高中数学典型例题解析第四章数列

第四章 数列
§4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这 个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示， 则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系 逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
ab
ab
8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝
．我们把Ａ＝
叫做ａ和ｂ的等差中项．
2
2
二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是
不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2， 3，…，n｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛an｝的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系：an SS1n Sn1
(n 1), (n 2). 若 a1 适合 an(n>2),则 an 不用分段形式
表示，切不可不求 a1 而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的一次式；从图像上看，表示
等差数列的各点（n, an ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差
数列.
5、对等差数列的前 n
项之和公式的理解：等差数列的前
n 项之和公式可变形为 Sn
d 2
n2
(a1
d )n ，若令 2
A
＝
d 2
，B＝a1－
d 2
，则
Sn
＝An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d， S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲 [例 1]已知数列 1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+… +（3n－5）是该数列的前几项之和. 错解：（1）an=3n+7; (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n 项之和.
错因：误把最后一项（含 n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=10 1,显然 3n+7 不是它的通项.
正解：（1）an=3n－2; (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n－1 项的和.
[例 2] 已知数列 an的前 n 项之和为① Sn 2n2 n ② Sn n 2 n 1
求数列 an的通项公式。

错解： ① an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3
② an n2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2n
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了 an＝Sn－Sn-1 与的关系，没注意 a1=S1.
正解：
①当 n 1时， a1 S1 1
当 n 2时， an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3
经检验 n 1时 a1 1 也适合， an 4n 3
②当 n 1时， a1 S1 3
当 n 2时， an n2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2n
∴
an
3 2n
(n 1) (n 2)
[例 3] 已知等差数列 an 的前 n 项之和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40 等于
。
错解：S30= S10·2d. d＝30， S40= S30+d =100.
错因：将等差数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列.
正解：由题意：
10 a1 30 a1
10 9 d 2
30 29 2
10 d 70
得
a1
2 5
,d
2 15
代入得 S40
＝ 40a1
40 39 40d 2
120 。
[例
4]等差数列
an
、
bn
的前
n
项和为
Sn、Tn.若
Sn Tn
7n 1 4n 27
(n
N
),
求
a7 b7
；
错解：因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数，故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.
a7 7 7 1 10 b7 4 7 27 11
错因：误认为 S n a n Tn bn
正解： a7 a7 a7 S13 7 13 1 92 b7 b7 b7 T13 4 13 27 79
[例 5]已知一个等差数列 an的通项公式 an=25－5n，求数列| an |的前 n 项和；
错解：由 an 0 得 n 5
an前 5 项为非负，从第 6 项起为负，
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n 5)

当 n 6 时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝ (20 5n)(n 5) 2
50
, n5
Sn=

(20
5n)(n
5)
2
,
n6
错因：一、把 n 5 理解为 n=5，二、把“前 n 项和”误认为“从 n 6 起”的和.
正解：
n(45 5n) 2
,
(20
5n)(n 2
5)
50
,
n5 n6
[例 6]已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，
由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： S10 310 S20 1220
得：
2100aa1114950dd

310 1220
ad1

4 6
∴
Sn
4n n(n 1) 6 3n2 n 2
[例 7]已知： an 1024 lg 21n （ lg 2 0.3010 ） n N （1） 问前多少项之和为最
和的绝对值最小？
解：（1）
aann110120424(1nlgn2) lg
2 0
0
1024 lg 2
n 1024 lg 2
1 3401 n 3403
（2）
Sn
1024n n(n 1) ( lg 2) 0 2
大？（2）前多少项之
∴ n 3402
当 Sn 0或Sn 近于 0 时其和绝对值最小
令： Sn 0
即 1024+ n(n 1) ( lg 2) 0 2
得： n 2048 1 6804 .99 lg 2
∵ n N
∴ n 6805
[例 8]项数是 2n 的等差数列，中间两项为 an和an1 是方程 x 2 px q 0 的两根，求证此数列的和 S2n 是方程
lg 2 x (lg n2 lg p 2 ) lg x (lg n lg p)2 0 的根。 （ S2n 0 ）
证明：依题意 an an1 p

∵ a1 a2n an an1 p
∴ S2n
2n(a1 2
a2n )
np
∵ lg 2 x (lg n2 lg p 2 ) lg x (lg n lg p)2 0
∴ (lg x lg np)2 0
∴ x np S2n
四、典型习题导练
1．已知 a1 3且an Sn1 2n ，求 an 及 S n 。
（获证）。
2．设 an
1 2
23
34
n(n 1)
，求证：
n(n 1) 2
an
(n
1)2 2
。
3.求和:
1
1 1
2
1
1 2
3
1
2
1 3
n
4.求和： (100 2 99 2 ) (98 2 97 2 ) (42 32 ) (22 12 )
5.已知 a, b, c 依次成等差数列，求证： a 2 bc,b2 ac, c2 ab 依次成等差数列.
6.在等差数列 an 中， a5 a13 40 ，则 a8 a9 a10 （
）。
A．72 B．60 C．48 D．36
7. 已知 an 是等差数列，且满足 am n, an m(m n) ，则 amn 等于________。
8.已知数列

a
n
1
2

成等差数列，且
a3
11 6
,
a5
13 7
，求
a
8
的值。
§4.2 等比数列的通项与求和 一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
n a1
3.等比数列的前 n
项和公式： Sn

a1
(1
q
n
)
1 q
a1an q 1 q
(q 1) (q 1)
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不为 0.
2.对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4
项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个 等比数列.
4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下，利用通项公式 an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项. 5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用 an=amqn-m 可求等比数列中任意一项.

6.等比数列｛an｝的通项公式 an=a1qn-1 可改写为 an
a1 q
q n .当 q>0，且 q
1 时，y=qx 是一个指数函数，而 y
a1 q
qx
是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数 y a1 q x 的图象上的一群孤立的点. q
7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d， S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例 1] 已知数列 an的前 n 项之和 Sn=aqn（ a 0, q 1, q 为非零常数），则an为（ ）。
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列，也不是等比数列 D.既是等差数列，又是等比数列
错解： an1 Sn1 Sn aqn1 aqn aqn (q 1)
an Sn Sn1 aqn1 (q 1)
an1 q （常数） an
an为等比数列，即 B。
错因：忽略了 an Sn Sn1 中隐含条件 n＞1.
正解：当 n＝1 时，a1=S1＝aq;
当 n>1 时， an Sn Sn1 aqn1 (q 1)
an1 q （常数） an
但 a2 q 1 q a1
an既不是等差数列，也不是等比数列，选 C。
[例 2] 已知等比数列 an 的前 n 项和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40 等于.
错解：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝ 7 ， S40= S30·q = 70 7 .
错因：是将等比数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m 成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等比数列.
正解：由题意：

a1 a1
(1 1 (1
q10 q q 30
) )
1 q
10
得
a1 1 q
10
70 q10 2或q10
，
3(舍去)
S40= a1 （1 q 40） 200 . 1 q

[例 3] 求和：a+a2+a3+…+an.
错解： a+a2+a3+…+an＝ 1 a n . 1 a
错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前 n 项和公式（2）用等比数列前 n 项和公式应讨 论 q 是否等于 1. 正解：当 a＝0 时，a+a2+a3+…+an＝0;
当 a＝1 时，a+a2+a3+…+an＝n;
当 a 1 时， a+a2+a3+…+an＝ 1 a n . 1 a
[例 4]设 a,b, c, d 均为非零实数， a 2 b2 d 2 2ba cd b2 c2 0 ，
求证： a,b, c 成等比数列且公比为 d 。
证明：
证法一：关于 d 的二次方程 a 2 b2 d 2 2ba cd b2 c2 0 有实根，
∴ 4b2 a c2 4 a 2 b2 (b2 c2 ) 0 ，∴ b2 ac 2 0
则必有： b2 ac 0 ，即 b2 ac ，∴非零实数 a,b, c 成等比数列
设公比为 q ，则 b aq ， c aq2 代入
a2 a 2q2 d 2 2aq a aq2 d a2q 2 a2q 4 0 ∵ q 2 1 a 2 0 ，即 d 2 2qd q 2 0 ，即 d q 0 。 证法二：∵ a 2 b2 d 2 2ba cd b2 c2 0 ∴ a2d 2 2abd b2 b2d 2 2bcd c2 0
∴ ad b2 bd c2 0 ，∴ ad b ，且 bd c
∵ a,b, c, d 非零，∴ b c d 。 ab
[例 5]在等比数列 bn 中， b4 3 ，求该数列前 7 项之积。
解： b1b2b3b4b5b6b7 b1b7 b2b6 b3b5 b4
∵ b42 b1b7 b2b6 b3b5 ，∴前七项之积 32 3 3 37 2187
[例
6]求数列{n
1 2n
}
前
n
项和
解： Sn
1
1 2
2 1 4
3 1 8
n
1 2n
①
1 2 Sn
1 1 2 1 3 1 (n 1) 1 n 1 ②
4 8 16
2n
2 n1

11
两式相减：
1 2
S
n
1 2
1 4
1 8

1 2n
n
1 2 n 1
(1 ) 2 2n
1 1
n 2 n 1
2
Sn
2(1
1 2n
n) 2 n1
2
1 2 n1
n 2n
[例 7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水，然后加入 1kg 水，以后每次都倒出 1kg 盐水，然后再
加入 1kg 水，
问：(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg？
(2)经 6 次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
a1= 0.2 （kg）, a2= 1 ×0.2（kg）, 2
a3= ( 1 )2×0.2（kg） 2
由此可见：an= ( 1 )n1×0.2（kg）, a5= ( 1 )51×0.2= ( 1 )4×0.2=0.0125（kg）。
2
2
2
(2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q= 1 2
S6
a1 (1 q 6 ) 1 q
0.2(1 1 ) 26
1 1
0.39375(k g)
2
0.4 0.39375 0.00625(kg)
0.00625 2 0.003125(kg)
答：第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg；6 次倒出后，一共倒出 0.39375kg 盐，此时加 1kg 水后容器内 盐水的盐的质量分数为 0.003125。
四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式：
1) a1=2, a3=8 2) a1=5, 且 2an+1=3an
3) a1=5, 且 an1 n an n 1
2.在等比数列 an ，已知 a1 5 ， a9a10 100 ，求 a18 .
012
n1
3.已知无穷数列10 5 ,10 5 ,10 5 ,10 5 ,，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 1 ， 10
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列an 为1,2x,3x2 ,4x3 nxn1 x 0 求此数列前 n 项的和。
5.已知数列{an}中，a1=2 且 an+1=Sn，求 an ,Sn 6.是否存在数列{an}，其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？
7.在等比数列an 中， a1a3 36, a2 a4 60, Sn 400 ，求 n 的范围。
一、知识导学
§4.3 数列的综合应用

1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型， 有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很 重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际 问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求 Sn 还是求 an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等 差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加 1 就是公比 q. 二、疑难知识导析
1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前 n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式
an an
1
0
0
或aann
1
0
0
解决；
2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式，在用等比数列前 n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；
3.等差数列中,
am=an+
(n－m)d,
d am an ;
mn
等比数列中，an=amqn-m;
q nm
an am
4.当 m+n=p+q（m、n、p、q∈ N ）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq；
5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b 是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、 {anbn}等也是等比数列； 6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等 比）数列；
7.对等差数列｛an｝,当项数为 2n 时，S 偶-S 奇＝nd；项数为 2n－1 时，S 奇－S 偶＝a 中（n∈ N ）；
8.若一阶线性递推数列
an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式: an
k
b 1
k (an1
k
b) 1
(n≥
2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
三、经典例题导讲
log 1 Sn log 1 Sn2
[例 1]设 an是由正数组成的等比数列，Sn 是其前 n 项和.证明： 2
2
2
＞log 1 Sn1 。
2
log 1 Sn log 1 Sn2
错解：欲证 2
2
2
＞log 1 Sn1
2
只需证 log 1 Sn log 1 Sn2 ＞2 log 1 Sn1
2
2
2
即证： log 1
(Sn
Sn2 ) ＞ log 1
S2 n1
2
2
由对数函数的单调性，只需证 (Sn
Sn2 )
＜
S
2 n 1
Sn
Sn2
－
S
2 n 1
＝
a12
(1 qn )(1 (1 q)2
qn2 )
a12 (1 (1
q n1 )2 q)2
＝－ a12 q n 0
Sn
Sn2
＜
S
2 n 1
原不等式成立.
错因：在利用等比数列前 n 项和公式时，忽视了 q＝1 的情况.

log 1 Sn log 1 Sn2
正解：欲证 2
2
2
＞log 1 Sn1
2
只需证 log 1 Sn log 1 Sn2 ＞2 log 1 Sn1
2
2
2
即证： log 1
(Sn
Sn2 ) ＞ log 1
S2 n1
2
2
由对数函数的单调性，只需证 (Sn
Sn2 )
＜
S
2 n 1
由已知数列 an是由正数组成的等比数列，
q >0, a1 0 . 若q 1,
则
Sn
Sn2
－
S
2 n 1
＝
na1 (n
2)a1
[(n
1)a1 ]2
＝－ a12 ＜0；
若q 1,
Sn
Sn2
－
S
2 n 1
＝
a12
(1 qn )(1 (1 q)2
qn2 )
a12 (1 (1
q n1 )2 q)2
＝－ a12 q n 0
Sn
Sn2
＜
S
2 n 1
原不等式成立.
[例 2] 一个球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第 10 次着地时，共经过了多
少米？（精确到 1 米）
错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为 1 的等比数 2
列，又第一次着地时经过了 100 米，故当它第 10 次着地时，共经过的路程应为前 10 项之和.
100[1 (1)10 ]
即 S10
2 1 1
＝199（米）
2
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了 100 米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了 2 100 ＝100（米）… 2
因此到球第 10 次着地时共经过的路程为
100 100 100 100 100 100
2 22 23
28
100[1 (1)9 ]
＝100
2 300（米）
1 1
2
答：共经过 300 米。
[例 3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄 a 元一
年定期，若年利率为 r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁上大学时，将所
有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？

错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那 18 年时取出的钱数应为以 a 为首项，公比为 1+r 的等比
数列的第 19 项，即 a19=a(1+r)18. 错因：只考虑了孩子出生时存入的 a 元到 18 年时的本息，而题目要求是每年都要存入 a 元. 正解：不妨从每年存入的 a 元到 18 年时产生的本息 入手考虑，出生时的 a 元到 18 年时变为 a(1+r)18，
1 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r)17， 2 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r)16， …… 17 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r)1，
a(1+r)18+ a(1+r)17+ …+ a(1+r)1
＝ a(1 r)[1 (1 r)18 ] 1 (1 r)
＝ a [(1 r)19 (1 r)] r
答：取出的钱的总数为 a [(1 r)19 (1 r)]。 r
[例 4]求数列1 1 , 1 4 , 1 7 , 1 10 , , 1 (3n 2) , 的前 n 项和。
a
a2
a3
a n1
解：设数列的通项为 an，前 n 项和为 Sn，则
an
1 a n1
(3n 2)
Sn
(1
1 a
1 a2

1 a n1
)
[1
4
7
(3n
2)]
当a
1 时， Sn
n
(1 3n 2)n 2
3n2 n 2
当 a 1时， Sn
1 1 an
1 1
(1 3n 2)n 2
an 1 a n a n1
(3n 1)n 2
a
[例 5]求数列 6 , 6 , 6 ,, 6 , 前 n 项和
1 2 23 3 4
n(n 1)
解：设数列的通项为 bn，则 bn
n(n 1)
6( 1 n
1) n 1
Sn
b1
b2
bn
6[(1
1) (1 22
1) (1
3
n
1 )] n 1
6(1 1 ) 6n n1 n1
[例 6]设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn
(
an 2
1 )
2
(n
N
)，
求数列{an}的前 n 项和
解：取 n
=1，则 a1
( a1 1)2 2
a1
1
又由
Sn
n(a1 2
an )
可得：
n(a1
an
)
( an
1 )
2
2
2

an 1 (n N * ) an 2n 1
Sn 1 3 5 (2n 1) n2
[例 7]大楼共 n 层，现每层指定一人，共 n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会，问 k 如何确定能使 n 位参加 人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等） 解：设相邻两层楼梯长为 a，则
S a(1 2 k 1) 0 [1 2 (n k)]
a[k 2 (n 1)k n2 n] 2
当 n 为奇数时，取 k n 1 S 达到最小值 2
当 n 为偶数时，取 k n 或 n 2 S 达到最大值 22
四、典型习题导练 1．在［1000，2000］内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个？ 2．某城市 1991 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为 1%，每年平均新增住房 面积为 30 万 m2，求 2000 年底该城市人均住房面积为多少 m2？(精确到 0.01)
3．已知数列 an 中， S n 是它的前 n 项和，并且 Sn1 4an 2 ， a1 1
（1） 设 bn an1 2an ，求证数列 bn 是等比数列；
（2）
设 cn
an 2n
，求证数列cn 是等差数列。
4.在△ABC 中，三边 a, b, c 成等差数列， a , b, c 也成等差数列，求证△ABC 为正三角形。 5． 三数成等比数列，
若将第三个数减去 32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去 4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知
是一次函数，其图象过点
，又
成等差数列，求 f (1) f (2) f (n) 的值.