(完整word版)大一高数复习资料
第一章 函数与极限 第一节 函数
○邻域（去心邻域）
(){},|U a x x a δδ=-<
(){},|0U a x x a δδ=<- 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=???? 2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X = 2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 极限存在准则及两个重要极限 ○夹逼准则 第一个重要极限：1sin lim 0=→x x x ∵?? ? ??∈?2, 0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0 000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===?? ??? （特别地，000 sin() lim 1x x x x x x →-=-） ○单调有界收敛准则 第二个重要极限：e x x x =?? ? ??+∞ →11lim （一般地，()() ()() lim lim lim g x g x f x f x =???????? ，其中 ()0lim >x f ） 【题型示例】求值：1 1232lim +∞→?? ? ??++x x x x 【求解示例】 ()()2111 212 1212 2121 1221 2 2121lim 212 21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞?++++??+++→∞ +→∞++→∞+++????? ?==+ ? ? ?+++?????? ? ???? ???=+=+ ? ???++?? ?? ? ? ? ?? ???=+ ???+???? 解：()()12lim 121 21212 121 22lim 121x x x x x x x x x e e e e +→∞?? ?+?? +??+→∞+→∞???+?? +?? +?? ? +? ? ==== 第四节 无穷小量与无穷大量 ○无穷小与无穷大的本质 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论 （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无 穷小，且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →???? ?（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞ →x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；） 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 无穷小量的阶 ○等价无穷小（P65/P77） (外加此公式) （乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值：()()x x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】 ()()()()()()()3 131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为 【题型示例】求值233 lim 9 x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原 式()()2 3333311 lim lim lim 93336 x x x x x x x x x →→→--====-+-+ （其中3x =为函数()23 9 x f x x -= -的可去间断点） 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：()()0 23 3323311 lim lim lim 926 9x L x x x x x x x '→→→' --===-' - ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那 么，()()00lim lim x x x x f x f x ??→→??=???????? 【题型示例】求值：9 3lim 23 --→x x x 【求解示例】3 6x →=== 【题型示例】求值：1 1232lim +∞→?? ? ??++x x x x 【求解示例】 ()()21 1 1 212 1212 2121 1221 2 2121lim 212 21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞ +→∞ ?++++??+++→∞ +→∞++→∞+++?? ?? ? ?==+ ? ? ?+++?? ?? ?? ?? ? ?????=+=+ ? ??? ++?? ??????? ???=+ ???+??? ? 解：()()12lim 121 21212121 22lim 121x x x x x x x x x e e e e +→∞???+?? +??+→∞+→∞? ? ?+??+?? +?? ? +? ? ==== 第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义 ()()()00 0lim lim x x x x f x f x f x - +→→== ○间断点的分类 ?? ?∞? ??? ?）无穷间断点（极限为 第二类间断点可去间断点（相等） 跳越间断点（不等） 限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式） 【题型示例】设函数()???+=x a e x f x 2 ，00 ≥ 择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？ 【求解示例】 1．∵()()()2010000f e e e f a a f a - -?++?===? ?=+=?? =?? 2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0 ∴e a = 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理 【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续； 2．∵()()0a b ???<（端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξ?，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,~ x x sin tan -23 x 内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分 第一节 导数概念（导数公式表P111） ○高等数学中导数的定义及几何意义 【题型示例】已知函数()? ??++=b ax e x f x 1 ，00 >≤x x 在0 =x 处可导，求a ，b 【求解示例】 1．∵()()0 010f e f a -+'?==??'=??，()()()0000112 0012f e e f b f e - -+?=+=+=??=? ? =+=?? 2．由函数可导定义()()()()()001 0002 f f a f f f b -+-+ ''===???====?? ∴1,2a b == 【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程） 【求解示例】 1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()() ()1 y f a x a f a -=- -' 第二节 求导的基本法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+ 3．函数商的求导法则（定理三）：2 u u v uv v v ' '' -??= ??? ○反函数的求导 【题型示例】求函数()x f 1 -的导数 【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()() 1 1 f x f x -'??= ??' ○复合函数的求导法则(P 习题2.2) 【题型示例】设( ln y e =，求y ' 【求解示例】 ( 22 arcsi y e x a e e e ' '= ' ? ?' ?+= ??? ? = ? ? = 解：?? ? 高阶导数 ○() ()() ()1n n f x f x -'??=??（或()()11n n n n d y d y dx dx --'??=???? ） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1 111y x x -'= =++， ()()()12 111y x x --'??''=+=-?+?? ， ()()()()()23 11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+?? …… ()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-?-?+！ 第三节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导） 【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ： ()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程 【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导 即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+? ∴e e y -=-= '11 111 ∴切线方程：()e x e y +--= -111 1 法线方程：()()e x e y +---=-111 ○参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程()() ???==t y t x γ?，求22dx y d 【求解示例】1.()()t t dx dy ?γ''= 2.()22dy d y dx dx t ?'?? ???=' 第四节 函数的微分 ○基本初等函数微分公式与微分运算法则 ()dx x f dy ?'= 第六节 微分学中值定理 ○罗尔定理 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间（a,b ）内可导 （3）f(a)=f(b) 则至少存在一点在（a,b ）使f(x)内可导 ○拉格朗日中值定理 【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >? 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ?>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间 ()1,x 上可导，并且()x f x e '=； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ?∈使得等式 ()11x e e x e ξ-=-成立， 又∵1 e e ξ >，∴()111x e e x e e x e ->-=?-， 化简得x e e x >?，即证得：当1x >时，x e e x >? 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对 0x ?>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区 间()0,π上可导，并且()11f x x '= +； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ?∈使得等式 ()()()1 ln 1ln 1001x x ξ +-+= -+成立， 化简得()1 ln 11x x ξ +=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()1 11f ξξ '= <+，∴()ln 11x x x +时，x e e x >? 第七节 罗比达法则 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤 1．☆ 等价无穷小的替换（以简化运算） 2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（ 0,0∞ ∞ ）且满足条件， 则进行运算：()()() () lim lim x a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出） B ．☆ 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0?∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0 lim ln x x x α →? 【求解示例】 ()1000020 1 ln ln lim ln lim lim lim 111 lim 0 x x L x x x x x x x x x x x x x a ααα αααα∞∞ -'→→→→→' ?===?'??- ??? =-=解： （一般地，()0 lim ln 0x x x β α →?=，其中,R αβ∈） ⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：01 1lim sin x x x →??- ?? ? 【求解示例】 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????-== ? ? ??? ?????解： ()()()()00 0002 sin 1cos 1cos sin lim lim lim lim 022 2L x x L x x x x x x x x x x ''→→→→' '---=====' ' ⑶0 0型（对数求极限法） 【题型示例】求值：0 lim x x x → 【求解示例】 ()()0000 lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim 111 lim lim 0lim lim 11x x x x x L x y y x x x x x y x y x x x x x x x y x x x x y e e e x →∞ ∞ '→→→→→→→==== '→=='?? ??? ==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞ 型（对数求极限法） 【题型示例】求值：()10 lim cos sin x x x x →+ 【求解示例】 ()() () ()() 1 000 000lim ln ln 10 ln cos sin cos sin ,ln , ln cos sin ln 0limln lim ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x x x L x x y y x x x x y x x y x x x y x y x x x x x x x x y e e e e →→→'→→→→+=+= +→='+??--??====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得 ⑸0∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim x x x →?? ? ?? 【求解示例】 ()()tan 00 200 020*******,ln tan ln , 1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim lim lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li x x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x x x x x x →→∞ ∞ '→→→'→→?? ?? ==? ? ??? ?? ?? ??→=? ??? ????' =-=-=-??'??- ? ????? '==='解：令两边取对数得对求时的极限，0 0lim ln ln 00 2sin cos m 0,1 lim =lim 1 x x y y x x x x y e e e →→→→?====从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路 00001∞??∞-∞??→←???∞←???∞?∞?∞ (1)(2)(3) ⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶ 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第八节 函数形态研究 ○连续函数单调性（单调区间） 【题型示例】试确定函数()3 2 29123f x x x x =-+-的 单调区间 【求解示例】 1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()2 61812f x x x '=-+ 2．令()()()6120f x x x '=--=，解得： 121,2x x == 3．（三行表） x (),1-∞ 1 ()1,2 2 ()2,+∞ ()f x ' + 0 - + ()f x Z 极大值 ] 极小值 Z 4．∴函数()f x 的单调递增区间为(][),1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2 【题型示例】证明：当0x >时，1x e x >+ 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()1x x e x ?=--，（0x >） 2．()10x x e ?'=->，（0x >） ∴()()00x ??>= 3．既证：当0x >时，1x e x >+ 【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ?=+-，（0x >） 2．()1 101x x ?'= -<+， （0x >） ∴()()00x ??<= 3．既证：当0x >时，()ln 1x x +< ○连续函数凹凸性 【题型示例】试讨论函数2 3 13y x x =+-的单调性、极值、 凹凸性及拐点 【证明示例】 1．()()2 36326661y x x x x y x x '?=-+=--??''=-+=--?? 2．令()()320 610 y x x y x '=--=???''=--=??解得：120,21x x x ==??=? x (,0)-∞ 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,)+∞ y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 5 4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞； ⑵函数23 13y x x =+-的极小值在0x =时取到， 为()01f =， 极大值在2x =时取到，为()25f =； ⑶函数2 3 13y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹， 在区间(1,2),(2,)+∞上凸； 函数2 313y x x =+-的拐点坐标为()1,3 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系 ⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ?的某个邻域()M U x D ?，使得对()M x U x ?∈o ，都适合不等式()()M f x f x <， 我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ????处有极大值()M f x ； 令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足： ()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =； ⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ?的某个邻域 ()m U x D ?，使得对()m x U x ?∈o ，都适合不等 式 ()()m f x f x >， 我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ????处有极小值 ()m f x ； 令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足： ()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =； 【题型示例】求函数()3 3f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】 1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()2 33f x x '=-+ 2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= 4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 函数图形的描绘 第三章 一元函数积分学 第四节 不定积分的概念与性质（积分表 P208/P213） ○原函数与不定积分的概念 ⑴原函数的概念： 假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或 ()()dF x f x dx =?成立，则称()F x 为()f x 的一 个原函数 ⑵原函数存在定理： 如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念 在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项 C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分， 即表示为：()()f x dx F x C =+? （ ? 称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称 为积分表达式，x 则称为积分变量） ○基本积分表（P208、P213很重要） ○不定积分的线性性质（分项积分公式） ()()()()1 2 1 2 k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+? ?????? 换元积分法 ○第一类换元法（凑微分）(P226) （()dx x f dy ?'=的逆向应用） ()()()()f x x dx f x d x ????'?=?? ?????? ??????? 【题型示例】求2 2 1 dx a x +? 【求解示例】 2 2221 11 1 1 arctan 11x x dx dx d C a x a a a a x x a a ??===+ ?+???? ??++ ? ??? ?? ?? ? 解：【题型示例】求 【求解示例】 ()()12121 2x x C =+=+= ○第二类换元法（去根式P216） （()dx x f dy ?'=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）： ：令t =，于是2t b x a -=， 则原式可化为t ⑵对于根号下平方和的形式（0a >）： tan x a t =（2 2 t π π - << ）， 于是arctan x t a =，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）： a sin x a t =（2 2 t π π - << ）， 于是arcsin x t a =，则原式可化为cos a t ； b sec x a t =（02 t π << ）， 于是arccos a t x =，则原式可化为tan a t ； 【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】 2221t x t dx tdt tdt dt t C C t =-=?==+=?? 【题型示例】求（三角换元） 【求解示例】 ()()2 sin () 2222arcsin cos 22cos 1cos 22 1sin 2sin cos 222x a t t x t a dx a t a a tdt t dt a a t t C t t t C π π =-<<==?????? →=+?? =++=++ ????? ○分部积分法（P228） ⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-?? ⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '?=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-?? ⑷展开尾项vdu v u dx '=??? ，判断 a ．若v u dx '?? 是容易求解的不定积分，则直接计 算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '?? 依旧是相当复杂，无法通过a 中方 法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C 【题型示例】求2x e x dx ?? 【求解示例】 () ()22222 2222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C ?===-=-?=-?=-+=-++???????解： 【题型示例】求sin x e xdx ?? 【求解示例】 ()() ()() sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx ?=-=-+=-+=-+=-+-=-+-??? ????解： ()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ?=-+-??即： ∴()1sin sin cos 2 x x e xdx e x x C ?= -+? 【题型示例】求2 1 x dx x +?（构造法） 【求解示例】 ()()()2 21111111111 ln 112 x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x C x +-++??==-+ ?+++? ?=-+=-++++?????? ○定积分的定义 ()()0 1 lim n b i i a i f x dx f x I λ ξ→==?=∑? （()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限， [],a b 称为积分区间） ○定积分的性质 ⑴ ()()b b a a f x dx f u du =?? ⑵()0a a f x dx =? ⑶()()b b a a kf x dx k f x dx =?????? ⑷（线性性质） ()()()()1212b b b a a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+? ?????? ⑸（积分区间的可加性） ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? ⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >， 则 ()0b a f x dx >? ； （推论一） 若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b b a a f x dx g x dx ≤??； （推论二） ()()b b a a f x dx f x dx ≤?? ○积分中值定理（不作要求） 微积分基本公式 ○牛顿-莱布尼兹公式 （定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间 [],a b 上的一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? ○变限积分的导数公式（上上导―下下导） ()() () ()()()()x x d f t dt f x x f x x dx ?ψ??ψψ''=-????????? 【题型示例】求2 1 cos 2 lim t x x e dt x -→? 【求解示例】 () 2 2 11 cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x --'→→='?? () () ()()2222 2 21 cos cos 000cos 0 cos cos 0cos 010sin sin lim lim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim 2 1 lim sin cos 2sin cos 21122x x x x x L x x x x x x e e x x e x x d x e dx x x e x e x x e x x x x e e ---→→-'→--→-→-?-?-?==?=' ?+??=?? =+?? ?=?= 第五节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法 ⑴（第一换元法） ()()()()b b a a f x x dx f x d x ????'?=?? ????????????? 【题型示例】求201 21 dx x +? 【求解示例】 ()[]2 220001111 21ln 212122121ln 5ln 5ln122 解：dx d x x x x =+=?+?? ?++=-=? ? ⑵（第二换元法） 设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ?=满足： a ．,αβ?，使得()(),a b ?α?β==； b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ??'????连续 则： ()()()b a f x dx f t t dt β α ??'=?????? 【题型示例】求 4 2 21 x dx x ++? ()22 1 210,43 22 0,1014,3 3 2332311132222113111332223522933 解：t t x x x t x t t x dx dx t x t t dt t dt t x t =+>=-====++??????→++?? =??=+=+ ???=-= ???? ⑶（分部积分法） ()()()()()()()()()()()() b b a a b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx u x dv x u x v x v x du x ''=-=-? ???? ??? ○偶倍奇零 设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则 ()()0 2a a a f x dx f x dx -=? ? ⑵ 若()()f x f x -=-，则 ()0a a f x dx -=? 第四节 定积分的应用（P248） 面积增量的近似值为 [f 上(x )- f 下(x )]dx 它也就是面积元素 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成 y =f 上 y =f 下上 下 ?=b a S [f 上 (x )- f 下 X-型区域 1、直角坐标系情形 常用等价无穷小 ~ 1 e -x , 0 →x 当~ 1 -x a ~ x sin ~ x tan ~ x arcsin ~ x arctan ~ )1ln(x +~ x x sin tan -2 3x ~ x cos 1-2 2x ~ 1)1(-+αx x x x x x x x x α例1 求双纽线θρ2cos 22a =所围平面图形的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第一 象限部分面积 14A A =θθπ d a A 2cos 2 144 2 ? =. 2a =例2 计算由两条抛物线x y =2和2x y =所围成的图形的面积. 解 两曲线的交点 ) 1,1()0,0(面积元素 dx x x dA )(2-=选X 为积分变量 x ] 1,0[∈x dx x x A )(2 1 -=?1 0333 22 3? ?????-=x x .3 1 = 2 x y =2 y x =取积分变量为x ， ] ,[b a x ∈在],[b a 上任取小区间],[dx x x +， 取以dx 为底的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的体积的近似值为体积元素， dx x f dV 2)]([π=x dx x +旋转体的体积为 dx x f V b a 2 )]([? =π) (x f y = 《高等数学》（同济六版）基础复习教材基础练习题范围完整版（数学二） 2015-03-17 文都-汤家凤 第一章函数与极限 习题1—5（P49） 1（1）~（（14） 习题1—6（P56） 1（1）~（6）、2（1）~（4）、4（1）~（5） 习题1—7（P59） 4（1）~（4） 习题1—8（P64） 3（1）~（4）、4 习题1—9（P69） 3（1）~(7)、4（1）~（6） 习题1—10（P74） 1、2、3、5 总习题一（P74） 2、3（1）（2）、9（1）~（6）、10、11、12、13。 第二章导数与微分 习题2—1 5、6、7、8、9（1）~（6）、11、13、14、15、16、17、18、19、20 习题2—2 2（1）~（10）、3（1）~（3）、5、6（1）~（10）、7（1）~（10）、8（1）~（10）、10（1）~（2）、11（1）~（10）、13、14 习题2—3 1（1）~（12）、3（1）~（2）、4、10（1）~（2） 习题2—4 1（1）~（4）、2、3（1）~（4）、4（1）~（4）、5（1）~（2）、6、7（1）~（2）、8（1）~（4） 习题2—5 2、3（1）~（10）、4（1）~（8） 总习题二 1、2、3、6、7、8（1）~（5）、9（1）~（2）、11、12（1）~（2）、13、14。 第三章微分中值定理与导数的应用 习题3—1 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 习题3—2 1（1）~（16）、2 习题3—3 1、3、4、5、7、10（1）~（3） 习题3—4 1、2、3（1）~（7）、5（1）~（5）、6、8（1）~（4）、9（1）~（6）、10（1）~（3）、12、13、14 习题3—5 1（1）~（10）、2、4（1）~（3）、8、9、10、16 高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的 关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷 小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点 的概念，并会判别间断点的类型。 10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 7.会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠; 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解） p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式 高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！ 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。高数课本课后必做习题
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