高等数学习题详解-第8章 二重积分
习题8-1
1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D
m x y d μσ=??.
2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()D
x y d σ+??与3
()D
x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；
(2)
ln()D
x y d σ+??与2
ln()D
x y d σ+?
?????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.
解：(1)在D 内，()()23
01x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D
D
x y d x y d σσ+≥+????.
(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2
ln()[ln()]D
D
x y d x y d σσ+≥+????
习题8-2
1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：
(1) ()D
x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；
(2) (32)D
x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；
(3) 22()D
x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；
(4) 2D
x yd σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；
(5) ln D
x yd σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；
(6) 22D
x d σ
y ??其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域.
解：(1) 111
1
1
1
()()20.D
x y d dx x y dy xdx σ---+=+==?????
(2) 222
20
(32)(32)[3(2)(2)]x
D
x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????
?
2232022
20[224]4.33
0x x dx x x x =-++=-++=?
(3) 32
2
2
2
2
2
2
00193()()(
)248y
y D
y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-?????
43219113.9686
0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.D
x yd σ=??
(5) 4420104
1ln ln (ln ln )2(1)2110e D
e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-=
=-?????. (6) 1222241113
11
122222
119()()124642
x D
x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=??
????.
2. 将二重积分(,)D
f x y d σ??化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：
(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域； (3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x
=所围成的闭区域；
(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1
2
2120
1
(,)(,)(,).x
x y y
dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=????
??
(2) 2
441
4
(,)(,).y x
y dx f x y dy dy f x y dx =??
??
(3) 1222
2
1111
1
2
(,)(,)(,).x
y
y
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=??????
(4)
21111
(,)(,).x
dx f x y dy dy f x y dx -=???
3. 交换下列二次积分的积分次序：
(1) 1
(,)y
dy f x y dx ??； （2）22
20(,)y
y
dy f x y dx ??；
(3) ln 10(,)e x
dx f x y dy ??
； (4) 12330
1
(,)(,)y y
dy f x y dx dy f x y dx -+????
.
解：(1) 11
1
(,)(,)y
x
dy f x y dx dx f x y dy =????.
(2) 22240
2(,)(,).y x y
dy f x y dx dx f x y dy =????
(3) ln 1
1
(,)(,)y e x
e
e
dx f x y dy dy f x y dx =??
??
(4) 1233230
1
2
(,)(,)(,)y
y
x
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=??
??
??.
4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.
解：111
00037(623)(62).22
V dx x y dy x dx =--=--=???
5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.
解：3111222
000(1)34(6)[6(1)(1)).312
x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=???
习题8-3 1. 画出积分区域，把二重积分(,)D
f x y d σ??化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D
是：
(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；
(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20
(,)(cos ,sin ).a
D
f x y d d f r r rdr πσθθθ=??
??
(2) 2cos 20
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr π
θ
πσθθθ-=??
??
(3) 22
1
(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=??
??
(4)
12
cos sin 0
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr πθθ
σθθθ+=???
?
2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
(1)
220
)a
dy x y dx +?
；
(2)
21
;x
x
dx ?
?
解：
(1)
442
2
3
20
)248a
a
a a dy x y dx d r dr πππθ+==?=
?
??
.
(2) 2sin 31244cos 6000
01sin 3cos x x dx d r dr d π
θπ
θθθθθ
==?????
2444
66400011c o s 111(c o s )[(c o s )(c o s )]
cos cos cos d d d πππθθθθθθ
θ-=-=--???
531cos cos 4()3530
π
θθ--=--
+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分： (1) 2
2
x
y D
e d σ+??,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；
(2) 2
2ln(1)D
x
y d σ++??,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域；
(3)
arctan
D
y
d σx
??，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；
(4)
D
σ其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.
解：(1) 2
2
2
221001
12(1).20
x
y r r D
e d d e rdr e e πσθππ+==?=-????
(2) 23
1
1
22
222
01ln(1)ln(1)[ln(1)]22
01D
r r x y d d r rdr r dr r π
πσθ++=+=
+-
+?????
2
12
(1)[ln 22](2ln 21)4
4
1r r r dr r
ππ+-=-=-+?. (3) 22224
4010133arctan arctan(tan ).32264D
y d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=?==
?=??????
(4)
D
σ
3
cos 2220
2
2cos 12()230
R R d R r d π
πθ
ππθθθ--==--??? 333
3221(s i n )33
R R R d π
ππθθ-=--=?.
4. 求由曲面z =x 2+y 2
与z .
解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：
2122200()]().6D
V x y d d r r rdr ππσθ=+=-=????
习题8-4
1. 计算反常二重积分()x y D
e dx dy -+??，其中D ：x ≥0,y ≥x .
2. 计算反常二重积分222
()
D
dx dy
x y +??
，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.
2220
1()2
a a
a
a
x y
x x a
a
a x
e dx e
dy e
e
dx e e ---------=-=-+-?
??
所以2()
211
lim ().22
a x y a a a D
e e
dxdy e e --+--→+∞-=-+-=??
2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-??，得222211lim 2().2()2R D
dxdy x y R ππ→+∞=-=+??
复习题8
（A ）
1. 将二重积分d d (,)D
f x y x y ??化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：
(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 1
2
2
1
1
2
2
1
(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=????
(2) 24400
4
(,)(,).y
y x
dx f x y dy dy f x y dx =??
??
2. 交换下列两次积分的次序：
(1)d d 1
0(,)y
y f x y x ?;
(2)d d 20
(,)a x f x y y ?;
(3)d d +d d 1
2
20
1
(,)(,)x
x
x f x y y x f x y y -????．
解：(1)
21
1
d (,)d d (,)d x y
x
y f x y x x f x y y =?
??.
(2) 200
d (,)d d (,)d a
a
a a x f x y y y f x y x =???
.
(3)
1
2
21
20
1
d (,)d +d (,)d d (,)d x
x
y y
x f x y y x f x y y y f x y x --=?
?????
.
3. 计算下列二重积分：
(1) e d x y D
σ+??， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;
(2) d d 2D
x y x y ??,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；
(3) d d (1)D
x x y -??,D 由y =x 和y =x ３
围成；
(4) d d 22()D
x y x y +??，D :︱x ︱+︱y ︱≤1;
(5) d 1
sin D
y σy ??，D 由22y x π=与y =x 围成；
(6) d (4)D
x y σ--??，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；
解: (1)
111
11112111
11e d ()()()1
x y x y x x x x D
dx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--?????.
(2) 532
22242
1
1
121129d d ()()225315
1x
D
x x x y x y dx x ydy x x dx ==
-=-=?????. (3) 3112430011117
(1)d d (1)()325460x x D
x x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-?????.
(4)
1122
220
()d d 4()x
D
x y x y dx x y dy -+=+????
33241
2
0141212
4(2)4()3332333
0x x x x x x dx x =--+=--+=?.
(5) 2
2
2200sin 12sin d (sin sin )y y D
y y dy dx y y y dy y y πππσπ==-????? 22
2
2
2
2sin (cos )1(cos sin )10
ydy yd y y y y π
ππ
πππ
=+
=+
-=-??
. (6)
3
222
(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3
R D
R x y d r r rdr R d π
πσθθθθθθ--=--=-+???
??
3
2
22[2(sin cos )]430
R R R πθθθπ=--=. 4. 已知反常二重积分e d 2
y D
x σ-??收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一
象限所围成的区域．
解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则
2
2
22220
0015555e
d ()236144144144a
a
a a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==
?=--=-?????. 所以2
2
5
e d lim
e d 144
a
y y
a D
D x x σσ--→+∞
==????. 5. 计算e d 2
x x +∞
--∞
?．
解：由第四节例2以及2
y =e x -
是偶函数，可知2
e d x x +∞
--∞
=?6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．
解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：
222220016
(4)d d (4)2(8)8D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=????.
7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线e
y x 1=．
(1) 求由曲线y =ln x ，直线e
y x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；
(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．
解：(1) 1ln (ln )12221e e e e
e S xdx x x x =-=--=-?.
(2) 2211200
13()()2220y y e y y y y y y e e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-???.
（B ）
1. 交换积分次序：
(1) 31
1
(,)x
x
dx f x y dy -??； （2）0
11
2
(,)y dy f x y dx --??
；
(3) 2
24(,)x x f x y dy -?
；
(4) 1
10
(,)dx x y dy ?.
解：
(1) 31
1
1
(,)(,)x
x
y
dx f x y dy dy f x y dx -=???.
(2) 0110
1
2
2
1(,)(,)y
x
dy f x y dx dx f x y dy ---=??
??
.
(3) 2
2
42402
(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+???.
(4) 2
1
112
1
(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+???
?.
2. 计算积分2
1
2
2
x x
x
dx dy x y +??.
解：222
sin sin 144cos cos 222
0000cos cos x
x
x r dx dy d rdr d dr x y r πθπθ
θθθθθθ==+?????? 4
sin ln 2
4(ln cos )cos 2
0d ππ
θθθθ==-=?. 3. 计算积分1
12
2
01y
y dy dx x y ++??
.
解：111
114cos 4cos cos 22
22
00
000sin sin [sin ]111y
y r dy dx d rdr d dr dr x y r r π
πθ
θθθθθθθ==-++++??
??
??? 4
4001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d π
π
θθθθθθ=-?=+??
令cos t θ=,则
原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222
dt dt t t t t t =+=+=+++
ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=---.
4. 设函数f (x )在区间0,1????上连续，且1
()f x dx A =?，求1
1
()()x
dx f x f y dy ??.
解：设1
'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=?，则.
1
1111
()()()[(1)()](1)()()(())x
dx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-?
????
21()111
(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)2222
0F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--
2
1[(1)(0)]22
A A F F =-=
. 5. 计算2D x yd σ??，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2=1所围成的闭区域.
解：1
1
2
220
22(13D
x yd dy ydx y y σ==
+????
35
122222011122(1)(1)(1)1)33515
0y d y y =++=?+=?. 6. 计算2
22
y x
dx e dy ??.
解：2222222240000211
(1)22
0y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-?????.
7. 证明21
1()()d ()()d 1b x
b n n a
a
a
dx x y f y y b y f y y n ---=
--???，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()b
x
b
b n n a
a
a
y
dx x y f y y dy x y f y dx ---=-????
1
1
()()1
b n b y
a
x y f y dy n -=--?
11()()d 1b
n a
b y f y y n -=
--?
二重积分学习总结
高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日
二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高等数学二重积分总结
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。
高数下要点含微分方程自己的完整版
高数下要点含微分方程 自己的 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第六章 微分方程 一、一阶微分方程 1、一阶线性方程 )()(x Q y x P dx dy =+ 2、伯努利方程 )1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x y n ).()(d d 1111x Q y x P x y n n n =+?---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程 1．)() (x f y n = n 次积分 2．)',("y x f y = 不显含 y 令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。 3．)',("y y f y = 不显含自变量 令)('y p y =，dy dp p dx y d =22，化为一阶方程。 三、线性微分方程 )()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- ， 0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。
1．二阶线性齐次线性方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y （1） 如果函数 )(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解， 则)()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。 如果 )(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解, 则 )()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解. 两个函数 )(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为 C x y x y ≡/) () (21（常数） 2．二阶线性非齐次线性方程 设 )(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+'' 的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则 )()(*x y x Y y += 是该方程的 通解. 设 )(* 1x y 与)(*2 x y 分别是二阶线性非齐次方程 )()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的两个特解。则 +)(*1x y )(*2x y 是 的特解。（叠加原理）
高等数学微积分总结
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
高数下第6讲：二重积分
高数下第6讲：二重积分 围成；是由圆周其中积分区域与围成；轴与直线轴，是由其中积分区域与的大小： 根据性质比较下列积分2)1()2(,)()()2(1,)()()1(.1223232=-+-++=+++????????y x D d y x d y x y x y x D d y x d y x D D D D σσσσ ; 4,)10()3(; 4,)43()2(; 20,10,)1()1(.2222222≤+++=≤+++=≤≤≤≤++=??????y x D d y x I y x D d y x I y x D d y x I D D D 是圆域其中积分区域是圆域其中积分区域是矩形域其中积分区域的值： 根据性质估计下列积分σσσ 使，求证必存在一点且上连续在有界闭区域与设),,(0),(,),(),(.3ηξ≥y x g D y x g y x f ????=D D dxdy y x g f dxdy y x g y x f ),(),(),(),(ηξ
??????????????????-----+-++103130204024411100sin 0012 2102 2 01 0110 ),(),()7(),()6(),()5(),()4(),(),()3(),()2(;),()1(.422y y y y x x x x x x y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dx y x f dy π；交换积分次序： 所围成的区域。 及是由其中为圆域其中分根据对称性计算二重积12,,)()2(; ,)1(: .522222===+=≤+-????y x y x y D d y x I R y x D d y R x D D σσ
高等数学习题详解-第8章二重积分
习题8-1 1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D m x y d μσ=??. 2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()D x y d σ+??与3()D x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1 围成； (2) ln()D x y d σ+??与2 ln()D x y d σ+??????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)， C (2，0）为顶点的三角形闭区域. 解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D D x y d x y d σσ+≥+????. (2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2 ln()[ln()]D D x y d x y d σσ+≥+???? 习题8-2 1. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤； (2) (32)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭
区域； (3) 22()D x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区 域； (4) 2 D x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln D x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ； (6) 22D x d σy ??其中D 是由曲线11,,2 xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111 111()()20.D x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 222 200 (32)(32)[3(2)(2)]x D x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????? 2232022 20[224]4.33 0x x dx x x x =-++=-++=? (3) 32 2 2 2 2 2 2 002193()()()248y y D y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-????? 43219113 .9686 0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称， 所以20.D x yd σ=?? (5) 44 201041ln ln (ln ln )2(1)2110 e D e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学教案 第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准 线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。 当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我 们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。 图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。 当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二）二重积分的定义 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥； (2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答：(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤； (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) D σ，其中D 为222x y a +≤； (2) (D b σ??，其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答：(1) 32 π3D a σ=； (2) 232 (ππ3D b a b a σ=-?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且 (,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D Q x y μσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D p g x ρσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1) 21()d D I x y σ=+??与32()d D I x y σ=+??，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2) 1ln(1)d D I x y σ=++??与222ln(1)d D I x y σ=++??，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； (3) 21sin ()d D I x y σ=+??与22()d D I x y σ=+??，其中D 是任一平面有界闭区域； (4) 1e d xy D I σ=??与22e d xy D I σ=??，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2； (2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4) D I D x y x y x y σ ==≤≤≤≤++?? ； (2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ? ?=+=≤+≤??????； (3) 22 1 d ,{(,)|||||1}100cos cos D I D x y x y x y σ==+≤++?? ； (4) 2 2 221e d ,(,)4x y D I D x y x y σ+? ?==+≤??? ??? 一、 微分学计算题 1、设二元函数)ln(y x x z +=，则y x z ???2=_________. 2、函数y x z =在点(2, 1)处的全微分d z =____________________. 3、三元函数zx yz xy u ++=的全微分为 。 4、设),(t s f 可微，),(2322y x y x f u -=，求x u ??、y u ??。 5、设),(y x f z =由方程y z z x ln =所确定,求偏导数.,y z x z ???? 6、设)(22xy x y z ?+=，?为可微的函数，求证02322=+??-??y y z xy x z x 7、求函数x y x y x z 9332233-++-=的极值。 8、已知 2242(3),x y Z Z Z x y x y +??=+??设求 和 二、积分学计算题 1、交换二次积分??x x dy y x f dx 2),(10的顺序，??x x dy y x f dx 2 ),(10= 2、二次积分的顺序，??-=x dy y x f dx 1010),( 3、计算二重积分dxdy y x D ??22，其中D 是曲线x y =、1=xy 及2=x 围成。 4、计算2d d D xy x y ??，其中D 是由直线y =x , x =1及y =0围成的区域． 5、求由曲线轴轴和及 3,4,2y x x y x y ===围成的平面图形的面积. 6、求抛物线y x 22=与直线4-=y x 所围成的平面图形的面积。 7、已知生产某产品x 单位的边际收入为x x R 2100)(-='（元/单位），求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再多生产10单位时所增加的总收入。 三、1、求方程2/5)1(12+=+-x x y dx dy 的通解及满足条件00==x y 的特解. 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 第九章 二重积分 【本章逻辑框架】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点 (,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各 小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲 顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分 (,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上 的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ???，同时用i σ?表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ?和()j i j σ?≠除边界外无公共点。 i σ?既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈? ,作和式1 (,).n i i i i f ξησ=?∑ 取极限 若i λ为i σ?的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0 1 lim (,)n i i i i f λξησ→=?∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为高数教案第十章重积分
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