函数及其表示(解析式、定义域、值域)
一、知识点
1.函数的三要素 、 、 。 2.函数的表示法:解析法(函数的主要表示法),列表法,图象法; 3. 同一函数: 相同,值域 ,对应法则 . 4.定义域:
① 分式分母有意义,即分母不能为0; ② {|0}x x ≥ ③
00无意义 ④ 指数式、对数式的底a 满足:{|0,1}a a a >≠,对数的真数N 满足:{|0}N N >
5.求值域的常用的方法:
①配方法(二次或四次);②判别式法;③反解法;④换元法(代数换元法);⑤不等式法;⑥单调函数
法。
6.求函数解析式常用方法:配凑法、换元法(三角换元)、方程法、待定系数法、性质法等。 二、例题讲解
1.已知函数()x x f =,则下列哪个函数与()x f y =表示同一个函数( ) A .()()2
x x g = B .()2x x h =
C .()x x s =
D .?
?
?<->=00
x x x x y ,, 【答案】B 【解析】
试题分析:去绝对值可得:,0
(),0
x x f x x x ≥?=?
-
()||h x x ==即选B.
考点:函数相等必要三要素相等. 2.函数()()x x
x f ++-=
1lg 11
的定义域是( ). A .(-∞,-1) B .(1,+∞) C .(-1,1)∪(1,+∞) D .(-∞,+∞) 【答案】C 【解析】
试题分析:要使函数有意义,需满足10
1110
x x x -≠?∴-<+>?或1x >,所以定义域为(-1,1)∪(1,+∞)
考点:函数定义域
3.函数0
y
= )
A .{}|0x x ≤
B .{}|0x x <
C .{}|01x x x <≠-且
D .{}|01x x x ≠≠-且 【答案】C
【解析】试题解析:100010x x x x x +≠??
-≥?<≠-??-≠?
且
考点:本题考查定义域
点评:解决本题的关键是理解函数成立条件
4
.函数256
()lg 3
x x f x x -+=-的定义域为( )
A .(2,3)
B .(2,4]
C .(2,3)(3,4]
D .(1,3)(3,6]-
【答案】C .
【解析】由函数()y f x =的表达式可知,函数()f x 的定义域应满足条件:256
4||0,03
x x x x -+-≥>-,解之
得22,2,3x x x -≤≤>≠,即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4] ,故应选C . 考点:本题考查函数的定义域,涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容. 5.函数()y f x =的定义域为[1,5],则函数y f x =-()21的定义域是( )
A .[1,5]
B .[2,10]
C .[1,9]
D .[1,3] 【答案】D 【解析】
试题分析:∵函数y=f (x )的定义域为[1,5],则对函数y=f (2x-1),应有1≤2x -1≤5, 解得1≤x≤3,故选D.
考点:抽象函数的定义域的求法
6.
已知函数()=f x 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是( ) A .0 试题解析:∵()f x =的定义域是一切实数∴2 10mx mx ++≥恒成立 当0m =时,10≥成立,当0m ≠时,2 40 m m m >?? ?=-≤? ,解得04m <≤ ,综上所述:0≤m ≤4 考点:本题考查函数性质 点评:解决本题的关键是转化成恒成立问题 7.已知函数()???≤>=0 30 log 2x x x x f x ,,,则??? ? ????? ??41f f 的值是( ) A .9 1- B .9- C .91 D .9 【答案】C 【解析】 试题分析:因为()???≤>=0 30 log 2x x x x f x ,,所以 1 421log 24f ?? ==- ??? 即( )223f --==考点:分段函数求值. 8.求下列函数的值域: (1) y =x (2) y =x 2 -2x -3,x ∈(-1,4]; (3) y =21 1x x -+,x ∈[3,5]; (4) y =2451 x x x -+- (x>1). 【答案】(1)1,12?? - +∞???? (2)[-4,5]. (3)53,42??????(4)2,+∞). 【解析】(1) (换元法)t ,t ≥0,则y = 13 (t 2 +2)-t =13 32t ??- ??? 2-1 12,当t =32时,y 有最小值- 112,故所求函数的值域为1,12?? -+∞???? . (2) (配方法)配方,得y =(x -1)2 -4,因为x∈(-1,4],结合图象知,所求函数的值域为[-4,5]. (3) (解法1)由y = 211x x -+=2-31x +,结合图象知,函数在[3,5]上是增函数,所以y max =32,y min =5 4 ,故所求函数的值域是53,42?????? . (解法2)由y = 211x x -+,得x =12y y +-.因为x ∈[3,5],所以3≤12y y +-≤5,解得54≤y ≤32, 即所求函数的值域是53,42 ?? ???? . (4) (基本不等式法)令t =x -1,则x =t +1(t>0), 所以y =22141522t t t t t t (+)-(+)+-+==t +2 t -2(t>0). 因为t + 2 t ≥t x 1时,等号成立, 故所求函数的值域为2,+∞). 9.函数f (x )=x 2 ﹣4x ﹣6的定义域为[0,m],值域为[﹣10,﹣6],则m 的取值范围是( ) A .[0,4] B .[2,4] C .[2,6] D .[4,6] 【答案】B 【解析】函数f (x )=x 2 ﹣4x ﹣6的图象是开口朝上,且以直线x=2为对称轴的抛物线 故f (0)=f (4)=﹣6,f (2)=﹣10 ∵函数f (x )=x 2 ﹣4x ﹣6的定义域为[0,m],值域为[﹣10,﹣6],故2≤m≤4 即m 的取值范围是[2,4] 故选B 10.求下列函数f(x)的解析式. (1) 已知f(1-x)=2x 2 -x +1,求f(x); (2) 已知f 1x x ??- ??? =x 2+21 x ,求f(x); (3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x -1,求f(x); (4) 定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x +1),求f(x). (5) 函数1)f x =,则函数()f x = . 【答案】(1)f(x)=2x 2 -3x +2(2)f(x)= 23lg(x +1)+1 3 lg(1-x),x ∈(-1,1). 【解析】(1) (换元法)设t =1-x ,则x =1-t ,∴ f(t)=2(1-t)2 -(1-t)+1=2t 2 -3t +2, ∴ f(x)=2x 2 -3x +2. (2) (配凑法)∵ f 1x x ??- ???=x 2+2 1x =1x x ??- ?? ?2+2,∴ f(x)=x 2 +2. (3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数,∴设f(x)=ax +b(a≠0),则 f(f(x))=f(ax +b)=a(ax +b)+b =a 2 x +ab +b. ∵f(f(x))=4x -1,∴241a ab b ???=,+=-,解得21 3 a b ?? ???=,=,或21a b ???=-,=, ,∴f(x)=2x -13或f(x)=-2x +1. (4) (消去法)当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x +1),① 以-x 代替x 得2f(-x)-f(x)=lg(-x +1),② 由①②消去f(-x)得,f(x)= 23lg(x +1)+1 3 lg(1-x),x ∈(-1,1) (5) (换元发) 因为1)f x = ,令1t ,则2(1)x t =-,1t ≥,所以2 ()(1) f t t =-,1t ≥,所以2()(1)f x x =-(1x ≥), 故答案为2 (1)x -(1x ≥). 11.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数,且当0x ≥时,)3()(x x x f +=则当0x <时,()f x = ____________________ 【答案】)3(x x -+ 【解析】 试题分析:当0x <时,0->x ,所以)-3(-)-(x x x f +=,又因为()f x 是定义域R 上的奇函数,所以 ()f x )-3()-(-x x x f +==。 考点:函数的奇偶性;函数解析式的求法。 点评:此类问题的一般做法是: ①“求谁设谁” 即在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间内; ②要利用已知区间的解析式进行代入; ③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x) 从而解出f(x)。 三、习题 1 .函数()f x = 的定义域是 . 【答案】()(]0,11,2 【解析】 试题分析:?????≠>≥-0lg 002x x x ,所以?? ? ??≠>≤102x x x ,所以定义域是()(]0,11,2 考点:函数的定义域 2.函数x x y -+-=3)2ln(的定义域 . 【答案】 【解析】 试题分析:由题根据解析式成立的意义得到x 满足的条件,计算即可; 20,23,(2,3]30 x x x x ->?∴<≤∴∈?-≥? 考点:函数定义域 3.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为( ) A. (-1, 1) B. C. (-1,0) D. 【答案】B 【解析】由-1<2x +1<0,解得-1 ,故函数f(2x +1)的定义域为 ,选B. 4.?????<≥+-=3 ,23 ,2)(2x x x x x f x ,若4)(=a f ,则a =( ) A.3 B.2 C.1- D.2- 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意可知,当3a ≥时,2 24a a -+=,解得2a =,或1a =-,均不符合3a ≥,都舍去; 当3a <时,24,2a a =∴=,符合要求,所以2a =. 考点:本小题主要考查分段函数求值. 点评:已知分段函数的函数值求参数的值,要分情况讨论,分段解出参数值后还要注意是否符合范围要求. 5.设函数1 1(0)2 ()1(0) x x f x x x ?-≥??=???若1(())2f f a =-,则实数a =( ) A.4 B.-2 C.4或1 2 - D.4或-2 【答案】C 【解析】因为1()2f x =-,所以得到011122x x ≥???-=-??或0 112x x ? ?=-??所以解得1x =或2x =-.所以()1f a =或 ()2f a =-.当可()1f a =时解得4a =.当()2f a =-时可解得1 2 a =-. 【考点】1.复合函数的运算.2. 分类讨论的思想. 6.函数2()41f x x x =-++([]1,1x ∈-)的最大值等于 . 【答案】4 【解析】 试题分析:因为对称轴为2[1,1]x =?-,所以函数在[-1,1]上单调递增,因此当1x =时,函数取最大值4. 考点:二次函数最值 7.函数y=642+-x x 当]4,1[∈x 时,函数的值域为__________________. 【答案】[]6,2 【解析】 试题分析:因为()22642 2+-=+-=x x x y ,所以函数的对称轴为:2=x ,所以函数在[]2,1上是减函 数,在(]4,2上是增函数,所以2=x 时有最小值()22=f ,当4=x 时有最大值()64=f ,所以函数的值域为[]6,2. 考点:函数的值域. 8. 函数1 22+=x x y 的值域是( ) A .(0,1) B .(]1,0 C .()+∞,0 D .[)+∞,0 【答案】A 【解析】:221111212121 x x x x x y +-===-+++,20,211x x >+>,则10121x <<+,∴101121x <-<+,故选A . 考点:考查了函数的值域. 点评:解本题的关键是把函数的解析式变形,利用指数函数的值域求出函数的值域. 9.函数()f x x =的值域为 。 【答案】?? ????+∞,21 【解析】:令)0(12≥-=t x t ,则2 121,2122++=+= t t y t x 在[)+∞,0为增函数,则21 ≥y ,即函数的值域为?? ????+∞,21 . 考点:函数的值域. 10.若[()]63,()21,()f g x x g x x f x =+=+且则的解析式为 ( ) A .3 B .3x C .3(21)x + D .61x + 【答案】B 【解析】 试题分析:令12)(+==x x g t ,则21-= t x ,所以32 1 6 )(+-=t t f =t 3,故x x f 3)(=,选B. 考点:复合函数解析式求法 点评:本题考查了复合函数解析式求法,求解复合函数的解析式常用代换法和整体代换思想. 11.若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)-f(-x)=3x +1,则f(x)=( ) A .x -1 B .x +1 C .2x +1 D .3x +3 【答案】B 【解析】∵2f(x)-f(-x)=3x +1,①,将①中x 换为-x ,则有2f(-x)-f(x)=-3x +1,② ①×2+②得3f(x)=3x +3,∴f(x)=x +1. 12.已知函数)(x f 满足x x f x f 3)1(2)(=+,求)(x f 【答案】)0(2 )(≠-=x x x x f 【解析】因为 x x f x f 3)1(2)(=+①,以x 1代x 得 x x f x f 1 3)(2)1(?=+② 由①②联立消去)1(x f 得)0(2 )(≠-=x x x x f 13.函数x x f +=11 )1(,则函数)(x f 的解析式是( ). A .1+x x B .x +1 C .1 1+x D .x 【答案】A 【解析】 试题分析:令()10t x x = ≠则1x t =所以1()111t f t t t == ++ , 即()1x f x x =+故选A 考点:解析式的求法. 14.已知2 211 ()f x x x x -=+ ,则f(3)=___ 【答案】11. 【解析】 试题分析:本题一般用凑配法求出()f x ,2 2 2111()()2f x x x x x x -=+ =-+,∴2()2f x x =+,从而2()3211f x =+=. 考点:求函数解析式. 15.已知f 1)=x + f (x )的解析式为__ 【答案】()12-=x x f 【解析】 试题分析:因为( )x x x f 21+=+, 所以( )( ) 1111212 -+= -++=+x x x x f ,所以()12-=x x f 考点:求解函数的解析式. 16.已知)(x f 是一次函数,且满足,172)1(3+=+x x f 则=)(x f A. 532+x B. 13 2 +x C. 32-x D. 52+x 【答案】A 【解析】因为)(x f 是一次函数,且满足f (x )a x b ,3f (x 1)3a (x 1)b =++=++=+则 = )(x f 53 2 +x ,选A 17.已知()f x 为R 上奇函数,当0x ≥时,2()2f x x x =+,则当0x <时,()f x =( ). A.22x x - B. 22x x -+ C. 22x x + D. 2 2x x -- 【答案】B 【解析】本题考查函数的奇偶性,分段函数的概念及解析式的求法. 设0,x <则0,x ->因为当0x ≥时,2()2f x x x =+,所以0x ->时,又 22()()2()2;f x x x x x -=-+-=-又()f x 为R 上奇函数,即()();f x f x -=-所以,当0,x <时,有22()()(2)2;f x f x x x x x =--=--=-+故选B 18.已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=,且(0)1f =. (1)求解析式()f x ; (2)当[1,1]x ∈-时,函数()y f x =的图像恒在函数2y x m =+的图像的上方,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)2 ()=1f x x x -+;(2)1m <-. 【解析】 试题解析:(1)由(1)()2f x f x x +-=,令0x = ,得(1)1f =;令1x =- ,得(1)3f -=. 设2()f x ax bx c =++,故1,1,+3,c a b c a b c =??++=??-=? 解得1,1,1.a b c =??=-??=? 故()f x 的解析式为2 ()=1f x x x -+. (2)因为()y f x =的图像恒在2y x m =+的图像上方,所以在[1,1]-上,2 12x x x m -+>+恒成立. 即:2 31x x m -+>在区间[1,1]-恒成立.所以令2 2 35()3124g x x x x ? ?=-+=-- ?? ? ,故()g x 在[1,1]-上 的最小值为(1)1g =- ,∴1m <- . 考点:1.函数的解析式求法;2.二次函数的图像与性质. 19.设)(x f 为二次函数,且1)1(=f ,(1)()41f x f x x +-=-+. (1)求)(x f 的解析式; (2)设a x x f x g --=)()(,若函数)(x g 在实数R 上没有零点,求a 的取值范围. 【答案】(1)x x x f 32)(2+-=;(2)1 2 a > . 【解析】(1)因为原函数为二次函数,根据题意设出二次函数的解析式)0()(2≠++=a c bx ax x f ,将已知条件代入解析式)0()(2≠++=a c bx ax x f 中,进而得到关于,,a b c 的方程,联立解得,,a b c ,得到()f x 的解析式为:x x x f 32)(2+-=; (2)根据(1)求得的()f x 的解析式,代入a x x f x g --=)()(中得到:()2 22g x x x a =-+-的图像是开口向上的二次函数,若()g x 在R 上没有零点,只需使其图像 与x 轴没交点,即0?<即可,进而求得a 的取值范围. 试题分析: 试题解析:(1)设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,则b a ax x f x f ++=-+2)()1( 所以x b a ax 412-=++对一切R x ∈成立.故241a a b =-??+=? ,所以23a b =-??=? , 又因为1)1(=f ,所以1=++c b a ,所以0=c . 故x x x f 32)(2+-= (2)()()g x f x x a =--= 2 22x x a -+-, 函数()g x 在实数R 上没有零点,则函数图象与x 轴没有交点,故480a ?=-<, 解之得1 2 a > . 考点:1.待定系数法求函数解析式;2.二次函数. 函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射,通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意:(1)A中元素必须都有彖J1唯一;(2)B中元素不一定都有原彖,但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都 冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常 ⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做两数值,函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮,对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1:映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ; (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ; (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM,a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件:对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2:判断两函数是否为同一个函数 解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ; 过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1). 函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A →B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.如:f(x)=x2 f(x)=2x+2等 (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数, k≠0) 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x-1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) = (√x)2 (3)f ( x ) = x 2;g ( x ) = (x + 1) 2 (4)f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3.区间的概念 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3) 若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 (一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?- ,求[()]f g x 的解析式函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
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