2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设12(sin cos )x
y e C x C x =+(12,C C 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)设222z y x r
++=,则div (grad r )
)
2,2,1(-=_____________.
(3)交换二次积分的积分次序:?
?
--01
12
),(y dx y x f dy =_____________.
(4)设矩阵A 满足2
40A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.
(5)设随机变量
X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计
≤≥-}2)({X E X P
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =则
)(x f y
'=的图形为
(2)设
),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则
(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z
=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.
(C ) 曲线??
?==0
)
,(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.
(D ) 曲线?
??==0)
,(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.
(3)设
0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为
(A ) 2
01
lim (1cosh)h f h →-存在.
(B )
01
lim
(1)h h f e h →-存在. (C ) 201
lim (sinh)h f h h
→-存在.
(D ) 01
lim [(2)()]h f h f h h
→-存在.
(4)设11114
0001
1110000,,1111000011110
000A B ????
?????
???==????
????
????
则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.
(D ) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于
(A )-1.
(B ) 0.
(C )
1
2
. (D ) 1.
三、(本题满分6分)
求dx e e x
x
?2arctan .
四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z
=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,
(1,1)|2f
x
?=?,(1,1)|3f y ?=?,()(,x f x ?=
(,))f x x .求
1
3
)(=x x dx
d ?.
五、(本题满分8分)
设)(x f =2
10,arctan ,0,1,x x x x x +?≠?=?
将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--12
41)1(n n
n 的和.
六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L
)3()2()(222222-+-+-=?,其中L 是平面2=++z y x 与柱
面
1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.
七、(本题满分7分) 设
)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:
(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;
(2)0
1
lim ()2
x x θ→=
.
八、(本题满分8分)
设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)
()
(2)(22t h y x t h z +-=(设
长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
九、(本题满分6分)
设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,
t t βαα=+,
121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个
基础解系.
十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵
A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.
(1)记P =(x A Ax x 2
,,),求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;
(2)计算行列式E A +.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数
X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为
p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.
十二、(本题满分7分) 设总体
X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本
12,X X ,
,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==n
i i X n X 2121,求统计量∑=+-+=n
i i n i X X X Y 1
2)2(的数学期望()E Y .
2001年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为
22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.
由此,所求微分方程为''
'
220y y y -+=.
(2)【分析】 先求grad r .
grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ???????
=?
???????
???. 再求 div grad r=
()()()x y z
x r y r z r
???++???
=2222223333
11132
()()()x y z x y z r r r r r r r r r
++-+-+-=-=.
于是
div grad r|(1,2,2)-=
(1,2,2)22|3
r -=.
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤
≤时
12y -≤.由此看出二次积分02
1
1(,)y
dy f x y dx --??
是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
02
1
1(,)(,)y
D
dy f x y dx f x y dxdy --=?
?
??.
由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :
10,12y y x -≤≤-≤≤.
见图.现可交换积分次序
原式=02
20
211
11
11
(,)(,)(,)x
y
x
dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=?
?
??
??
.
(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用
定义法.
因为
2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,
故
()(2)2A E A E E -+=,即 2()2
A E
A E E +-?
=. 按定义知
11
()(2)2
A E A E --=+.
(5)【分析】 根据切比雪夫不等式
2
()
{()}D x P X E X εε
-≥≤,
于是
2
()1
{()2}22
D x P X
E X -≥≤
=.
二、选择题
(1)【分析】 当0x <时,
()f x 单调增'()0f x ?≥,(A ),(C )不对;
当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ?:正——负——正,(B )不对,(D )对.
应选(D ).
(2)【分析】 我们逐一分析.
关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数?(,)f x y 在(0,0)处可
微.因此(A )不一定成立.
关于(B )只能假设
(,)f x y 在(0,0)存在偏导数
(0,0)(0,0)
,f f x y
????,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)
1f f x y ????±-=±??????
,,{3,1,-1}与{3,1,1}不
共线,因而(B )不成立.
关于(C ),该曲线的参数方程为,
0,(,0),x t y z f t =??
=??=?
它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为
'0{',0,
(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x d
t f t f dt
===. 因此,(C )成立.
(3)【分析】 当
(0)0f =时,'0()(0)lim
x f x f x →=?00()()
lim lim x x f x f x x x
→+→-?=?.
关于(A ):220001(1cos )1cos 1()
lim (1cos )lim 1cos lim
1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t
→→→+---=?=--, 由此可知 201
lim (1cos )h f h h
→-? ? '(0)f + ?.
若
()f x 在0x =可导?(A )成立,反之若(A )成立?'(0)f + ??'(0)f ?.如()||f x x =满
足(A ),但'
(0)f 不?. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,?
''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h
→→-=-=-. ?(D )成立.反之(D )成立0
lim((2)())0h f h f h →?-=?()f x 在0x =连续,?()f x 在0x =可
导.如21,0
()0,0x x f x x +≠?=?
=? 满足(D ),但
()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不?.
再看(C ):
2220001sin (sin )sin ()
lim
(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t
→→→----=?=?
-(当它们都?时).
注意,易求得20sin lim
0h h h h →-=.因而,若'
(0)f ?
?(C )成立.反之若(C )成立?0()lim t f t t
→(即 '(0)f ?).因为只要()f t t
有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'
(0)f 不?.
因此,只能选(B ).
(4)【分析】 由 43
||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.
作为实对称矩阵,当A
B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的
正负惯性指数,因此
A 与
B 合同.
所以本题应当选(A ).
注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如
1002A ??=????与1003B ??
=????
, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.
(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X
Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:
相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y
aX b =+(其
中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).
事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,
()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定
义式有
1
XY ρ=
=
=-.
三、【解】
原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)
x x x x x
x
x de e d e e e e e ---=--+??
=2221(arctan )21x x x x
x x
de de e e e e ---++??
=21(arctan arctan )2
x
x x x e e e e C ---
+++.
四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ?===.
求 3
2''1()|3(1)(1)3(1)x d x dx
????===,归结为求'(1)?.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)d
x f x f x x f x f x x f x x dx
?=+,
'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ?=++.
注意
'1(1,1)
(1,1)2f f x
?=
=?,'2(1,1)(1,1)3f f y ?=
=?. 因此
'(1)23(23)17
?=++=,
3
1()|31751x d x dx
?==?=.
五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上2
1x +并化简即可.
直接将arctan x 展开办不到,但'
(arctan )x 易展开,即
'
22
1
(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞
===-<+∑, ①
积分得 '
221
00
00(1)arctan (arctan )(1)21
n x
x n
n
n n n x t dt t dt x n ∞
∞
+==-==-=+∑∑??,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在
1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点
1x =±成立.
现将②式两边同乘以2
1x x
+得
2222
22000
1(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞
∞∞===+---=+=++++∑∑∑
=12200
(1)(1)2121n n n n
n n x x n n -∞
∞==--++-∑∑
=2111
1(1)(
)2121
n n n x n n ∞
=+
--+-∑
22
1
(1)2114n n
n x n ∞
=-=+-∑ ,
[1,1]x ∈-,0x ≠
上式右端当0x =时取值为1,于是
22
1(1)2()1,[1,1]14n n
n f x x x n
∞
=-=+∈--∑. 上式中令1x =2
1
(1)111
[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞
=-?=-=?-=--∑.
六、【解】
用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z +
+=上L 所
为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量
(cos ,cos ,cos )n αβγ==
. 于是由斯托克斯公式得
22
22
22
cos cos cos 23S
I dS x y z y z z x x y αβ
γ???=???---??
=
[(24(26(22S
y z z x x y dS --+--+--??
=(423)(2)(6)S S
x y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是
==
按第一类曲面积分化为二重积分得
(62(6)D D
I x y x y dxdy =+-=-+-??, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图).由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇
偶性得
()0D
x y dxdy -=??
?
21224D
I dxdy =-=-=-??.
七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ?∈-,0,(0,1)x θ≠?∈,使
'()(0)()f x f xf x θ=+
(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单
调,θ唯一. (2)对'
()f x θ使用''
(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'
()f x θ,则有
'()(0)
()f x f f x x
θ-=
.
再改写成
''
'
()(0)(0)
()(0)f x f xf f x f x θ---=.
'''2
()(0)()(0)(0)
f x f f x f xf x x
θθθ---?=, 解出θ,令0x →取极限得
''
'
'
'
2''0001(0)
()(0)(0)()(0)1
2lim lim /lim (0)2
x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.
八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示
先求
()S t 与()V t .
侧面方程是22222
2()()()((,):)()2
xy x y h t z h t x y D x y h t +=-
∈+≤. ?
44,()()
z x z y
x h t y h t ??=-=-??. ?
()xy
xy
D D S t dxdy ==??.
作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则
:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤
.
?
2(003()2
22
2
1()()
2113[()16]().()48
12
t t S t d h t h t r h t h t πθππ==
?+=
?
用先二后一的积分顺序求三重积分
()
()
()h t D x V t dz
dxdy =?
??,
其中222()():
()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221
[()()]2
x y h t h t z +≤-. ?
()
23330
1()[()()][()()]()2
224
h t V t h t h t z dz h t h t h t π
π
π
=-=
-=?
. (2)按题意列出微分方程与初始条件.
体积减少的速度是dV dt -
,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dV
S dt
=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22
133()0.9()412
dh h t h t dt ππ=-,即
13
10
dh dt =-.
①
(0)130h =.
②
(3)解①得13
()10
h t t C =-+. 由②得
130C =,即13
()13010
h t t =-
+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.
九、【解】
由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根
据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.
从12,,
s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.
下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++
=,即
11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++
++=.
由于 12,,s ααα线性无关,因此有
112211222132110,0,0,0.
s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=??+=??
+=???+=?
?
(*)
因为系数行列式
12
21121
12
21
0000
00
000(1)000
s s s
t t t t t t t t t t +=+-, 所以当112
(1)0s
s s
t t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==
==.
从而12,,s βββ线性无关.
十、【解】 (1)由于AP PB = ,即
22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-
2000(,,)103012x Ax A x ??
??=??
??-??
,
所以000103012B ??
??=??
??-??
.
(2)由(1)知A
B ,那么A E B E ++,从而
100
||||1134011
A E
B E +=+==--.
十一、【解】 (1){|}(1)
,0,0,1,2,
m
m
n m
n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.
(2){,}P X
n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ===
=
(1),0,0,1,2,
.!
n
m m
n m n e C p p m n n n λλ--?-≤≤=
十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布
2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样
本均值为
21111()2n n
i n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为
2
111(2)11
n i n i
i X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21
()21
E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.