一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难)
1.|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点O的距离,例如:|3|=|3﹣0|,即|3﹣0|表示3、0在数轴上对应两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|,解决下面问题:
(1)数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是________;数轴上P、Q两点的距离为6,点P表示的数是2,则点Q表示的数是________;
(2)点A在数轴上表示数为x,点B、C在数轴上表示的数分别为多项式2m2n+mn﹣2的常数项和次数.________
①若B、C两点分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时向右运动t秒.当OC =2OB时,求t的值;________
②用含x的绝对值的式子表示点A到点B、点A到点C的距离之和为________,直接写出距离之和的最小值为________.
【答案】(1)3;8或﹣4
(2)解:∵多项式2m2n+mn﹣2的常数项是﹣2,次数是3,
∴点B、C在数轴上表示的数分别为﹣2、3.
;运动t秒,B点表示的数为﹣2+3t,C点表示的数为3+2t,
∵OC=2OB,
∴3+2t=2× ,
∴3+2t=2(﹣2+3t),或3+2t=2(2﹣3t),
解得t=,或t=,
故所求t的值为或
;;5.
【解析】【解答】(1)解:数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是|2﹣(﹣1)|=3;设点Q表示的数是m,则|m﹣2|=6,
解得m=8或﹣4,
即点Q表示的数是8或﹣4.
故答案为3,8或﹣4。(2)解:②AB+AC=|﹣2﹣x|+|3﹣x|,其最小值为5.
故答案为|﹣2﹣x|+|3﹣x|,5.
【分析】(1)根据数轴上A、B两点之间的距离为|AB|=|a?b|,代入数值运用绝对值的性质即可求数轴上表示?1和2的两点之间的距离;设点Q表示的数是m,根据P、Q两点的距离为6列出方程|m?2|=6,解方程即可求解;
(2)根据多项式的常数项与次数的定义求出点B、C在数轴上表示的数;
①根据OC=2OB列出方程,解方程即可求解;
②根据数轴上A、B两点之间的距离为|AB|=|a?b|即可表示AB+AC,然后可得距离之和的最小值.
2.先阅读下面文字,然后按要求解题.
例:1+2+3+…+100=?如果一个一个顺次相加显然太繁,我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点,可以发现运用加法的运算律,是可以大大简化计算,提高计算速度的.
因为1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后,可以很快求出结果.
解:1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)= =5050.
(1)补全例题解题过程;
(2)计算a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…+(a+99b).
【答案】(1)解:101×50
(2)解:原式=50×(2a+99b)=100a+4950b.
【解析】【分析】(1)根据算式可得共有50个101,据此解答即可.
(2)仿照(1)利用加法的交换律和结合律进行计算即可.
3.如图
(1)2020年9月的日历如图1所示,用1×3的长方形框出3个数.如果任意圈出一横行左右相邻的三个数,设最小的数为x,用含x的式子表示这三个数的和为________;如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数,设最小的数为y,用含y的式子表示这三个数的和为________
(2)如图2,用一个2×2的正方形框出4个数,是否存在被框住的4个数的和为96?如果存在,请求出这四个数中的最小的数字;如果不存在,请说明理由
(3)如图2,用一个3×3的正方形框出9个数,在框出的9个数中,记前两行共6个数的和为a1,最后一行3个数的和为a2.若|a1﹣a2|=6,请求出正方形框中位于最中心的数字m的值.
【答案】(1)3x+3;3y+21
(2)解:设所框出的四个数最小的一个为a,则另外三个分别是:(a+1)、(a+7)、(a+8),则
a+(a+1)+(a+7)+(a+8)=96,
解得,a=20,
由图2知,所框出的四个数存在,
故存在被框住的4个数的和为96,其中最小的数为20
(3)解:根据题意得,a1=m+(m﹣1)+(m+1)+(m﹣7)+(m﹣6)+(m﹣8)=6m ﹣21,
a2=(m+7)+(m+6)+(m+8)=3m+21,
∵|a1﹣a2|=6,
∴|(6m﹣21)﹣(3m+21)|=6,即|3m﹣42|=6,
解得,m=12(因12位于最后一竖列,不可能为9数的中间一数,舍去)或m=16,
∴m=16.
【解析】【解答】(1)解:如果任意圈出一横行左右相邻的三个数,设最小的数为x,则三数的和为:
x+(x+1)+(x+2)=x+x+1+x+2=3x+3;
如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数,设最小的数为y,则三数和为:
y+(y+7)+(y+14)=y+y+7+y+14=3y+21.
故答案为:3x+3;3y+21
【分析】(1)由三个数的大小关系,表示另两个数,再求和并化简即可;
(2)设最小数为a,并用a的代数式表示所框出的四个数的和,再根据四个数和为96可列方程,解方程,若方程有符合条件的解,则存在,反之不存在;
(3)且m表示出a1和a2,再由|a1?a2|=6列方程求解.
4.如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5,-2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
(1)求前4个台阶上数的和是多少?
(2)求第5个台阶上的数是多少?
(3)应用求从下到上前31个台阶上数的和.
发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.
【答案】(1)解:由题意得前4个台阶上数的和是-5-2+1+9=3
(2)解:由题意得-2+1+9+x=3,
解得:x=-5,
则第5个台阶上的数x是-5
(3)解:应用:由题意知台阶上的数字是每4个一循环,
∵31÷4=7…3,
∴7×3+1-2-5=15,
即从下到上前31个台阶上数的和为15;
发现:数“1”所在的台阶数为4k-1
【解析】【分析】(1)由台阶上的数求出台阶上数的和即可;(2)根据题意和(1)的值,求出第5个台阶上的数x的值;(3)根据题意知台阶上的数字是每4个一循环,得到从下到上前31个台阶上数的和,得到数“1”所在的台阶数为4k-1.
5.请观察图形,并探究和解决下列问题:
(1)在第n个图形中,每一横行共有________个正方形,每一竖列共有________个正方形;
(2)在铺设第n个图形时,共有________个正方形;
(3)某工人需用黑白两种木板按图铺设地面,如果每块黑板成本为8元,每块白木板成本6元,铺设当n=5的图形时,共需花多少钱购买木板?
【答案】(1)(n+3);(n+2)
(2)(n+2)(n+3)
(3)解:当n=5时,有白木板5×(5+1)=30块,黑木板7×8-30=26块,
共需花费26×8+30×6=388(元).
【解析】【解答】⑴第n个图形的木板的每行有(n+3)个,每列有n+2个,
故答案为:(n+3)、(n+2);
⑵所用木板的总块数(n+2)(n+3),
故答案为:(n+2)(n+3);
【分析】本题主要考查的是探索图形规律,并根据所找到的规律求值;根据所给图形找出正方形个数的规律是解决问题的关键.
6.小明是个爱动脑筋的同学,在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后,突发奇想,将连续的偶数2,4,6,8,…,排成如表,并用一个十字形框架框住其中的五个数,请你仔细观察十字形框架中的数字的规律,并回答下列问题:
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系?
(2)设中间的数为x,用代数式表示十字框中的五个数的和;
(3)若将十字框上下左右移动,可框住另外的五个数,其他五个数的和能等于2016吗?如能,写出这五个数,如不能,说明理由.
【答案】(1)解:十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5,∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍
(2)解:设中间的数为x,则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10,∴十字框中的五个数的和为(x﹣10)+(x+10)+(x﹣2)+(x+2)+x=5x
(3)解:假设能够框出满足条件的五个数,设中间的数为x,根据题意得:5x=2016,解得:x=403.2.∵403.2不是整数,∴假设不成立,∴不能框住五个数,使它们的和等于2016.
【解析】【分析】(1)算出十字框中的五个数的和,即可发现是16的5倍;
(2)设中间的数为x,则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10 ,利用整式加法法则即可算出十字框中的五个数的和;
(3)假设能够框出满足条件的五个数,设中间的数为x ,根据(2)计算的结果及这五个数的和是2016,,列出方程,求解如解是整数即可,不是整数即不可。
7.亚萍做一道数学题,“已知两个多项式,,试求.”其中多项式的二次项系数印刷不清楚
(1)乔亚萍看了答案以后知道,请你替乔亚萍求出多项式的二次项系数;
(2)在(1)的基础上,乔亚萍已经将多项式正确求出,老师又给出了一个多项式,要求乔亚萍求出的结果.乔亚萍在求解时,误把“ ”看成“ ”,结果求出的答案为,请你替乔亚萍求出“ ”的正确答案.
【答案】(1)解:设A的二次项系数为m,
由题意可得
mx2+4x+2(2x2-3x+1)=x2-2x+2
mx2+4x+4x2-6x+2=x2-2x+2
(m+4)x2-2x+2=x2-2x+2
∴m+4=1
解之:m=-3
∴多项式A的二次项系数为-3.
(2)解:∵A+C=x2-5x+2
∴-3x2+4x+C=x2-5x+2
∴C=x2-5x+2-3x2-4x=-2x2-9x+2
∴A-C=-3x2+4x-(-2x2-9x+2)=-3x2+4x+2x2+9x-2=-x2+13x-2
【解析】【分析】(1)设A的二次项系数为M,将其代入可得到mx2+4x+2(2x2-3x+1)=x2-2x+2,就可求出m的值.
(2)根据题意可得到A+C=x2-5x+2,代入求出多项式C,然后求出A-C即可。
8.如图,将连续的奇数1,3,5,7……排成如下的数表,用十字形框框出5个数.
(1)探究规律一:设十字框中间的奇数为x,则框中五个奇数的和用含x的整式表示为________,这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数n(n>1)的倍数,这个正整数n是________;
(2)探究规律二:落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是21,39,57,75,…,则这一组数可以用整式表示为18m+3(m为序数),同样,落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为________;(用含m的式子表示)
(3)运用规律一:已知被十字框框中的五个奇数的和为2025,则十字框中间的奇数是________,这个奇数落在从左往右第________列;
(4)运用规律二:被十字框框中的五个奇数的和可能是2020吗?若能,请求出这五个数:;若不能,请说明理由.
【答案】(1)5x;5
(2)(18m+5)
(3)405;五
(4)这五个数为404、402、406、396、422.
【解析】【解答】解:(1)根据题意,得,
设十字框中间的奇数为x,则框中其它五个奇数为:
x﹣2,x+2,x﹣18,x+18.
∴x+x﹣2+x+2+x﹣18+x+18=5x,
五个奇数的和一定是正整数n(n>1)的倍数,这个正整数n是5.
故答案为:5x、5.
2)因为第二列的一组奇数是21,39,57,75,…
21=1×18+3
39=2×18+3
57=3×18+3
75=4×18+3
∴这一组数可以用整式表示为18m+3(m为序数).
∴落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为(18m+5).
故答案为:(18m+5).
3)根据题意,得
5x=2025
解得:x=405
∴十字框中间的奇数是405.
∵18m+9=405,解得:m=22,
∴405这个奇数落在从左往右第五列.
故答案为:405、五;
4)十字框框中的五个奇数的和可以是2020.理由如下:
5x=2020
解得:x=404,
∴x﹣2=402,x+2=406,x﹣18=396,x+18=422.
答:这五个数为:404、402、406、396、422.
【分析】(1)根据表中数据规律即可列出代数式进而求解;(2)根据第二列的一组奇数的规律即可写出第三列的一组奇数的规律;(3)根据探究规律一和探究规律二所得代数式即可求解;(4)根据探究规律一所得代数式列方程即可求解.
9.观察下列等式:
31-30=2×30,
32-31=2×31,
33-32=2×32,
(1)试写出第个等式,并说明第个等式成立的理由;
(2)计算30+31+32+…+32018+32019的值.
【答案】(1)根据题意得第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1,
证明如下:3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1,所以成立;
(2)31-30=2×30,
32-31=2×31,
33-32=2×32,
…
32019-32018=2×32018
32020-32019=2×32019
将这些等式相加
得(31-30)+(32-31)+(33-32)+…+(32019-32018)+(32020-32019)=2×(30+31+32+…+32018+32019)
故32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019)
∴30+31+32+…+32018+32019=
【解析】【分析】(1)通过观察即可发现:等式的左边是一个减法算式,被减数的底数是3,指数与等式的序号一致,减数的底数也是3,指数比等式的序号小1;等式的右边是一个乘法算式,一个因数是2 ,另一个因数与左边的减数一致,利用发现的规律即可得出通用公式:第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1;
(2)利用(1)发现的规律得出 31-30=2×30,32-31=2×31,33-32=2×32,…32019-32018=2×32018,32020-32019=2×32019根据等式的性质,将这些等式直接相加,得出32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019) ,从而根据等式的性质即可得出答案。
10.如图:在数轴上A点表示数,B点示数,C点表示数c,b是最小的正整数,
且a、b满足|a+2|+ (c-7)2=0.
(1)a=________,b=________,c=________;
(2)若将数轴折叠,使得A点与C点重合,则点B与数________表示的点重合;
(3)点A.B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点A与点B之间的距离表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C 之间的距离表示为BC.
则AB=________,AC=________,BC=________.(用含t的代数式表示)
(4)请问:3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
【答案】(1)-2;1;7
(2)4
(3)3t+3;5t+9;2t+6
(4)解:不变.
3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=12
【解析】【解答】解:(1)∵|a+2|+(c-7)2=0,
∴a+2=0,c-7=0,
解得a=-2,c=7,
∵b是最小的正整数,
∴b=1;
故答案为:-2,1,7.
( 2 )(7+2)÷2=4.5,
对称点为7-4.5=2.5,2.5+(2.5-1)=4;
故答案为:4.
( 3 )AB=t+2t+3=3t+3,AC=t+4t+9=5t+9,BC=2t+6;
故答案为:3t+3,5t+9,2t+6.
【分析】(1)根据绝对值的非负性,偶次幂的非负性,由几个非负数的和为0,则这几个数都为0,列出方程组a+2=0,c-7=0,求解得出a,c的值,再根据最小的正整数是1,得出b的值;
(2)根据(1)可知A、C两点间的距离为2+7=9,根据折叠的性质得出折迹处到A、C两点的距离是(7+2)÷2=4.5,折叠处表示的数是7-4.5=2.5,B点距离折叠处的距离是 2.5-1=1.5,根据对称的性质即可得出与点B重合的点所表示的数是2.5+1.5=4;
(3)根据路程等于速度乘以时间得出:A点运动的路程为t,B点运动的路程为2t,C点运动的路程为4t,由AB=A点运动的路程加上B点运动的路程再加上一开始AB两点间的距离得出AB=t+2t+3=3t+3,由AC=A点运动的路程加上C点运动的路程再加上一开始AC两点间的距离得出AC=t+4t+9=5t+9,由BC=C点运动的路程减去B点运动的路程再加上一开始BC两点间的距离得出BC=4t-2t+6=2t+6;
(4)将(3)中得出的BC,AB的长度分别代入3BC-2AB ,即可列出一个整式的加减法算式,再去括号合并同类项后发现是一个常数,于是得出 3BC-2AB 的值与字母t无关。
11.如图(1)是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图(2)中的阴影部分的正方形边长是多少?
(2)请用两种不同的方法求图(2)阴影部分的面积;
(3)观察图(2),你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
三个代数式:(m+n)2,(m﹣n)2, mn.
(4)根据第(3)题中的等量关系,解决下列问题:若a+b=7, ab=5,求(a﹣b)2的值.
【答案】(1)解:图(2)中的阴影部分的正方形边长是:m-n
(2)解:方法(1):图(2)阴影部分的面积=(m-n)2;
方法(2):图(2)阴影部分的面积=(m+n)2-4mn;
(3)解:(m+n)2=(m﹣n)2+4mn,或(m-n)2=(m+n)2-4mn,或(m+n)2-(m﹣n)2=4mn。
(4)解:∵(a﹣b)2=(a+b)2-4ab,a+b=7, ab=5,
∴(a﹣b)2=72-4×5=29.
【解析】【分析】(1)通过图形观察即可得出:图(2)中的阴影部分的正方形边长是:m-n;
(2)方法(1)利用正方形的面积等于边长的平方可以直接得出;方法(2)利用大正方形的面积减去4个小矩形的面积可以算出;
(3)根据用两种不同的方法表示同一个图形的面积,其结果应该相等即可得出;再根据等式的性质即可得出其它积中情况;
(4)利用(3)的关系式,整体代入即可得出答案。
12.小明拿扑克牌若干张变魔术,将这些扑克牌平均分成三份,分别放在左边,中间,右边,第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中,第二次从右边一堆中拿出一张放在中间一堆中,第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中,使左边的扑克牌张数是最初的2倍.
(1)如一开始每份放的牌都是8张,按这个规则魔术,你认为最后中间一堆剩________张牌?
(2)此时,小慧立即对小明说:“你不要再变这个魔术了,只要一开始每份放任意相同张数的牌(每堆牌不少于两张),我就知道最后中间一堆剩几张牌了,我想到了其中的奥秘!”请你帮小慧揭开这个奥秘.(要求:用所学的知识写出揭秘的过程)
【答案】(1)1
(2)解:不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数,按这样的游戏规则,最后中间一堆只剩1张扑克牌.理由是:设一开始每堆扑克牌都是x张,按这样的游戏规则:第一次:左边,中间,右边的扑克牌分别是(x-2)张,(x+2)张,x张;第二次:左边,中间,右边的扑克牌分别是(x-2)张,(x+3)张,(x-1)张,第三次:若中间一堆中拿y张扑克牌到左边,此时左边有(x-2)+y=2x张;即:y=2x-(x-2)=(x+2)张,所以,这时中间一堆剩(x+3)-y=(x+3)-(x+2)=1张扑克牌,所以,最后中间一堆只剩1张扑克牌.【解析】【解答】解:(1)设每份x张,第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中,由题意列等式的x-2+y=2x,
解得y=x+2,
即y是x的一次函数,
当x=8时,y=10,
把x=8,y=10代入x+2-y+1=1.
最后中间一堆剩1张牌,
故答案为:1;
【分析】(1)设每份x张,第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中,第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中左边一堆剩x-2张,第二次左边的牌的数量没有发生变化,第三次从中间一堆中拿出y张放在左边一堆中,左边一堆中共有(x-2+y)张,又第三次后左边的扑克牌张数是最初的2倍.从而列出方程,然后举哀那个x=8代入即可算出y 的值,进而即可得出答案;
(2)不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数,按这样的游戏规则,最后中间一堆只剩1张扑克牌.理由是:设一开始每堆扑克牌都是x张,分别写出第一次,第二次,第三次左边、中间、右边的牌的数量,然后根据题意列出方程,求解即可。