傅里叶变换基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）
傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性
傅里叶变换是一种线性运算。若
则
其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因
由式(3-55)得
二、对称性
若则
证明因为
有
将上式中变量换为x，积分结果不变，即
再将t用代之，上述关系依然成立，即
最后再将x用t代替，则得
所以
证毕
若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)
成为
可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如：
例3-7若信号的傅里叶变换为
试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有
该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为
根据对称性
故
再将中的换成t，则得
为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性
若
则
四、尺度变换性
若
则
证明因a＞0，由
令，则，代入前式，可得
函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示
沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且
根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数
两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性
若
则
此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有
六、频移性
若
则
证明
证毕
频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以
，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了
位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号乘以所谓载频信号或，即
七、时域微分性
若
则
证明：因为
两边对t求导数，得
所以
同理，可推出
例3-10求的频谱函数。
解:因为
由时域微分性
例3-11图3-22所示信号为三角形函数
求其频谱函数。
解:将微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为
由微分性
所以
傅里叶变换的基本性质（二）
八、频域微分性
若
则
例3-12求的频谱函数。
解: 因为
根据频域微分性
九、时域积分性
若
则
例3-13根据和积分性求的频谱函数。
解:因为，又，根据时域积分性
例3-14求图3-23所示信号的频谱函数。
解: 对求两次微分后，得
且
由时域积分性
十、频域积分性
若
则
例3-15已知，求。
解:因为
根据频域积分性
十一、时域卷积定理
若
则
证明：
例3-16 图3-24(a)所示的三角形函数
可看做为两个如图3－24(b)所示门函数卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数。
解：因
又
所以
例3-17一个信号的希伯特变换是和的卷积，即
解：因为
则对称性
有
由时域卷积定理
傅里叶变换的基本性质（三）
十二、频域卷积定理
若
则
或
例3-18利用频域卷积定理求的傅里叶变换。
解：因为
由对称性
有
所以根据频域卷积定理，有
即
十三、帕塞瓦尔定理
若
则
可推广
若为实函数，则
若,为实函数，则
例3-19求。
解：因
又，由帕塞瓦尔定理可得
十四、奇偶性
若，则
(1) 当为实函数时，则
若为实偶函数，即，则
若为实奇函数，即，则
(2) 当为虚函数，即时，则
傅里叶变换的性质表格
性质名称时域频域
1. 线性
2. 对称性
3. 折叠性
4. 尺度变换性
周期信号的傅里叶变换
周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。
一、复指数信号的傅里叶变换
对于复指数信号
，
因为，由频移性
复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于，强度为
的冲激。这说明信号时间特性的
相移对应于频域中的频率转移。
6. 频移性
7. 时域微分
8. 频域微分
9. 时域积分
10. 频域积分
11. 时域卷积
12. 频域卷积
13. 帕塞瓦尔定理
二、余弦、正弦信号的傅里叶变换
对于余弦信号
其频谱函数
对于正弦信号
有
它们的波形及其频谱如图3-25所示。
三、单位冲激序列的傅里叶变换
若信号为单位冲激序列，即
则其傅里叶级数展开式为
对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得
式中。
可见，时域周期为的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为，冲激强度相等，均为。周期单位冲激序列波形、傅里叶系数
与频谱函数如图3-26所示。
四、一般周期信号的傅里叶变换
对于一般周期为T的周期信号，其指数型傅里叶级数展开式为
式中,.
对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到与时间无关，可得
式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率处，其强度为相应傅里叶级数系数的倍。
可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于傅里叶系数，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。
例3-20图3-27(a)表示一周期为，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为。试求其频谱函数。
解由式(3-26)可知，图3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号的傅里叶系数为
代入式(3-82)，得
（3-83）
式中。可见，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换由位于
处的冲激函数所组成，其在处的强度为。图3-27(b)给出了情况下的频谱图
周期信号的频谱
一、周期信号的频谱
一个周期信号，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之
和。其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周期信号，其展开式组成情况也不尽相同。在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。
描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边频谱和双边频谱。
1单边频谱
若周期信号的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即
则对应的振幅频谱和相位频谱称为单边频谱。
例3-3求图3-4所示周期矩形信号的单边频谱图。
解由波形可知，为偶函数，其傅里叶系数
故
因此,
即, , ,
, , ┅单边振幅频谱如图3-5所示。