证明三基本

D

E

C

C'

B

F

A

证 明 三

一、选择题

1、下列给出的条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是 ( ) A. AB ∥CD ，AD = BC ； B. ∠B = ∠C ，∠A = ∠D ； C. AB =AD ，CB = CD ； D. AB = CD ，AD = BC

2、下列命题中，真命题是（ ）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

3、如图，四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，∠EDF=60°，AE=2cm ， 则AD=（ ）。 A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、7cm

4、在直角三角形ABC 中，∠ACB =?90，∠A =?30， AC =cm 3，则AB 边上的中线长为（ ）

A cm 1 B

cm

2 C cm 5.1 D cm 3

5、矩形纸片ABCD 中, AD = 4cm , AB = 10cm , 按如图方式折叠,使点B 与点D 重合, 折痕为EF,则DE =（ ）cm ； A 、5.8 B 、6 C 、5 D 、8

6、下列性质平行四边形具有而一般四边形不具有的是………………………( ) A. 不稳定性； B. 对角线互相平分 C. 外角和等于360° D. 内角和等于360°

7

中，AB = 6，BC = 10，∠A =150

的面积为( ) A. 15； B. 18 ； C. 30 ； D. 60

8、一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为 …… （ ）

A . ?30 B. ?45 C .?60 D .?75

9、如图3，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， DC = 3 cm ，∠A=60°，BD 平分∠ABC ，则这

个梯形的周长是………………………………………………………( ) A. 21 cm ； B. 18 cm ；

C. 15cm ；

D. 12 cm ；

A

图3

B 图4

10、如图4，从等腰△ABC 底边BC 上任意一点分别作两腰的平行线DE 、DF ，分别交AC 、AB 于点E 、F

的周长等于这个等腰三角形的………( )

A. 周长；

B. 周长的一半

C. 一条腰长；

D. 一条腰长的2倍 11、下列判定正确的是………( )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B . 两角相等的四边形是等腰梯形

C . 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D. 两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

12、若一个四边形的两条对角线长分别为35cm 和55cm ，则连接四边形各边中点所得四边形周长是（ ）

A 、90cm

B 、35cm

C 、45cm

D 、55cm

13、一个矩形的两条对角线的交点到小边的距离比到大边的距离多2cm ，若这个矩形的周长是56cm ，则它的面积是（ ）

A 、48cm 2

B 、192cm 2

C 、196cm 2

D 、以上答案都不对

14、如图，平行四边形ABCD 的面积为24，E 为AB 上的中点，连接CE 、AC ，DE 、AC 的交点

为O ，则三角形OCE 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6

15、如图正方形ABCD 的边长为4, M 在DC 边上, 且DM=1,N 是的最小值( )

A.7

B.6

C.5

D.4 二、填空题

1中，∠A +∠C=200°，那么∠A=_____度，∠B=_____度. 2、如果ABCD 的周长是80，且AB ∶BC = 3∶5，那么AB=____，BC=____ 3、如果直角三角形两条直角边分别是9cm 和12cm ，那么斜边上的中线=______ cm. 4、已知菱形的周长为40cm ，两个相邻角度数比为1∶2，则较短的对角线长为______ cm. 5、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_______________；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是____________________.

6、如图1

中，对角线相交于点O ，AC ⊥CD ， AO = 6，

BO = 10，则CD=______，AD =________ 三、解答、证明

1、已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC = 16 cm ，

BD = 12 cm ，BE ⊥DC 于点E ，求菱形ABCD 的面积和BE 的长.

2、如图

,已知AD 、BF 、CE 是△ABC 的中线, EG ∥BF , FG ∥AB 。

求证：四边形ADCG 是平行四边形

3、如图：在△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过O 作直线MN ∥BC,设MN 交∠BCA 的平分

线于点E,交∠BCA 的外角的平分线于点F (1) 求证：EO=FO

(2) 当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.

(3) 在(2)的条件下,当∠BCA 是多少度时,四边形AECF 为正方形,并证明你的结论.

B

C

学科内综合题

如图l－3－32，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．

⑴若AD＝5，BC＝11，梯形的高是4，求梯形的周长；

⑵若AD=a，BC=b，梯形的高是h，梯形的周长为C，则C=_______________

(请用含a、b的代数式表示，答案直接写在横线上，不要求证明)

⑶若AD=3，BC=7，BD=5 2 ，求证AC⊥BD．

渗透新课标理念题

（探究题）如图l－3－33①已知：矩形ABCD中，AD＞AB，O为对角线的交点，过D点作一直线分别交BC、AD于M、N．

（1）求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积；

（2）当MN满足什么条件时，将矩形ABCD沿折痕翻折后就使点C恰好与A点重合，如图l－3－33②（只写出满足条件，不要求证明）

（3）在⑵中条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的1

2，求MB：M的值．

（动手操作题）在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D′E′F′G ′，如图l－3－34；第二步：连结BF ′并延长，交AC于点F；第三步：过F点作FE⊥BC，垂足为点E；第四步：过F点作FG ∥BC交AB于点G；第五步：过G点作GD上BC，垂足为点D，四边形DEFG即为所求的正方形．

问题：（1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形；（2）在△ABC中，如果BC=6 + 3 ，∠ABC＝45°，∠BAC=75°，求上述正方形DEFG的边长．

（探究题）如图l－3－35，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB（D的延长线分别交于E、F．（l）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．

数学：第三章证明(三)单元检测(北师大版九年级上)

第三单元检测 时间：45分钟 分数：100分 一、选择题（本题满分24分，每小题3分） 1．在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是（ ） A 、1∶2∶3∶4 B 、1∶2∶2∶1 C 、2∶2∶1∶1 D 、2∶1∶2∶1 2．已知菱形的周长等于40㎝，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是（ ） A 、12㎝，16㎝ B 、6㎝，8㎝ C 、3㎝，4㎝ D 、24㎝，32㎝ 3．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A 、对角线互相平分 B 、对角线相等 C 、对角线互相垂直 D 、四边相等 4.如图,□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A 、8.3 B 、9.6 C 、12.6 D 、13.6 5．一张矩形纸片纸对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ） A 、三角形 B 、矩形 C 、菱形 D 、梯形 6．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝800 ，AB 的垂直平分线 交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（ ） A 、800 B 、70 C 、65 D 、600 7．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC= a cm ，∠A=60°，BD 平分∠ABC ，则这个梯形的周长是（ ） A 、3a cm ； B 、 4a cm ； C 、5a cm ； D 、 6a cm ； B F E C B A D

O F E D C B A P 8．如图6，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为（ ） A 、5 13 B 、 25 m C 、2 D 、 5 12 二、填空题（本题满分24分，每小题3分） 9．在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，若△ABC 的周长为30 cm ，则 △DCE 的周长为__________。 10.菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为_________，面积为_________。 11.□ABCD 中，若∠A ∶∠B=2∶3，则∠C=_________，∠D=_________。 12.矩形ABCD 的周长是56 cm ，它的两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长短4 cm ，则AB=_________，BC=_________。 13.如右图，在ΔABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是___________ cm 。 14.如图中Rt △ABC 中，斜边BC 上的高线 AD=5cm ，斜边BC 上的中线AE=6cm ，则 △ABC 的面积为 。 15.菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是_______。 B C E D A A

概率论答案_-_李贤平版_-_第三章

第三章 随机变量与分布函数 1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻 0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。 2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）; ,,2,1,)(N k N c k f ==（2）,,2,1,!)( ==k k c k f k λ 0>λ。 4、证明函数)(2 1)(| |∞<<-∞= -x e x f x 是一个密度函数。 5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。 6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=-a P ξ。 7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。 8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。 9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服 从[0，1]均匀分布。 10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使 )}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ， 则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(2 0σm N ，已知0m ，关于参数σ； （2）正态分布),(2 00σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。 但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。 11、试证) 2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02 <->>ac b c a π 2 b a c k -= 。 12、若)(),(21y f x f 为分布密度，求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数，),(y x h 必须而且 只需满足什么条件。 13、若),(ηξ的密度函数为 ???>>=+-其它, 00,0,),()2(y x Ae y x f y x ，

证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法 1、利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。 解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC C CC B S AC C B S ??= 又易证1 1 AC C CC B ?? .则112 2 2AC C CC B S AC b S CB a ????== ???. 同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222 1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c ??=??=. 由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。 2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线） 例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。(96中国奥数 证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。 记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。 联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ， 易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=， ∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD 因为2AM AE AB AH AD =?=?（B 、D 、H 、E 四点共圆）， 即 AM AD AH AM = ；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ?? ，故AHM AMD ∠=∠ 同理，AHN AND ∠=∠。 因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。 3、利用面积法 如果S S EMN FMN =??，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与 EF 的中点三点共线。 A B C C 1 B 1A 1

点共线与三线共点的证明方法

三点共线与三线共点的证明方法 公理 1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理 3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR， PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、 K三点共线． 由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、

RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上，根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1 D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线DA 上，故1 D M 、DA 、CN 三线交于点K ，即三线共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点

第三章 证明三 练习题 (北师大版初三上) (3)

F E A B C D 第三章 证明三 练习题 （北师大版初三上） (3) 第三章 证明〔Ⅲ〕 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题〔每题4分，共40分〕以下每题只有一个正确答案，请将正确答案的番号填在 括号内. 1、如图1，在 ABCD 中,O 为对角线AC 、BD 的交点， 那么图中共有相等的角〔 〕 A 、4对 B 、5对 C 、6对 D 、8对 2、如图2， E 、 F 分不为 ABCD 的中点， 连接AE 、CF 所形成的四边形AECF 的面 积与 ABCD 的面积的比为〔 〕 A 、1:1 B 、1:2 C 、1:3 D 、1:4 3、过四边形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 作 BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH,假设EFGH 是菱形,那么四边形ABCD 一定是( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、对角线相等的四边形 4、在菱形ABCD 中，,,CD AF BC A E ⊥⊥ 且E 、 F 分不是BC 、CD 的中点， 那么=∠EAF 〔 〕 A 、0 75 B 、0 55 C 、450 D 、0 60 5、矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，矩形的周长是36，那么矩形一条对角线长是〔 〕 A 、56 B 、55 C 、54 D 、35 6、矩形的内角平分线能够组成一个〔 〕 A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、平行四边形 7、以正方形ABCD 的一组邻边AD 、CD 向形外作等边三角形ADE 、CDF ，那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A 、BD 平分EBF ∠ B 、0 30=∠DEF C 、BD EF ⊥ D 、0 45=∠BFD 8、正方形ABCD 的边长是10cm ，APQ ?是等边三角形，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，那么BP 的边长是〔 〕 A 、55cm B 、 33 20 cm C 、)31020(-cm D 、)31020(+cm 9、假设两个三角形的两条中位线对应相等且两条中位线与一对应边的夹角相等，那么这两个三角形的关系是〔 〕 A 、全等 B 、周长相等 C 、不全等 D 、不确定 10、正方形具有而菱形不具有的性质是〔 〕 A 、四个角差不多上直角 B 、两组对边分不相等 图2 图1 O A B C D

三点共线与三线共点的证明办法

三点共线与三线共点的证明方法 公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD 中作截图PQR ，PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ．求证M 、N 、K 三点共线． 由题意可知，M 、N 、K 分别在直线PQ 、RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、 DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上， 根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11 ADD A

与平面ABCD的交线DA上，故 D M、DA、CN三线交于点K，即三线 1 共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。

向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用 蒋李萍 201１年１0月2４日 平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线 思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC = ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性; ２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ== 时,1 ()2 OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式,应用广泛． 应用举例: 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1 3 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1 3 BN BD = ,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点, 1 2BM BA ∴=,即2BA BM = 21 33BN BM BC ∴=+ 而21133 += ∴M 、N 、C 三点共线． D A B C M N

证明对象

证明对象 证明对象，又称为待证事实或要证事实，是指司法机关和当事人在诉讼证明活动中需要运用证据加以证明的事实。明确证明对象，才能确定举证责任承担的范围，才能在诉讼证明中目标明确，集中注意力，准确、及时地查明案件事实。 刑事诉讼中的证明对象有两个特点：一是与案件有关，具有诉讼意义。与案件有关的事实构成刑事案件处理的事实基础。与案件无关的事实不具有诉讼意义，不能成为证明对象。二是具有证明的必要性。某些事实如属于众所周知的事实或者已为法律确认的事实，为保证诉讼的效率，没有必要运用证据进行证明。 刑事诉讼中的证明对象应当包括两个方面：（一）实体法事实。指对解决刑事案件的实体处理即定罪量刑问题具有法律意义的事实。这是刑事诉讼中基本的、主要的证明对象。案件的实体法事实，由有关的刑法规范所规定。具体内容包括：1.有关犯罪构成要件的事实。这是证明对象的核心部分。包括犯罪客体、犯罪主体、犯罪的客观要件、犯罪的主观要件。2.影响量刑轻重的事实情节。量刑轻重，包括从重、加重、从轻、减轻及免除处罚。这些事实情节有法定情节和酌定情节。法定情节如主从关系、未遂既遂、自首立功以及是否累犯等。酌定情节如动机、手段是否恶劣，认罪与否等等。凡对量刑有影响的事实情节均应举证证明。3.排除行为的违法性和可罚性的事实。排除行为违法性的事实，如正当防卫、紧急避险以及行使职权等。排除行为可罚性的事实，指法律规定的犯罪已过追诉时效期限的，经特赦令免刑罚的，依照刑法告诉才处理的犯罪没有告诉或者撤回告诉的，被告人死亡的等。4.被告人个人情况。包括姓名、性别、年龄、籍贯、民族、文化程度、职业、住址以及有无前科等。确定被告人身份，对于案件处理具有一定意义。 （二）程序法事实。指对于解决案件的诉讼程序问题具有法律意义的事实。由于程序问题对案件的实体处理产生重大影响，而且诉讼过程中，司法机关有责任正确解决案件的程序问题，因此，关系到程序法适用的事实也是证明对象。在刑事诉讼中视案件的具体情况需要加以证明的程序法事实主要有：1.关于应否审理和管辖的事实；2.关于申请回避的事实；3.关于对嫌疑人和被告人采取人身强制措施是否符合法定条件的事实；4.关于对案件采取搜查、扣押等强制性侦查措施是否合法的事实；5.关于其他取证程序合法性的事实；6.关于诉讼期间延长或被延误的事实；7.其他关于程序法的事实，如延期审理是否符合法律规定等。 在司法实践中，某些事实属于不用证明的事实，即免证事实。对这些事实，不必用证据加以证明即直接确认，英美证据法将这种确认方式称为“司法

北师版第三章 证明(三)单元测试及答案

第三章证明(三)单元测试 班级：_______ 姓名：__________ 得分：________ 一、填空题: 1.以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为_________. 2.已知正方形的一条对角线长为4 cm，则它的面积是_________ cm2. 3.菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为_________，面积为_________. 4.□ABCD中，若∠A∶∠B=2∶3，则∠C=_________，∠D=_________. 5.矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，则△BEF的面积是_________. 6.菱形ABCD中，AB=4，高DE垂直平分边AB，则BD=_________，AC=_________. 7.□ABCD中，周长为20 cm，AB=4 cm，那么CD=________ cm，AD=________ cm. 8.菱形两邻角的度数之比为1∶3，高为7，则边长=______，面积=_______. 9.如图1，等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，那么图中有_________个等边三角形，有_________个菱形. 图1 图2 图3 10.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4 cm，则AB=_________，BC=_________. 11.如图2，E、F是□ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，则四边形DEBF是_________. 12.如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有_________对. 二、选择题 13.在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，请判断下列 结论：(1)BE=DF；(2)AG=GH=HC； (3)EG=BG；(4)S △ABE =3S △AGE ,其中正确的结论有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图4，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 15.给出下列命题:①四条边相等的四边形是正方形；②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④矩形、线段都是轴对称图形.其中错误命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 16.同学们玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图5，是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_________得到的.（） A.顺时针旋转60°; B.顺时针旋转120°; C.逆时针旋转60°; D.逆时针旋转120°

初中数学竞赛：证明三点共线

初中数学竞赛：证明三点共线 【内容提要】 1.要证明A，B，C三点在同一直线上， 常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角 ②连结AB，AC证明AB，AC重合 ③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC ④连结并延长AB证明延长线经过点C 2.证明三点共线常用的定理有： ①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤两圆相切，切点在连心线上 ⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 【例题】 例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB， PN⊥CD 求证：M，N，P三点在同一直线上 ∵AB∥CD，∴EF∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 ∵PM⊥AB，PN⊥CD ∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴M，N，P三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上 已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点

求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N ， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ， ∥AB ∴BN ， ＝N ， C ，即N ， 是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ， ∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B ∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 ,

高等数学第三章课后习题答案

1 / 10 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n Λ有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a Λ必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=+++L 。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-

第四讲证明对象

第四讲证明对象

Ⅰ、教学目的和要求 （1）掌握证明对象的概念和特点 （2）掌握证明对象的内容 （3）了解三大诉讼中的具体证明对象 Ⅱ、教学内容 一、证明对象概述 二、刑事诉讼中的证明对象 三、民事诉讼中的证明对象 四、行政诉讼中的证明对象 Ⅲ、复习思考题 1、什么是证明对象？它有什么基本特点？ 2、证明对象有哪些内容构成？ 3、简述三大诉讼中的证明对象。 Ⅳ、课外阅读资料 1、陈卫东、谢佑平主编：《证据法学》第十六章，复旦大学出版社，2005年1月版。 2、樊崇义主编：《证据法学》（第三版），第十一章，法律出版社，2003年9月版。

一、证明对象概述 在证明制度中，证明对象是首要的环节。只有明确了证明对象，才能进一步明确由谁负责证明（证明责任），证明到何种程度为止（证明标准），以及如何进行证明（证明程序）；也只有明确了证明的对象，取证、举证、质证和认证等证明活动才能有的放矢地进行。 1、证明对象的概念。 关于证明对象的概念，我国学理上存在着不同的观点，分歧较大：（1）狭义说。这种观点强调证明对象仅仅限于实体法事实，即为实体法所规定的行为要件事实或者权利要件事实。认为，证明对象是指“由实体法律规范所确定的、对诉辩请求产生法律意义的、应当由当事人提供证据加以证明的事实”。 （2）广义说。这种观点将程序法事实和证据事实纳入证明对象的范围，认为，证明对象是“需要用证据予以证明的待证事实”，而“待证事实包括实体法事实、程序法事实和证据事实”。 （3）折中说。这种观点认为程序法事实是证明对象，而将证据事实排除在证明对象的范围之外。 上述分歧在于程序法事实和证据事实是否应属于证明对象的范围之内。本人采折中说，主张证明对象是指法律规定执法人员为了正确处理案件必须查明的事实，具体包括实体法事实和程序法事实。最高人民法院《关于民事诉讼证据的若干规定》第15条规定有关证明程序事项的证据应由人民法院依职权调查收集，就充分说明程序法事实也是证明对象。 2、证明对象的特征。 （1）证明对象是法律规定的要件事实，具有普遍性。这里的法律包括实体法和程序法。所谓要件事实是指执法人员作出合法处理所必须查明的事实。 （2）证明对象是当事人主张或者争议并且应当举证证明的待证事实，具有特殊性。证明对象的结构是普遍的，同类案件相同；但是，证明对象的具体内容是因当事人的争议或者主张的不同而异，具有特殊性。 （3）证明对象是指需要证据证明的要证事实。证明对象是未知的

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九年级上册数学第三章证明（三）教案

???ZABD = ZCDB ZA D B=ZC B D .?.AB//CD, B C//A D ???四边形A B C D是平行四边形。 同理我们也可以连接A C來证明。 做一做 证明：如图屮的四边形MNOP是平行四边形。学生先独立证明，再与同桌交 流,上讲台演示。 证明:(x-3) 2—(X—5) 2=42 x=8 /.MN=5=P0 .?.PM二3 二ON ???四边形MNOP是平行四边形. 三、随堂练习 课木随堂练习1、2、3 例如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, EF过点0且与AD、BC分别相交于E、Fo你认为0E与OF有怎样的关系？请证明你的结论。 猜想：平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点0即为对称中心。由于DA和BC是对应线段,而EF过对称中心0, E、F分别为EF 与DA、BC的交点，所以E、F关于点0对称，所以0E二0F。 证明思路：由0E、0F分别在AAOE、AC0F中，可证△ AOE^ACOFo 证明：???四边形ABCD是平行四边形， OA = ()C(平行四边形的对角线4.相平分) 川???厶EAO二厶FCO. 又.?乙AOE二乙COF, ??? ZUOEMCOF ( ASA). .?.OE = OF. 举一反三：对于任意一个中心对称图形，经过对称中心的直线被该图形所截得的线段恰好以对称中心为中点。 思维误区如图，平形四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, 0E垂直于AB, 0E垂直于CD,垂足分别是E, F,求证： OE=OF? 在这题中，容易误认为Z3和Z4为对顶角， 进而得到Z3=Z4O必须注意的是，OE、0F是从0 点分别向AB、CD作的两条直线，OE、OF是否在 同一直线上需要加以证明。 证明I四边形ABCD是平行四边形，

证据学复习题1.docx

《证据学》复习题 一、选择题 1 ?与控诉式诉讼制度相适应的证据制度是（ABD ）o A. 神示证据制度 B.法定证据制度 C.实事证据制度 D.自由心证证据制度 2. 下列属于法定证据种类的有（ BD ）。 A.人证 B.物证 C.反证 D.书证 3. 民警根据交通肇事现场遗弃的一出租车车牌号抓获了交通肇事犯罪嫌疑人王 某，该出租车车牌属于（ BCD ）。 A.直接证据 B.物证 C.间接证据 D.书证 4. 当事人陈述是我国（ BC ）屮的法定证据种类。 A.刑事诉讼 B.民事诉讼 C.行政诉讼 D.三大诉讼 5. 自认一旦有效作出，当事人便不得再就所承认的事实进行争执，也不得任意 撤销。这是由当事人该类诉讼行为的有效性所决定的，也是诉讼中（A ）原则的 体现。A.禁止反言B.禁止撤诉C.撤诉有效D.诉讼中止 6. 刑事诉讼屮的证明对彖包括（ ABC ）o A.犯罪构成要件事实 B.量刑情节事实 C.程序法事实 D.证据事实 7. 被告人口供在证据分类中是（ BC ）。 A.间接证据 B.直接证据 C.言词证据 D.实物证据 8. 在我国现行立法中的证明标准是（D ）种。 A.四 B.三 C.二D ?一 9 ?行政诉讼案件中的证明责任承担者是（B ）o A.原告 B.被告 C.法官 D.证人 10?司法认知的范围应当包括（ ABCD A.公众周知的事实 B.裁判上显著的事实 C. 1L 下列各项屮，可能成为传来证据的有（ABD ）。 A.直接证据 B.间接证据 C.原始证据 D.证人证言 12. 诉讼证据的基本特征有（ ABC ）o A.客观性 B.关联性 C.合法性 D.可靠性 13?根据证据的来源，可以把证据分为（ C ）。 A.直接证据和传來证据 B.直接证据和间接证据 C.原始证据和传来证据 D.实物证据和言词证据 14.下列陈述中，属于犯罪嫌疑人、被告人供述和辩解的有（ BCD ）o A ?被告人揭发非同案犯的犯罪行为B.被旨人揭发同案犯的共同犯罪行为C. 犯罪嫌疑人否认犯罪D.被告人认罪 15?下列人员屮，不能作为证人的是（ B ）o - A.生理上、精神上有缺陷的人 B.承办本案的司法人员 C.年幼的人 D.本 案当事人的近亲属 16. 下列各项中，既屈于间接证据又属于原始证据的有（ BCD ）o A.被告人认罪的供述 B.证人听到被害人喊救命的证言 C.赃物的复制品 D. 鉴定结论的复印件 ）0 职务上已知的事实D.生效裁判

第三章证明三练习题及答案全套

第三章证明三练习题及答 案全套 一、填空题 1.如图，ABCD，则AB=_____，______=AD，∠A=________，________=∠D，若现在∠B+∠D=128°,则∠B=_______ 度，∠C=_______度. 2.假如一个平行四边形的周 长为80 cm，且相邻两边之 比为1∶3，则长边=______cm，短边=______cm. 3.如下左图，ABCD,∠C的平分线交AB于点E，交D A延长线于点F，且AE=3 cm，E B=5 cm,则ABCD的周长为__________. 4.如上中图，ABCD，AB＞BC，AC⊥AD，且AB∶BC=2∶1，则DC∶AD=__________,∠DCA=__________度，∠D=∠B=__________度，∠DAB=∠BCD=__________度. 5.如上右图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，则图中全等三角形有__________对. 二、选择题 1. ABCD中，∠A∶∠D=3∶6,则∠C的度数是 A.60° B.120 C.90° D.150° 2.在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的可能情形是 A.2∶7∶2∶7 B.2∶2∶7∶7 C.2∶7∶7∶2 D.2∶3∶4∶5 3.如下左图，从等腰△ABC底边上任意一点D，作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则AEDF的周长 A.等于三角形周长 B.是三角形周长的一半 C.等于三角形腰长 D.是腰长的2倍 4.如上右图，ABCD中，BC∶AB=1∶2，M为AB 的中点，连结MD、M C，则∠DMC等于 A.30° B.60° C.90° D.45° 5.以不共线的三点为顶点，能够作平行四边形 A.一个 B.两个 C.三个 D.四个 6.平行四边形具有，但一样四边形不具有的性质是 A.不稳固性 B.内角和等于360° C.对角线互相平分面 D.外角和等于360° 7.如下左图，在ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠D A E等于 A.20° B.25° C.30° D.35° 三、解答题 1.已知：如上右图ABCD的周长是20 cm,△ADC的周长是16 cm.求：对角线AC的长. 2.求证：平行四边形的对角线互相平分. 3.如下图, ABCD中，BD 是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. （1）在图中补全图形； （2）求证：AE=CF.

向量证明三线共点与三点共线问题.doc

用向量证明三线共点与三点共线问题 山东徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则 简捷得多． 证明A、 B、 C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AB AC ．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例 1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A、B、C 共线，则存在实数、，且1， A B C O 图1 使得OC OA OB ；反之，也成立． 的终点 A 、 B 、 C 共线，则证明：如图 1 ，若OA 、OB 、 OC AB BC BC m AB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, , ,且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和 BA OA OB OC 例 2．证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图 2，D、E、F 分别是ABC三边上的中

C D E G A F B 图２ 点． 设 CA a, CB b, AD BE G．设 AG AD, BG BE ．则 AG AB BG (b a) BE (b a) ( BC 1 CA) b a ( 1 a b) 1 ( 2 1 b) 2 1 b 1）a (1 )b ，又 AG AD (AC CD) ( a a 2 2 2 1 1 2 2 3 所以解得 1 2 1 2 3 则 CG CA AG a 2 AD a 2 ( a 1 b) 1 a 1 b 1 1 3 2 3 2 3 3 CF a b，所以 CG CF ，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点． 2 2 3

向量法证明三点共线的又一方法及应用 -

向量法证明三点共线的又一方法及应用 平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线 思路：通过向量共线(如AB k AC =u u u r u u u r )得三点共线. 证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴()OB OA μOC OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AB μAC =u u u r u u u r ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质； 3. 特别地，12λμ==时，1()2 OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，点B 为AC u u u r 的中点，揭示了OAC V 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例 例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明 BN λBM μBC =+u u u r u u u u r u u u r ,且1λμ+=. D A B C M N

试论刑事诉讼中的证明对象(一)

试论刑事诉讼中的证明对象(一) 论文摘要 研究刑事诉讼的证明对象要解决中心问题就是恰当地确定证明的范围。明确证明对象是为了明确在办案中需要查证的范围，有利于及时全面地查明案情，避免分散精力，遗漏应该证明的重要情节，使办案人员分清主次和缓急，从而有重点、有次序地安排自己的工作，以提高工作效率。明确证明对象对实际工作具有很有重要的指导意义。证明对象有以下特点：1、证明对象是表现在刑事诉讼过程中的，是受法律规范调整的；2、证明的主体是特定的，仅指司法人员和部分当事人。3、证明对象是要用证据来加以证明的；4、证明对象是案件中需要证明的有关情况。证明对象的范围应包括实体法事实和程序法事实两大部分。实体法事实包括有关犯罪的事实及被告人的个人情况和有无前科、犯罪后的态度，是否自首等。案件事实是基本的、首要证明对象，是全部证明对象任务中最核心的内容。无须证明的事实主要有：1、众所周知的事实及自然规律和科学定理；2、司法人员职务上熟知的事实；3、预决的事实； 4、自认； 5、推定。 研究刑事诉讼的证明对象要解决的中心问题即恰当地确定证明的范围。明确证明对象是为了明确在办案中需要查证的范围，有利于及时全面地查明案情，避免分散精力或遗漏应该证明的重要环节，使办案人员分清主次和缓急，从而有重点、有次序地安排自己的工作，以提高工作效率。明确证明对象对实际工作具有很重要的指导意义。 一、关于证明对象的概念 公安部政治部编《刑事证据学》（人民警察高等教育规划教材）关于证明对象表述为：证明对象又称“待证事实”，是指在诉讼中需要有司法人员和当事人使用证据加以证明的事实。 全国高等教育自学考试教材《刑事诉讼法学》表述为：证明对象是指必须用证据加以证明的案件事实的范围。 全国统编教材《证据学》表述为：证明对象是指案件中必须由司法人员或当事人依法运用证据予以证明的案件事实。 《刑事证据理论》表述为：证明对象就是刑事诉讼中需要用证据加以证明的问题，也就是办案中需要查明的案件总和。 以上表述基本概括了证明对象的特点：第一，证明对象是表现在刑事诉讼过程中的，是受法律规范调整的；第二，证明的主体是特定的，仅指司法人员和部分当事人；第三，证明对象是要用证据案加以证明的；第四，证明对象是案件中需要证明的有关情况。 二、关于证明对象的范围 《刑事证据学》认为：证明对象包括有关犯罪的事实、被告人的一贯表现、有无犯罪前科和犯罪后的态度、案件中涉及程序法方面的事实、案件中的某些证明材料四类。 《刑事诉讼证据制度》认为：证明对象可分为七个方面：（1）案件是否发生；（2）谁犯罪、犯何罪、危害结果如何；（3）被告人刑事责任年龄和刑事责任能力；（4）有无免除被告人行为的违法性和可罚性情况；（5）有无从重、加重、从轻、减轻、免于刑事处罚的情节；（6）犯罪的原因、环境、背景和被告人身份；（7）证据之间可互为证据、互为证明对象。 《刑事诉讼证据制度》认为：证明对象包括实体方面的事实、程序方面的事实和证据事实。《刑事证据》认为：证明对象包括：主要事实、次要事实、被告人履历情况和案件的证据材料。 （一）案件事实（或称实体法事实）是基本的、首要证明对象，是全部证明对象任务中最核心的内容。 大致应包括两方面的内容： 1、有关犯罪的事实。具体有：（1）犯罪事实是否确已发生；（2）犯罪是否为被告人实施；

向量证明三线共点与三点共线问题

用向量证明三线共点与三点共线问题 山东 徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多． 证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ， 且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立． 证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-， OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得 OB OA OC μλ+=． 若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线. 例2． 证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ?三边上的中 A O B C 图1

点． 设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===?==,,,．设．则 =-+-=++-=+-=+=)2 1( )2 1()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(2 1μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2 1)2 1()(+-=+-=+== ?????? ? ==??????? -=-=-323 2121121μλμλμλ解得 所以 则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(323 2+ = + -+=+ =+= b a CF 2 121+ = ，所以CF CG 3 2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点． A B C E D F 图２ G