第7次课 2次函数
学生姓名 李府祚 年级 九年级 授课时间 2016年4月24日 教师姓名 韦富星 课时 2
【知识点】二次函数
知识点1：通过实例体会二次函数模型的应用 例题：
将一根长为40米的铁丝，折成一个矩形，试写出矩形的面积y 与矩形的一边长x 之间的关系式及x 的取值范围。
知识点2：二次函数的定义
形如c bx ax y ++=2（a ，b ,c 是常数，0≠a ）的函数叫做二次函数。其中x 是自变量，a 、b 、c 分别表达式的二次项系数、一次项系数、常数项。尤其注意三点：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。 例题：
1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是二次函数？
（1）y=3x-1 (2)y=3x 2+1 (3)y=3x 3+2x 2
(4)y=2x 2
-2x+1 (5)y=(x+2)2
-x 2
(6)y=x 2
+x
1
2. m 取哪些值时，函数是以x 为自变量的二次函数？
3.如果1m 3m 2
32+++=++x x y m m ）（是二次函数，试确定m 的值；当函数是一次函数时，m 为何值？
知识点：二次函数y=ax 2
+bx+c(a≠0)的图象与性质：
二次函数y=ax 2
+bx+c(a≠0)的对称轴是a b x 2-=，顶点坐标为)44,2(2
a
b a
c a b --
。 函数
二次函数y=ax 2
+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) 图象
a>0
a<0
性质
(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无
限延伸，顶点是它的最低点.
(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物
线自左向右上升.
(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无
限延伸，顶点
是它的最高
点.
(2)在对称轴直线的左侧，抛物线
自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.
抛物线y=ax 2
+bx+c 中a 、b 、c 的作用
a ，
b ，
c 的代数
式 作用
字母的符号
图象的特征
a
1. 决定抛物线的开口方向；
2. 决定增减性
a>0 开口向上 a<0 开口向下 c
决定抛物线与y 轴交点的位置，交点坐标为(0，c) c>0 交点在x 轴上方 c=0 抛物线过原点 c<0 交点在x 轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
直线
ab>0 对称轴在y 轴左侧 ab<0
对称轴在y 轴右侧
考点一 求二次函数的顶点及对称轴 1.二次函数2
5
212-+-=x x y 的图象的顶点坐标为，对称轴为
2.二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点坐标是（3 ，4），则c b ?等于
考点二 抛物线c bx ax y ++=2的位置与系数a 、b 、c 的关系
二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是 A ．a ＜0 B.abc ＞0
C.c b a ++＞0
D.ac b 42-＞0
已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：
①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①a ＞0.
②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是A ．3 B ．2C ．1D ．0
O
已知二次函数y=ax 2
+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，
下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0， 其中正确结论的个数为（）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
考点四 二次函数的综合应用
1. 已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ▲ ）
2. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）
3.在同一直角坐标系中，函数y
mx m =+和函数22
2y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠
）的图象可能．．
是
0≠a ax y =2ax y =2
y ax bx c =++2
4y bx b ac =+-a b c
y x
++=
A C ． D
x
x
x
x
x
4.如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E
关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
5.如图，已知二次函数221y x x =--的图象的顶点为A ．二次函数2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数221y x x =--的图象的对称轴上． （1）求点A 与点C 的坐标；
（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数2y ax bx =+的关系式．
高中数学二次函数分类讨论经典例题
例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。
解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(
高一数学函数总结大全
一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
常用计算公式和函数
公式运用： 请在注册后使用：音视频转换工具软件 名称: crsky 注册码: WHAT-DOYO-UWAN-TTOD-00CE-58F8-5D10-2F1A 常用公式： 一、 1：求和:SUM 可以利用来算一行或一列数字的总和。如算总分。 2：求平均数:average 可以利用来算一行或一列数字的平均值。如算平均分 3：求非空单元格的个数:counta /count 可以利用来算一行或一列（有内容/有数字）的单元格个数。如算参加考试的学生数。4：求满足条件的非空单元格的个数:countif 可以利用来算一行或一列有内容的同时又满足某个条件的单元格个数。如算满足60分以上的学生人数，即及格人数。 5：标准差:STDEVP 可以利用来算一行或一列数字的标准差。标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。反映学生的分数分化差异。 二、自由公式的运用 1.加减乘除四则运算：电脑键盘的右边，小键盘上有。 加：+ （如：=A1+A2)也可: =5+5 减：- （如：=A1-A2)也可: =5-5 乘：* （如：=A1*A2)也可: =5*5 除：/ （如：=A1/A2)也可: =5/5 2.组合公式运算： A.算及格率：组合公式原理：知道及格人数和总人数。利用及格人数除以总人数 及格人数公式：countif来计算。=COUNTIF（A1：A50，”>=60”) 总人数：可以手写如50，也可以counta来算。 公式组合：= COUNTIF（A1：A50，”>=60”)/ counta（A1：A50） B.算优秀率：组合公式原理：知道优秀人数和总人数。利用优秀人数除以总人数 优秀人数公式：countif来计算。 总人数：可以手写如50，也可以counta来算。 公式组合：= COUNTIF（A1：A50，”>=80”)/ counta（A1：A50） C.算难度系数：组合公式原理：知道平均分和总分。利用平均分除以总分 平均分公式：average来计算。 总分：试卷小题有标注，如3分 公式组合：= average （A1：A50)/ 3 D.选择题选A率：组合公式原理：知道选择了A的总数和班级总人数。利用选择了A的总数除以班级总人数 选择A的总数公式：countif来计算。
高中数学函数概念
函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．
公式与函数基本操作
第1章 公式与函数基本操作 本章导读 Excel 中的公式与函数在数据的计算与分析中发挥着重要的作用，众多的数据计算都需要使用计算公式来完成，而在公式中使用特定的函数可以简化公式的输入，同时完成一些特定的计算需求。 本章将主要介绍一些关于公式与函数的基本操作，以及一些比较常见的公式与函数的应用技巧。 1.1 Excel 公式的基本操作 公式是对工作表中的数据进行计算和操作的工具。通常，一个公式中包括的元素有很多，例如，运算符、单元格引用、值或常量、工作表函数及其参数以及括号等。 1.1.1 公式的输入与编辑 通常情况下，公式都是以等号(=)开始的，当在一个空白单元格中输入等号时，会默认为是在输入一个公式。 下面以生产费用合计为例来介绍如何在表格中输入一个公式，具体步骤如下。 (1) 输入公式的起始标志，单击需要输入公式的单元格E12，然后输入“=”。这时在 左下角的状态栏中会显示“输入”二字，如图1.1所示。
Excel数据分析与图表应用案例精粹 图1.1 输入状态 虽然通常公式都是以等号(=)开始的，但Excel辅助功能允许以加号(+)或减号(- )为起始输入公式，在公式输入完毕后，系统会自动在公式前面加上等号。 (2) 单元格引用。在公式中引用单元格的方式有两种，一种是直接输入单元格地址， 另一种是单击需要引用的单元格。例如，单击单元格E8，然后输入“+”，再单 击单元格E9，此时可以发现，被引用的单元格四周会显示有颜色的方框，继续选 择需要参与计算的单元格，最后单击的单元格会显示为虚框，同时在公式编辑栏 中也会显示公式的内容，如图1.2所示。 图1.2 公式中的单元格引用 (3) 显示公式运算结果。完成公式输入后按Enter键，单元格中将会显示公式的运算结 果，如图1.3所示。但在公式编辑栏中仍会显示公式的代码。 2
(完整版)高一数学函数试题及答案
（数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<
公式与函数的应用
公式与函数的应用 (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、 (总题数：1，分数：100.00) 1.说明：对于以下测试题，可以打开“销售统计表.xls”、“销量核实表.xls”和“水果销售表.xls”(光盘：/素材/第3章)作为练习环境，或通过光盘中的模拟练习(光盘：/模拟练习/第3章/第1～21题)板块进行测试，并通过光盘中的试题精解(光盘：/试题精解/第3章/第1～21题)模块观看答题演示。 第1题用编辑栏计算“销售统计表”中李建国6月份的剩余任务。 第2题利用复制数据的方法，将“6月统计”工作表中E5单元格的公式相对引用到E8单元格中。 第3题将“6月份统计”工作表中E5单元格的公式绝对引用到E6单元格中。(列标不变，符号自动变化。) 第4题将“6月份统计”工作表中E5单元格的公式混合引用到E6单元格中。 第5题在当前工作表的G5单元格中利用直接输入法计算“6月统计”工作表中的E5单元格和“5月剩余”工作表中B5单元格的和。 第6题利用鼠标单击法在H5单元格中求出引用“Book2”工作簿中“Sheet1”工作表中的A1单元格的值与“6月统计”工作表中G5单元格的值之和。 第7题利用自动求和按钮求出“08年度”工作表中“内存”的总和。 第8题利用自动计算功能求出“08年度”工作表中主板的最小值。 第9题在G16单元格中，利用“插入函数”对话框求G3:G14单元格区域的平均值。 第10题通过函数计算E3:E14单元格区域的总和，并将计算结果显示在E15单元格中。 第11题在F16单元格中利用函数计算出F3:F14单元格区域的平均值。 第12题利用函数计算“6月统计”工作表中A3:D23单元格区域中内容为数字的单元格个数，并将结果显示在C25单元格中。 第13题通过菜单命令插入函数，计算“6月统计”工作表中B3:B23单元格区域中的最大值，结果显示在B24单元格中。 第14题在“6月统计”工作表中，插入函数并计算C3:C23单元格区域中的最小值，填充在C24单元格中。第15题在当前工作表的A19单元格中计算22:00到08:00期间相差的时间。 第16题用函数统计“销量核实表”的B2:G14这一区域中值大于30的单元格个数，并将结果显示在115单元格中。 第17题利用菜单命令插入函数，对“08年度”工作表中“18.80”数字取整并将结果显示在114单元格中。第18题在“08年度”工作表的13单元格中，利用手工输入函数将G3单元格的数值四舍五入后保留一位小数。 第19题在“销量核实表”的B15:G15单元格区域中通过嵌套函数判断，当总和大于320时显示总和值，否则显示“差”，利用“插入函数”对话框实现计算。 第20题利用工具按钮插入函数，在I3:I14单元格区域中添加本月总和评价，要求本月总和低于或等于180为“良”，高于180为“优”，拖动鼠标填充其他月份的总和。 第21题利用函数查找单价为4.5的水果，结果填充在C4单元格中。 （分数：100.00） __________________________________________________________________________________________ 解析：
高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题
第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课： 二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧 密关系，提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）双根式： 求二次函数解析式的方法： ○1已知时，宜用一般式○2已知时，常使用顶点式○3已知时，用双根式更方便 2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。 （1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当a b x 2- =时，函数有最 值为 （2）当0x f ， 当 时，恒有 ()0. 第二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义 域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切） 电子表格常用函数公式及用法 1、求和公式： =SUM(A2:A50) ——对A2到A50这一区域进行求和； 2、平均数公式： =AVERAGE(A2:A56) ——对A2到A56这一区域求平均数； 3、最高分： =MAX(A2:A56) ——求A2到A56区域（55名学生）的最高分；4、最低分： =MIN(A2:A56) ——求A2到A56区域（55名学生）的最低分； 5、等级： =IF(A2>=90,"优",IF(A2>=80,"良",IF(A2>=60,"及格","不及格"))) 6、男女人数统计： =COUNTIF(D1:D15,"男") ——统计男生人数 =COUNTIF(D1:D15,"女") ——统计女生人数 7、分数段人数统计： 方法一： 求A2到A56区域100分人数：=COUNTIF(A2:A56,"100") 求A2到A56区域60分以下的人数；=COUNTIF(A2:A56,"<60") 求A2到A56区域大于等于90分的人数；=COUNTIF(A2:A56,">=90") 求A2到A56区域大于等于80分而小于90分的人数； =COUNTIF(A1:A29,">=80")-COUNTIF(A1:A29," =90") 求A2到A56区域大于等于60分而小于80分的人数； =COUNTIF(A1:A29,">=80")-COUNTIF(A1:A29," =90") 方法二： （1）=COUNTIF(A2:A56,"100") ——求A2到A56区域100分的人数；假设把结果存放于A57单元格； （2）=COUNTIF(A2:A56,">=95")－A57 ——求A2到A56区域大于等于95而小于100分的人数；假设把结果存放于A58单元格；（3）=COUNTIF(A2:A56,">=90")－SUM(A57:A58) ——求A2到A56区域大于等于90而小于95分的人数；假设把结果存放于A59单元格； （4）=COUNTIF(A2:A56,">=85")－SUM(A57:A59) ——求A2到A56区域大于等于85而小于90分的人数； …… 8、求A2到A56区域优秀率：=(COUNTIF(A2:A56,">=90"))/55*100 9、求A2到A56区域及格率：=(COUNTIF(A2:A56,">=60"))/55*100 10、排名公式： =RANK(A2，A$2:A$56) ——对55名学生的成绩进行排名； 11、标准差：=STDEV(A2:A56) ——求A2到A56区域(55人)的成绩波动情况（数值越小，说明该班学生间的成绩差异较小，反之，说明该班存在两极分化）； 12、条件求和：=SUMIF(B2:B56,"男"，K2:K56) ——假设B列存放学生的性别，K列存放学生的分数，则此函数返回的结果表示求该班 二、二次函数（命题人：华师附中 郭键） 1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269 x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．（北师大版第52页例2）图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +??= ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性 x y O 高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()()（答： ，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数 x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数 x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ []的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []（答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解 出x 的范围，即为 [])(x g f y =的定义域。 例 若函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ； 所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。 Excel中公式和函数的作用和方法 公式是单个或多个函数的结合运用。 AND “与”运算，返回逻辑值，仅当有参数的结果均为逻辑“真（TRUE）”时返回逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。条件判断 A VERAGE 求出所有参数的算术平均值。数据计算 COLUMN 显示所引用单元格的列标号值。显示位置 CONCA TENATE 将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起，显示在一个单元格中。字符合并 COUNTIF 统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。条件统计 DA TE 给出指定数值的日期。显示日期 DA TEDIF 计算返回两个日期参数的差值。计算天数 DAY 计算参数中指定日期或引用单元格中的日期天数。计算天数 DCOUNT 返回数据库或列表的列中满足指定条件并且包含数字的单元格数目。条件统计FREQUENCY 以一列垂直数组返回某个区域中数据的频率分布。概率计算 IF 根据对指定条件的逻辑判断的真假结果，返回相对应条件触发的计算结果。条件计算INDEX 返回列表或数组中的元素值，此元素由行序号和列序号的索引值进行确定。数据定位 INT 将数值向下取整为最接近的整数。数据计算 ISERROR 用于测试函数式返回的数值是否有错。如果有错，该函数返回TRUE，反之返回FALSE。逻辑判断 LEFT 从一个文本字符串的第一个字符开始，截取指定数目的字符。截取数据 LEN 统计文本字符串中字符数目。字符统计 MATCH 返回在指定方式下与指定数值匹配的数组中元素的相应位置。匹配位置 MAX 求出一组数中的最大值。数据计算 MID 从一个文本字符串的指定位置开始，截取指定数目的字符。字符截取 MIN 求出一组数中的最小值。数据计算 MOD 求出两数相除的余数。数据计算 MONTH 求出指定日期或引用单元格中的日期的月份。日期计算 NOW 给出当前系统日期和时间。显示日期时间 二次函数 知识梳理 知识点1 二次函数的图象和性质 1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝___ ax2＋bx＋c (a≠0)___ ___. ②顶点式：f(x)＝__ a(x－m)2＋n(a≠0)_____ __. ③零点式：f(x)＝___ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)_______________ _. 点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求. ①已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便. 2.二次函数的图象和性质 图象函数性质 a>0 定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 值域 a>0 a<0 y∈[ 4ac－b2 4a ，＋∞)y∈(－∞， 4ac－b2 4a ] a<0 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性 x∈(－∞，－ b 2a ]时递减， x∈[－ b 2a ，＋∞)时递增 x∈(－∞，－ b 2a ] 时递增， x∈[－ b 2a ，＋∞) 时递减 图象特点①对称轴：x＝－ b 2a ； 3.二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2 －4ac >0时，图象与x 轴有两个交点 M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝ Δ |a | . 知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系 当0?<的解集为?或者是R; 当0?=?()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切?20ax bx c ++=有两个相等的实根?2 0(0)ax bx c ++><的解集为?或者是R; 当0?>?()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点?20ax bx c ++=有两个不等的实根? 2 0(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是 (,)(,)αβ-∞+∞U 。 知识点3 一元二次方程20ax bx c ++=实根分布的充要条件 一般地对于含有字母的一元二次方程20ax bx c ++=的实根分布问题，用图象求解，有如下结论： 令()f x =2ax bx c ++（0a >）（同理讨论0a <的结论） (1) x 1<α, x 2<α ,则0/(2)()0b a f αα?≥?? -?; (2) x 1>α, x 2>α,则0 /(2)()0b a f αα?≥??->??>? (3) α 《函数》知识要点和基本方法 1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m 个映射。 2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。 3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。 相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。 5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。 6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。 7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1 引言 本文的作用是为一些想学习excel函数应用却又难以入门的朋友提供一些帮助； 我们假定你已经有了一些excel的使用经验，例如新建一个表格并能够简单的排版，同时你也见过一些公式以及函数，尽管你可能不明白它们的作用和含义； 你的工作需要经常使用表格人并且会遇到数据统计之类的任务，或者见过别人使用公式和函数自己很有兴趣想去了解； 那么你可以每天抽出一点时间去了解基础知识，刚开始的节奏也许会比较慢，正如盖一座大厦，花在打地基的时间会比较多一样，只有基础牢固了，以后才能有更多的进步！ 公式 1、公式是Excel中以等号开头的可以得到一个结果的等式，公式以等号(=)开头，公式中可以包括函数、运算符、引用和常量。 例如：=5+2*3、=Sheet1!$Q$26、=A1>0、=sum(A:A)，等等都是公式。 在Excel的公式中乘号（×）用星号（*）代替，除号（÷）用斜杠（/）代替；乘方运算用符号^（这个符号使用shift和6键即可输入）。 2、公式的创建非常简单，下面以“销售记录表”为例，通过公式计算4个季度的销售总额： 首先选中要填写合计的单元格，然后直接输入公式：=B3+C3+D3+E3 本例使用了单元格直接进行相加。 需要计算合计的单元格都可以按照这个方法进行求和，我们也可以直接将第一个公式向下复制，方法为选中F3单元格，将光标移至F3单元格 右下角，出现十字图标时按住鼠标左键向下拖动至F6单元格，或者直接双击F3单元格右下角复制公式。 3、知道了如何创建和复制公式，我们还需要了解隐藏和保护公式的方法。首先按Ctrl a全选工作表，右键设置单元格格式： 将【保护】中的这两项都不选； 然后选中含有公式的单元格，右键，打开设置单元格格式：高一数学函数的概念及表示方法
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