第四章常用概率分布

第四章常用概率分布

为了便于读者理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方

法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念一一事件、概率的基础上，重点介绍生物科学

研究中常用的几种随机变量的概率分布一一正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数

的抽样分布和t分布。

第一节事件与概率

一、事件

(一)必然现象与随机现象在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各

种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生(或必然不发生) 。例如，

在标准大气压下，水加热到100 C必然沸腾；步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象

称为必然现象 (inevitable phenomena)或确定性现象 (definite phenomena)。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。例如，掷一枚质地均匀对称的硬币，其结果可能是出现正面，也可能出现反面；孵化6枚种蛋, 可能“孵化出0只雏”，也可能“孵化出1只雏”，…，也可能“孵化出 6只雏”，事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为随机现象

(random phenomena) 或不确定性现象 (indefinite phenomena)。

人们通过长期的观察和实践并深入研究之后，发现随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大

量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性一一频率的稳定性，通常称之

为随机现象的统计规律性。例如，对于一头临产的妊娠母牛产公犊还是产母犊是事前不能确定的，但随着妊娠母牛头数的增加，其产公犊、母犊的比例逐渐接近1:1的性别比例规律。

概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门科学。

(二)随机试验与随机事件

1、随机试验通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验(trial)。而一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个随机试验(random trial )，简称试验:

(1)试验可以在相同条件下多次重复进行；

(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

如在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋，观察其出雏情况；又如观察两头临产妊娠母牛所

产犊牛的性别情况，它们都具有随机试验的三个特征，因此都是随机试验。

2、随机事件随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能发生，也可能不发生，

称为随机事件 (random event)，简称事件(event),通常用A、B、C等来表示。

(1)基本事件我们把不能再分的事件称为基本事件

(elementary event)，也称为样

本点(sample point)。例如，在编号为1、2、3、…、10的十头猪中随机抽取 1头，有10 种不同的可能结果：“取得一个编号是1”、“取得一个编号是2”、…、“取得一个编号是10”，这10个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事

件称为复合事件(compound event )。如“取得一个编号是 2的倍数”是一个复合事件，它由“取得一个编号是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10” 5个基本事件组合而成。

(2)必然事件我们把在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件(certain event), 用Q表示。例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的条件下，妊娠正常的母猪经

114天左右产仔，就是一个必然事件。

(3)不可能事件我们把在一定

条件下不可能发生的事件称为不可能事件(impossible event),用Q表示。例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出雏鸡，就是一个不可能事

件。

必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，但是为了方便起见，

我们把它们看作为两个特殊的随机事件。

二、概率

(一)概率的统计定义研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，

还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导

实践。这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身所

固有的，且不随人的主观意志而改变，人们称之为概率(probability )。事件A的概率记为

P (A)。下面我们先介绍概率的统计定义。

在相同条件下进行 n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为 m,那么m/n称为随机事件A的频率(frequency);当试验重复数 n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值 p,那么就把p称为随机事件A的概率。这样定义的概率称为统计概率

(statistics probability),或者称后验概率 (posterior probability )。

例如为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个事件的概率，历史上有人作过成千上万次

抛掷硬币的试验。在表 4—1中列出了他们的试验记录。

表4— 1抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录

k.皮尔逊12000 6019 0.5016

k.皮尔逊24000 12012 0.5005 从表4-1可看出，随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。

在一般情况下，随机事件的概率 p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随

机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。

即 P (A ) =p ~ m/n (n 充分大) (4-1)

(二) 概率的古典定义 上面介绍了概率的统计定义。但对于某些随机事件，

用不

着进行多次重复试验来确定其概率，而是根据随机事件本身的特性直接计算其概率。

有很多随机试验具有以下特征：

1、 试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；

2、 各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；

3、 试验的所有可能结果两两互不相容。

具有上述特征的随机试验，称为古典概型

(classical mode )。对于古典概型，概率的

定义如下：

设样本空间由n 个等可能的基本事件所构成，其中事件

A 包含有m 个基本事件，则 事件A 的概率为m/n ，即

P ( A ) =m/n

(4-2) 这样定义的概率称为古典概率 (classical probability )或先验概率(prior

probability )。

【例4.1】在编号为1、2、3、…、10的十头猪中随机抽取 1头，求下列随机事件的 概率。

(1) A = “抽得一个编号w 4”；

(2) B = “抽得一个编号是 2的倍数”。

因为该试验样本空间由 10个等可能的基本事件构成，即 n=10,而事件A 所包含的基 本事件有

4个，既抽得编号为1, 2, 3, 4中的任何一个，事件 A 便发生，即 m A =4,所 以

P(A)=m A /n =4/10=0.4

同理，事件B 所包含的基本事件数 m B =5，即抽得编号为 2, 4, 6, 8, 10中的任何 一个，事件 B 便发生，故 P(B)= m B /n=5/10=0.5。

【例4.2】 在N 头奶牛中，有 M 头曾有流产史，从这群奶牛中任意抽出

n 头奶牛，

试求：

(1) 其中恰有m 头有流产史奶牛的概率是多少？

(2) 若 N =30, M =8 , n =10 , m =2，其概率是多少？

我们把从有M 头奶牛曾有流产史的 N 头奶牛中任意抽出n 头奶牛，其中恰有m 头有 流产史这一事件记为 A ，因为从N 头奶牛中任意抽出 n 头奶牛的基本事件总数为

C N ，事件 A 所包含的基本事件数为 C m CN ；，因此所求事件 A 的概率为

m n -m

C M C N

C

C N

将N =30, M =8, n =10, m =2代入上式，得

即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这群奶牛随机抽出 10头奶牛其中有2头曾有流 产史的概率为6.95%。

(三) 概率的性质 根据概率的定义，概率有如下基本性质:

1、 对于任何事件 A ,有0w P (A ) w 1;

P(A) =

Cs.C 10 2 30-8 10 30 =0.0695

2、必然事件的概率为 1 ,即P ( Q) =1 ;

3、不可能事件的概率为0，即P (2) =0。

三、小概率事件实际不可能性原理

随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很

小，例如小于0.05、0.01 > 0.001，称之为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性很大，以至于实际上可以看成是不可能

发生的。在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验(显著性检验)的基本依据。在下一章介绍显著性检验的基本原理时，将详细叙述小概率事件实际不可能性原理的具体应用。

第二节概率分布

事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布(probability distribution )。为了深入研究随机试验，我们先引入随机变量 (random variable ) 的概念。

一、随机变量

作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值范围，则试验结果可用变量x来表示。

【例4.3】对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是“0头治愈”、“1头

治愈”、“ 2头治愈”、“...”、“ 100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的取值为0、1、2、 (100)

【例4.4】孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。若

用变量x表示试验的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表示“孵出小鸡”。

【例4.5】测定某品种猪初生重，表示测定结果的变量x所取的值为一个特定范围

(a,b)，如0.5 — 1.5kg , x值可以是这个范围内的任何实数。

如果表示试验结果的变量 x，其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称x为离散型随机变量(discrete random variable );如果表示试验结果的变

量x,其可能取值为某范围内的任何数值，且x在其取值范围内的任一区间中取值时，其概

率是确定的，则称 x为连续型随机变量 (continuous random variable )。

引入随机变量的概念后，对随机试验的概率分布的研究就转为对随机变量概率分布的研究了。

二、离散型随机变量的概率分布

常用的概率分布类型其特征

常用的概率分布类型及其特征 3．1 二点分布和均匀分布 1、两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。 其概率分布为： 其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率： 0≤P≤1。 X的期望 E（X）=P X的方差 D（X）=P（1—P） 2、均匀分布 如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一

个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其概率分布为： X的期望 E（X）=（a+b）/2 X的方差 D（X）=（b-a）2/12 3．2 抽样检验中应用的分布 3．2．1 超几何分布 假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布概率为： X=0，1，…… X的期望 E（X）=nd/N

X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布 超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为： 0

几种常见的概率分布复习过程

几种常见的概率分布 一、 离散型概率分布 1. 二项分布 n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布 应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的 平均数： (Y)np X E μ== 方差与标准差：2(1)X np P σ=- ;X σ=特例：（0-1）分布 若随机变量X 的分布律为 1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1；0

复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票 二、 连续型概率分布 1. 均匀分布 若随机变量X 具有概率密度函数 (x)f = 则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U(a ，b) 在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为 0F(x),1 x a x a a x b b a b x ? 是常数， 则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为 1,0(x)0,0 x e x F x λ-?-≥=?

第四章常用概率分布学习指导(定)详解

第四章 常用概率分布 [教学要求] 了解：质量控制的意义、原理和方法 熟悉：三个常用概率分布的特征。 掌握：掌握三个常用概率分布的概念；二项分布及Poisson 分布的概率 函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法；医学参考值的计算。 [重点难点] 第一节 二项分布 一、二项分布的概念与特征 基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为 ，阴性结果的发生概率 均为（1－π）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果的人数X 的概率分布为二项分布，记作B （n ,π）。 二项分布的概率函数： X n X X n C X P --=)1()(ππ 二项分布的特征： 二项分布图的形态取决于与n ，高峰在=n 处。当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n 的增大，分布趋于对称。 二项分布的总体均数为 πμn = 方差为 )1(2ππσ-=n 标准差为 )1(ππσ-=n 如果将出现阳性结果的频率记为 n X p = 则p 的总体均数为 πμ=p 标准差为 二、二项分布的应用 二项分布出现阳性的次数至多为k 次的概率为 n p ) 1(ππσ-=

∑∑==-== ≤k X k X X X e X P k X P 0 ! )()(λλ 出现阳性的次数至少为k 次的概率为 第二节 Poisson 分布的概念与特征 一、Poisson 分布的概念与特征 基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率 很小， 而观察例数n 很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外，Poisson 分布还要求 接近于0。有些情况 和n 都难以确定，只能以观察单位（时间、 空间、面积等）内某种稀有事件的发生数X 来近似。 Poisson 分布的概率函数： 式中，πλn =为Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次数，e 为自然对数的底，λ为常数，约等于2.71828。 Poisson 分布的特征 Poisson 分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。 Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为λ，且Poisson 分布的观察结果具有可加性。 特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。 三、Poisson 分布的应用 如果某稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么发生次数至多为k 次的概率为 发生次数至少为k 次的概率为 ! )(X e X P X λλ -= ∑∑==---= = ≤k X k X X n X X n X n X P k X P 0 0)1()! (!! )()(ππ∑∑ ==---== ≥n k X n k X X n X X n X n X P k X P )1()! (!! )()(ππ

考试练习题常用概率分布教学提纲

考试练习题常用概率 分布

第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A ．n > 50 B ．π=0.5 C ．n π=1 D ．π=1 E ．n π> 5 2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。 A ．n π和n （1－π）均大于等于5 B ．n π或n （1－π）大于等于5 C ．n π足够大 D ．n > 50 E ．π足够大 3. 的均数等于方差。 A ．正态分布 B ．二项分布 C ．对称分布 D ．Poisson 分布 E ．以上均不对 4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。 A ．－∞到+1.96 B ．－1.96到+1.96 C ．－∞到+2.58 D ．－2.58到+2.58 E ．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。 A ．n （1－π） B ．（n －1）π C ．n π（1－π） D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B . （1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以 为方差的Poisson 分布。 A . B .λ2λ12+2λ 2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。

A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则 X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布 12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ 2），X与Y独立，则X－Y服从。 2 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1

常用分布概率计算的Excel应用

上机实习常用分布概率计算的Excel应用利用Excel中的统计函数工具，可以计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用概率分布的概率值、累积（分布）概率等。这里我们主要介绍如何用Excel来计算二项分布的概率值与累积概率，其他常用分布的概率计算等处理与此类似。 §3.1 二项分布的概率计算 一、二项分布的（累积）概率值计算 用Excel来计算二项分布的概率值P n(k)、累积概率F n(k)，需要用BINOMDIST函数，其格式为： BINOMDIST (number_s，trials, probability_s, cumulative) 其中 number_s：试验成功的次数k； trials：独立试验的总次数n； probability_s：一次试验中成功的概率p； cumulative：为一逻辑值，若取0或FALSE时，计算概率值P n(k)；若取1 或TRUE时，则计算累积概率F n(k)，。 即对二项分布B(n,p)的概率值P n(k)和累积概率F n(k)，有 P n(k)=BINOMDIST(k,n,p,0)；F n(k)= BINOMDIST(k,n,p,1) 现结合下列机床维修问题的概率计算来稀疏现象（小概率事件）发生次数说明计算二项分布概率的具体步骤。 例3.1某车间有各自独立运行的机床若干台，设每台机床发生故障的概率为0.01，每台机床的故障需要一名维修工来排除，试求在下列两种情形下机床发生故障而得不到及时维修的概率： （1）一人负责15台机床的维修； （2）3人共同负责80台机床的维修。 原解：（1）依题意，维修人员是否能及时维修机床，取决于同一时刻发生故障的机床数。 设X表示15台机床中同一时刻发生故障的台数，则X服从n=15,p=0.01的二项分布： X～B(15,0.01)， 而 P(X= k)= C15k(0.01)k(0.99)15-k，k = 0, 1, …, 15 故所求概率为 P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-(0.99)15-15×0.01×(0.99)14 =1-0.8600-0.1303=0.0097 （2）当3人共同负责80台机床的维修时，设Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数，则Y服从n=80、p=0.01的二项分布，即 Y～B(80,0.01) 此时因为 n=80≥30, p=0.01≤0.2 所以可以利用泊松近似公式：当n很大，p较小时（一般只要n≥30,p≤0.2时），对任一确定的k,有（其中 =np）

第四章 常概率分布

第四章常用概率分布 为了便于读者理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布——正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。 第一节事件与概率 一、事件 （一）必然现象与随机现象在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。例如，在标准大气压下，水加热到100℃必然沸腾；步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象称为必然现象（inevitable phenomena）或确定性现象（definite phenomena）。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。例如，掷一枚质地均匀对称的硬币，其结果可能是出现正面，也可能出现反面；孵化6枚种蛋，可能“孵化出0只雏”，也可能“孵化出1只雏”，…，也可能“孵化出6 只雏”，事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为随机现象（random phenomena）或不确定性现象（indefinite phenomena）。 人们通过长期的观察和实践并深入研究之后，发现随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。例如，对于一头临产的妊娠母牛产公犊还是产母犊是事前不能确定的，但随着妊娠母牛头数的增加，其产公犊、母犊的比例逐渐接近1：1的性别比例规律。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门科学。 （二）随机试验与随机事件 1、随机试验通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（trial）。而一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个随机试验（random trial），简称试验： （1）试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 如在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋，观察其出雏情况；又如观察两头临产妊娠母牛所

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布）

Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的

第4章 常见概率分布.

第四章常用概率分布 一、二项分布的概念和特征 概念 分布:随机变量的取值规律分布函数:描述分布的规律 变量类型 连续型变量 离散型变量如:正态分布 如:二项分布,泊松分布 思考 例1.假设有5只实验小白鼠,要求它们同种属、同性别、体重相近,且给小白鼠注射一定剂量的毒物时,他们有相同的死亡率80%,存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少?有一只白小鼠存活的概率是多少?2只小白鼠存活的概率是多少? 例1.假设有5只实验小白鼠,要求它们同种属、同性别、体重相近, 且给小白鼠注射一定剂量的毒物时,他们有相同的死亡率80%, 存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少? 有一只白小鼠存活的概率是多少?2只小白鼠存活的概率是多少? P 死 =0.8 P 活 =0.2 P 1 =0.8×0.8×0.8×0.8×0.8 P 2 = P 3 = 1 5 C 2 5

C 0.2×0.8 4 =0.082 0.2 2 ×0.8 3 =0.020 =0.8 5 =0.328 该实验有三个特点: 1.各次实验是彼此独立的; 2.每次实验只有二种可能的结果,或死亡或生存; 3.每次实验小白鼠死亡和生存的概率是固定的。 具备以上三点,即从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本, 则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布,记作B(n,p。 概率分布函数 二项分布的概率函数P (X 可用公式 X n X X n C X P - - = 1 ( ( p p 其中 ! ( ! ! X n X n C X n - = 对于任何二项分布,总有 ( 1 = ? = n X X P 例2.临床上用针灸治疗某型头疼,有效的概率为60%,现以该疗法治疗3例,其中2例有效的概率是多大? 分析:治疗结果为有限和无效两类,每个患者是否有效不受其他病例的影响,有效概率均为0.6,符合二项分布的条件。

概率论中几种常用的重要的分布

概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞+∞p p p . 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值

第四章 常用概率分布

第四章常用概率分布 为了便于理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布——正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。 第一节排列与组合 一、乘法原理 如果一个过程分两个阶段进行，第一阶段有m种做法，第二阶段有n种做法，且第一阶段与第二阶段的任一种做法配成整个事件的一种做法，那么整个过程应该有mn种做法。 二、排列 从n个不同的元素中，任意取出r个不同的元素（0＜r≤n）按一定顺序排成一列，这样的一列元素，叫做从n个不同的元素中取r个不同的元素组成的一种排列。记做Pn r P n r=n(n-1)---(n-r+1)=n!/(n-r)! 例1：从1、2、3、4、5、6、7任取3个不同的数字组成3位数中，有几个是偶数？ 3×6×5＝90 如果容许重复，则P n r =n r 例2：体育彩票6位数的排列数有106，加上特征数共有106C51 例3 用0、1、2－－－9组成3位数 （1）如考虑数字可重复，可以组成多少不同的3位数？ （2）3位数中数字没有重复的有几个？ （3）3个数字相同的有几个？ （4）只有2个相同的有几个？ 解 1）百位9种，十位10种，个位10种 9×10×10 （2）百位9种，十位9种，个位8种 9×9×8 （3）百位9种，9×1×1 （4）百位与十位相同9×9，百位与个位相同9×9，十位与个位相同9×9 9×9＋9×9＋9×9＝243 三、组合 设有n个不同的元素，从它们中间任取r个构成一组，不考虑r元素的次序，记做C n r C n r=P n r/r!= n!/(n-r)!r! 例：5本不同的数学书，8本不同的物理书，任取2 本数学书，4本物理书的取法C52C84＝700 第二节事件与概率 一、事件 （一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，观察到各种现象，归纳起来，大体上分为两大类：必然现象（inevitable phenomena）或确定性现象（definite phenomena）：可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然

考试练习题常用概率分布

第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在条件下为对称图形。 A．n > 50 B．π=0.5 C．nπ=1 D．π=1 E．nπ> 5 2．满足时，二项分布B（n,π）近似正态分布。 A．nπ和n（1－π）均大于等于5 B．nπ或n（1－π）大于等于5 C．nπ足够大D．n > 50 E．π足够大 3. 的均数等于方差。 A．正态分布B．二项分布C．对称分布D．Poisson分布E．以上均不对4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是。 A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58 D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为。 A．n（1－π）B．（n－1）πC．nπ（1－π）D．nπ 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为。 7.设X1,X2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson分布,且X1与X2独立,则X1+X2服从以 为方差的Poisson分布。 8．满足时，Poisson分布Ⅱ（λ）近似正态分布。 A．λ无限大B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布B．标准正态分布C．二项分布D．Poisson分布E．t分布12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ22），X与Y 独立，则X－Y服从。 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22）B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22）D．N（0，σ12+σ22）E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 D．服从泊松分布的随机变量，其取值为0到n的概率之和为1 E．标准正态分布的标准差为1 14．据既往经验，注射破伤风抗毒素异常发生率为5‰，某医院一年接种600人次，无1例发生异常，该情况发生的可能性P（X=0）应等于。