山东省泰安市2020届高三数学一轮复习质量检测试卷 理(含解析)
山东省泰安市2020届高三一轮复习质量检测
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若集合， 0，1，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用交集概念求解即可。
【详解】集合A表示到0的所有实数，
集合B表示5个整数的集合，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了交集运算，属于基础题．
2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数
A. 3
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可. 【详解】因为,
且复数的实部与虚部互为相反数，
所以，，
解得，故选D.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数
为73，则的值为
A. 2
B.
C. 3
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．
【详解】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲班5名同学成绩的平均数为
，解得；
又乙班5名同学的中位数为73，则；
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．
4.从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，从且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．
【详解】解：设，
依题意可知抛物线准线，
，，
，．
直线PF的斜率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．5.如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.
详解：输入，
第一次循环；
第二次循环；
第三次循环；
第四次循环，
输出，此时应满足退出循环的条件，
故的取值范围是，故选B.
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
6.已知实数满足约束条件，则的最大值是
A. 0
B. 1
C. 5
D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，直接利用线性规划知识求解即可。
【详解】作出不等式组对应的平面区域，如下图：
由，得，
平移直线，由图象可知，
当直线经过点A时，
直线的截距最大，此时z最大．
由，得，
此时z的最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
7.的展开式中的项的系数是（）
A. 120
B. -120
C. 100
D. -100【答案】B
【解析】
试题分析：的系数,由的次项乘以,和的次项乘以的到,故含的是,选.
考点：二项式展开式的系数.
【方法点睛】二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样就可以分解成乘以常数和乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来的系数求和.如要求次方的系数,计算方法就是,也就是说,有两个是取的,剩下一个就是的.
8.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象
A. 向右平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向左平移个单位
【答案】B
【解析】
试题分析：由图象知，，，，，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．
考点：三角函数图象.
9.已知函数等于
A. 2
B.
C.
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用已知推导出，由此能求出结果．
【详解】解：函数，
．
故选：A．
【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.在中，三边长分别为，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】设最小角为α，故α对应的边长为a，
则cosα，解得a＝3．
∵最小角α的余弦值为，
∴．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．
11.在直三棱柱，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系后写出点的坐标和向量的坐标，再利用空间向量的夹角公式即可求解．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：
则0，， 1，， 0，，，
0，，，
，．
故选：D．
【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题．
12.已知函数有四个不同的零点，，，，且，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出的图象，利用有4个不同的根，结合根与系数之间的关系，用t表示，，，，求出的表达式，构造函数，研究函数的单调性和取值范围即可．
【详解】由得，
作出的图象如图，
要使有四个不同的零点，则，
同时，，是方程的两个根，
，，是方程的两个根，
则，，，，
则，
，
则，
设，
，
由得，得，
平方得得，得，即，此时为增函数，
由得，此时为减函数，
故当时，取得极大值，
，，则，
即的取值范围是
故选：A．
【点睛】本题考查了函数与方程的应用，还考查了韦达定理得应用，利用数形结合，转化为关于t的函数关系，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键
综合性较强，有一定的难度．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________.
【答案】3
【解析】
试题分析：由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.
考点：平面向量.
【此处有视频，请去附件查看】
14.如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为______．
【答案】12
【解析】
【分析】
由三视图知该几何体是一个三棱柱，用垂直于侧棱的平面截三棱柱所得截面图形是侧视图，根据侧棱长即可求出该三棱柱的体积．
【详解】由三视图知，该几何体是一个三棱柱，如图所示；
用垂直于侧棱的平面截三棱柱，所得截面图形是侧视图，
又侧棱长为3，则该三棱柱的体积为
侧棱长．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，考查空间思维能力，是基础题．15.若，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由化简得到：，再对变形即可。
【详解】由得：
即：，又
解得：，
所以。
【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，考查计算能力及观察能力，属于基础题。
16.已知双曲线的左焦点为，分别是的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用的关系建立方程进行求解即可．
【详解】解：因为轴，所以设，
则，，
AE的斜率，
则AE的方程为，令，则，
即，
BN的斜率为，则BN的方程为，
令，则，即，
因为，所以，
即，即，则离心率．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知等差数列满足．
求数列的通项公式；
数列中，，，从数列中取出第项记为，若是等比数列，求的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
对赋值为，可得：，，设等差数列的公差为d，由通项公式解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
分别求得，，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式可求得，再利用分组求和方法即可计算所求和．
【详解】差数列满足，
可得，，
设等差数列的公差为d，可得，，
解得，，
则；
由题意可得，，
可得数列的公比为3，，
由，
可得，
的前n项和
．
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、分组求和公式的运用，考查了赋值法及方程思想，还考查化简运算能力，属于中档题．
18.如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是菱形，且．
证明：；
求平面与平面所成二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出，，从而平面PBE，由此能证明．
，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出平面PBC的一个法向量1，，利用向量法即可求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．
【详解】证明：取AD的中点E，连结PE， BE，BD，
四边形ABCD是菱形，，
是等边三角形，，
同理，得，
又，平面PBE，平面PBE，
平面PBE，
又平面PBE，．
平面平面ABCD，
由可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由题意得，
则0，，，， 0，，
，，，
设平面PBC的一个法向量y，，
由，取，得1，，
由得是平面PAD的一个法向量，
，，，
平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为．
【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.已知椭圆的离心率，且经过点．
求椭圆的方程；
过点且不与轴重合的直线与椭圆交于不同的两点，，过右焦点的直线分别交椭圆于点，设， ,求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
由题意可得，解得，，即可求出椭圆方程，
设直线l的斜率为k，，，，则，，分两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得范围，即可得答案．
【详解】解：由题意可得，解得，，
则椭圆方程为，
设直线l的斜率为k，，，，
则，，
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
由，可得，
则，
当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为，即，
代入曲线C的方程又，整理可得，
，
，
当AM与x轴垂直时，A点横坐标为，，显然也成立，
，同理可得，
设直线l的方程为，，联立，
消去y整理得，
由，解得，
又，
，
即的取值范围是．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据向量关系找出坐标之间的关系.
20.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取30次的随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的30次随堂测试成绩如下满分为100分：
把学生甲的成绩按，，，，，分成6组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图；
规定随堂测试成绩80分以上含80分为优秀，为帮助学生甲提高成绩，选取学生乙，对甲与乙的随堂测试成绩进行对比分析，甲与乙测试成绩是否为优秀相互独立已知甲成绩优秀的概率为以频率估计概率，乙成绩优秀的概率为，若，则此二人适合为学习上互帮互助的“对子”在一次随堂测试中，记为两人中获得优秀的人数，已知，问二人是否适合结为“对子”？【答案】（1）直方图见解析；（2）是.
【解析】
【分析】
根据题意列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；
由题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值，求出以及的值，由此得出结论．
【详解】根据成绩分组，列出频率分布表如下，
画出频率分布直方图如图所示；
由知，随机变量X的所有可能取值分别为0，1，2；
当时，，
当时，，
当时，；
所以X的分布列为；
所以X的数学期望为，
解得；
所以，
所以学生甲与学生乙适合结为“对子”．
【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．
21.已知，函数，直线．
讨论的图象与直线的交点个数；
若函数的图象与直线相交于，两点，证明：．
【答案】（1）当时，无交点；时，有一个交点；时，有两个交点；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
根据函数与方程的关系，设，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．
构造函数，求函数的导数，结合与l的交点坐标，进行证明即可．
【详解】由題意，令，
则，
令，解得．
所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
则当时，函数取得极小值，同时也是最小值
.
当，即时，的图象与直线l无交点，
当，即时的图象与直线l只有一个交点．
当，即时的图象与直线l有两个交点．
综上所述，当时，的图象与直线l无交点;时,的图象与直线l只有一个交点;时的图象与直线l有两个交点．
证明：令，
，
，
，即在上单调递增，
，
时，恒成立，
又，
，
，
即，
又
，
，，
在上单调递增，
即．
，
，
．
，
即，则，
，
即，
即成立．
【点睛】本题考查了函数与方程的关系，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键综合性较强，考查转化能力及计算能力，难度较大．
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求直线的普通方程与曲线的极坐标方程；
直线与直线交于点，点是曲线上一点，求面积的最大值．
【答案】（1）直线l的普通方程为，曲线C的极坐标方程为
（2）．
【解析】
【分析】
用代入法消去t可得直线l的普通方程；利用，代入可得曲线C的极坐标方程；
先求得，再利用B的极径求出三角形的面积，再求最值．
【详解】解：由得代入整理得，
直线l的普通方程为，
又，，
，
曲线C的极坐标方程为，
由得，，
设，则，
的面积
，
．
【点睛】此题主要考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及极坐标方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型.
23.已知函数．
当时，求不等式的解集；
当时，不等式恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；
问题转化为恒成立，当时，，令，求出的最大值，求出m的范围即可．
【详解】解：当时，，
由，
得或或，
解得：或，
故不等式的解集是；
当时，，
恒成立，
即恒成立，
整理得：，
当时，成立，
当时，，
令，
，
，
，
，
故，
故
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．