理学院数学与应用数学毕业论文
分类号:0151
单位代码:10452
毕业论文（设计）
浅谈Vandermonde行列式
姓名
学号
年级 2009
专业数学与应用数学
系（院）理学院
指导教师
2013年04月18日
摘要
在高等代数的学习中,行列式无疑是一个重点和难点,它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础.而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性,本文在简单了解了行列式定义和性质的基础上,列举了行列式的多种计算方法,如定义法、三角形法等.而Vandermonde行列式作为一种特殊的行列式,更具有其特殊的性质和作用.本文首先介绍Vandermonde行列式的导出,从而得出其定义及相关性质,并举例说明如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式,最后用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用.
关键词：行列式；Vandermonde行列式；性质；应用
ABSTRACT
In the higher algebra study, determinant is undoubtedly a key and difficult point, it is the basis of subsequent course system of linear equations, matrix, vector space and linear transformation. The calculation of determinant has certain regularities and techniques, based on the simple understanding of definition and nature of determinant, this paper lists many kinds of calculation methods, such as definition method, triangle method, etc. And Vandermonde determinant, as a special kind of determinant, has its peculiar nature and function. This thesis first introduces the derivation of Vandermonde determinant, and concludes the definition and related properties; then it illustrates how to use the Vandermonde determinant to calculate general determinant; finally by taking several examples into discussion, this paper summarizes how to make a better application of Vandermonde determinant in research and practice.
Key words: determinant; Vandermonde determinant; properties; application
目录
1 引言 (1)
2 预备知识 (1)
2.1行列式的定义 (1)
2.2行列式的性质 (2)
2.3行列式计算中的几种基本方法 (2)
3 行列式的一种特殊类型范德蒙行列式 (5)
3.1范德蒙行列式的引出 (5)
3.2范德蒙行列式的证法 (6)
3.3范德蒙行列式的性质 (8)
3.4范德蒙行列式的翻转与变形 (8)
3.5范德蒙行列式的应用 (9)
4 总结 (14)
参考文献 (16)
致谢 (17)
1 引 言
在中学数学和解析几何里,我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法.但是在数学研究和实际问题的解决过程中,经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组,并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等.为了解决这些具体的问题,经过一代代数学家的不懈努力,终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式.经过一段时间的发展,法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离.后来又经过许多大数学家的不断发展完善,如柯西、詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用]1[.美国当代数学家Bernard Kolman 对行列式又做了进一步的解析与应用]2[.数学家Chongying Dong,Fu-an Li 等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas 一书中]3[.
本文通过在行列式基本性质了解的基础上,进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde 行列式的相关性质及其应用.
2 预备知识
为了深入学习Vandermonde 行列式的性质及其应用,我们有必要回顾一下行列式的相关知识.
2.1 行列式的定义[4]
行列式的定义是在对二阶和三阶行列式的展开式作进一步研究之后,根据它们的结构规律定义的,即行列式是由2n 个元素（数）ij α(j i ,=1,2,…,n )排成n 行
n 列并写成
11
121212221
2
.....................n n
n n nn
a a a a a a a a a )12(-
的形式.它表示所有符合以下条件的项的代数和：
① 每项是n 个元素的乘积,这n 个元素是从)12(-中每行取一个元素、每列取一个元素组成的,可记为1212n j j nj a a a ,式中12,,
,n j j j 是1,2,...,n 的一个排列.
②每项12
12n j j nj a a a 应带正号或负号,以1,2,...,n 的顺序为标准来比较排列
(12,,,n j j j )的逆序数是偶或奇而决定.例如三阶行列式中的项312312ααα排列
(231)有2个逆序,即2在1之前,3在1之前,所以312312ααα应带正号；而332112ααα中(213)的逆序为1,因为这时只有2在1之前,所以应带负号.
2.2行列式的性质]4[
性质2.2.1 行列式与其转置行列式等值.
性质2.2.2 交换行列式的两行（列）,行列式改变符号.
性质2.2.3 如果一个行列式有两行（列）完全相同,那么这个行列式等于零. 性质 2.2.4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k ,则等于用数k 乘这个行列式.
性质2.2.5 一个行列式某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边.
性质 2.2.6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么这个行列式等于零.
性质 2.2.7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例,那么这个行列式等于零.
性质2.2.8 如果行列式的某一行（列）中的所有元素都是两项的和,则该行列式可以表示成如下两个行列式的和,即
11
12
1112212...
..............................n
i i i i in in n n nn a a a b c b c b c a a a +++=111211
2
1
2............
...
.........
.........n i i in n n nn a a a b b b a a a +111211
21
2......
......
.........
...
......
...n i i in n n nn
a a a c c c a a a 性质 2.2.9 把行列式的某一行(列)的所有元素乘同一个数k 后,加到另一行（列）的对应元素上,所得行列式与原行列式相等.
2.3 行列式计算中的几种基本方法
行列式是讨论线性方程组理论的一个有力工具,在数学的许多分支中有着极为广泛的应用.行列式的计算灵活多变,需要有较强的技巧.现将积累的一些常用方法归纳整理如下：
2.3.1 定义法
n 级行列式的定义计算其值的方法,称为定义法.我们知道n 级行列式
nn
n n n n a a a a a a a a a ......
...
...
(21)
2222111211=
121212(...)
12 (1)
...n n n
j j j j j nj j j j a a a τ-∑
这里∑表示对所有n 级排列求和.由定义可知n 级行列式的展开式有!n 项,计算量很大,一般情况下慎用此法.它主要应用于行列式中许多元素为零的情况.此法很常见故不举例说明.值得注意的是在应用定义法求非零元素乘积项时,不一定从第1行开始,哪行非零元素最少就从哪行开始. 2.3.2 三角形法
利用定义法可证上(下)三角形行列式,对角形行列式的值都等于主对角线上元素之积.
即11121222...0......
0
0...n n nn a a a a a a =
1121
221
2
...0
...0.........
...
...n n nn
a a a a a a =11220...
00 0
............
00
...nn
a a a =1122...nn a a a 三角形法就是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.应用行列式的性质,造出元素“0”是化三角形、对角形行列式的关键.此
法计算一个n 级数字式行列式要做()323
1
3-+n n 次乘、除法,这个方法很规范.当
n 较大时,完全可以编程上计算机计算. 2.3.3 目标行列式法
将行列式化为一些已知其计算方法和结论的行列式来计算的方法称为目标行列式法.常见的有化数字行列式为三角形行列式计算. 2.3.4 降价法
以阶行列式D 等于它的任一行(列)各元素与其对应代数余子式乘积的和,即
1n
ij ij j D a A ==∑ (1,2,...,)i n = ； 1
n
ij ij i D a A ==∑ (1,2,...,)j n =
行列式按一行(列)展开能将高阶行列式转化为若干个较低行列式计算,此为降价法.这是一种计算数字式行列式的常用方法.值得注意的是在使用时应先利用行
列式性质,将某行(列)元素尽可能多的消成零,然后再展开,计算才能更方便. 2.3.5 分裂行列式法
由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之和,计算其值,再得原行列式值,此法称为分裂行列式法.
2.3.6 析因子法
对于元素均为个位整数的n 级行列式D ,证明D 可被某整数整除.一般证法为将第1乘上110n -,第2列乘上210n -,...,第1n -列乘上10,都加到第n 列上,由第n 列可被某数整除而证D 可被整除.
2.3.7 加边法
有些行列式适当地升高一阶反而易求其值,这种方法称为加边法.一般来说,此法为保持行列式值变的情况下增加一行一列(增加的一行一列的元素一般是由
1和0组成.),以利于计算.
2.3.8 递推法
利用行列式的性质,将给定的n 级行列式变成同样形式的1n -级(或更低级)的行列式表示(即寻找递推关系式),然后由递推类关系式计算D 的值的方法称为递推法,有直接递推和间接递推两种. 2.3.9 数学归纳法
即利用不完全归纳法行寻找出行列式的猜想值,再用数学归纳法给出猜想值的严格证明. 2.3.10 换元法 例2.1 求证
D =123......
.....................n
x a a a b
x a
a
b
b x a b
b
b
x =()()
af b bf a a b
--,
其中12()()()...()n f x x x x x x x =---,a b ≠ 证明 作行列式()D x
()D x =123.........
............
...
...n x x a x a x a x b x
x x a x a x b x
b x x x a x b x
b x
b x
x x
++++++++++++++++ 可见()()D a f a -=,()()D b f b -=.又据行列式的性质可知()D x 是x 的一次多项式,所以可令()D x cx d =+,又因为(0)D d D ==,所以()()D a ca D f a -=-+=；
()()D b cb D f b -=-+= 所以()()
af b bf a D a b
-=-.
计算n 级行列式的方法很多,除了以上的常见方法外还有一些特殊的方法,如n 级轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法等,由于用处不多,不再介绍.对一个给定的行列式可以有多种方法去解,这时则要求我们注意方法的灵活性,要在众多解中选取一种最简便的方法.
3 行列式的一种特殊类型范德蒙行列式
范德蒙行列式作为行列式的一种特殊形式,不仅具有特殊的性质,而且具有非常广泛的应用,给我们在行列式的学习中带来了很大的帮助.
3.1 范德蒙行列式的引出[11]
当我们遇到这样一个数学问题： 过平面上n 个不同的点(,)i i x y (1,2,...,)i n =且(1,2,...,)i x i n =各不相同,是否存在唯一的一条1n -次曲线
12121...n n n n y a x a x a x a ---=++++
其中12,,...,n a a a 是待定系数,经过这n 个不同的点呢？这个问题就等价于下面的线性方程组
21112111121
1222122
21121...............n n n n n n n n n n n n n n n n
a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ---------?++++=?++++=??
?
?++++=? )13(- 关于待定系数11,,...,n n a a a -是否存在唯一的解.根据克莱姆法则,只需考虑方程组
)13(-的系数行列式的值,其系数行列式为
21111212
22
21111211...1.........
.........1...1...
n n n n n n n n
n
n
x x x x x x x x x x x x ------- )23(- 根据行列式的性质,知行列式)23(- 与下面的行列式值相等
1212
2221
211
11
1
121
11 (11)
.........
...
.........
...n n
n n n n n n n n
x x x x x x x x x x x x -----
--
)33(- 因此只需计算行列式)33(- 的值.这个行列式)33(- 就称为范德蒙行列式. 并且有)33(-式等于
1()j i i j n
x x ≤<≤-∏
.其中
1()j i i j n
x x ≤<≤-∏
表示12,,...,i i in x x x 这n 个数
码的所有可能(,)j i x x i j -<）因子共2
n c 项的乘积（2n ≥）.
3.2 范德蒙行列式的证法
范德蒙行列式的证明过程能让我们更好地理解范德蒙行列式并对其更好地运用,这里给出了其证明的一般方法及一种比较通用新的方法. 3.2.1 消元法[4]
证明 从第1n -行开始,自上而下每行都乘以1x -后,加到下一行,得
n D =21
31122133112
22
2213311111 (10)
...0()
()
...()......
...
...
...
0()
()...()
n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------
按第一列展开后,再依次从各列提出公因子211,...,n x x x x --,即得
n D =21311()()...()n x x x x x x ---232
22
2
3222
2311...1..................
...n
n n n n n
x x x x x x x x x --- )43(-
等式右端的行列式是一个1n -阶范德蒙行列式,用1n D -表示它,于是由上式得 213111()()...()n n n D x x x x x x D -=---? 同样有 1324222()()...()n n n D x x x x x x D --=---?
此外,2n D -是一个2n -阶的范德蒙行列式,如此继续下去,最后的 21311()()...()n n D x x x x x x =--- 322()...()n x x x x -- ............ 1()n n x x -- 或表示为n D =
1()j i i j n
x x ≤<≤-∏
.
3.2.2 数学归纳法[11] 证明 用数学归纳法 2211
2
11D x x x x =
=-=
12
()j i i j x x ≤<≤-∏
故当2n =时)33(-式成立．假设)33(-式对1n -阶范德蒙行列式成立.现证)33(-式对n 阶范德蒙行列式也成立． 构造一个辅助的n 阶行列式
1
2
1
2
22
21
2
1
1
11
1
121
11...11...()...............
......n n n n n n n x x x x
D x x x x x x x x x -------= )53(- 显然,()()n D x D x = ． 将()D x 按第n 列展开, 得
21123()1...n n n n nn D x A x A x A x A -=?+?+?++?
其中(1,2,...,)in A i n =是行列式)53(-中元素1(1,2,...,)i in a x i n -==的代数余子式, 且不含x ,因此从)53(-式可知()D x 是一个1n -次的多项式, 它的最高次
1n x -的系数是nn A , 按定义知11(1)n n nn n n A D D +--=-=. 另一方面,根据行列式的性
质知121,,...,n x x x - 是()D x 的1n -个根,根据多项式的理论,得 1121()()()...()n n D x D x x x x x x --=--- 取n x x =代入,得 1121()()()...()n n n n n n D x D x x x x x x --=--- 即 1121()()...()n n n n n n D D x x x x x x --=--- 根据归纳假设
111
()n j i i j n D x x -≤<≤-=-∏
因此1()n j i i j n
D x x ≤<≤=
-∏
成立.
3.3 范德蒙行列式的性质
为了使Vandermonde 行列式得到更好地应用,我们将其常用性质列举如下： 性质3.3.1 （推广的性质定理）]7[ 行列式
[1]k D +=12222
121
11
12111
121211...1.........
.........
..................
...n
n k k k n
k k k n n n n
n
x x x x x x x x x x x x x x x ---+++=1212......n k n k
p p p p p p x x x D --?∑
(0,1,2,...,)k n =
其中12,...n k p p p -是1,2,...n 中()n k -个数的一个正序排列.
12...n k
p p p -∑
表示对所有
()n k -阶排列求和.
性质3.3.2 Vandermonde 行列式为零的充分必要条件是12,,,n x x x 中至少
有两个相等.
3.4 范德蒙行列式的翻转与变形.
3.4.1 将Vandermonde 行列式逆时针旋转90,得
11(1)11
2
1
1
111(1)
.........
...1
n n n n n n n n n n x x x x D x x ------=-.
3.4.2 将Vandermonde 行列式顺时针旋转90,得
1
111(1)2
2
2
111(1)
...
...
......
1n n n n n n n
n
x x x x D x x ----=-.
3.4.3 将Vandermonde 行列式旋转180,得
111
1
111.........
...1
1
1n n n n
n n
n
n x x x D x x x -----=
3.5 范德蒙行列式的应用
3.5.1 Vandermonde 行列式在Cramer 法则中的应用. 例3.5.1 设12,,
,n a a a 是互不相同的数,求解下面的方程组
???????=+++=+++=+++----1
1212111221
1211
n n n n n n n n n b x a x a x a b
x a x a x a x x x
.
解 系数行列式为
121
1112
111.........
...n n n n n
a a a D a a a ---=1()j i i j n
a a ≤<≤=
-∏
=
k D 1()j i i j n
a a ≤<≤-∏
,其中b a k =,所以
)())(()1()
())(()(11111k n k k k k k n k k k k a a a a a a a b a b a a b a b D D x --------=
=
+-+- ,n k ,,2,1 =.
3.5.2 如何利用Vandermonde 行列式计算行列式]6[
方法一、所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂,但其方幂次数或其排列与Vandermonde 行列式不完全相同,需利用行列好似性质（如提取公因式,调换各行（列）的次序等）将行列式化为Vandermonde 行列式. 例3.5.2计算
2
2
1
1
1222.........
...n
n n
D n n n =
解 n D 21
21
11111
222!
...............
1n n n n n n --=
!(21)(31)(1)(32)(42)
(2)
[(1)]n n n n n =---?-----
!(1)!(2)!2!1!n n n =?-?-?
方法二、利用行列式性质,改变原行列式中的元素,产生以新元素为行（列）的Vandermonde 行列式.
例3.5.3 计算)1(+n 阶行列式
122
1
111
111111
22
1
2
2222
222
112211
11
11
111
...
.........
...
...
n
n n n n
n
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ------+---++++++++=
,其中0≠i b ,0≠i a （1,,2,1+=n i ）
解 提取1+n D 各行的公因式,得到
1
1111
1
22221121
1()1(
).........
...1
(
)n n n n
n n n n n n n
n
b b a a b b a a D a a a b b a a --+-=?
（Vandermonde 行列式） 上式右端行列式是以新元素1
122
11,,,++n n a b a b a b 为列元素的1+n 阶Vandermonde 行列式,所以
1+n D =12
n n
n n a a a ?
11
(
)j i
i j n j
i
b b a a ≤<≤+-
∏
. 方法三、如n 阶行列式n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成,其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列）,且n D 中含有n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式,那么将n D 的第i 行（列）乘以(1)-加到（1+i ）行（列）,消除一些分行（列）,即可化成Vandermonde 行列式. 例3.5.4 计算行列式
△4=
4
3423
3322
3222
13124243232221214
3
2
1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11
111
????????????????????++++++++++++.
解 在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行,得到
△4=
4
3423
3322
3222
13124243232221214
3
2
1
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111
????????????????????++++++++
在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行,得到一个新的行列式,在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行,得到
△4=
4
33
32
32
134********
321
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1
111
????????????=14(sin sin )j i i j ??≤<≤-∏.
方法四、各行（列）元素均为某一元素的不同方幂,但都缺少同一方幂的行列式,可用各种方法化成Vandermonde 行列式.下面用加边法. 例3.5.5 （缺行Vandermonde 行列式]1[）
121
11,1211112
12
111...
...
...
...
......
......
n
i i i n i n i i i n
n
n n n
x x x D x x x x x x x x x ---+++=.
解 注意此行列式与Vandermonde 行列式的区别在于j x 的幂跳过i j x ,我们自然会想到把缺了的幂补起来,再利用Vandermonde 行列式,故令
1
21121212
1111......
......
...(,,
,,).........
......n
n n i i i i n n
n n n
n
x x x z D x x x z x x x z x x x z +=
=1212()()()(,,
,)n n n z x z x z x D x x x ---?
=12(,,
,)n n D x x x 0
(1)n
n i i n i i z σ--=?-∑.
另一方面,对112(,,
,,)n n D x x x z +按最后一列进行Laplace 展开,可知i z 的代数余
子式是,(1)n i n i D +?-.因此视112(,,
,,)n n D x x x z +为z 的多项式,则,(1)n i n i D +?-应是
i z 的系数,故
,(1)n i n i D +=-?（i
z 的系数）12(,,
,)n i n n D x x x σ-=
=i n -σ1()j i i j n
x x ≤<≤-∏
.
注1
缺行Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或准Vandermonde 行列式.
注2
① 利用此例中的添加一些行和列的方法,还可计算跳过两个幂的超Vandermonde 行列式,及其他行列式.
② 注意当i k x x =时,i n D ,0=,故i n D ,也含因子i k x x =.特别,知
,1212(,,,)(,,,)n i n n n D V x x x f x x x =?.因i n D ,和12(,,,)n n D x x x 都是齐次及对称
多项式[12],故),,,(21n x x x f 应是i n -次齐次对称多项式.按11,,,x x x n n -的次序排列时,i n D ,的首项为`11+-i n n x x x （n D 的首项）,故知f 的首项为`11+-i n n x x x ,由此可得到i n f -=σ.
方法五、行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂,只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1）,而是各行（列）元素的函数,利用行列式性质将这一行（列）元素化为全是1的元素.
例3.5.6 证明△3=b
a a c c
b
c b a c b a
+++22
2
.
证明 将△3的第1行加到第3行上,得到
△3=
c
b a
c b a c b a c b a c
b
a
++++++2
22=2
22
111
)(c b a c b a
c b a ++ ))()()((b c a c a b c b a ---++=. 3.5.3 Vandermonde 行列式在向量空间理论中的应用
在向量空间理论中,我们会经常遇到需要用范德蒙行列式转化的问题,通过转化,我们很容易就能得到需要的结论.
例3.5.7 设y 是数域F 上的n 维向量空间,任给正整数m n ≥,则在V 中存在m 个向量,其中任取n 个向量都线性无关.
证明 因为n V F ?,所以只须在n F 中考虑即可.
取2
1
1(1,2,2,...,2)n α-=
222122(1,2,(2),...,(2))n α-=
...........
21(1,2,(2),...,(2))m m n m m α-=
令1
11
2
2
2
2121211
2(2)...(2)12(2)...(2),......
(1)
2(2)...(2)n
n
n
k k k n k k k n n k k k n D ---=
12(1...)n k k k m ≤≤≤≤≤
1
112
2221
21
21
1
2(2)...(2)12(2)...(2)......
(1)
2(2)...(2)n
n n k k k n k k k
n n k k k n D ---=
是范德蒙行列式,且0n D ≠,
所以12,,...,n k k k ααα线性无关.
3.5.4 Vandermonde 行列式在多项式理论中的应用[8]
在多项式理论中,涉及到求根问题的有许多．在分析有些题目时．范德蒙行列式是能够起到关键的作用的．若范德蒙行列式,则对于我们最终解决问题会有直接的帮助.
例 3.5.8 设011()...n n f x c c x c x =+++,若()f x 至少有1n +个不同的根,则
()0f x =
证明 取121,,...,n x x x +为()f x 的1n +个不同的根,则由齐次线性方程组
2011211201
2222201
1211...0...0.....................0n n n n n n n n n c c x c x c x c c x c x c x c c x c x c x +++?++++
=?
++++=???
?++++=? )63(-
其中01,,...,n c c c 看作未知量.
因为方程组)63(-的系数行列式D 是范德蒙行列式,且1()0j i i j n
D x x ≤<≤=
-≠∏
,所
以方程组)63(-只有零解,从而有01...0n c c c ====,即()f x 是零多项式.
4 总结
本文首先简单回忆了行列式的定义、性质及计算行列式的一些常用方法.然后在行列式的基础上主要研究了行列式的一种特殊形式——Vandermonde 行列式.主要研究内容包括四个方面：一是Vandermonde 行列式的导出；二是Vandermonde
行列式的证明；三是Vandermonde行列式的有关性质；四是Vandermonde行列式的应用.
有关Vandermonde行列式的定义和性质的部分,以前的数学家已经做出了大量的研究和贡献,得到了大量的成果,对Vandermonde行列式的应用,前人的研究已近完备,我的工作就是总结和进一步丰富前人的研究成果,在前人的基础上提出自己的一些想法和见解.由于Vandermonde行列式在数学方面的应用比较广泛,因此我就把大部分的精力放在总结Vandermonde行列式的应用上.另外,本文中给出的Vandermonde行列式的证明及应用能够给初学者提供帮助.
通过这几个月论文撰写,我学到了很多关于Vandermonde行列式的知识,同时也让我明白了认真的重要性,相信这会给我以后的学习和工作带来很大帮助的.
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