高中数学 1.2.1《几个常用函数的导数》教案12 新人教A版选修2-2

§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x

=的导数公式；

2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2

y x =、1y x

=的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 教学过程：

一．创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数()y f x c ==的导数

根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x

?+?--===??? 所以00

lim lim 00x x y y ?→?→?'===

0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x

?+?-+?-===??? 所以00

lim lim11x x y y ?→?→?'===

1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数2

()y f x x ==的导数 因为22

()()()y f x x f x x x x x x x

?+?-+?-==??? 222

2()2x x x x x x x x

+?+?-==+?? 所以00

lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=?

2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2

y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．

4．函数1()y f x x

==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==??? 2()1()x x x x x x x x x x

-+?==-+??+?? 所以220011lim lim()x x y y x

?→?→?'==-=-?

（2）推广：若*

()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'= 三．课堂练习

1．课本P 13探究1

2．课本P 13探究2

4．求函数y =

四．回顾总结

五．布置作业