七年级数学竞赛 第30讲 容斥原理
第30讲 容斥原理
知能概述：
在计数时，我们常遇到这样的情况：作合并运算时会把重复部分多算了，需要减去；作排除运算时，会把重复部分多减了，需要补上。
我们把这种"应该有的"包含进来，“不该有的(或重复的)”排斥出去的思想
方法称为容斥原理。
设A 、B 为两类物体，属于A 的物体有|A |个，属于B 的物体有|B |个，既属
于A 又属于B 的物体记为A ∩B (读作A 交B )，有|A ∩B |个，把属于A 或属于B
的物体记作A ∪B (读作A 并B )，则|A ∪B |=|A | +|B |?|A ∩B |。
问题解决：
例1．在1~100的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有 个。
(“五羊杯”竞赛题)
解题思路：设 |I |=100表示I 中能被2整除的整数，B 表示I 中能被3整除的整数，A ∩B 表示I 中能被6整除的整数，
则所求的整数个数(阴影部分)=|I |? |A ∪B |=|I |?|A |?|B | +|A ∩B |。
例2．十个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这十个有理数的和是（ ）。
A ．12
B ．1118
C ．76
D ．59
(江苏省竞赛题)
解题思路：将未知的十个互不相等的有理数。转化为已知的十个互不相等的和式135791315171921,,,,,,,,,22222222222222222222
。
例3．求出分母是111的最简真分数的和。
(陕西省西安市竞赛题)
解题思路：要得到真分数，分子只能从1 到110之中取，因111=3×37，又由分子分母既约知，分子不能是3或37的倍数，从1到110中有36个3的倍数，有2个37的信数，这样所求最简真分数共有110 ?36?2=72(个).
例4．解放路中学初二（1）班有50个学生，其中有37人参加科技兴趣小组，有25人参加舞蹈兴趣小组，有10人没有参加任何一个兴趣小组，问同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的百分之几?
(浙江省竞赛题)
A∩B B A
I B A
解法1：要求同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的百分之几，只需求出同时参加两个兴趣小组的人数。
根据容斥原理，将参加科技兴趣小组的人数37，加上参加舞蹈兴趣小组人数25，再减去参加兴趣小组的人数(50?10=40)，即得同时参加两个兴趣小组的人数22；
然后将这一人数22除以全班人数50，
即得同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的44%。
解法2：设两个兴趣小组都参加的人数为x人，
则只参加科技兴趣小组的人数为37?x，只参加舞蹈兴趣小组的人数为
25?x，
由题意得x +(37?x)+ (25 ?x)+10=50，解得x=22，
可知同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的44%。
例5．在1到120的整数中，合数与质数各有多少个?
分析与解：如果a是一个合数，那么a一定有一个质因数P
11 <=，
所以不超过120的合数必定是质数2，3，5，7的倍数。
设A1表示1到120的整数中2的倍数的数的全体，A2表示1到120的整数中3的倍数的数的全体，A3表示1到120的整数中5的倍数的数的全体，A4表示1到120的整数中7的倍数的数的全体，
则|A1|= 60，|A2|=40，|A3|= 24，|A4|=17：|A1∩A2|=20，|A1∩A3|= 12，|A1∩A4|=8，
|A2∩A3|=8，|A2∩A4|=5，|A3∩A4|=3。
|A1∩A2∩A3|=4，|A1∩A2∩A4|=2；|A1∩A3∩A4| =1，|A2∩A3∩A4| =1，|A1∩A2∩A3∩A4|=0。
|A1∪A2∪A3∪A4|=(60+40+24 +17)?(20+12 +8+8+5+3)+(4+2+1+1)?0=93.
这就是说，在不超过120 的正整数中，或是2的倍数或是3的倍数，或是5的信数，或是7的倍数的数，共有93个，其中含有2，3，5，7本身，故合数的个数为93?4=89.
而质数的个数等于120个数中除去合数与数1的个数，即120?(89 +1)= 30，
国际统计年
联合国教科文组织把2013年设定为“国际统计年”。数据化、信息化是当代最显著特征。麻省理工学院曾在(数据就是生产力》一文中说：“大数据是当前的时髦术语，是技术界用来解决世界上最难处理的问题的全能方法，这个术语一般用来描述对海量信息进行分析，从而发现规律，收集有价值的见解和预言复杂问题答案的技巧与科学。”
需要注意的是，统计虽好，用时当心
例6．某校共有学生900人，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人。试问这些数据统计有无错误?
分析与解：设I是某校全体学生组成的集，A，B，C分别表示该校男生、高中生、团员组成的集合。
于是由题设得|I|=900，|A|=528，|B|=312，|C|=670，|A∩B|=192，|A∩C|=336，|B∩C|=247，|A∩B∩C|=175。
这样该校中不是男生、不是高中生又不是团员的学生组成的集合应是A B C，
于是应有
|A B C|=900?(528 +312 +670) +(192 +336 +247)?175=?10<0.
事实上，统计学生人数绝不可能是负数，这说明了统计的数据必有错误。
刻意练习
1．从1到1000这1万个自然数中，有个数能被5或能被7整除。
(上海市竞赛题)
2．在1到1000的自然数中，能被2整除但不能被3整除，也不能被5整除的数有个.
(陕西省竞赛题)
3．某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目的测试中都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
则这个班的学生人数是。
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
4．今年某班有56人订阅过(《初中生数学学习》，其中，上半年有25名男生、15名女生订阅了该杂志，下半年有26名男生、25名女生订阅了该杂志，有23名男生是全年订阅，那么，只在上半年订阅了该杂志的女生有名
(江苏省竞赛题)
5．在小于1000的正整数中，能被5整除或能被7整除，但是不能被35整除的数的个数为( )。
A．285 B．313 C．341 D．369
(河北省竞赛题)
6．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，……，1997，然后将编号
为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三
次拉完后亮着的灯数为( )。
A．1464盏B．533盏C．999盏D．998盏
((时代学习报)公开赛试题)
7．在某夏令营中，100名营员每人至少会唱歌、跳舞或表演中的一项才艺，有些人的才艺不止一项但没有人具备三项才艺。若有42名营员不会唱歌，有65名营员不会跳舞，有29名营员不会表演，则至少会两项才艺的营员有( )人。
A．16 B．25 C．36 D．49 E．64
(2016年美国数学竞赛题)
8．40个学生参加数学奥林四克竞赛，他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题。具体情况如下表所述：
其中有三位学生一个问题都没有解决，则三个问题都解决的学生数是( )。
A．5 B．6 C．7 D．8
(复旦大学自主招生试题)
9．在1，2，3，…，1000这1000个自然数中：
（1）不能被3整除的自然数有多少个?
（2）不能被3也不能被5整除的自然数有多少个?
（3）不能被3，5，7中任何一个整除的自然数有多少个?
10．以105为分母的最简真分数共有几个?
(“五羊杯”竞赛题)
11．某校100名学生在一次语、数、外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有14人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，问三项都参加的有多少人?
(河南省竞赛题)
(“创新杯”竞赛题)
13．某电视台为了解A、B、C三个特色栏目的收视情况，向28位观众进行调查，调查后得知：每位观众至少收看了其中的一个栏目；没有收看栏目A的观众中，收看栏目B的人数为收看栏目C的两倍；在收看栏目A的观众中，只收看栏目A的观众人数比除了收看栏目A之外同时还收看其他栏目的人数多1；只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看栏目B或栏目C。求栏目A的收视率。
(《数学周报》杯全国初中教学竞赛题)
14．若最简分数p
q
写成小数形式为0.abab……，(非负整数a，b相等，但至少有一个非零)，那么符合条件
的分数中不同的分子有多少个?
(青少年国际城市邀请賽试题)
初中数学竞赛定理大全
欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式：
塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
第31讲容斥原理
第31讲容斥原理 例题与方法 例1 在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？ 例2 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？ 例3 100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？ 例4 在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？ 例5 某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。这个班最多能有多少人？ 思考与练习 1．某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。问：两样都不爱好的有多少人？ 2．分母是105的最简真分数共有多少个？ 3．一个家电维修站有80%工人精通修彩电，有70%的人精通修空调，10%的人两项不熟悉。问：两项都精通的人占白分之几？ 4．在1～100的自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？ 5．在1～200的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？ 6．在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？ 7．64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。三种杂志都订的有多少人？ 8．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人？
完整版容斥原理习题加答案
1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（ ） 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B 得A H B=25,所以答案为B。 2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25%是白色的, 75%是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（） A 、15 B 、 25 C 、35 D40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式
为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=35 3. 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推 其他部分数字： 根据每个区域含义应用公式得到： 总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数 =63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 =199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只 选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120. 4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。 其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( ) A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推 其他部分数字： 根据各区域含义及应用公式得到： 总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数 100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的 人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。52= x+12+4+Y = 14+12+4+Y 得到Y = 22人。 不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？( )
中学数学竞赛中常用的几个重要定理
数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ? ?=1 2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且 满足FB AF EA CE DC BD ? ?=1，则D 、E 、F 三点共线. 【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABC j M Q G A C B X Y P
【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC 【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.
【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD 于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP 【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDC D
塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1= ? ? PA CP NC BN MB AM 塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1= ? ? PA CP NC BN MB AM ， 则AN、BP、CM相交于一点. 【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F， 过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形. 求证：△LMN为正三角形. G C L M E D F N
7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---
高中数学竞赛定理
重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点， 可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。 证明：根据燕尾定理， S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ， 再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、三角形到三边距离之积最大的点。 5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质： 锐角三角形垂心在三角形部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部
初一数学竞赛系列讲座容斥原理
初一数学竞赛系列讲座 容斥原理 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理 一、 知识要点 1、容斥原理 在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。 如图， 左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。 二、 例题精讲 例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个 分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。 解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个； 在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个； 在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1， 6?2，…，6?33，共33个； 所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：
2015河北政法干警行测指导：数量关系之容斥原理
在政法干警考试行测题目中，对数量关系中容斥问题的考查内容也经常出现。这类问题需要考生掌握容斥原理，否则在解答过程中就会遇到困难，甚至花费较长的时间，也很难得出正确的答案。出现这样的情况，是政法干警行测笔试过程中的大忌。因为答题的时间有限，保证题目的正确率也至关重要。所以，考生一定要对容斥原理有一个非常清晰的认识。 容斥原理又称排容原理，主要的工作就是计算时，排斥掉重复计算的部分，保证最后的数据结果无遗漏和重复。 【实例分析】 例1. 某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人。问既会游泳又会体操的有多少人? 解析：因至少会游泳或体操的人数为50-15=35(人)，所以根据两个集合的容斥
原理，可以得到既会游泳又会体操的人数=27+18-35=10(人)。 例2. 某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课程。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人。问三门课程均未选的有多少人? 解析：根据题干叙述选修甲课程的对应为集合A=40，选修乙课程的对应为集合B=36，选修丙课程的对应集合C=30。兼选甲、乙的对应为A∩B=28，兼选甲、丙的对应为A∩C=26,兼选乙、丙的对应为B∩C=24。甲、乙、丙均选的对应为A∩B∩C=20。三门课程均未选的对应为50-A∪B∪C。 根据A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C =40+36+30-28-26-24+20=48 三门均未选的有50-A∪B∪C=50-48=2。故三门课程均未选的有2人。 文章来源：更多信息请关注承德中公教育网https://www.wendangku.net/doc/c018836862.html,/?wt.mc_id=bk4828
个人精心整理高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲
1、数学竞赛考纲 二试 1、平面几何 基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的。了解下述定理： 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。 在周长一定的的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 方法、方法。 平面、及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带的函数的图像。 ，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 。 ，一阶、二阶递归，法。 函数，求n次迭代，简单的函数方程。 n个变元的平均不等式，，及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的式，直线的，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。 5、其它。。。集合的划分。覆盖。西姆松线的存在性及性质()。及其逆定理。
国考数量关系之比例、容斥问题
国考数量关系之比例、容斥问题 比例问题： 1、养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼? A．2000 B．4000 C．5000 D．6000 解析：此题用列方程法解答 可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5＝X/200，解得X=4000，选择B。 2、2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少? A．2900万元 B．3000万元 C．3100万元 D．3300万元 解析：此题可用列方程法解答 设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。答案为C。 特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1－X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20％，每台的价格比上一年度下降了20％，因为销售额＝销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%）＝0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。 3、生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件? A．15 B．25 C．35 D．40 解析：这是包含容斥关系的比例问题。 根据已知大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件；
高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理
竞赛专题讲座－几个重要定理 《定理1》正弦定理 △ABC中，设外接圆半径为R，则 证明概要如图1-1，图1-2 过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故 即；同理可 得 当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A. 当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。 《定理2》余弦定理△ABC中，有关系 a2=b2+c2-2bccosA；（*） b2=c2+a2-2cacosB； c2=a2+b2-2abcosC； 有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC； b=acosC+ccosA；（**） c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法 如图建立复平面，则有 =（bcosA-c2）+(bsinθ)2即 a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。 《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线 于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有
《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点） 设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明： （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 同理 ④ ⑤ ③×④×⑤得 《定理5》塞瓦定理逆定理 在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。 证法简介 （Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则 EA CE BD BC = 代入已知式：1=??FB AF BD BC DC BD 于是 CB DC FB AF = ， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF （Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得 1='??B F AF EA CE DC BD 而已知1=??FB AF EA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FB AF AF B F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+'ΘAF F A ='Θ 即F '即F ，可见命题成立 《定理6》斯特瓦尔特定理
数量关系比较全@
常用数学公式汇总 一、基础代数公式 1. 平方差公式：（a ＋b ）3（a －b ）＝a 2－b 2 2. 完全平方公式：（a±b）2＝a 2±2ab ＋b 2 完全立方公式：（a ±b ）3=（a±b）(a 2 ab+b 2) 3. 同底数幂相乘: a m 3a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数，a≠0） 同底数幂相除：a m ÷a n ＝a m －n （m 、n 为正整数，a≠0） a 0＝1（a≠0） a -p ＝p a 1（a≠0，p 为正整数） 4. 等差数列： （1）s n ＝2 )(1n a a n ?+＝na 1+21n(n-1)d ； （2）a n ＝a 1＋（n －1）d ； （3）n ＝d a a n 1-＋1； （4）若a,A, b 成等差数列，则：2A ＝a+b ； （5）若m+n=k+i ，则：a m +a n =a k +a i ； （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和） 5. 等比数列： （1）a n ＝a 1q －1； （2）s n ＝q q a n -11 ·1）－（（q ≠1） （3）若a,G,b 成等比数列，则：G 2＝ab ； （4）若m+n=k+i ，则：a m 2a n =a k 2a i ； （5）a m -a n =(m-n)d （6）n m a a ＝q (m-n) （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和） 6.一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 其中：x 1=a ac b b 242-+-；x 2=a ac b b 242---（b 2-4ac ≥0） 根与系数的关系：x 1+x 2=-a b ，x 12x 2=a c 二、基础几何公式 1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两 边之和大于第三边、任两边之差小于第三边； （1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
37-初中数学竞赛中常用重要定理
初中数学竞赛辅导 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
第6讲 容斥原理
第六讲 容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。 我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。 包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数，可以分一下两步进行： 第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来。即先求|A |+|B |（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A ∩B |（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。 例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？ 解：设I ={1、2、3、…、19、20}，A ={I 中2的倍数}，B ={I 中3的倍数}。 显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数，即求|A ∪B |。 我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。 A ∩ B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3， 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。 此题可以直观地用图表示如下： 例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？ 解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}， 由题意知|A |=25，|B |=21。 A ∪ B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。 A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}， 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |， 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 答：两科都在90分以上的有8人。 画图分析一下： 15 9320 18 16141210 8 642B A
数量关系之容斥原理
数量关系之容斥原理 在大学生村官考试中，数学类题目主要包括两种类型：数量关系和资料分析。数量关系对于很多考生来说是难度最大的一块，且资料分析涉及到的都是一些统计性数据，且这些数据往往比较复杂，且计算起来又有一定的难度，那么，在考试中解起题来就相对来说比较麻烦。下面，中公大学生村官考试网就为广大考生对此进行讲解。 考场上考生不允许带计算器的，虽然不让带计算器，但一些基本的工具性的东西，比如准考证、腕表、直尺、量角器等都是可以带的。那么，我们就充分利用让我们带的这些东西，让它们在考场上发挥最大的作用。 首先是准考证：(1)可以在做图形推理的时候派上用场;(2)准考证还可以草稿纸去用;(3)在数量关系中，曾考过一根绳子对折几次从中间剪几刀可以剪成几段的题，这类剪绳问题虽有公式，但如果在考场上忘记公式的话，可以很快从准考证上撕下一条来当作绳子，对折完再撕然后再数几段就可以了，能保证既快又准确。 腕表：第一可以用来看时间，第二主要用来做时间类的题目，比如：3点19分时，时钟上的时针与分针所构成的税角为几度?如果利用时间相关公式去做，计算量相当大，此时只需把时间调到3点19分，然后拿量角器去量角度，答案很快就出来了。 直尺、量角器： 在学习利用直尺、量角器前，首先了解指数相关知识： 指数：用于衡量某种要素相对变化的指标量。 1.相应两期实际值的比=相应两期指数的比。 2.指数的增长率=实际值的增长率。 3.指数一般表示的是那些我们并不关心其绝对值大小，而只关心其相对变化的指标量。 在资料分析中，给的图形肯定都是标准的，图形的比例和实际数值的比例都必然是一致的，故可采用直尺和量角器。 直尺主要用于柱状图中。(1)比较两期增长量的大小，可直接利用直尺量出两期长度的差值再比较大小即可;(2)计算增长率，如：2005年产量相对2004年产量的增长率可直接用2005年长度相对2004年长度的增长率即可;(3)部分长度÷总体长度=部分产量÷总体产量，用来计算产量等; 量角器主要用于饼状图中，若一个题目只给出一张饼状图，且给出每一分部分的具体数值，但未给出总体数值，问某一部分占总体的比重是多少，此时，我们只要量出该部分的圆心角角度，再用这个角度去除以360°即可得出该部分占总体的比重。 总而言之，各位考生要利用能带进考场的辅助工具，以使自己能快速解决相关考题。 更多信息查看：安徽人事考试网六安大学生村官考试网
中学数学竞赛中常用的几个重要定理资料
中学数学竞赛中常用的几个重要定理
数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ? ?=1 2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、 E 、 F ，且满足FB AF EA CE DC BD ? ?=1，则D 、E 、F 三点共线. 【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于 点P. 证明：△MPQ ∽△ABC j M Q G A C B X Y P
【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC 【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.
【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分 别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点 O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP 【练习2】在△ABC中，∠A=900，点D在AC上，点E在BD 上，AE的延长线交BC于F. 若BE：ED=2AC：DC，则∠ADB=∠FDC D
塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则 1=??PA CP NC BN MB AM 塞瓦定理的逆定理： 设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足 1=??PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点.
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、 A B C D F P
F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交 于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则 据塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． A B C D F P D / A B C D E F G
初等数论中的几个重要定理高中数学竞赛
初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模 的剩余，即。并定义中和互质的数的个数， 称为欧拉（Euler）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。 引理：；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。 分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而 也是与互质的个数，且两两余数不一样，故 （），而（）＝1，故。 证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系 是一一的，从而，。
，，故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。 设为质数，若是的倍数，则。若不是的倍数，则 由引理及欧拉定理得，，由此即得。 定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。 定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。 分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。 证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。 从而对，使得； 若，，则，，故对于，有。即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。 除外，别的数可两两配对，积除以余1。故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式 （）称为同余方组程。特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足： ，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作 定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为： 这里，，以及满足，（即为对模的逆）。 中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。 定理5：（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式 是一个模为次的整系数多项式（即），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。 定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。 以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到
第八讲容斥原理
第八讲容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。在并集的讨论中，已经知道，求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| 我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步从上面的和中减去交集的元素个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。 例1 求不超过20的正整数中是2的数倍或3的倍数的数共有多少个。分析与解：设I=｛1，2，3，…，19，20｝，A=｛I中2的倍数｝，B=｛I 中3的倍数｝。 显然，题目要求计算并集|A∪B|的元素个数，即求|A∪B|。 易知， A=｛2，4，6，…，18，20｝， 共有10个元素，即|A|=10， B=｛3，6，9，12，15，18｝， 共有6个元素，即|B|=6。 A∩B=｛I中既是2的倍数又是3的倍数｝ =｛6，12，18｝ 共有3个元素，即|A∩B|=3，所以 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| =10+6-3=13 答：所求的数共有13个。 此题可直观地图示如下： 图8-1中，A表示不超过20的正整数中2的倍数的集合。B表示不超过20的正整数中3的倍数的集合。在不超过20的正整数中既是2的倍数又是3的倍数的数有6，12，18，即A∩B中的数。 例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上有38人。问两科都在90分以上的有多少人？（1985年初一迎春杯数学竞赛试题） 解：设A=｛数学成绩90分以上的学生）， B=｛语文成绩90分以上的学生｝。