5、平面解析几何之圆锥曲线之双曲线部分(教师版)
双曲线部分
一：双曲线的定义及概念。
1、双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：
(1)当a (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，P点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 x≥a或x≤－a，y∈R 3、双曲线中的几个常用必会结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (3)双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a . (5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|. 4、针对训练题 1．若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是() A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 [解析] 曲线方程可化为x2 cosθ＋ y2 cosθ sinθ ＝1，θ是第三象限角，则cosθ<0， cosθ sinθ>0， 所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选A. [答案] A 2．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是() A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线 答案C 解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2 k ＋1＝1， ∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 3．已知F 1(－5,0)，F 2 (5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，P 点的轨迹分别是( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线 答案 D 解析 依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故P 点的轨迹为双曲线的右支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故P 点的轨迹为一条射线．选D. 4．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 答案 B 解析 由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9. 5．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ∵方程x 225－k ＋y 2 k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25， ∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2 k －9 ＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A. 二：双曲线标准方程的求解方法。 1、直接法（又叫直译法）求双曲线的标准方程。 直接法：若已知中有明显的等量关系，常列出关系，化简可得双曲线方程． 针对训练题 1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 x 2－y 2 8＝1(x ＞1) 解析 设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |.∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |)＝|MB |－|NB |＝4－2＝2，∴点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝ 8.故双曲线的方程是x 2－y 28＝1(x ＞1)． 2．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN →＝4，求动点P 的轨迹方程． 解 由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN →＝(x ，－2y )， 故OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2， 依题意知，x 2－2y 2＝4， 因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF → |＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 2 5＝1 B.x 28－y 2 12＝1 C.x 28－y 2 4＝1 D.x 24－y 2 6＝1 [解析] 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF → ，F (c,0)， 可得A ? ?? ??2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF → |＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 2 6＝1，故选D. [答案] D 2、待定系数法求双曲线的标准方程. ① 待定系数法：若焦点位置明确，则可设出双曲线的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1( AB < 0，A ≠B )． ② 巧设双曲线方程的六种常用方法 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)． (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的方程可设为x 2a 2－λ－y 2 b 2＋λ ＝1