【中考几何模型压轴题】专题5《等分图形面积》

中考几何压轴题（几何模型30讲）

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专题5《等分图形面积》

破解策略

等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为：

如图，12l l ∥，点123A A A ，，在1l 上，点B ，C 在2l 上，则123A BC A BC A BC S S S ???==． 图形等分面积的常见类型有： （1）已知：△ABC ．

作法：作中线AD ．

结论：直线AD 平分△ABC 的面积． （2）已知：平行四边形ABCD ．

作法：过对角线交点O 作直线．

结论：过点O 的直线平分平行四边形ABCD 的面积． （3）已知：梯形ABCD ，AD ∥BC ．

作法：过中位线EF 中点O （或上、下底边中点连线HG 的中点O ）作直线，且与上、下底均相交．

D

2

1

B

结论：过点O 且与上、下底均相交的直线平分梯形ABCD 的面积． （4）已知：△ABC ，P 为AC 边上的定点．

作法：作△ABC 的中线

AD ，连结PD ，过点A 作AE ∥PD ，交BC 于点E ．

结论：直线PE 平分△

ABC 面积． （5）已知：四边形ABCD ．

作法：连结AC ，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，连结AE

，作△ABE 的中线AF ．

结论：直线AF 平分平行四边形ABCD 的面积．

（6）已知：四边形ABCD ，点P 为AD 上的定点．

作法：连结PB ，PC ．作AE ∥PB ，DF ∥PC ，分别交直线BC 于点E ，F ，连结

PE ，PF ，作△PEF 的中线PG ．

结论：直线PG 平分四边形ABCD 的面积．

（7）已知：五边形ABCDE ．

作法：连结AC ，AD ，作BF ∥AC ，EG ∥AD ，分别交直线CD 于点F ，G ，连结

AF ，AG ，作△AFG 的中线AH ．

结论：直线AH 平分五边形ABCDE 的面积．

进阶训练

1．如图，已知五边形ABOCD 各定点坐标为A （3，4），B （0，2），O （0，0），

C （4，0），

D （4，2），请你构造一条经过顶点A 的直线，将五边形ABOCD 平分

为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式． 答：如图：

直线的表达式为8

43

y x =-．

【提示】 连结AO ，作BM ∥AO 交x 轴于点M ，连结AC ，作DN ∥AC 交x 轴于点N ，取MN 中点F ，则直线AF 将五边形ABOCD 分为面积相等的两部分．作AH ⊥x 轴于点H ，则△BMO ∽△AOH ，可得点M 的坐标．同理可得点N 的坐标．从而求得点F

的坐标．确定直线AF的表达式．

2．过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1：2的两

部分．

答：如图：

【提示】连结AC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，取BE的一个三等分点F或G，则直线AF或AG即为所求．

3．设w是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为w的“化方”．

（1）阅读填空

如图1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆，延长

图1

CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连结AH，EH．

因为AE为直径，所以∠AHE＝90°，

所以∠HAE ＋∠HEA ＝90°．

因为DH ⊥AE ，所以∠ADH ＝∠EDH ＝90°． 所以∠AHD ＝∠HED ，所以△ADH ∽ ． 所以

AD DH

DH DE

=，即2=DH AD DE ? 因为DE ＝DC ，

所以2DH ＝ ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积 （2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是：先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．

如图2，请作出与平行四边形ABCD 等积的正方形（不要求写出具体作法，保留

作图痕迹）． （3）解决问题

三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．

如图3，△ABC 的顶点再正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． 3．（1）△HDE ；AD ·DC ； （2）作图如下：

图2

11

（3）矩形；作图如下： （4）作图如下：

【提示】（2）作法：①分别过点A ，D 作直线BC 的垂线，垂足分别为11B C ，； ②延长AD 至点E ，使得1DE DC ； ③以AE 为直径作半圆； ④延长1C D 交半圆于点H ； ⑤以DH 为边向右作正方形DFGH ． 则正方形DFGH 与平行四边形ABCD 等积． （3）作法：

①作△ABC 的中位线MN ；

②分别过点B ，C 作MN 的垂线，垂足分别为E ，D ；

③延长BC至点F，使得CF＝CD；

④以BF为直径作半圆；

⑤延长DC交半圆于点G；

⑥以CG为边向右作正方形CGHI．

则正方形CGHI与△ABC等积．

（4）作法：

①连结BD，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E；

②作△EBC的中位线MN；

③分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G；

④延长BC至点H使得CH＝CG；

⑤以BH为直径作半圆；

⑥延长GC交半圆于点I；

⑦以CI为边向右作正方形CIJK．

则正方形CIJK与四边形ABCD等积．

（4）拓展探究

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把村边形转化，为等积的”1边形．…一直至转化为等积的三角形，从而实现化方．

如图4，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作

圈）

中考数学几何压轴题

1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的

等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F

解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1

中考数学几何证明压轴题之令狐文艳创作

北京优学教育中考专题训练 令狐文艳 1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ， DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当 BE ：CE=1： 2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交 于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3FE 的延长线与AB 的延长线相交于点线与GF 的延长线相交于点N E B F C D A

4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若sin ∠BAD =35 ，求CD 的长； （2）若∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G. （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径． 6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由. 7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ， DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C . 求证：∠ACB=3 1∠OAC . 8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在 与 C A B D O E

中考数学几何选择填空压轴题精选

中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个

七年级几何证明压轴题

一、选择 1．如图，已知：在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上任意一点，DF ⊥AC 于点F ，E 在AB 边上，ED ⊥BC 于D ，∠AED=155°，则∠EDF 等于（ ） A ．50°B．65°C．70°D．75° 2．下列判断错误的是（ ） A.一条线段有无数条垂线； B.过线段AB 中点有且只有一条直线与线段AB 垂直； C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直； D.若两条直线相交，则它们互相垂直. 3．下列判断正确的是（ ） A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离； B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离； C.画出已知直线外一点到已知直线的距离； D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 二、压轴题 1.（11分）如图12-1，点O 是线段AD 上的一点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC . （1）求∠AEB 的大小； （2）如图12-2，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2．(本题9分)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点， PE ⊥AD 交直线BC 于点E. ⑴若∠B=35°，∠ACB=85°,求∠E 的度数； ⑵当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系.写出结论无需证明. 3如图1，△ABC 的边BC 直线l 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且 EF=FP ． O 图 12-1 A 图12-2 P E D C B A

中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题

中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

中考数学超好几何证明压轴题大全

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1)求证：DC=BC; (2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状， 并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于 G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什 么特殊四边形？并证明你的结论． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中 点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ， FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留）。 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G. （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径． 6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由. 7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ， DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C . 求证：∠ACB=31∠OAC . 8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地 面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为 60． E B F C D A 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－1 A ( E ) C O D F C A B D O E

2020年中考数学压轴题精讲：几何证明及几何计算

2020年中考数学压轴题精讲：几何证明及几何计算例题1：如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E． （1）若 1 3 AD DB =，AE＝2，求EC的长； （2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由． 图1 满分解答 （1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC． 所以 1 3 AE AD EC DB ==．所以 21 3 EC =．解得EC＝6． （2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况： ①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余． 因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高． ②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC． 又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG． 所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线． 综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）． 图2 图3 图4 例题2：如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB 交AF于M，作PN//CD交DE于N． （1）①∠MPN＝_______°； ②求证：PM＋PN＝3a； （2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON． （3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．

图1 图2 图3 满分解答 （1）①∠MPN＝60°． ②如图4，延长F A、ED交直线B C与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、 △EPN′都是等边三角形． 所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a． 图4 图5 图6 （2）如图5，联结OP． 由（1）知，AM＝BP，DN＝CP． 由AM＝BP，∠OAM＝∠OBP＝60°，OA＝OB， 得△AOM≌△BOP．所以OM＝OP． 同理△COP≌△DON，得ON＝OP． 所以OM＝ON． （3）四边形OMGN是菱形．说理如下： 由（2）知，∠AOM＝∠BOP，∠DON＝∠COP（如图5）． 所以∠AOM＋∠DON＝∠BOP＋∠COP＝60°．所以∠MON＝120°． 如图6，当OG平分∠MON时，∠MOG＝∠NOG＝60°． 又因为∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，于是可得∠AOM＝∠FOG＝∠EON． 于是可得△AOM≌△FOG≌△EON． 所以OM＝OG＝ON． 所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形． 所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形． 例题3：已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形． ①求正方形的ABCD的面积；

2020各地中考几何综合压轴题汇总

2020各地中考几何综合压轴题汇总 一．解答题（共50小题） 1．（2020?天水）性质探究 如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为． 理解运用 （1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2 ，则它的面积为； （2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长． 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为．（用含α的式子表示） 2．（2020?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 特例感知： （1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明． 猜想论证： （2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC 于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 联系拓展： （3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

3．（2020?河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C ．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B． （1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长； （3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）； （4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK ，请直接写出点K被扫描到的总时长． 4．（2020?襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）特例发现：如图1，当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②推断：∠ACE＝°； （2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC 于点K，若CK ，求DF的长． 5．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：

几何证明压轴题选.doc

儿何体精选 1、如图，在梯形ABCD 中，AB〃CD, ZBCD=90°，且AB=1, BC=2, tanZADC=2. (1)求证：DC=BC; (2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，旦NEDC=NFBC, DE=BF,试判断Z\ECF的形 状，并证明你的结论； (3)在(2)的条件下，当BE： CE=1： 2, ZBEC=135° 时，求sinZBFE 的值. ［解析］(1)过A作DC的垂线AM交DC于M, 则AM=BC=2. 2 又tanZADC=2,所以DM =- = 1.即DC=BC. 2 (2)等腰三角形. 证明：因为DE = DF,』EDC = ZFBC, DC = BC . 所以，ADEC竺ZXBFC 所以，CE = CF,ZECD = ZBCF. 所以，ZECF =』BCF + ZBCE = ZECD + ZBCE = ZBCD = 90°即AECF是等腰直角三角形. (3)设BE = k,则CE = CF = 2k,所以EF = 2&. 因为为BEC = 135。, XZCEF= 45°,所以ZBEF = 90°. 所以BF =+(2gkV = 3k k 1 所以sinZBFE = —=-. 3k 3 2、已知：如图，在OABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG〃DB 交CB的延长线于G. (1)求证：AADE^ACBF； (2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什 么特殊四边形？并证明你的结论. ［解析］(1)..?四边形ABCD是平行四边形, .\Z1 = ZC, AD=CB, AB=CD . ?.?点E、F分别是AB、CD的中点， 1 1 ?.?AE=-AB , CF=-CD . 2 2 ???AE=CF

中考数学几何证明压轴题大全

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. E B F C D A

所以22(22)3BF k k k = += 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形．

中考数学几何证明压轴题

(i (2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论. 3、如图13- 1, 一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 勺两条边分别 重合在一起?现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0(点O 也是 BD 中点)按顺时针方向旋转. (1) 如图13- 2,当EF 与AB 相交于点M GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察 或 测量BM FN 的长度，猜想BM FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； (2) 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时x 线段.FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M 线段BD 的延长线与F 时，(1)中的猜想还成立吗？若成立， F O (1)若 s i n / A G ) B( E ) 5 勺延长线相交于点N,此 弭■若不成 辺CD 于E ，连结ADg BD 3 OC OD 且0吐5 E (2)若图/3ADO / EDO= 4： 1,求13形OAC(阴影部分)的面积(结果保留 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，CHLAB 于点H,直线 AC 与过B 点的切线相交于点 D, E 为CH 中点，连接 A ￥ 延长交BD 于点F ,直线 F CF 中考专题训练 1、如图，在梯形 ABCD 中，AB// CD , / BCD=90 ,且 AB=1, BC=2 tan / ADC=2. (1) 求证：DC=BC; ⑵E 是梯形内一点, F 是梯形外一点，且/ EDC 2 FBC DE=BF 试判断△ ECF 的形状，并证明你的结论; (3)在(2)的条件下，当BE: CE=1: 2，Z BEC=135 时，求 sin / BFE 的值. 2、已知：如图，在 □ ABCD 中，E 、F 分别为边 AB CD 的中点，BD 是对角线，AG// DB 交CB 的 (1) 求证：△ ADE^A CBF ； D ( F ) 4、如图, =r D -，求CD 的长 C D M B 勺直径AB 垂 请证 立，请说明理由. A G

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案 一、解答题（共30小题） 1.观察猜想 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝； 探究证明 （2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸 （3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论 2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC （1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝； （2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由 （3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长

3．（1）问题发现 如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE 填空： ①的值为；②∠DBE的度数为． （2）类比探究 如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案． 4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以 点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系． （2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．

中考数学指导：压轴题如何攻克

中考数学指导：压轴题如何攻克 对中考数学卷，压轴题是考生最怕的，以为它一定很难，不敢碰它。其实，对历年中考的压轴题作一番剖析，就会发现，其实也不是很难。以下为中考数学温习指点：压轴题如何攻克的内容。 压轴题难度有商定：历年中考，压轴题普通都由3个小题组成。第(1)题容易上手，得分率在0.8以上;第(2)题稍难，普通还是属于惯例题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题较难，才干要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。近十年来，最后小题的得分率在0.3以下的状况，只是偶然发作，但一旦发作，就会惹起各方关注。控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识，〝终点低，坡度缓，尾巴略翘〞已成为上海数学试卷设计的一大特征，以往上海卷的压轴题大多不偏不怪，得分率动摇在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。由此可见，压轴题也并不可怕。压轴题普通都是代数与几何的综合题，很多年来都是以函数和几何图形的综协作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识。假设以为这是结构压轴题的独一方式那就错了。方程与图形的综合的几何效果也是罕见的综合方式，如去年中考的第25(3)题，就是依据的几何条件列出代数方程而得解的，这类效果在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。静态几何效果中有一种新题型，如北京市去年的压轴题，

在图形的变换进程中，探求图形中某些不变的要素，它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一同。在这类静态几何效果中，锐角三角比作为几何计算的一种工具，它的重要作用有能够在压轴题中初露头角。总之，压轴题有多种综合的方式，不要老是盯着某种方式，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。 剖析结构理清关系：解压轴题，要留意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是〝平列〞的，还是〝递进〞的，这一点十分重要。如去年第25题的(1)、(2)、(3)三个小题是平列关系，它们区分以大题的为条件停止解题，(1)的结论与(2)的解题有关，(2)的结论与(3)的解题有关，整个大题由这三个小题〝拼装〞而成。又如2021年第25题，(1)、(2)两个小题是〝递进关系〞，(1)的结论由大题的条件证得，除外，(1)的结论又是解(2)所必要的条件之一。但(3)与(1)、(2)却是〝平列关系〞，(1)中，动点p在射线an 上，而(3)依据，动点p在射线an上。它除了能够在射线an 上，还能够在an的反向延伸线上，或与点a重合。因此需求〝分类讨论〞。假设将(1)、(2)的结论作为条件解(3)，将会使你坠入〝圈套〞，不能自拔。 应对战略必需抓牢：先生惧怕〝压轴题〞，恐怕与〝题海战术〞有关。中考前，自觉地多做难题是有害的。从外省市中考卷或从前几年各区模拟考卷中选题时，特别要留意它能否

中考数学几何证明压轴题

北京优学教育中考专题训练 1、如图，在梯形A ＢＣD 中,A Ｂ∥C Ｄ,∠BCD=90°,且AB=1，BC=2,tan ∠A ＤＣ=2. (1) 求证：ＤC=B Ｃ； (2) Ｅ是梯形内一点，Ｆ是梯形外一点,且∠ＥD Ｃ=∠ＦBC ，DE=BF ，试判断△E ＣF 的形状,并证明你的结论； (3) 在（２）的条件下，当B Ｅ:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值。 2、已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边A Ｂ、CD 的 中点,ＢD 是对角线,AG ∥DB 交C Ｂ的延长线于Ｇ． （1)求证：△ＡDE ≌△C ＢF ； （2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形ＡＧB Ｄ是什么特 殊四边形?并证明你的结论. 3、如图1３-1，一等腰直角三角尺ＧEF 的两条直角边与正方形ABC Ｄ的两条边分别重合在一起．现正方形A ＢCD 保持不动,将三角尺G ＥF 绕斜边E Ｆ的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转. （１)如图1３－2，当ＥＦ与A Ｂ相交于点M ，GF 与B Ｄ相交于点N 时，通过观察或 测量ＢM ,FN 的长度，猜想B Ｍ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想; (2）若三角尺GE Ｆ旋转到如图1３-3所示的位置时,线段F Ｅ的延长线与AB 的延长线相 交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时，（1）中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立，请说明理由． ４、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦ＣD 于E,连结ＡＤ、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 E B F C D A 图13－2 E A B D F O M N 图13－3 A B D E F O M N C 图13－1 A ( G ) B ( E ) O

中考数学超好几何证明压轴题大全

中考数学超好几何证明压 轴题大全 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1)求证：DC=BC; (2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延 长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什 么特殊四边形并证明你的结论． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋 转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或 测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留 ）。 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G. （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径． 6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由. 7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ， DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C . 求证：∠ACB=31∠OAC . E B F C D A 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－1 A ( E ) C O D F C A B D O E

2019年中考数学压轴题汇编(几何1)--解析版Word版

（2019年安徽23题） 23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°． （1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC； （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?h3． 【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论； （2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论； （3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC， ∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC 又∠APB＝135°， ∴∠PAB+∠PBA＝45° ∴∠PBC＝∠PAB 又∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC （2）∵△PAB∽△PBC ∴ 在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴ ∴

∴PA＝2PC （3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E， ∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3， ∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270° ∴∠APC＝90°， ∴∠EAP+∠ACP＝90°， 又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90° ∴∠EAP＝∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴，即， ∴h3＝2h2 ∵△PAB∽△PBC， ∴， ∴ ∴． 即：h12＝h2?h3． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．

（2019年北京27题） 27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M 为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； （2）求证：∠OMP＝∠OPN； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明． 【分析】（1）根据题意画出图形． （2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证． （3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以 OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP． 【解答】解：（1）如图1所示为所求． （2）设∠OPM＝α， ∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN ∴∠MPN＝150°，PM＝PN ∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α ∵∠AOB＝30° ∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α ∴∠OMP＝∠OPN （3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下： 过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2 ∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90° ∵∠AOB＝30°，OP＝2

几何图形变换中考数学压轴题整理

几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F )