湖南省永州市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)(DOC)

湖南省永州市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1．在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16则公比q为（）

A．2 B．3 C．4 D．8

2．已知命题p：?x0∈R，x02+1＜0，则（）

A．￢p：?x∈R，x2+1＞0 B．￢p：?x∈R，x2+1＞0

C．￢p：?x∈R，x2+1≥0 D．￢p：?x∈R，x2+1≥0

3．已知，且，则x的值为（）

A．B．C．D．

4．“x＞5”是“x＞3”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5

．在△ABC中，已知a=2，b=2，A=，则∠B=（）

A．B．C．或πD．或

6．下列命题正确的是（）

A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2

C．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d D．若a＜b＜0，则

7．抛物线y2=4x上到焦点的距离等于3的点的坐标是（）

A．（2，2）B．（2，2）或（﹣2，2）C．（2，2）D．（2，2）

或（2，﹣2）

8．四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，且PA⊥平面ABCD，AB=AD=AP=2，E为侧棱PC的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=2，S5=15，则数列的前2017项和为（）

A．B．C．D．

10．如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C 的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的仰角为30°，则此时热气球的高度CD为（）

A

．B． C．D．

11．已知函数，数列{a n}满足

，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）

A．（1，3） B．（2，3） C． D．

12．设F1，F2是椭圆C1：=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：=1（a2＞0，b2＞0）的公共焦点，曲线C1，C2在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，

若椭圆C1的离心率e1∈[，1），则双曲线C2的离心率e2的范围是（）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在△ABC中，BC=，则AB等于．

14．设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为．15．已知椭圆过点P（1，2），则m+n的最小值为．

16．已知集合A={3，32，33，…，3n}（n≥3），从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，记满足此条件的等比数列的个数为f（n）

（Ⅰ）f（5）=；

（Ⅱ）若f（n）=220，则n=．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．已知命题p：不等式x2﹣（2m﹣1）x+m2≥0对任意实数x恒成立，命题q：m＜1．

（1）若p为真，求实数m的取值范围；

（2）若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数m的取值范围．

18．在△ABC中，A，B，C的对边分别为，

且．

（1）求B的大小；

（2）若△ABC的面积为，且a+c=6，求b．

19．设S n是数列{a n}的前n项和，已知．

（1）求a1，并求数列{a n}的通项公式；

（2）求数列的前项和T n．

20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，四边形AA1B1B

是矩形，且AB=1，AC=2，BC=．

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）若直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．

21．2016年10月中旬台风“莎莉嘉”登陆某海滨城市，某条长度为10千米的供电线路遭到严重破坏，造成大面积停电，为了快速恢复通电，某电力公司组织人

员进行抢修，同时为了保证质量，抢修速度不得超过c千米/小时，已知每小时的抢修成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与抢修的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为400，固定部分为10000元．（1）把抢修成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域；

（2）为使抢修成本最小，电力公司应该以多大的速度进行抢修？

22．已知点P是圆心为F1的圆（x+1）2+y2=12上任意一点，点F2（1，0），若线段PF2的垂直平分线与半径PF1相交于点M．

（1）求动点M的轨迹方程；

（2）过点F2的直线l（l不与x轴重合）与M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB的内切圆半径r的最大值，并求出此时直线l的方程．

2016-2017学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1．在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16则公比q为（）

A．2 B．3 C．4 D．8

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，由此能求出公比．

【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，

∴，

解得公比q=2．

故选：A．

2．已知命题p：?x0∈R，x02+1＜0，则（）

A．￢p：?x∈R，x2+1＞0 B．￢p：?x∈R，x2+1＞0

C．￢p：?x∈R，x2+1≥0 D．￢p：?x∈R，x2+1≥0

【考点】命题的否定．

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以，命题p：?x0∈R，x02+1＜0的否定是￢p：?x∈R，x2+1≥0，

故选：C

3．已知，且，则x的值为（）

A．B．C．D．

【考点】空间向量的数量积运算．

【分析】，可得=0，解得x．

【解答】解：∵，∴=﹣1+2+3x=0，解得x=﹣．

故选：B．

4．“x＞5”是“x＞3”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．

【解答】解：不妨令A=（5，+∞），B=（3，+∞），

∵A?B，∴x＞5”是“x＞3”的充分不必要条件，

故选：A．

5

．在△ABC中，已知a=2，b=2，A=，则∠B=（）

A．B．C．或πD．或

【考点】正弦定理．

【分析】利用正弦定理即可得出．

【解答】解：由正弦定理可得：，可得sinB===，

∵，b＞a，∴，

解得B=或．

故选：C．

6．下列命题正确的是（）

A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2

C．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d D．若a＜b＜0，则

【考点】不等式的基本性质．

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．

【解答】解：A．c=0时不成立．

B．由不等式的基本性质可知成立；

C．由a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，因此不成立；

D．∵a＜b＜0，则，因此不成立．

故选：B．

7．抛物线y2=4x上到焦点的距离等于3的点的坐标是（）

A．（2，2）B．（2，2）或（﹣2，2）C．（2，2）D．（2，2）

或（2，﹣2）

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．

【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，

∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1

∵抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离等于3，

∴根据抛物线定义可知P到准线的距离等于3，

即x+1=3，解之得x=2，

代入抛物线方程求得y=±2，

故选D．

8．四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，且PA⊥平面ABCD，AB=AD=AP=2，E为侧棱PC的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【考点】异面直线及其所成的角．

【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与PD所成角的余弦值．

【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），P（0，0，4），C（2，2，0），E（1，1，2），D（0，2，0），

=（1，1，2），=（0，2，﹣4），

设异面直线AE与PD所成角为θ，

则cosθ===．

∴异面直线AE与PD所成角的余弦值为．

故选：A．

9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=2，S5=15，则数列的前2017项和为（）

A．B．C．D．

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a2=2，S5=15，可得a1+d=2，

d=15，解得a1，d，可得a n，即可得出．

【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=2，S5=15，

∴a 1+d=2， d=15，解得a 1=d=1，

∴a n =1+（n ﹣1）=n ．

∴=

=

．

则数列的前2017项和=

+…+

=1﹣

=

．

故选：C ．

10．如图，在热气球C 正前方有一高为m 的建筑物AB ，在建筑物底部A 测得C 的仰角为60°，同时在C 处测得建筑物顶部B 的仰角为30°，则此时热气球的高度CD 为（ ）

A

． B ． C ． D ．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】先求出AC ，利用CD=ACsin60°计算即可．

【解答】解：由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC=m ，AC=m ，

△ADC 中，CD=ACsin60°=m ， 故选D ：D ，

11．已知函数

，数列{a n }满足

，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．（1，3）

B ．（2，3）

C ．

D ．

【考点】数列的函数特性．

【分析】数列a n 满足a n =f （n ）（n ∈N *），且a n 是递增数列，我们易得函数f （x ）

为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3﹣a＞0，且f（5）＜f（6），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．

【解答】解：∵数列{a n}是递增数列，

又∵，

a n=f（n）（n∈N*），

∴1＜a＜3且f（5）＜f（6）

∴5（3﹣a）﹣1＜a2

解得a＜﹣7，或a＞2，

故实数a的取值范围是（2，3），

故选：B．

12．设F1，F2是椭圆C1：=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：=1（a2＞0，b2＞0）的公共焦点，曲线C1，C2在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，

若椭圆C1的离心率e1∈[，1），则双曲线C2的离心率e2的范围是（）

A．B．C．D．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，由双曲线的定义可得s ﹣t=2a2，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范围．

【解答】解：设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，

由双曲线的定义可得s﹣t=2a2，

解得s=a1+a2，t=a1﹣a2，

由∠F1MF2=90°，运用勾股定理，可得

s2+t2=4c2，

即为a12+a22=2c2，

由离心率的公式可得，，

由e1∈[，1），可得∈[，1），

即有2﹣∈[，1），

解得e2∈（1，]．

故选：B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在△ABC中，BC=，则AB等于1．

【考点】余弦定理．

【分析】利用余弦定理即可得出．

【解答】解：AB2=﹣2××cos=1，

解得AB=1．

故答案为：1．

14．设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为12．

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A （3，3），

化目标函数z=3x +y 为y=﹣3x +z ，

由图可知，当直线y=﹣3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为z=3×3+3=12． 故答案为：12．

15．已知椭圆

过点P （1，2），则m +n 的最小值为 9 ．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】将P （1，2），代入椭圆方程，则，（m ＞0，n ＞0），由基本不等

式的性质则m +n=（m +n ）（+）=1+++4≥5+2

=9．

【解答】解：将P （1，2），代入椭圆，则，（m ＞0，n ＞0），

m +n=（m +n ）（+）=1+++4≥5+2

=9，

当且仅当

=时，m=3，n=6时，取等号，

∴m +n 的最小值9， 故答案为：9．

16．已知集合A={3，32，33，…，3n }（n ≥3），从中选出3个不同的数，使这3

个数按一定的顺序排列构成等比数列，记满足此条件的等比数列的个数为f （n ）

（Ⅰ）f （5）= 8 ；

（Ⅱ）若f （n ）=220，则n= 22 ． 【考点】等比数列的通项公式．

【分析】（I ）n=5时，A ═{3，32，33，34，35}，从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，则共有3，32，33；32，33，34；33，34，35；3，33，35．其顺序反过来也成立．可得f （5）．

（II ）A={3，32，33，…，3n }（n ≥3），公比为3的共有：n ﹣2个；公比为的共

有：n﹣2个．公比为32的共有：n﹣4个；公比为的共有：n﹣4个．…，则f （n）=220=2[（n﹣2）+（n﹣4）+…2]，即可得出．

【解答】解：（I）n=5时，A═{3，32，33，34，35}，从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，则共有3，32，33；32，33，34；33，34，35；3，33，35．其顺序反过来也成立．因此f（5）=8．

（II）A={3，32，33，…，3n}（n≥3），

公比为3的共有：n﹣2个；公比为的共有：n﹣2个．

公比为32的共有：n﹣4个；公比为的共有：n﹣4个．

…，

则f（n）=220=2[（n﹣2）+（n﹣4）+…2]，

∴，n2﹣2n﹣440=0，

解得n=22．

故答案为：8，22．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．已知命题p：不等式x2﹣（2m﹣1）x+m2≥0对任意实数x恒成立，命题q：m＜1．

（1）若p为真，求实数m的取值范围；

（2）若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数m的取值范围．

【考点】复合命题的真假．

【分析】（1）根据二次函数的性质求出m的范围即可；（2）根据p与q为一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）不等式x2﹣（2m﹣1）x+m2≥0对任意实数x恒成立，

则△=（2m﹣1）2﹣4m2=﹣4m+1≤0得：m≥；

（2）若“p∧q”为假，“p∨q”为真，

则p与q为一真一假，

①当p真q假时，，故m≥1；

②当p假q真时，，故m＜，

综上，实数m的范围是（﹣∞，）∪[1，+∞）．

18．在△ABC中，A，B，C的对边分别为，

且．

（1）求B的大小；

（2）若△ABC的面积为，且a+c=6，求b．

【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．

【分析】（1）根据?=2acosB，得a=2acosB，求出B的值即可；（2）根据三角

形的面积求出ac=8，由a+c=6，联立方程组，求出a，c的值，根据余弦定理求出b的值即可．

【解答】解：（1）由=（a，0），=（1，cosB），

?=2acosB，得a=2acosB，

故cosB=，得B=；

=acsinB=2得ac=8，

（2）S

△ABC

联立，解得或，

由余弦定理得b2=16+4﹣8=12，

解得：b=2．

19．设S n是数列{a n}的前n项和，已知．（1）求a1，并求数列{a n}的通项公式；

（2）求数列的前项和T n．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）．n=1时，3a1﹣，解得

a1=2．S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n

，化为a n=3a n﹣1，利用等比数列的通

﹣1

项公式即可得出．．

（2）由（1）可知：=n?3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：（1）∵．

∴n=1时，3a1﹣，解得a1=2．

∴S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，

化为a n=3a n﹣1，

∴．

（2）由（1）可知：=n?3n﹣1．

∴数列的前项和T n=1+2×3+3×32+…+n?3n﹣1，

3T n=3+2×32+…+（n﹣1）?3n﹣1+n?3n，

∴﹣2T n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n?3n=﹣n?3n，

∴T n=．

20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，四边形AA1B1B

是矩形，且AB=1，AC=2，BC=．

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）若直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）推导出AA1⊥AB，由此能证明AA1⊥平面ABC．

（2）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．

【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B是矩形，

∴AA1⊥AB，

∵平面ABC⊥平面AA1B1B，且AA1垂直于这两个平面的交线AB，

∴AA1⊥平面ABC．

解：（2）由（1）知AA1⊥AB，AA1⊥AC，

∵AB=1，AC=2，BC=，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，

由（1）知CC1⊥平面ABC，

∴直线BC1与平面ABC所成角的大小即为∠C1BC的大小，

由已知得tan，

∴CC1=2，则C1（2，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2），

=（0，﹣1，2），=（2，﹣1，2），

设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），

则，取z=1，得=（0，2，1），

同理求得平面BB1C1的法向量=（1，2，0），

∴cos＜＞==，

由图知二面角A1﹣BC1﹣B1的平面角为锐角，

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．

21．2016年10月中旬台风“莎莉嘉”登陆某海滨城市，某条长度为10千米的供电线路遭到严重破坏，造成大面积停电，为了快速恢复通电，某电力公司组织人员进行抢修，同时为了保证质量，抢修速度不得超过c千米/小时，已知每小时的抢修成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与抢修的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为400，固定部分为10000元．（1）把抢修成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域；

（2）为使抢修成本最小，电力公司应该以多大的速度进行抢修？

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】（1）依题意每小时的抢修成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与抢修的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为400，固定部分为10000元，即可求出抢修成本；

（2）分类讨论，利用用基本不等式、函数的单调性，即可得出结论．

【解答】解：（1）由题意可得y=+10000×=4000（v+）（0＜v ≤c）；

（2）c≥5时，y=4000（v+）≥4000×=40000，当且仅当v=5时，y min=40000元；

0＜c＜5时，y=4000（v+）在（0，c]上单调递减，v=c，y min=4000（c+）元．

22．已知点P是圆心为F1的圆（x+1）2+y2=12上任意一点，点F2（1，0），若线段PF2的垂直平分线与半径PF1相交于点M．

（1）求动点M的轨迹方程；

（2）过点F2的直线l（l不与x轴重合）与M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB的内切圆半径r的最大值，并求出此时直线l的方程．

【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．

【分析】（1）利用椭圆的定义，求动点M的轨迹方程；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，表示出△F1AB 的周长与面积，设直线l的方程为x=ty+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，基本不等式，即可得出结论．

【解答】解：（1）由题意，|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=2＞2，

∴M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且a=，c=1，b=，

∴动点M的轨迹方程=1；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，

因为△F1AB的周长为4a=8，△F1AB的面积=4R，

因此，△F1AB的面积最大，R就最大，△F1AB的面积=|y1﹣y2|，

由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=ty+1，

与椭圆方程联立，消去x得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，

所以，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，

∴r==≤，

∴t=0时，r的最大值为，此时直线l的方程为x=1．