七年级数学下整式的运算知识点总结及习题
七年级数学下整式的运算知识点总结及习题
Prepared on 22 November 2020
七年级数学
第一单元《整式的运算》
本章知识结构：
一、整式的有关概念
1、单项式
2、单项式的系数及次数
3、多项式
4、多项式的项、次数
5、整式
二、整式的运算
（一）整式的加减法
（二）整式的乘法
1、同底数的幂相乘
2、幂的乘方
3、积的乘方
4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式
6、单项式乘以多项式
7、多项式乘以多项式
8、平方差公式
9、完全平方公式
（三）整式的除法
1、单项式除以单项式
2、多项式除以单项式
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数：单项式中的数字因数。
3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。
4、多项式：几个单项式的和叫多项式。
5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高项的次数叫多项式的次数。
6、整式：单项式与多项式统称整式。
特别注意，分母含有字母的代数式不是整式，即单项式和多项式的分母都不能含有字母。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
二、整式的运算
（一）整式的加减法 基本步骤：去括号，合并同类项。
特别注意：
1. 整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式.
2.括号前面是“+”号，去括号时，括号内各项都不变号 括号前面是“－”号，去括号时，括号内各项都要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘.
（二）整式的乘法
1、同底数的幂相乘
法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：n m n m a a a +=?（其中m 、n 为正整数）
特别注意，公式还可以逆用：n m n m a a a ?=+（m 、n 均为正整数）
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示：mn n m a
a =)(（其中m 、n 为正整数） 拓展：mnp p n m a a =])[(（其中m 、n 、P 为正整数）
特别注意，公式还可以逆用：m n n m mn a a a
)()(==，p n m mnp a a ])[(=（m 、n 均为正整数）
3、积的乘方
法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（即等于积中各因式乘方的积。）
符号表示：
)
()(),
(,)(为正整数其中为正整数其中n c b a abc n b a ab n n n n n n n == 特别注意，公式还可以逆用：n n n n n n n abc c b a ab b a )(,)(=??=?，（其中n 为正整数）
4、同底数的幂相除
法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
数学符号表示：n m n m a a a -=÷（其中m 、n 为正整数）
)0(1),0(10≠=≠=
-a a p a a a p p 为正整数
5、单项式乘以单项式
法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母则连同它的指数不变，作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
6、单项式乘以多项式
法则：单项式乘以多项式，就是根据乘法分配律用单项式的去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
7、多项式乘以多项式
法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
8、平方差公式
法则：两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。
数学符号表示：
.,,))((2
2也可以是代数式既可以是数其中b a b a b a b a -=-+
说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。 其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
9、完全平方公式
法则：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）这两数积的2倍。
口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央。
数学符号表示：
.
,,2)(;
2)(2
22222也可以是代数式既可以是数其中b a b ab a b a b ab a b a +-=-++=+
2222)(:b ab a b a +±=±即
结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。 2
22222
22222222))(()2))(())(b ab a b ab ab a b a b a b a b ab a b ab ab a b a b a b a b a b a +-=+--=--=-++=+++=++=+±≠±（（，因此多项式乘法法则得到的式是根据乘方的意义和特别说明：完全平方公10、完全平方公式的拓展应用
（1）式子具有非负性,0)(2222≥±=+±b a b ab a
（2）题应用于代数式的最值问,222ab b a ≥+
（3）)(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++
（4）[]222222)()()(21c a c b c a ac bc ab c b a -+-+-=
---++ （5）abc c b a ac bc ab c b a c b a 3))((333222-++=---++++
（5）立方和，立方差 3322))((b a b ab a b a +=+-+ 3322))((b a b ab a b a -=++-
（6）和的立方，差的立方 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 3223333)(b ab b a a b a -+-=-
1、的值为？则已知ab
b a b ab a ab 74222,5-2b -a +---= 2、已知多项式43++bx ax ，在x=2时，其值为8，试求x=-2时，该多项式的值。
3、已知的值。求546,22151422+--=-+x x x x
4、已知a a -=，试确定六次单项式a y x a
51中a 的取值，并在上述条件下求1910--a a 的值。 5、若223)1(625-+-+-a x x x 中不含2x 项，则201120122012a a +的值为
6、多项式2622+--+n n x x 是关于x 的三次三项式，求代数式122+-n n 的值。
7、已知()032122
=-+++-c b a （1）求代数式ac bc ab c b a 222222+++++的值。
（2）求代数式2
)(c b a ++的值。
（3）你发现上述两式有什么关系由此你可以得出什么结论
8、已知[])2()24(3,25,32222B A B A A y xy x B y xy x A --+--+-=+-=求的值，其中x,y 满足 03)(2=+++x y x
9、已知有理数a,b 在数轴上的位置如图所示：
化简：a b a b b 2322232---++--
10、已知21-=+x x ，试求x
x x x 14)1(2+++-的值。 11、小刚做一道数学题：已知两个多项式A,B,其中B=6542--x x ，求A+B 的值，他误将A+B 看成了A-B,结果求出的答案是127102
+-x x ，请你求出A+B 的正确结果。 12、若5,433==n m y x ，求)2
1()2()()(242332n m n m n m y x y x y x -?-+的值。 13、已知22-=xy ，求)(352y xy y x xy ---的值。
14、计算（1）))((z y x z y x -+++ （2）)132)(132(-++-b a b a
（3）1)12()12()12()12()12(16
842++?+?+?+?+
15、已知多项式c bx ax x +++23能被432-+x x 整除，求c b a --22的值。
拓展练习
1.化简：2
23232???
??--??? ??+x x
=_________________.
2.已知,x 、y 是非零数，如果5=+y x xy ，则______________1
1=+y x .
3、()()()()_________________4422=++-+b a b a b a b a .
4、乘积???
??
-??? ??????? ??-??? ??-??? ??-2222200011411311211219991-1等于（
）
5、下列各图中,每个正方形网格都是由边长为1的小正方形
组成,请仔细观察,其中的阴影部分面积最大的是( )
6、已知20021999,20011999,20001999+=+=+=x c x b x a ，则多项式
bc ac ab c b a ---++222的值是______________.
7、________________1234567901234567881234567892=?-.
8、计算______________12()12)(12)(12(242=++++）n .
9、______________12979899100222222=-+??+-+-.
10、已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值:
（1）22b ab a +- （2） 2)(b a -．
中 考 链 接
1、已知0222=++b ab a ，那么，代数式)2)(2()4(b a b a b a a -+-+的值为（北京市中考题）
2、已知ac bc ab c b a c b b a ++=++=-=-则,1,53
222的值为（宁波市中考题）
3、已知b b a b a 4,222+-=+那么的值为（德阳市中考题）
4、已知22
41
,51a a a a a ++=+则的值为（菏泽市中考题）
竞 赛
1、若m,n 为有理数，且0442222=+++-m n mn m ，则22nm n m +=（ ） (“希望杯”邀请赛试题)
A.-8
2、如果32222,,1232b b a ac bc ab c b a c b a ++++=++=++则且的值是（ ） （北京市竞赛题）