一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A 与哨所B 同时发现一走私船,其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上,位于哨所B 南偏东37°的方向上.
(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离;
(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时,恰好在D 处成功拦截.(结果保留根号)
(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37 =sin53°≈去,tan37°≈2,tan76°≈)
【答案】(1)观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里;(2)当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】
(1)先根据三角形内角和定理求出∠ACB =90°,再解Rt △ABC ,利用正弦函数定义得出AC 即可;
(2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ,易知,D 、C 、M 在一条直线上.解Rt △AMC ,求出CM 、AM .解Rt △AMD 中,求出DM 、AD ,得出CD .设缉私艇的速度为x 海里/小时,根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程,解方程即可. 【详解】
(1)在ABC △中,180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中,sin AC B AB =
,所以3sin 3725155
AC AB ?
=?=?=(海里). 答:观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.
(2)过点C 作CM AB ⊥,垂足为M ,由题意易知,D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中,4
sin 15125
CM AC CAM =?∠=?
=,3
cos 1595
AM AC CAM =?∠=?=.
在Rt ADM △中,tan MD
DAM AM
∠=,
所以tan 7636MD AM ?=?=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =
+=+==-=,.
设缉私艇的速度为v海里/小时,则有24917
16v
=,解得617
v=.
经检验,617
v=是原方程的解.
答:当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时,恰好在D处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.
2.如图,二次函数y=x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴的交点为C,动点T在射线AB上运动,在抛物线的对称轴l上有一定点D,其纵坐标为23,l与x轴的交点为E,经过A、T、D三点作⊙M.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在点T的运动过程中,
①∠DMT的度数是否为定值?若是,请求出该定值:若不是,请说明理由;
②若MT=1
2
AD,求点M的坐标;
(3)当动点T在射线EB上运动时,过点M作MH⊥x轴于点H,设HT=a,当OH≤x≤OT 时,求y的最大值与最小值(用含a的式子表示).
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3(2)①在点T的运动过程中,∠DMT的度数是定值②(0,3)(3)见解析
【解析】 【分析】
(1)把点B 的坐标代入抛物线解析式求得系数b 的值即可;
(2)①如图1,连接AD .构造Rt △AED ,由锐角三角函数的定义知,tan ∠DAE
=
.即∠DAE =60°,由圆周角定理推知∠DMT =2∠DAE =120°;
②如图2,由已知条件MT =
12AD ,MT =MD ,推知MD =1
2
AD ,根据△ADT 的外接圆圆心M 在AD 的中垂线上,得到:点M 是线段AD 的中点时,此时AD 为⊙M 的直径时,MD =
1
2
AD .根据点A 、D 的坐标求得点M 的坐标即可; (3)如图3,作MH ⊥x 于点H ,则AH =HT =
1
2
AT .易得H (a ﹣1,0),T (2a ﹣1,0).由限制性条件OH≤x≤OT 、动点T 在射线EB 上运动可以得到:0≤a ﹣1≤x≤2a ﹣1.
需要分类讨论:(i )当2111(1)211
a a a -??----?,即4
13a <,根据抛物线的增减性求得y
的极值.
(ii )当011
2111(1)211
a a a a <-??->??--<--?
,即4
3<a≤2时,根据抛物线的增减性求得y 的极值.
(iii )当a ﹣1>1,即a >2时,根据抛物线的增减性求得y 的极值. 【详解】
解:(1)把点B (3,0)代入y =x 2+bx ﹣3,得32+3b ﹣3=0, 解得b =﹣2,
则该二次函数的解析式为:y =x 2﹣2x ﹣3; (2)①∠DMT 的度数是定值.理由如下: 如图1,连接AD .
∵抛物线y =x 2﹣2x ﹣3=(x ﹣1)2﹣4. ∴抛物线的对称轴是直线x =1. 又∵点D
的纵坐标为 ∴D (1
,
由y =x 2﹣2x ﹣3得到:y =(x ﹣3)(x+1), ∴A (﹣1,0),B (3,0). 在Rt △AED 中,tan ∠DAE
=DE AE ==. ∴∠DAE =60°.
∴∠DMT =2∠DAE =120°.
∴在点T 的运动过程中,∠DMT 的度数是定值;
②如图2,∵MT=1
2
AD.又MT=MD,
∴MD=1
2
AD.
∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,
∴点M是线段AD的中点时,此时AD为⊙M的直径时,MD=1
2
AD.∵A(﹣1,0),D(1,
∴点M的坐标是(0
(3)如图3,作MH⊥x于点H,则AH=HT=1
2 AT.
又HT=a,
∴H(a﹣1,0),T(2a﹣1,0).
∵OH≤x≤OT,又动点T在射线EB上运动,∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1.
∴0≤a﹣1≤2a﹣1.
∴a≥1,
∴2a﹣1≥1.
(i)当
211
1(1)211
a
a a
-
?
?
----
?
,即1
4
a
3
时,
当x=a﹣1时,y最大值=(a﹣1)2﹣2(a﹣1)﹣3=a2﹣4a;当x=1时,y最小值=4.
(ii)当
011
211
1(1)211
a
a
a a
<-
?
?
->
?
?--<--
?
,即
4
3
<a≤2时,
当x=2a﹣1时,y最大值=(2a﹣1)2﹣2(2a﹣1)﹣3=4a2﹣8a.当x=1时,y最小值=﹣4.
(iii)当a﹣1>1,即a>2时,
当x=2a﹣1时,y最大值=(2a﹣1)2﹣2(2a﹣1)﹣3=4a2﹣8a.当x=a﹣1时,y最小值=(a﹣1)2﹣2(a﹣1)﹣3=a2﹣4a.
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系;另外,解答(3)题时,一定要分类讨论,以防漏解或错解.
3.在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点()0,0O ,点()3,0A ,点()0,4C
,
连接OB ,以点A 为中心,顺时针旋转矩形AOCB ,旋转角为()0360αα?<,得到矩形ADEF ,点,,O C B 的对应点分别为,,D E F . (Ⅰ)如图,当点D 落在对角线OB 上时,求点D 的坐标; (Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下,AB 与DE 交于点H . ①求证BDE DBA ???; ②求点H 的坐标.
(Ⅲ)α为何值时,FB FA =.(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472
(,)2525;(Ⅱ)①证明见解析;②点H 的坐标为(3,258
);(Ⅲ)60α=?或300?. 【解析】 【分析】
(Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥,根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长,根据矩形的性质可得AB 、OB 的长,在Rt △OAM 中,利用∠BOA 的余弦求出OM 的长,由旋转的性质可得OA=AD ,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ,在Rt △ODN 中,利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长,即可得答案;(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ,根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=,利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ;②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ,BE=AD ,即可证明
△BHE ≌△DHA ,可得DH=BH ,设AH=x ,在Rt △ADH 中,利用勾股定理求出x 的值即可得答案;(Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB ,由性质性质可得∠BAF=α,分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况,根据FB=FA 可得OA=OB ,利用勾股定理求出FO 的长,由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数. 【详解】
(Ⅰ)∵点()30A ,
,点()04C ,, ∴3,4OA OC ==. ∵四边形OABC 是矩形, ∴AB=OC=4,
∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的
∴3AD AO ==.
在Rt OAB ?中,225OB OA AB =+=, 过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥ 在Rt ΔOAM 中,OM OA 3
cos BOA OA OB 5
∠===, ∴9OM 5
=
∵AD=OA ,AM ⊥OB , ∴18OD 2OM 5
==
. 在Rt ΔODN 中:DN 4sin BOA OD 5∠==,cos ∠BOA=ON OD =3
5
, ∴72DN 25=
,54ON 25
=
. ∴点D 的坐标为5472,2525??
??
?.
(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的, ∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===?==. ∴OD AD =.
∴
DOA ODA ∠∠=.
又∵DOA OBA 90∠∠+=?,BDH ADO 90∠∠+=? ∴ABD BDE ∠∠=.
又∵BD BD =, ∴ΔBDE ΔDBA ?.
②由ΔBDE ΔDBA ?,得BEH DAH ∠∠=,BE AD 3==, 又∵
BHE DHA ∠∠=,
∴ΔBHE ΔDHA ?. ∴DH=BH ,
设AH x =,则DH BH 4x ==-, 在Rt ΔADH 中,222AH AD DH =+,
即()2
22x 34x =+-,得25x 8
=, ∴25AH 8
=
. ∴点H 的坐标为253,
8?? ???
. (Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB , 当0<α≤180°时,
∵点B 与点F 是对应点,A 为旋转中心, ∴∠BAF 为旋转角,即∠BAF=α,AB=AF=4, ∵FA=FB ,FO ⊥AB , ∴OA=
1
2
AB=2, ∴cos ∠BAF=
OA AF =1
2
, ∴∠BAF=60°,即α=60°, 当180°<α<360°时,
同理解得:∠BAF′=60°, ∴旋转角α=360°-60°=300°.
综上所述:α60=?或300?. 【点睛】
本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识,正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
4.阅读下面材料:
观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.在锐角△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,过A 作AD ⊥BC 于D (如图),则sin B =AD c ,sin C =AD
b
,即AD =c sin B ,AD =b sin C ,于是c sin B =b sin C ,即
sin sin b c B C = .同理有:sin sin c a
C A
=,
sin sin a b A
B
=,所以sin sin sin a b c
A B C ==. 即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.
(1)如图,△ABC 中,∠B =75°,∠C =45°,BC =60,则AB = ;
(2)如图,一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B 处,此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A 的距离AB . (3)在(2)的条件下,试求75°的正弦值.(结果保留根号)
【答案】(1)6;(2)6海里;(3)6+2
4
. 【解析】 【分析】
(1)根据材料:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,写出比例关系,代入数值即可求得AB 的值.
(2)此题可先由速度和时间求出BC 的距离,再由各方向角得出∠A 的角度,过B 作BM ⊥AC 于M ,求出∠MBC=30°,求出MC ,由勾股定理求出BM ,求出AM 、BM 的长,由勾股定理求出AB 即可;
(3)在三角形ABC 中,∠A=45,∠ABC=75,∠ACB=60,过点C 作AC 的垂线BD ,构造直角三角形ABD ,BCD ,在直角三角形ABD 中可求出AD 的长,进而可求出sin75°的值. 【详解】
解:(1)在△ABC 中,∠B=75°,∠C=45°,BC=60,则∠A=60°, ∵AB sinC =sin BC
A , ∴
45AB sin =60
sin60
, 23,
解得:6.
(2)如图,
依题意:BC=60×0.5=30(海里)∵CD∥BE,
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°,
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°.
∴∠ABC=75°,
∴∠A=45°,
在△ABC中,
sin AB ACB
∠=
BC
sin A
∠即60?
AB
sin
=
30
45?
sin,
解之得:AB=156.
答:货轮距灯塔的距离AB=156海里.
(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.
在直角三角形ABM中,∠A=45°,6,
所以3BDC中,∠BCM=60°,BC=30°,可求得CM=15,
所以AC=153+15, 由题意得,1531575
sin + =15660sin ,sin75°=6+24 . 【点睛】
本题考查方向角的含义,三角形的内角和定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定等知识点,解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.
5.如图,正方形OABC 的顶点O 与原点重合,点A ,C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上,点
A 的坐标为(4,0),点D 在边A
B 上,且tan ∠AOD =
1
2
,点E 是射线OB 上一动点,EF ⊥x 轴于点F ,交射线OD 于点G ,过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H . (1)求B ,D 两点的坐标;
(2)当点E 在线段OB 上运动时,求∠HDA 的大小;
(3)以点G 为圆心,GH 的长为半径画⊙G .是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切?若不存在,请说明理由;若存在,请求出所有符合条件的点E 的坐标.
【答案】(1)B (4,4),D (4,2);(2)45°;(3)存在,符合条件的点为(8﹣
2,8﹣2)或(2,2)或42164216,77??
? ???或16421642,77?-- ??
,理由见解析 【解析】 【分析】
(1)由正方形性质知AB=OA=4,∠OAB=90°,据此得B (4,4),再由tan ∠AOD= 1
2
得AD=
1
2
OA=2,据此可得点D 坐标; (2)由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=1
2
OF ,再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ,即GF=
1
2
EF ,根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点,结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位
线,即HD∥BE,据此可得答案;
(3)分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况,设PG=x,结合题意建立关于x的方程求解可得.
【详解】
解:(1)∵A(4,0),
∴OA=4,
∵四边形OABC为正方形,
∴AB=OA=4,∠OAB=90°,
∴B(4,4),
在Rt△OAD中,∠OAD=90°,
∵tan∠AOD=1
2
,
∴AD=1
2OA=
1
2
×4=2,
∴D(4,2);
(2)如图1,在Rt△OFG中,∠OFG=90°
∴tan∠GOF=GF
OF =
1
2
,即GF=
1
2
OF,
∵四边形OABC为正方形,∴∠AOB=∠ABO=45°,∴OF=EF,
∴GF=1
2
EF,
∴G为EF的中点,
∵GH∥x轴交AE于H,
∴H为AE的中点,
∵B(4,4),D(4,2),∴D为AB的中点,
∴DH是△ABE的中位线,∴HD∥BE,
∴∠HDA=∠ABO=45°.
(3)①若⊙G与对角线OB相切,
如图2,当点E在线段OB上时,
过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG=2x,OF=EF=22x,
∵OA=4,
∴AF=4﹣22x,
∵G为EF的中点,H为AE的中点,
∴GH为△AFE的中位线,
∴GH=1
2AF=
1
2
×(4﹣22x)=2﹣2x,
则x=2﹣2x,
解得:x=22﹣2,
∴E(8﹣42,8﹣42),
如图3,当点E在线段OB的延长线上时,
x2x﹣2,
解得:x=2
∴E(2,2
②若⊙G与对角线AC相切,
如图4,当点E在线段BM上时,对角线AC,OB相交于点M,
过点G 作GP ⊥OB 于点P ,设PG =x ,可得PE =x , EG =FG =2x , OF =EF =22x , ∵OA =4, ∴AF =4﹣22x ,
∵G 为EF 的中点,H 为AE 的中点, ∴GH 为△AFE 的中位线, ∴GH =
12AF =1
2
×(4﹣22x )=2﹣2x , 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ,则GQ =PM =3x ﹣22, ∴3x ﹣22=2﹣2x , ∴422
7
x +=
, ∴42164216,E ??++ ? ???
; 如图5,当点E 在线段OM 上时,
GQ =PM =23x ,则23x =22, 解得422
7
x =
,
∴16421642,77E ??
-- ?
???
; 如图6,当点E 在线段OB 的延长线上时,
3x ﹣22=2x ﹣2, 解得:422
7
x -=
(舍去); 综上所述,符合条件的点为(8﹣42,8﹣42)或(8+42,8+42)或
42164216,77??++ ? ???或16421642,77??
-- ? ???
. 【点睛】
本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用.
6.如图所示,一堤坝的坡角62ABC ∠=?,坡面长度25AB =米(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角50ADB ∠=?,则此时应将坝底向外拓宽多少米?(结果保留到0.01 米)(参考数据:sin620.88?≈,cos620.47?≈,
tan50 1.20?≈)
【答案】6.58米 【解析】
试题分析:过A 点作AE ⊥CD 于E .在Rt △ABE 中,根据三角函数可得AE ,BE ,在Rt △ADE 中,根据三角函数可得DE ,再根据DB=DE ﹣BE 即可求解. 试题解析:过A 点作AE ⊥CD 于E . 在Rt △ABE 中,∠ABE=62°. ∴AE=AB?sin62°=25×0.88=22米,
BE=AB?cos62°=25×0.47=11.75米, 在Rt △ADE 中,∠ADB=50°, ∴DE==18米,
∴DB=DE ﹣BE≈6.58米. 故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米.
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
7.如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点B 到航线l 的距离BD 为4km ,点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处.现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处,沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处.求这艘轮船的航行路程CE 的长度.(结果精确到0.1km )(参考数据:3≈1.73,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49)
【答案】20.9km 【解析】
分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可. 详解:如图,
在Rt △BDF 中,∵∠DBF=60°,BD=4km ,
∴BF=
cos 60BD
=8km ,
∵AB=20km , ∴AF=12km ,
∵∠AEB=∠BDF ,∠AFE=∠BFD , ∴△AEF ∽△BDF ,
∴
AE BD
AF BF , ∴AE=6km ,
在Rt △AEF 中,CE=AE?tan74°≈20.9km . 故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km .
点睛:本题考查相似三角形,掌握相似三角形的概念,会根据条件判断两个三角形相似.
8.在矩形ABCD中,AD>AB,点P是CD边上的任意一点(不含C,D两端点),过点P 作PF∥BC,交对角线BD于点F.
(1)如图1,将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF,QF交AD于点E.求证:△DEF是等腰三角形;
(2)如图2,将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF',连接P'C,F'B.设旋转角为α(0°<α<180°).
①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,求证:△DP'C∽△DF'B.
②如图3,若点P是CD的中点,△DF'B能否为直角三角形?如果能,试求出此时
tan∠DBF'的值,如果不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②1
2
3
【解析】
【分析】(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF,所以△DEF是等腰三角形;
(2)①由于PF∥BC,所以△DPF∽△DCB,从而易证△DP′F′∽△DCB;
②由于△DF'B是直角三角形,但不知道哪个的角是直角,故需要对该三角形的内角进行分类讨论.
【详解】(1)由翻折可知:∠DFP=∠DFQ,
∵PF∥BC,
∴∠DFP=∠ADF,
∴∠DFQ=∠ADF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,
∵∠P′DF′=∠PDF,
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC,
∴∠P′DC=∠F′DB,
由旋转的性质可知:△DP′F′≌△DPF , ∵PF ∥BC , ∴△DPF ∽△DCB , ∴△DP′F′∽△DCB ∴
'
'
DC DP DB DF = , ∴△DP'C ∽△DF'B ;
②当∠F′DB=90°时,如图所示, ∵DF′=DF=1
2
BD , ∴
'1
2
DF BD =, ∴tan ∠DBF′=
'1
2
DF BD =;
当∠DBF′=90°,此时DF′是斜边,即DF′>DB ,不符合题意; 当∠DF′B=90°时,如图所示,
∵DF′=DF=1
2
BD , ∴∠DBF′=30°,
∴tan ∠DBF′=
3.
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题,涉及旋转的性质,锐角三角函数的定义,相似三角形的性质以及判定等知识,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
9.如图,A (0,2),B (6,2),C (0,c )(c >0),以A 为圆心AB 长为半径的BD
交y轴正半轴于点D,BD与BC有交点时,交点为E,P为BD上一点.
(1)若c=63+2,
①BC=,DE的长为;
②当CP=62时,判断CP与⊙A的位置关系,井加以证明;
(2)若c=10,求点P与BC距离的最大值;
(3)分别直接写出当c=1,c=6,c=9,c=11时,点P与BC的最大距离(结果无需化简)
【答案】(1)①12,π;②详见解析;(2)①6
5
;②
6
5
(3)答案见详解
【解析】
【分析】
(1)①先求出AB,AC,进而求出BC和∠ABC,最后用弧长公式即可得出结论;②判断出△APC是直角三角形,即可得出结论;
(2)分两种情况,利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论;
(3)画图图形,同(2)的方法即可得出结论.
【详解】
(1)①如图1,
∵c=3+2,
∴OC=3,
∴AC=3﹣2=3
∵AB=6,
在Rt△BAC中,根据勾股定理得,BC=12,tan∠ABC=AC
AB
3
∴∠ABC =60°, ∵AE =AB ,
∴△ABE 是等边三角形, ∴∠BAE =60°, ∴∠DAE =30°,
∴DE 的长为
306
180
π?=π, 故答案为12,π; ②CP 与⊙A 相切.
证明:∵AP =AB =6,AC =OC ﹣OA =63, ∴AP 2+CP 2=108, 又AC 2=(63)2=108, ∴AP 2+PC 2=AC 2.
∴∠APC =90°,即:CP ⊥AP . 而AP 是半径, ∴CP 与⊙A 相切.
(2)若c =10,即AC =10﹣2=8,则BC =10.
①若点P 在BE 上,AP ⊥BE 时,点P 与BC 的距离最大,设垂足为F , 则PF 的长就是最大距离,如图2,
S △ABC =
12AB ×AC =1
2BC ×AF , ∴AF =AB AC BC ?=24
5
,
∴PF =AP ﹣AF =6
5
;
②如图3,若点P 在DE 上,作PG ⊥BC 于点G ,
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3). (1)当点N落在边BC上时,求t的值. (2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值. (3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式. (4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值. 【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4) t=1或 【解析】 试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ; (3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN. (4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值. 试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形, ∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合. ∴DQ=3 ∴2t=3. ∴t=; (2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数 值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36) 【答案】6.4米 【解析】 解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°. ∴DC=BC?cos30°=3 639 ==米, 2 ∵CF=1米, ∴DC=9+1=10米, ∴GE=10米, ∵∠AEG=45°, ∴AG=EG=10米, 在直角三角形BGF中, BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米, ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米, 答:树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高 2.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
【答案】. 【解析】 试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案. 试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°, ∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==, ∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG交CD于K. (1)求证:KE=GE; (2)若KG2=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
平行四边形二次达标题 1、等腰三角形中有一条边长为6,其三条中位线长度总和为10,则底边长为 ______ 2.如图,平行四边形ABCD的周长是30cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为_________ 3.如图,在平行四边形ABCD中,EF过两条对角线的交点O,若AB=4,BC=7,OE=3, 则四边形EFCD的周长是__________ 4.能判定四边形是平行四边形的条件序号是__________ ①一组对边平行,另一组对边相等②一组对边相等,一组邻角相等 ③一组对边平行,一组邻角相等④一组对边平行,一组对角相等 5.平行四边形的两对角线的长度分别为8和6,则其边长a范围为____________ 6、如图,在?ABCD中,AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后, 7、在A B C中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D、E、F分别是 AB、BC、AC的中点,则D E F的面积为__________ 8、如图,在平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径画弧, 交AD于F,再分别以B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧, 两弧相交于点G,若BF=12,AB=10,则AE的长为_______ 9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,点 P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由 点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.则 _______秒后四边形ABQP是平行四边形。 10、如图,△ABC的周长为28,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE, 垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10, 则PQ的长为___________
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案 一、选择题 1.如图,菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上,对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O,已知点A(1,1),∠ABC=60°,则k的值是() A.﹣5 B.﹣4 C.﹣3 D.﹣2 【答案】C 【解析】 分析:根据题意可以求得点B的坐标,从而可以求得k的值. 详解:∵四边形ABCD是菱形, ∴BA=BC,AC⊥BD, ∵∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∵点A(1,1), ∴OA=, ∴BO=, ∵直线AC的解析式为y=x, ∴直线BD的解析式为y=-x, ∵OB=, ∴点B的坐标为(?,), ∵点B在反比例函数y=的图象上, ∴, 解得,k=-3, 故选C. 点睛:本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答. 2.如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升飞机从A地起飞,垂直上升1000米到 达C 处,在C 处观察B 地的俯角为α,则AB 两地之间的距离约为( ) A .1000sin α米 B .1000tan α米 C .1000tan α米 D .1000sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=1000米,根据tan AC AB α= ,即可解决问题. 【详解】 解:在Rt ABC ?中,∵90CAB ∠=o ,B α∠=,1000AC =米, ∴tan AC AB α= , ∴1000tan tan AC AB αα ==米. 故选:C . 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果AC=2,cosA= 23,那么AB 的长是( ) A .3 B .43 C 5 D 13【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质,可知cosA= AC AB =23,然后根据AC=2,解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛:此题主要考查了解直角三角形,解题关键是明确直角三角形中,余弦值cosA=A ∠的邻边 斜边,然后带入数值即可求解. 4.如图,在ABC ?中,AB AC =,MN 是边BC 上一条运动的线段(点M 不与点B 重 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案
中考数学易错题汇编及答案
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