微积分第一章---函数--习题及答案
第一章 函数
一、 填空
1、设()()x t t f ψ=,则()()=-01f f 。
2、设()1
1
1
>≤?
?
?=x x x x f ,则()()x
e f x f +?1sin = 。 3、7
1
2arcsin
42-+-=
x x y 的定义域为 。
4、()x
x f x f 2
12=??
? ??- ,则()x f = 。 5、()001
<≥????
?=x x x
x x f ,则()[]=x f f 。 6
、已
知
()()[]2
1,sin x x f x x f -==?,
则
()x ?= 。
7、设函数()x f 满足关系式:()()x
e x
f x f 3121=--+,则函数()x f = 。 8
、已知
()[]()2
sin
,cos 1x
x x x f =+=??,则
()
x f = 。
9、已知
()??
???≤≤+<≤<≤-+=3
1210303132x x x x x x f x
,则其反函数
()
x f 1-= 。
10、函数3
arcsin cos lg x
y =由 复合而成。
二、选择
1、函数()x
x f 3=,则()y x f +=( )
A 、()()y f x f
B 、()x f 2
C 、()x f
D 、()y f 2、若()x f 是(-∞,+∞)上有定义的函数,则下列( )奇函数。 A 、()3
x f B 、
()[]3
x f C 、
()()
x f x f --
D ()()x f x f -+
3、设函数()x f 定义在(0,+∞)内,b a ,为任意正数,若函数()x x f 单调减少,则有( )
A 、()()()b f a f b a f +<+
B 、()()()
b a b f a f b a f ++<+ C 、()()()b f a f b a f +>+ D 、()()()b
a b f a f b a f ++>+ 4、设函数()u f 的定义域为10<
A 、(0 ,1)
B 、(1 ,a )
C 、(0 ,e )
D 、
(1 ,e )
5、设[x]表示不超过x 的最大整数,则函数[]x x y -=为( )
A 、无界函数
B 、单调函数
C 、偶函数
D 、周期函数
6、设函数()x
xe x x f sin tan +=,则()x f 是( )
A 、偶函数
B 、无界函数
C 、周期函数
D 、单调函数 7、函数
()()()()
2
212sin ---=
x x x x x x f 在下列哪个区间内有界
( )
A 、(-1 ,0)
B 、(0 ,1)
C 、(1,2)
D 、(2 ,3)
8、若在(-∞,+∞)内()x f 单调增加,()x ?单调减少,则()[]x f ?在(∞,+∞)内( ) A 、单调增加 B 、单调减少 C、不是单调函数 D、增减性难以判定 三、计算
1、设函数()x f y =的定义域为[0,3a ](a >0),求()()()a x f a x f x g 32-++=的定义域。 2、已知()??
?≤<≤≤=+2
121
012x x x x x ? ,求()x ?及其定义域。
3、设
()??
?>+≤-=0
202x x x x x g ,()??
?≥-<=0
02x x x x x f ,求()[]x f g
4、设()x f 是(-a ,a )上是奇函数,已知0≥x 时,
()()()0
0,==??x x f ,试求:在(-a ,0)上()=x f ?
四、应用题
1、某商品的单价为100元,单位成本为60元,商家为了促销,规定凡是购买超过 200单位时,对超过部分按单价的九五折出
售,求成本函数、收益函数、利润函数。 2、某电视机每台售价为500元时,每月可销售2000台,每台售价为450元时,每月可增销400台,试求该电视机的线必性需求函数。
3、某厂生产某商品的可变成本为15元/件,每天的固定成本为2000元,如果每件商品的出厂价为20元,为了不亏本,该厂每天至少应生产多少件该商品?
五、设()x
c x bf x af =??
? ??+1 ,其中c b a ,,为常数,且b a ≠,试证:()()x f x f -=。 应用实例
生小兔问题
兔子出生以后两个月就能生小兔,如果每月生一次且恰好生一对小兔,且出生的兔子都成活,试问一年以后共有多少对兔子,两年后有多少对兔子?
解 先直接推算,在第1月只有1对兔子;第2月也只有一对兔子;在第3月这对兔子生了1对小兔子,共有2对兔子;在第4月,老兔子又
生了1对小兔子,共有3对小兔子;在第5个月,老兔子生1对小兔子,且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子,故共有5对小兔子,在第6个月,老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1对小兔子,故共有8对小兔子。如此类推,不难得到月份和小兔子对数的关系如表1所示。
表1 兔子对数增长月份
数/n
1 2 3 4 5 6 7
小兔数/对1 1 2 3 5 8 1
3
月份数/n 8 9 1
1
1
1
2
1
3
…
小兔数/对
2
1
3
4
5
5
8
9
1
44
2
33
…
.
从表1看出,一年后(第13月)时共有233对兔子。但是计算2年后时,这种方法似乎有些繁和苯,且容易出错。有没有更好的方法呢?现
在回过头来仔细观察一下每月小兔数的变化情况,我们发现从第3月开始,每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和。若记n
r 为第n 月的小兔
对数,则我们发现的规律为
,4,3,,1,11221=+===--n r r r r r n n n
(1)
用(1)式就很容易用计算机算出2年后兔子的对数为75025。
交通路口的红绿灯模型
问题:在一个由红绿灯管理下的十字路口,如果绿灯亮15秒种,问最多可以有多少汽车通过这个交叉路口.
分析:这个问题提得笼统含混,因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂,特别是车辆左、右转弯的规则,不同的国家都不一样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向. 这里我们在一定的假设之下把这个问题简化. 假设:
(1)十字路口的车辆穿行秩序良好,不会发
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下: 1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。 2. 掌握极限四则运算法则。 3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。 4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。 第一章共12学时,课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价: 恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里。 华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。 张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了(《数学通报》数学与文化2001.1.封二) 初等数学与高等数学的根本区别:用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究,有很多问题不能得到最终答案,甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系,极限的方法是研究变量的一种基本方法,贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题,计算往往比较简单,且能获得最终的结果。
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 专题06 定积分与微积分基本定理 1.由曲线,直线轴所围成的图形的面积为() A.B.4C.D.6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点(4,2), 因此曲线y,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为: S. 故选:A. 2.设f(x)=|x﹣1|,则=() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示,根据定积分的几何意义可知,定积分等于阴影部分的面积,故定积分为 ,故选A. 3.曲线与直线围成的封闭图形的面积是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 令,则,所以曲线围成的封闭图形面积为 ,故选D 4.为函数图象上一点,当直线与函数的图象围成区域的面积等于时,的值为 A.B.C.1D. 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx = ∴ 故选:C 5.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分,故选B. 6.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积,根据用几何概型概率计算公式有所求概率为,故选A. 7.() A.B.-1C.D. 【答案】C 【解析】 解: . 故选:C. 8.,则T的值为 A.B.C.D.1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一,且圆的面积为π, ∴, ∴. 故选A. 9.下列计算错误 ..的是() A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 在A中,, 在B中,根据定积分的几何意义,, 在C中,, 根据定积分的运算法则与几何意义,易知,故选C. 习题5.1 1.(1) sin x x ;3sin x (2)无穷多 ;常数(3)所有原函数(4)平行 2. 23x ;6x 3.(1)3223 x C --+(2)323sin 3x x e x C +-+(3)3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ (4 2103)x x C -++ (5)4cos 3ln x x C -++(6)3 23 x x ex C +-+ (7) sin 22 x x C -+(8 )5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++;(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2 1.(1)1a (2)17(3)110(4)12-(5)112(6)12(7)2-(8)15(9)-(10)12 - 2. (1)515t e C + (2)41(32)8x C --+(3)1ln 122x C --+(4)231(23)2 x C --+ (5 )C -(6)ln ln ln x C +(7)111tan 11x C +(8)212 x e C --+ (9)ln cos ln sin x x C -++(10 )ln C -+(11)3sec sec 3 x x C -++ (12 )C (13)43ln 14x C --+(14)2sec 2 x C + (15 12arcsin 23x C + (16)229ln(9)22 x x C -++ (17 C (18)ln 2ln 133 x x C -+-+ (19)2()sin(2())4t t C ?ω?ωω++++ (20)3cos ()3t C ?ωω +-+ (21)cos 1cos5210x x C -+ (22)13sin sin 232x x C ++(23)11sin 2sin12424 x x C -+ 习题5.3 1.(1)arcsin ,,u x dv dx v x === (2),sin ,cos u x dv xdx v x ===- 第五章 习题5-1 1.求下列不定积分: (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ; (4) 2cos 2 x ?d x ; (5) 23523x x x ?-??d x ; (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 22210 (1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题: (1) 一平面曲线经过点(1,0),且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程; (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数,求 ()f x '?d x ; (3) 已知f (x )的导数是sin x ,求f (x )的一个原函数; (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000(即P=0时,Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001( )3 P ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2, 又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 1 2 ()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000( )ln 33 P Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0高中数学之定积分与微积分基本定理含答案
微积分第五章第六章习题答案
微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章
定积分及微积分基本定理练习题及答案