) 99.0, 999.0, Λ,9999.0 =n z _________________ 二、选择题：

1．下列数列}{n x 中收敛的是 [ B ] （A ）n n x n

n 1)

1(+-= （B ）n n 1)1(1+- （C ）2

sin πn x n = （D ）n n x 3=

三、证明题

1．根据数列极限的定义证明 (1)2

3

1213lim =++∞→n n n

11320,,,,325311111,,,,2345

---11111,,,,39278124391933513,,,,4916251(1)2n

n +-21

(1)21n

n n --+1

1110

n +-313

0,|

|,212

111

,,

4242

11313

[]1,,||42212

313lim 212n n n n n n N n N n n n εεεεεε→∞+?>-<+<>-++=-+>-<++=+证明：要使只要 所以故只要取则当时恒成立.

即

2．若a x n n =∞

→lim ，证明||||lim a x n n =∞

→。并举例说明：如果数列 {|n x |} 有极限，但数列 {n x }

未必有极限.

3．设数列 {n x } 有界，又0lim =∞

→n n y ，证明 0lim =∞

→n n n y x

1110,lim ,,,||.

,,||||||||.,lim ||||.n n n n n n

n x a N n N x a N N n N x a x a x a εεε→∞→∞?>=?>-<=>-≤-<=证明：由知正整数当时恒成立故取则当时恒成立即:{|(1)|}1,{(1)}.n n --例如数列是收敛于的但是是个发散的数列111{}0,||().lim 0,0,,,||.,,||||||.

,lim 0.n n n n

n n n n n

n n n x M x M n Z y N n N y M M N N n N x y x y M M x y εεεε+→∞

→∞

?>≤∈=?>?><=>≤?<==证明：因为数列有界,所以使恒成立由知正整数当时恒成立故取则当时恒成立即

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习题三 函数的极限

一．填空题

1．0lim a

x x →= (0)a <， 01lim

a x x

→= (0)a < 2．0

lim ln x x +

→= ， lim ln x x →+∞

= ， 3．1

lim x

x e +→= ， 1

lim x x e -

→= ， 4．01lim arctan x x

+

→= ，0

1lim arctan x x

-

→= 5．设2

11

()31

x

x f x ax

x ?+≤=?>?，如果1lim ()x f x →存在，则a =

二、选择题：

1．若()f x 在点0x 的某个邻域中有定义，并且0

lim ()x x f x →存在，则下列结论中正确的是[ D ]

（Ａ）若()0f x >,则0

lim ()0x

x f x →> （Ｂ）若()0f x <,则0

lim ()0x x

f x →< （Ｃ）若0()0f x >,则0

lim ()0x x f x →> （Ｄ）若()0f x ≥,则0

lim ()0x x

f x →≥ 2． 下列函数中在0x =点处有极限的是 [ A ]

（Ａ）0,0()1,0x f x x =?=?≠? （Ｂ）1,10(),01x x f x x x --<≤?=?<

（Ｃ）1

()f x x = （Ｄ）1,0()0,

0x x f x x ->?=?≤?

二.证明题

1． 用极限的定义证明 （1）12)25(lim 2

=+→x x

∞

0+∞-∞+∞02π2π-

2

32

|(52)12|,|2|,5

,0|2|,|(52)12|5

lim(52)12.

x >x x

δδε→?+-<-<=

-<+-<+=证明:0,要使只要故取则当时恒成立,即

2．设??

?>≤=1

||1

1||)(x x x x f

（1）作)(x f 的图形

（2）根据图形写出)(lim 1

x f x +→，)(lim 1

x f x -→，)(lim 1

x f x +-→ ，)(lim 1

x f x --→

（3）)(lim 1

x f x →与)(lim 1

x f x -→存在吗？

3. 设21

,

010,0()2,0236,2x x x f x x x x x x

?

，lim ()x f x →+∞

解 ：2

1

lim ()lim 1,lim ()lim(2)0,lim ()1

x x x x x f x f x x x f x x --

++

→→→→→===-=∴+不存在。 2

2

2

2

22

lim ()lim(2)0,lim ()lim(36)0,lim ()0.x x x x x f x x x f x x f x --

+

+

→→→→→=-==-=∴= 1

lim ()lim

01

x x f x x →-∞

→-∞==+。

lim ()lim (36)x x f x x →+∞

→+∞

=-=+∞，即极限不存在

1

1

11

1

1

:

(2)lim ()1,lim ()1lim ()1,lim ()1

(3)lim ()1,lim ()x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-

+

-→→→-→-→→-===-==解不存在

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习题四 无穷小与无穷大, 极限运算法则

一、填空题

1．若∞=∞=→→)(lim ,)(lim x g x f a

x a

x ,则必有 [ D ]

（A ）∞=+→)]()([lim x g x f a

x （B ）0)]()([lim =-→x g x f a

x

（C ）0)

()(1

lim

=+→x g x f a

x （D ）)0()(lim ≠∞=→k x kf a x

2．当,0→x 下列变量中是无穷小量的为 [ D ] （A ）x

e （B ）x

+11

sin

（C ）)2ln(x + （D ）x cos 1- 3．下列命题正确的是 [ D ] （A ）无穷小量是个绝对值很小很小的数 （B ）无穷大量是个绝对值很大很大的数 （C ）无穷小量的倒数是无穷大量 （D ）无穷大量的倒数是无穷小量

4．变量1

)

1()1()(3++-=x x x x x f 在过程当( C )时为无穷大量

（A ）0→x （B ）1→x （C ）1-→x （D ）2-→x

5．下列命题肯定正确的是 [ A ] （A ）若)(lim 0

x f x x →存在,)(lim 0

x g x x →不存在,则)]()([lim 0

x g x f x x +→必不存在.

（B ）)(lim 0

x f x x →与)(lim 0

x g x x →不存在,则)]()([lim 0

x g x f x x +→必不存在.

（C ）若)(lim 0

x f x x →存在, )(lim 0

x g x x →不存在,则)]()([lim 0

x g x f x x →必不存在.

（D ）若)(lim 0

x f x x →不存在,则|)(|lim 0

x f x x →必不存在.

6．若43

2lim

23=---→x k

x x x ,求k 的值为 [ C ] （A ）0 （B ）1- （C ）3 （D ）2 二、填空题

(1)31lim 22-+→x x x = ___________ (2) 3

3lim 223+--→x x x =____________

5-0

(3) 23lim 22--→x x x = __________ (4) x

x x

x x x 2324lim 2230++-→=__________ (5) 21

16(lim x

x x +-∞→) =_________ （6）121lim 42---∞→x x x x = (7) x x x arctan 2lim ∞→=___ ____ （8）)2

1

......41211(lim n n ++++∞→=_

（9）)......21(lim 222n

n

n n n +++∞→=__ __ （10）)cos 2(1lim 23

2x x x x x +++∞→=____ _ 三、计算题

（1）h x h x h 220)(lim -+→ （2）50

20

30)12()23()12(lim +--∞→x x x x

（3）38

231lim

x

x x +---→ （4）)1311(

lim 3

1

x

x x ---→

∞020061

230302020

505020

23lim 23()2

x x x x →∞???=?

== lim 42(2)42

33x

→--?-+=-=-+200

2lim lim(2)

2h h xh h h x h x →→+==+=23

121212lim 1(1)(2)

lim

(1)(1)

2

lim 11

x x x x x x x x x x x x x x →→→+-=--+=-+++=-

++=-1

2

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习题五 极限存在准则 两个重要极限

一、选择题

1．下列极限中，正确的是 [ B ] （A ）1sin lim

=∞→x x x （B ）11sin lim =∞→x x x （C ）12sin lim 0=→x

x

x （D ）11

1sin lim

0=→x

x x

2．下列极限中，正确的是 [ D ]

（A ）e x

x

x =-∞→)11(lim （B ）e x x x =+∞→1

)1(lim

（C ）e x x

x =+→1

)31(lim （D ）e x x

x =++→210

)

1(lim

二、填空题

1．=→x x x 23sin lim 0__________ 2. =→x

x x 5tan lim 0___________ 3. n n

n x 2

sin 2lim ∞→=__________ 4.=-→x x x 2

0)1(lim ____________

5. x

x x x sin 2cos 1lim 0-→=_________ 6. 12)21(lim -∞→-x

x x =___________ 三、计算题 1. x

x x x 30sin tan sin lim

-→ 2. x x x

x x sin sin lim

0+-→

3

25x 2200222200111cos 1cos lim lim sin cos sin 2sin 2()1122lim lim cos sin cos 12x x x x x x x x x

x x

x x

x x →→→→--==--?===-0sin 111lim

0sin 111x x

x x x

→-

-===++

22e -1e -

3.x

x x x )1

1(

lim +-∞

→ 4.]}ln )2[ln({lim n n n n -+∞→

四、利用极限存在准则证明 1)1

......1(

lim 2

2=++++∞

→π

πn n n n n 证明: 因为22

2211

(......)1n n n n n n n πππ≤++≤+++, 又因为2

2

lim 1x n n n π

→∞=+, 所以由夹逼准则知: 1)1

......1(

lim 22=++++∞

→π

πn n n n n .

1221

211222lim(1)

12lim (1)1x x x x x x x x x e x +--?+→∞

-++--→∞=-+??

=-=??+??222

22lim ln(1)2lim ln(1)22lim ln(1)22ln[lim(1)]2

n n n

n n

n n

n n

n

n

n

→∞?→∞→∞→∞=+=+=+=+=

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习题六 无穷小的比较

一、填空题

1．当0→x 时，下列变量与x 为等价无穷小量的是 [ C ] （A ）x 2sin （B ）x cos 1- （C ）x x --+11 （D ）x x sin 2．当0→x 时，x x sin -与x 相比，是 [ A ] （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等价无穷小

3．当0→x 时，若ax sin 与2

tan x

等价, 则=a [ C ] （A ）1 （B ）0 （C ）21 （D ）3

1

4．当∞→x 时，若)12sin(

2

x +πa

x π

2~

, 则=a [ A ] （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2

1 二、填空题

1.x x x 3sin )21ln(lim 0+→=____ _______

2.=→x

x x 23arcsin lim 0______________ 3.=

-→20tan cos 1lim x x x ___________ 4. =-+→2

01sin 1lim x x x ___________ 三、利用等价无穷小的性质,求下列极限 1. )

1sin 1)(11(tan sin lim

3

2

-+-+-→x x x

x x

1

23

22

3

∞

020

21lim cos 1

()

12lim 311cos 32

x x x x x x x x →→=?-=?=-?

2. x

x x

x x 20sin sin tan lim

-→

3. )1cos 1(lim 2

x

x x -∞

→

4. )

1()sin 1ln(lim 20-+→x x e x x

5．221123arctan()

lim ()

x x x e x x →-+-

302

301sin (1cos )

lim cos 1

112lim

cos 2x x x x x x x x x x →→-=??=?=222011cos lim

11/21lim 1/2

x x x x x x →∞→-===22sin lim 1x x x →∞==2

211111lim 231(1)(1)1lim lim (1)(3)2x x x x x x e x x x x e x x e →→→-=+--+=?=--+

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习题七 函数的连续性与间断点

一、选择题

1．如果)(lim 0

x f x x →存在,则)(x f 在0x 处 [ C ]

（A ）一定有定义 （B ）一定无定义 （C ）可以有定义,也可以无定义 （D ）一定连续

2．函数)(x f 在点0x 处有定义,是)(x f 在0x 处连续的 [ A ] （A ）必要不充分条件 （B ）非必要又非充分条件 （C ）充要条件 (D) 充分又非必要条件

3．函数)(x f 在0x 点处左、右极限存在且相等，则它是)(x f 在0x 处连续的 [ B ] (A) 充分非必要条件 （Ｂ）必要非充分条件

(C) 充要条件 （Ｄ）既不是充分也不是必要条件

４．函数3

41

22+--=x x x y 间断点的个数为 [ B ]

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

５．设???

?

?

????>=>=01sin 00sin )(x x x x k x x

x f 在0=x 处连续，则=k [ A ]

（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）－１ （Ｄ）２

二、填空题

1．6

33)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间是

2．为使)1ln(1

)(x xe x

x f +=

在0=x 处连续，则须补充定义(0)_1_______f = 3．函数x

x x f tan )(=的间断点为 ，可去间断点为 ，

第一类间断点为 __ ____ , 第二类间断点为 ______

____ . 4．设?????>≤+=0,sin 0,)(2x x

bx x bx a x f 在0=x 处连续，则a 与b 应满足的关系是

(,3)(3,2)(2,)

-∞-?-?+∞()

2k x k Z π

=∈0,()2x x k k Z ππ==+∈0,()

2

x x k k Z ππ==+∈(,0)x k k Z k π=∈≠a b =

三、计算题

１．研究下列函数???≤<-≤≤=2

121

0)(2x x x x x f 的连续性，并画出函数的图形.

解：当10≤≤x 时，2

x x f =)(是连续的；当21≤

当1=x 时，12

1

1

==-

-→→x x f x x lim )(lim 121

1

=-=+

+→→)(lim )(lim x x f x x 所以 )(x f 在1=x 处是连续的； 故 )(x f 在[0，2]是连续的。

２．求下列函数间断点并判断其间断点类型，若是可去间断点，请补充定义使之连续

（１）2

31

22+--=x x x y

解：函数在21==x x ,没有定义，所以是函数的间断点。

由于 22

1

2311221-=-+=+--→→x x x x x x x lim lim ，所以1=x 是函数的第一类间断点且为可去间

断点；只要补充当1=x 时，2-=y 就可使它连续。

又 ∞=+--→231

2

22x x x x lim ，所以2=x 是函数的第二间断点。 （２）??

?

??≤+<≤+<=x x x x x x f 21211210)(2

解：01

=-→)(lim x f x ， 3121

1

=+=+

+→→)(lim )(lim x x f x x ，)(lim x f x 1

→∴ 不存在 1=x 为函数的跳跃间断点

5122

2

=+=-

-→→)(lim )(lim x x f x x ，5122

2

=+=++→→)(lim )(lim x x f x x ，52

=∴→)(lim x f x 2x =处连续

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习题八 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、填空题 (1) 52lim

20

+-→x x x

(2) )2cos 2ln(lim 6

x x π

→

=___________

(3) x

x e 1

lim ∞

→= ______________ (4) x

x x 1

1lim

-+→=______________

(5) x x x sin ln

lim 0

→ =___________ (6) a

x a x a x --→sin sin lim =_____________

二、计算题 1. 2

sin 0

lim(13)

x

x x →+ 2.x

x x 2cot 2

)

tan 31(lim +→

3．2

1)63(

lim -∞→++x x x

x

4．()

2201cos 1cos 2lim

sin 2x x x x

→--

011

20cos a 163sin 06lim(13)x

x x

x x e ?→=+=21

3

2

3tan 0

3

lim(13tan )

x

x x e ?→=+=63(1)

32(6)323lim(1)

6x x x x x e +--?-+→∞--=++=2

4

022

401

(1cos 2)2lim 211

((2))22lim 12x x x x x x

→→-===

三、证明题：

1．设2)(-=x

e x

f , 求证区间)2,0(内至少有一点0x ,使020

x e x =-.

解：设x e x F x

--=2)( 在],[20上连续， 又 01210<-=-=)(F ，02222

>--=e F )( 由零点定理，在（0，2）内至少有一点0x 使得02000

=--=x e x F x )(

即 020

x e x =-

2．证明方程x

x 24=在)2

1,0(内至少有一个实根.

解：设x

x x f 24-=)(在],[210上连续，

又010<-=)(f ，02221

<-=)(f

由零点定理，在),(2

1

0内至少有一点ξ使得

0=)(ξf 即024=-ξξ

故 ξ为方程x

x 24=在)2

1

,0(内至少有一个实根.

高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续

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习题九 综合练习

一、选择题

1．设20()20x x g x x x -?=?+>??,20()0x x f x x x

20

20x x x

x +

-?… （B ）2

2020x x x x -

20

20x x x x -

2020

x x x x +

2. 已知sin 401lim lim x

x

x x x x e x k →∞→+??= ?+??

,则k = [ B ] （A ）2 （B ）3- （C ）3 （D ）4

3．若)(lim 0

x f x x →存在，则下列极限一定存在的是 [ B ]

（A ）a

x x x f )]([lim 0

→(a 为实数)；（B ）)(lim 0x f x x → （C ）)(ln lim 0x f x x → （D ）)(arcsin lim 0

x f x x →

4．设)(x f 在0x 点连续，且在0x 的一去心领域内有0)(>x f ，则 [ C ] （A ）0)(0>x f （B ）0)(0

5．1/1/21

arctan 0

()310

23x

x

x x f x x π?

>?+，则0x =是()f x 的 [ D ]

（A ）可去间断点 （B ）无穷间断点 （C ）振荡间断点 （D ）跳跃间断点

6．设()000x x f x x ≥?=?

x +

≥?，则

()()f x g x +的连续区间是 [ C ] （A ）(),-∞+∞ （B ）()(),00,-∞?+∞

（C ）()(),11,-∞?+∞ （D ）()()(),00,11,-∞??+∞

7. 函数

1

2

sin ()1x x e f x x x

=

+-的间断点个数为 [ C ]

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

8. 曲线21

21arctan

(1)(2)

x x x y e x x ++=-+的渐近线有 [ B ] （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条

二、计算题

1．h e e x h x h -+→0lim 2

．2031

x x →-

3.

已知52lim (x x →+∞

-=, 求常数a 和b

4. 已知21

3)

sin )

(1ln(lim

=-+

→x x x x f ,求20)(lim x x f x →

00(1)lim lim x h h x x h e e h h e e h →→-===2302201

(4tan )

2lim 2ln 3

1

lim ln 3ln 3

x x x x x x x →→===20000()

lim ()()()

ln(1)

sin sin lim

lim lim 2ln 3ln 331312ln 3.x x x x x x f x A x

f x f x f x A x x x x A →→→→=+====?--=解：设，则

所以222lim (5lim 025,1lim 20.

10x x x x x a b b b →+∞-==--

=-=-解：上式有极限，所以项系数为，故因此上式可化为，所以

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

第一章函数与极限复习提纲

第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x

大一高数第一章--函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

高等数学同济大学版课程讲解函数的极限

课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．

定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1．

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

第一章 函数与极限的练习解答

一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：

（1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥

1第一章 函数与极限答案

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）

高数第一次课随堂练习函数与极限

随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时， x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++ ∞ → ； （2）2)1(321lim n n n -++++∞→ ；

（3）35lim 22-+→x x x ； （4）1 1 2lim 221-+-→x x x x （5）)12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ； （6）x x x 1 sin lim 20→ ； （7）x x x x +---→131lim 21 ； （8）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； 2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x x x 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ； （4）x x x x )1( lim +∞→ ； （5）1 )11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1 )1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶 （1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(2 1 112 x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 （1）30sin sin tan lim x x x x -→ ； （2）),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ； 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 （1）)(lim 22 x x x x x -- ++∞ →； （2）x x x sin ln lim 0 → （3）x x x 2)11(lim + ∞→； （4）)1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 （5）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； （6）1)1232( lim +∞→++x x x x ； （7）3 0sin tan lim x x x x -→ ； 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得) ()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____

高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。

大一高等数学总结

第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1. （等价小量与洛必达） 2.已知

（洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数， （变量替换）5. 解：令 6. （变量替换）

7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1.（洛必达） 2.（洛必达或Taylor） 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法

A.导数微分的计 算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域

高数数学极限总结

函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →

等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f

大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

考研数学高数公式：函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

答案高等数学第一章函数与极限试题

答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).

【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .

第一章函数和极限答案

第一章 函数与极限 一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调 性、周期性和有界性）的了解。 （ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。 （ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）有关确定函数定义域的题型 1．（4分）1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2．（4分）) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2 x f []1,1-∈x （2）（6分）)2(x f (]0,∞-∈x （3）（7分）)31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x x f cos 1)2 (sin +=，则)(x f =)1(22 x - 6．（4分）设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7．求下列函数的反函数 （1）（4分）31+=x y 1,13 3-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x