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第十章扭转的强度和刚度计算

第十章

扭转的强度和刚度计算

思考题

1、若直径和长度相同，而材料不同的两根轴，在相同的扭矩作用下，它们的最大剪应力是否相同？扭转角是否相同？

2、试分析思8-2图所示扭转剪应力分布是否正确？为什么？

思2 图

3、阶梯轴的最大扭转剪应力是否一定发生在最大扭矩所在的截面上，为什么？

4、空心圆杆截面如思8-4图所示，其极惯性矩及抗扭截面模量是否按下式计算？为什么？

思8-4图

习题

1、实心圆轴直径D = 76mm ，m 1 = 4.5 kN ·m ，m 2 = 2 kNm ，m 3 = 1.5 kN ·m ，m 4 = 1 kN ·m 。设材料的剪切弹性模量G = 80GPa ，[τ]= 60MPa ，[θ]= 1.2°/m ，试校核该轴的强度和刚度。

题 1 图题 2 图

2、矩形截面杆的尺寸及荷载如图所示。材料的E = 2.1×103 MPa 。

求：（1）最大工作应力；（2）最大单位长度扭转角；（3）全轴的扭转角。

161632

323

4d D W d D I P P ππππ-=-

3、图示一联接水轮机与发电机的实心圆轴。已知轴横截面的直径为650 mm ，长度为6000 mm ，水轮机的功率P = 10000 PS ，钢材的剪切弹性模量G = 79 GPa 。问当水轮机的转速n = 57.7r/min 时,轴内的最大剪应力和轴两端的相对扭转角各为多大?

4、有一受扭钢轴，已知其横截面直径d = 25 m m ，剪切弹性模量 G = 79 GPa ，当扭转角为6°时的最大剪应力为95 MPa ，试求此轴的长度。

。

习题答案：

1. =max τ58.1Mpa

2. =max τ0.56 Mpa

0151.0max =?rad/m 3. =max τ22.6 Mpa

?=0.302° 4. l =2.18m

梁的强度和刚度计算.

梁的强度和刚度计算 1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。（1）梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算：单向弯曲时 f W M nx x x ≤=γσ （5-3）双向弯曲时 f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4）式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）； W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量； y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。（2）梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算

v w f It ≤=τ （5-5）式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。图5-3 腹板剪应力当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。（3）梁的局部承压强度图5-4局部压应力当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2.5（在h y 高度范围）和1∶1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可按下式计算

第四章扭转的强度与刚度计算.

41 一、传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。解（1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 (a ) (c ) C B m (d ) (e ) 图19-5 (b )

平面弯曲梁的强度与刚度计算

第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时横截面的正应力一．纯弯曲试验：纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象： ①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度； ②纵向线（包括轴线）都变成了弧线； ③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： ①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。

②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z 轴转动一个微小角度。二．梁横截面上的正应力分布：图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为：对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。

YY0342接骨板弯曲强度和刚度的值

YY/T 0342--2002 外科植入物接骨板弯曲强度和刚度的测定 1 范围本标准规定了直型接骨板弯曲强度和刚度的测定方法。包括术语及定义、仪器设备、试验步骤、结果计算、检验报告。本标准通用于直型接骨板、有一定角度接骨板的直板部分以及为了在安装时对骨产生预载而有小的初始弯曲的接骨板。本标准不适用于长度小于50 mm的接骨板，也不适用于设计成和髓内装置一起使用或成为髓内装置一部分的接骨板。 2术语及定义本标准采用下列定义。 2.1 力矩 moment 力矩是一个力绕一个轴的转动效果，数学表达式为力F与从轴到力的作用线的垂直距离h 的乘积。单位：N．m。 2.2 弯矩 Mb bending moment 力矩沿着垂直于物体长轴的轴上作用并且通常产生侧向位移，则称为弯矩。单位：N．m。 2.3 挠度 deflection 由于弯曲而产生的垂直于接骨板初始轴线的线性距离称为挠度。单位：m。 2.4 弯曲强度 bending strength 在断裂点或某一规定屈服点的弯矩值中，取其较小的作为弯曲强度。

单位：N．m。 2.5 等效弯曲刚度 equivalent bending stiffness 根据试件的外形尺寸和由力学测试法确定的载荷——挠度曲线图线性部分斜率s计算出的接骨板刚度称为等效弯曲刚度。单位：N．。 3仪器设备 3.1测试装置依据图1所示构造一个加载系统，其中的四个辊轴（用带阴影线的圆表示）必须固定，且其轴线保持平行。 3.2辊轴辊轴为等直径圆柱状，直径在8 mm～13 mm范围内，或者具有与被测接骨板横截面相适应的外形，并且平均直径在8 mm～13 mm范围内。要求其中一个辊轴用以固定试样，以限制其纵向移动，并要求所有的辊轴应保持它们的相对位置。 3.3加载方法可以用一个材料试验机施加载荷。 3.4量具用于测量相对位移的装置。 4试验步骤 4.1概述用第3章规定的装置进行弯曲试验。用圆柱形辊轴测试平面接骨板和横截面弯曲接骨板的弯曲强度和刚度，其中横截面弯曲的接骨板距中心平面的偏离量不得超过b/6(b是接骨板的宽度)。用外形适当的辊轴对其他接骨板进行测试。 4.2试样的放置将试样放置在测试台上，并按如下所述方法确定其位置： a)放置接骨板使两个内侧辊轴与将同骨骼相接触的接骨板表面相接触。 b)如果接骨板是对称的，那么对称地把最靠近对称中心的两个螺孔放在两个内铡辊轴之间。

轴扭转计算

第5章扭转 5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算 5.1.1、扭转的概念在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。图5.1 图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。图5.2 图示5.3，载重汽车的传动轴。图5.3 图示5.4，挖掘机的传动轴。图5.4 图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。图5.5 分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。图5.6

本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n N m 9550= （5.1）式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ?； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。图5.7 5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 5.2.1 扭矩已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系内力偶矩T 称为扭矩。扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。图5.8 图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是m N ?或m kN ?。 5.2.2 扭矩图为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，

范钦珊版材料力学习题全解第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算.

解：1、轴的强度计算M T τ 轴max = x = 1 3 ≤ 60 × 10 6 Wp1 π d 16 T1 ≤ 60 × 10 6 × 2、轴套的强度计算π × 66 3 × 10 ?9 = 3387 N ? m 16 习题 4－6 图τ 套 max = Mx T2 = ≤ 60 × 106 3 68 4 ? Wp2 πD ??1 ? ( ? 16 ? 80 ? 6 ?? 17 ? 4 ? π × 80 3 ?9 T2 ≤ 60 × 10 × × 10 ?1 ? ??? = 2883 N ? m 16 ??? 20 ??? 3、结论Tmax ≤ T2 = 2883 N ? m = 2.883 kN ? m 4－7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为δ ，横截面上的扭矩均为 T = Mx。试：习题 4－7 图1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 6 τ max ≈ τ max ≈ 2M x δπ D2 3M x 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力δ 2πD 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布。解：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力由于是薄壁，所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布（图 a1），于是有习题 4－7 解图Mx = ∫ A D D ? τd A = ? τ ? π Dδ 2 2 由此得到δπ D 2 δπ D2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力根据狭长矩形扭转剪应力公式，有3M x 3M x 3M x τ max = = = 2 2 hb π D ?δ δ 2π D τ= 2M x 即：τ max = 2M x 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布两种情形下剪应

第四章扭的强度与刚度计算

一、传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。解（1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 (a ) (c ) C m (d ) (e ) 图19-5 (b )

第 4 章圆轴扭转时的强度与刚度计算

基础篇之四第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion ）。本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。 4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭力矩M e 可用下式计算： [][] e kw 9549 [N m]r /min P M n =? 其中P 为功率，单位为千瓦（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。如功率P 单位用马力（1马力=735.5 N ?m/s ），则 e [] 7024 [N m][r /min] P M n =?马力外加扭力矩M e 确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩M e 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment ），用M x 表示。图4－1 受扭转的圆轴用假想截面m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有 M x －M e = 0 由此得到

图4－3 剪应力互等 M x = M e 与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b 和c 中的同一横截面上的扭矩均为正。当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。【例题4－1】变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a 所示。试画出扭矩图。解：用假想截面从AB 段任一位置（坐标为x ）处截开，由左段平衡得： M x = －2M e 0x l ? ≥≥ 因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。同样，从BC 段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC 段的扭矩： M x = +3M e 2l x l + ≥≥ 因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。建立OM x x 坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图4－2b 所示。从扭矩图可以看出，在B 截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。这一结论也可以从B 截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。 4－2 剪应力互等定理剪切胡克定律 4－2－1 剪应力互等定理考察承受剪应力作用的微元元体（图4－3），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡图4－2 例题4－1图

平面弯曲梁的强度与刚度计算.

第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算目的要求: 掌握弯曲梁正应力的讣算和正应力分布规律。教学重点: 弯曲梁正应力的汁算和正应力分布规律。教学难点: 平行移轴定理及瓦应用。学时分配: 7学时 §8-1纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念： 1、纯弯曲：平而弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 2、剪切弯曲：平而弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。二、纯弯曲时梁的正应力： 1、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 z （中性轴） 2.纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。 3、纯弯曲时梁的正应力的计算公式: （1）、任一点正应力的计算公式：

（2 ）、最大正应力的计算公式: 0皿一------ 一— lz必其中：M-一截面上的弯矩；I二-一截而对中性轴（z轴）的惯性矩：厂一所求应力的点到中性轴的距离。说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。 §8-2常用截而的二次矩平行移轴龙理一、常用截而的二次矩和弯曲截面系数: b 严■ y dy h y I z = \ydA= \ybdy=^-\ =等< ± 3 12 2 — ”7 Iz bh，亿=—=— % 6 2、圆形截面和圆环形截而:

圆环形截而 A = /v =詈0 -a") W：=W y=唱(l-a) 其中： d a =—— D 3、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。二、组合截而的二次矩平行移轴左理 1、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截而而积与两轴之间的距离平方的乘积。 I 二1=1 二+￡A 2、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。解：1、求T形截而的形心座标yc

第十章组变形时杆件的强度计算

第十章组合变形时杆件的强度计算教学目标：了解组合变形的特点，掌握组合变形的强度计算。重点、难点：组合变形的强度计算。学时分配：4学时。一、拉伸(压缩)与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合变形是工程中常见的情况。如图1(a)所示的起重机横梁AB ，其受力简图如图1(b)所示。轴向力x F 和Ax F 引起压缩，横向力Ay F ，W ，y F 引起弯曲，所以杆件产生压缩与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度EI 较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。于是，可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得横截面上的正应力。下面我们举一简单例子来说明。图1 悬臂梁AB (如图2(a)所示)，在它的自由端A 作用一与铅直方向成?角的力F (在纵向对称面xy 平面内)。将F 力分别沿x 轴y 轴分解，可得 sin cos x y F F F F ?? == x F 为轴向力，对梁引起拉伸变形(如图2(b)所示)；y F 为横向力，引起梁的平面弯曲(如

图2(c)所示)。距A 端x 的截面上的内力为轴力 N sin x F F F ?== 弯矩 cos z y M F x F x ?=-=-? 在轴向力x F 作用下，杆各个横截面上有相同的轴力N x F F =。而在横向力作用下，固定端横截面上的弯矩最大，max cos M F l ?=-?，故危险截面是在固定端。图2 与轴力N F 对应的拉伸正应力t σ在该截面上各点处均相等，其值为 N t sin x F F F A A A ? σ= == 而与max M 对应的最大弯曲正应力b σ，出现在该截面的上、下边缘处，其绝对值为 max b cos z z M Fl W W ? σ= = 在危险截面上与N F ，max M 对应的正应力沿截面高度变化的情况分别如图3(a)和图3(b)所示。将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后，正应力沿截面高度的变化情况如图3(c)所示。若t σ＞b σ，则min σ为拉应力；若t σ＜b σ，则min σ为压应力。所以min σ之值须视轴向力和横向力分别引起的应力而定。如图3(c)所示的应力分布图

梁的强度与刚度

第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度

第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。教学难点：平行移轴定理及其应用。教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：

平面弯曲梁的强度和刚度计算

第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时横截面的正应力一．纯弯曲试验：纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。

为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：

①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度； ②纵向线（包括轴线）都变成了弧线； ③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： ①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。 ②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。

可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。二．梁横截面上的正应力分布：图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为：对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同

一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。

第10 章梁的强度和刚度.

第10 章梁的强度和刚度10-1选择题 1 弯曲变形时，弯曲剪应力在横截面上（D）分布。 A.均匀 B.线性 C.假设均匀 D.抛物线 2 弯曲变形时，弯曲正应力在横截面上（B）分布。 A.均匀 B.线性 C.假设均匀 D.抛物线 3 构件抵抗变形的能力称（A）。 A.刚度 B.强度 C.稳定性 D.极限强度

4 构件抵抗破坏的能力（B）。 A.刚度 B.强度 C.稳定性 D.极限强度 5 梁的一端固定另一端自由的梁称（D ）。 A.简支 B.外伸 C.多跨 D.悬臂 6 梁的一端用固定铰，另一端用可动铰支座支承的梁称（A）梁。 A.简支 B.外伸 C.多跨 D.悬臂

7 简支梁的一端或二端伸出支座外的梁称（B ）梁。 A.简支 B.外伸 C.多跨 D.悬臂 8 图示梁的最大挠度为（C ）qa4/EI。 9 图示梁的最大转角为（C）qa3/EI。

10 梁的剪切弯曲变形时，梁横截面在上下边缘处的弯曲应力为( A)。Ａ.剪应力为零、正应力最大Ｂ.剪应力最大、正应力最大Ｃ.剪应力为零、正应力为零Ｄ.剪应力最大、正应力为零 11 等强度梁的截面尺寸(C ) A.与载荷和许用应力均无关 B.与载荷无关，而与许用应力有关 C.与载荷和许用应力均有关 D.与载荷有关，而与许用应力无关

12 在材料和荷载确定的情况下，提高梁的强度和刚度的最好办法是增大（C ）。 A.截面面积 B.截面静矩 C.截面惯性矩 D.都不对 13 矩形截面梁的横截面高度增加到原来的两倍，截面的抗弯能力将增大到原来的（C）。 A 2倍 B 3倍 C 4倍 D.8倍

材料力学的基本计算公式

材料力学的基本计算公式外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律

8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）

18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0/10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,

27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 32.三向应力状态最大与最小正应力 , 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律

第11章组合变形杆件的强度和刚度.

第11章组合变形杆件的强度和刚度 11-1选择题 1. 如图所示的矩形截面柱，受F P1和F P2力作用，将产生（C）的组合变形。 A. 弯曲和扭转 B. 斜弯曲 C. 压缩和弯曲 D. 压缩和扭转题1图 2、叠加原理的适用条件构件必须是（C）。 A.线弹性杆件 B.小变形杆件 C.线弹性、小变形杆件 D. 线弹性、小变形直杆

3、同时发生两种或两种以上的基本变形称为（）其强度计算方法的依据是（B ）。 A.复杂变形截面法 B.组合变形叠加原理 C.组合变形平衡条件D都.不对 4 在图示刚架中，( B) 段发生拉弯组合变形。题4图

5 图示槽型截面梁，C点为截面形心，若该梁横力弯曲时外力的作用面为纵向平面a-a，则该梁的变形状态为( C ) 。 A.平面弯曲 B.斜弯曲 C.平面弯曲+扭转 D.斜弯曲+扭转 6.截面核心的形状与（C）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 7．下列构件中，属于拉（压）弯组合变形的是（B）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．工作中的带传动轴

8．如图所示，AB杆产生的变形是（B）。 A．拉伸与扭转的组合B．拉伸与弯曲的组合 C．扭转与弯曲的组合D．压缩与弯曲的组合题8图 9．如图所示结构，其中AD杆发生的变形为（C）。 A．弯曲变形B．压缩变形 C．弯曲与压缩的组合变形D．弯曲与拉伸的组合变形

题9图 10.下列构件中，属于“扭弯”组合变形的是（D）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．镗削中的刀杆 11-2 矩形截面悬臂梁受力如图所示，P1作用在梁的竖向对称平面内，P2作用在梁的水平对称平面内，F1、F2的作用线均与梁的轴线垂直，已知F 1 =2kN、 F 2=lkN，l 1 =lm，l 2 =2m，b=12cm，h=18cm，材料的容许正应力[σ]=10MPa，试校

第十章扭转的强度和刚度计算

第十章扭转的强度和刚度计算思考题 1、若直径和长度相同，而材料不同的两根轴，在相同的扭矩作用下，它们的最大剪应力是否相同？扭转角是否相同？ 2、试分析思8-2图所示扭转剪应力分布是否正确？为什么？思2 图 3、阶梯轴的最大扭转剪应力是否一定发生在最大扭矩所在的截面上，为什么？ 4、空心圆杆截面如思8-4图所示，其极惯性矩及抗扭截面模量是否按下式计算？为什么？思8-4图习题 1、实心圆轴直径D = 76mm ，m 1 = 4.5 kN ·m ，m 2 = 2 kNm ，m 3 = 1.5 kN ·m ，m 4 = 1 kN ·m 。设材料的剪切弹性模量G = 80GPa ，[τ]= 60MPa ，[θ]= 1.2°/m ，试校核该轴的强度和刚度。题 1 图题 2 图 2、矩形截面杆的尺寸及荷载如图所示。材料的E = 2.1×103 MPa 。求：（1）最大工作应力；（2）最大单位长度扭转角；（3）全轴的扭转角。 161632 323 34 4d D W d D I P P ππππ-=- =

3、图示一联接水轮机与发电机的实心圆轴。已知轴横截面的直径为650 mm ，长度为6000 mm ，水轮机的功率P = 10000 PS ，钢材的剪切弹性模量G = 79 GPa 。问当水轮机的转速n = 57.7r/min 时,轴内的最大剪应力和轴两端的相对扭转角各为多大? 4、有一受扭钢轴，已知其横截面直径d = 25 m m ，剪切弹性模量 G = 79 GPa ，当扭转角为6°时的最大剪应力为95 MPa ，试求此轴的长度。。习题答案： 1. =max τ58.1Mpa 2. =max τ0.56 Mpa 0151.0max =?rad/m 3. =max τ22.6 Mpa ?=0.302° 4. l =2.18m

基本计算轴心受力构件的强度和刚度计算

轴心受力构件的强度和刚度计算 1.轴心受力构件的强度计算轴心受力构件的强度是以截面的平均应力达到钢材的屈服应力为承载力极限状态。轴心受力构件的强度计算公式为 N、 <7 =——< f(4-1) 4 式中：N一构件的轴心拉力或压力设计值； A,_——构件的净截面面积； f——钢材的抗拉强度设计值。对于采用高强度螺栓摩擦型连接的构件，验算净截面强度时一部分剪力已山孔前接触面传递。因此，验算最外列螺栓处危险截面的强度时，应按下式计算： N' b =——

轴心受力构件的刚度是以限制其长细比来保证的，即

2 <[A] 式中：A——构件的最大长细比; [2]——构件的容许长细比。 3.轴心受压构件的整体稳定计算《规范》对轴心受压构件的整体稳定计算采用下列形式: (4-25) 式中：（P—轴心受压构件的整体稳定系数，0 = 2工。 J y 整体稳定系数0值应根据构件的截面分类和构件的长细比查表得到。构件长细比兄应按照下列规定确定：（1）截面为双轴对称或极对称的构件 (4-26) 式中：h，心一构件对主轴x和y的计算长度；止，.一构件截面对主轴x和〉,的回转半径。双轴对称十字形截面构件，人或九取值不得小于5.07b/t （其中b/t为悬伸板件宽厚比）。（2）截面为单轴对称的构件以上讨论柱的整定稳定临界力时，假定构件失稳时只发生弯曲而没有扭转，即所谓弯曲屈曲。对于单轴对称截面，绕对称轴失稳时，在弯曲的同时总伴随着扭转，即形成弯扭屈曲。在相同情况下，弯扭失稳比弯曲失稳的临界应力要低。因此，对双板T形和槽形等单轴对称截面进行弯扭分析后，认为绕对称轴（设为），轴）的稳定应取计?及扭转效应的下列换算长细比代替心葢“詔/(人/25.7 + J//：)

刚度与强度

强度与刚度有什么区别？ 1.强度时金属材料在外力作用下抵抗永久变形和断裂的能力。按外力作用的性质不同，主要有屈服强度、抗拉强度、抗压强度、抗弯强度等，工程常用的是屈服强度和抗拉强度，这两个强度指标可通过拉伸试验测出。强度是指零件承受载荷后抵抗发生断裂或超过容许限度的残余变形的能力。也就是说，强度是衡量零件本身承载能力（即抵抗失效能力）的重要指标。而刚度是一个机构的刚度（k）是指弹性体抵抗变形（弯曲、拉伸、压缩等）的能力。 2.刚度和模量差不多！弹性模量是物质组分的性质；而刚度是固体的性质。也就是说，弹性模量是物质微观的性质，而刚度是物质宏观的性质。在工程应用中，结构的刚度是十分重要的，因此在选择材料时弹性模量是一个重要指标。当有不可预测的大挠度时，高的弹性模量是十分必要的。当结构需要有好的柔韧性时，就要求弹性模量不要太高。 3.强度强调的是原始物性，即在一定受载模式下材料对力的本征抗性，也就是说材料的内部结构的键合性对外力的抗性；刚度强调的是服役物性，即在一定受载模式下材料对力的形态抗性，也就是说材料的宏观形态对外力的抗性 4.材料强度是材料抵抗外力的能力，刚度（或模量也能体现抵抗外力的能力）例如对于钢铁来说，它在压缩变形的过程中由于存在应变硬化，其强度会不断的增加，其变形也会不断的增加。但是对于陶瓷来说，其模量比较大，在承受相同的载荷的时候其变形是很小的。所以说一个材料可以有很大变形时候也可以有很大的强度，但是另外一种材料其变形能力小的时候同样也有可能又很大的强度。 5.强度是材料固有性能，有不同指标如屈服强度、抗拉强度、抗压强度、抗弯强度等。而刚度是EI，I为惯性矩，考虑材料的结构设计，多用于材料的结构设计。 6.从工程力学的角度上讲： 1）强度是指某种材料抵抗破坏的能力，即材料破坏时所需要的应力。一般只是针对材料而言的。它的大小与材料本身的性质及受力形式有关。如某种材料的抗拉强度、抗剪强度是指这种材料在单位面积上能承受的最大拉力、剪力，与材料的形状无关。 2）刚度指某种构件或结构抵抗变形的能力，即引起单位变形时所需要的应力。一般是针对构件或结构而言的。它的大小不仅与材料本身的性质有关，而且与构件或结构的截面和形状有关。强度是抵抗塑性变形的能力,刚度是表示材料发生弹性变形的难易程度 7.强度是材料抵抗破坏的能力，与材料的性质和应力状态有关。而刚度是构件抵抗变形的能力。与材料的本身属性和构件的形状都有关系的。

强度计算和刚度计算

8 强度计算和刚度计算 8.1在图2.1所示的简易吊车中，BC 为钢杆，AB 为木杆。木杆AB 的横截面面积2 1100cm A =，许用应力[]MPa 71=σ；钢杆BC 的横截面面积2 26cm A =，许用应力[]MPa 1602=σ，试求许可吊重P 。图8-1 8.2图7.2所示的拉杆沿斜截面m-m 由两部分胶合而成。力。试问：为使杆件承受最大拉力N ，α角的值应为多少？若杆件横截面面积为2 4cm ，并规定 60≤α，试确定许可荷载P 。图8-2 8.3 一矩形截面梁，梁上作用均布荷载，已知：l=4m ，b=14cm ，h=21cm ，q=2kN/m ，弯曲时木材的容许应力 []kPa 4 101.1?=σ，试校核梁的强度。图8-3 8.4 图示矩形截面木梁，许用应力[σ]=10Mpa 。（1）试根据强度要求确定截面尺寸b 。（2）若在截面A 处钻一直径为d=60mm 的圆孔(不考虑应力集中)，试问是否安全。

图8-4 8.5欲从直径为d的圆木中截取一矩形截面梁，试从强度角度求出矩形截面最合理的高h和宽b。 8.6 图示外伸梁，承受荷载F作用。已知荷载F=20kN，许用应力[σ]=160Mpa，许用剪应力[τ]=90Mpa。请选择工字钢型号。图8-6 8.7一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即[σc]=4[σt]。试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。图8-7 8.8 当荷载F直接作用在简支梁，AB的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度a。图8-8

平面弯曲梁的强度与刚度计算.

山东英才学院机械工程学院第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算目的要求: 掌握弯曲梁正应力的讣算和正应力分布规律。教学重点: 弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。教学难点: 平行移轴定理及其应用。学时分配: 7学时 §8-1纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念: 1、纯弯曲：平而弯曲中如果某梁段剪力为零.该梁段称为纯弯曲梁段。 2、剪切弯曲：平而弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力几该梁段称为剪切弯曲梁段。二、纯弯曲时梁的正应力: 1、中性层和中性轴的概念: 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。夷中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。中性轴：中性层打横截面的交线称为中性轴。 G C Cb) （斗性轴》 ? 2、纯弯曲时梁的正应力的分布规律: 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下圧上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。 3、纯弯曲时梁的正应力的计算公式: < 1）.任一点正应力的讣算公式:

山东英才学院机械工程学院 < 2 ）.最大正应力的汁算公式: 其中：M-—截面上的弯矩： I 汀■■截而对中性轴（z 轴）的惯性矩：y ?■■所求应力的点到中性轴的距离? 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。 §8-2常用截而的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数: 1、矩形截面: 7 / ,3 3 /z = jy dA = jybcfy=［专］ ~5 — y max 2、圆形截面和圆环形截而: h y dy b —*1 Omrc — — niTC — bN 心创4必啓］、等兀d' Ep ，可几=32

第十章 扭转的强度和刚度计算

梁的强度和刚度计算.

最新机械制造与控制——第十章 蜗杆传动教学教案

第四章扭转的强度与刚度计算.

平面弯曲梁的强度与刚度计算

YY0342接骨板弯曲强度和刚度的值

轴扭转计算

范钦珊版材料力学习题全解第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算.

第四章 扭的强度与刚度计算

第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算

平面弯曲梁的强度与刚度计算.

第十章 组变形时杆件的强度计算

梁的强度与刚度

平面弯曲梁的强度和刚度计算

第10 章 梁的强度和刚度.

材料力学的基本计算公式

第11章组合变形杆件的强度和刚度.

第十章 扭转的强度和刚度计算

基本计算轴心受力构件的强度和刚度计算

刚度与强度

强度计算和刚度计算

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第十章扭转的强度和刚度计算