电磁学第三章例题Word版
物理与电子工程学院
注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。
总结：
1、E P χε0=
（1）极化率χ各点相同，为均匀介质
（2）τ
?=∑i
p P
各点相同，为均匀极化
2、极化电荷体密度 ()τ
ρ??-
='?
?-='?='????S
S
S
d P S d P q d S d P q
（1）对均匀极化的介质：0='='ρq
（2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ρρ''===，则：， （第5节小字部分给出证明）
3、极化电荷面密度 ()n
P P ?12?-='
σ 2P
、1P 分别为媒质2、1的极化强度，n
?为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中：
n P n P =?='? σ n P
：电介质内的极化强度 n ?：从电介质指向真空
或金属的法向单位矢。
例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极
化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P
。
-
-z
解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P
平行的球极
坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则：
A n
P ??=' σ 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷σ'的分布情况由A n
?与P
的夹角而定，即σ'是θ的函数（任一点的n
?都是球面的径向r ?） A A A P n P θσcos ?=?='
任一点有： θσcos P ='
所以极化电荷分布：
()()()140230030
22P
θσθσθθπσππθθσ?'>?
?'
?'===?
??
?'===? ????
右半球在、象限，左半球在、象限，左右两极处，，最大上下两极处，，最小 （2）求极化电荷在球心处产生的场强
由以上分析知σ'以z 为轴对称地分布在球表面上，因此σ'在球心处
产生的E '
只有z 轴的分量，且方向为z 轴负方向。
在球表面上任意选取一面元S d
，面元所带电荷量dS q d σ'
='，其在球心O 处产生场强为：
()
R R dS E d ?42
0-'='πεσ
其z 分量为： θπεσθcos 4cos 2
0R
dS
E d E d z '-='=' （方向为z 轴负方向） 全部极化电荷在O 处所产生的场强为：
2
0222
0cos 4cos sin cos 4z
S dS
E dE R
P R d d R
π
π
σθπεθθθ
?θπε'-''=
=?=-????
??
220
00
cos sin 1
2cos cos 423P d d P d P π
π
θθθπθθθ
πεεε=-=
=??
E '
的方向为z 轴负方向，大小为0
3εP 。
例1：书P103例题1
半径为
R ，电荷量为0q 的金属球埋在绝对介电常量为ε的均匀无限大
电介质中，求电介质内的场强E
及电介质与金属交界面上的极化电荷面密
度。
ε
解：（1）由于电场具有球对称性，故在介质中过P 点作一个半径为r
与金属球同心的球面S 为高斯面，S 上各点的D
大小相等且沿径向，由高
斯定理得：
S
D ds q
?=??
2
04r D q π?= 00
22
?44q q D D r r r
ππ=?=
因 E D
ε=，得：
002
?0?4?0q E r
q E r
r
q E r πε?>?=
?
（2）在交界面上取一点B ，过B 点作界面的法线单位矢n
?（由介质指向金属），则：
0??B B P n E n σεχ'=?=? 而0
2
?4B q E r R
πε= 00
2
4q R εχσπε'=
又 ()0
001εεεεχχε-=+?=
故 00000
022
44q q R R εεεεεεσσπεεπε
---'=-
=-?=- 讨论：（1）0ε
ε>，故交界面上σ'与0q （0σ）始终反号：0q 为正，
则σ'为负；0q 为负，则σ'为正。
（2）交界面上的极化电荷总量为：
2
04q R q εεπσε
-''=?=-
即 0q q '<： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。 （3）交界面上的总电荷量为：0
0r q q q q ε'=+=
这说明总电荷减小到自由电荷的r
ε1
倍。
（4）把介质换为真空，则场强为
02
0?4q r
r
πε，此式与前面有介质时的结果比较知：充满均匀介质时场强减小到无介质时的
r
ε1
倍：
02
02
041
4r q r q r πεεπε=
例2（补充）：类似于P104例题2
平行板电容器两极板面积S ，极板上自由电荷面密度σ±，两极板间充满电介质1ε、2ε，厚度分别为d 1、d 2，①求各电介质内的电位移和场强；②电容器的电容。
解：（1）如图，由对称性知介质中的E 及D 都与板面垂直。
在两介质分界面处作高斯面S 1，S 1内自由电荷为零，故有
1
11210S D ds D S D S ?=-+=??
得 D 1=D 2
为求电介质中D 和E
的大小，作另一高斯面S 2，对S 2有：
2
1221S D ds D S S D σσ?=-=?=??
而 σ
εσε=====2212111E D D E D ，
11012202r r E E σσεεεσσεεε?
==???
?==??
（2）正负两极板A 、B 间的电势差为：
???? ??+=???? ??+=+=-221
122112211εεεεσd d S q d d d E d E V V B A
∴ 2
211εεd d S
V V q C B A +
=
-= （此电容值与电介质的放置次序无关）
也可理解为两电容的串联：C d C d C ?=
=
2
221
11S
S
εε， =结果
例1：书上P112例题
在均匀无限大电介质中有一个金属球，已知电介质的绝对介电常量为
ε
，金属球的半径和自由电荷分别为R 及q 0，求整个电场的能量。
ε
解：（1）电场的分布：前例已求出，介质中的电位移为：
0202
?4?4q D r r q E r r ππε?
=???
?=??
而金属内部：00===ωE D
（2）场能体密度：2
E
D
?=ω=
202432q r πε
整个电场的能量为：
22024
sin 32q W dV r drd d r
ωθθ?πε==??????
（=
2
2024
432R
q r dr r ππε∞
??
）
=22200221sin 328R o o q q dr d d r R ππθθ?πεπε∞=???
例2（补充）：平行板空气电容器，极板面积S ，间距d ，用电源充电后，
两极板上带电分别为±Q 。断开电源后，再把两极板的距离拉开到2d 。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力（空气的介电常量取为0ε）
解法1：由静电能求解
（1）两极板的间距为d 和2d 时，平行板电容器的电容分别为：
10
202S
S
C C d d
εε==
极板间带电±Q 时所储存的电能分别为：
22212100122Q Q d Q d W W C S S
εε==
=
拉开极板后，电容器中电场能量的增量为：
22102Q d
W W W S
ε?=-=
由于电容器两极板间有相互吸引力，要使两极板间的距离拉开，外力必须作正功，而外力所作的功应等于两极板间电场能量的增量，即：
2012Q d
A W S ε=?=
外
（2）设两极板间的相互吸引力为F ，拉开两极板时，所加外力应等于
F ，外力所作的功： A F d F F =?=外外，而
∴ 2
02A Q F F d S
ε===外
解法2：由电场的能量求解
两极板的间距为d 和2d 时，极板间电场大小为：
1200Q E E S σεε===
极板间场能体密度：
2
2
01122022E Q S εωωε===
两极板间的电场为均匀电场，能量的分布也是均匀的，所以极板间整个电场的能量为：
2111102Q d
W V Sd S ωωε=?=?=
22202Q d
W S d S ωε=??=
后面的计算与前面解法1相同。
例3（补充）：
计算一个球形电容器电场中所储存的能量。
解：在半径为r 的球面上（R A ≤ r ≤R B ）电场强度是等值的（方向沿
球半径方向），取体积元（在电场区域）dr r dV 2
4π=，其中的电场能量为：
dr
r E dV E dV dW 22222
1
πεεω===
全部电场中所储有的能量为：
????
??-=??
? ??===???
B A
R R R R R R Q dr r r Q dr r E dW W B
A
B
A
118422222
22
2πεπεπεπε
=C Q R R R R Q A
B B A 2
22142
1
=
-πε
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）