二次函数复习专题讲义(完整资料).doc

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二次函数

【知识清单】

※一、网络框架

※二、清单梳理

1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如22221

2,26,4,5963

y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函

2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠????

><>????

<<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线

对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。

增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ????????

??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ?????????????

??

?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题????

????

???????????????????

??

????

数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。

2、二次函数的三种解析式（表达式） ①一般式：2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数

②顶点式：2()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k

③交点式：

1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系

①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0a >时，开口方向向上；当0a <时，开口方向向下。||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。

②c ：决定抛物线与y 轴交点的位置。当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x 轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物线过原点。反之，也成立。 ③

a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。当02b

a

-

>时，对称轴在y 轴右边；当02b a -

<时，对称轴在y 轴左边；当02b

a

-=（即当0b =时）对称轴为y 轴。反之，也成立。

④特别：当1x =时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。反

之也成立。

4、二次函数2()y a x h k =-+的图像可由抛物线2y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当0h >时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2y ax =向左平移h -个单位，得到2()y a x h =-；当0k >时，抛物线2()y a x h =-再向上平移k 个单位，当0k <时，抛物线

2

()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到

2()y a x h k =-+的图像。

5、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的关

系：

①若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实根。

②若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有一个交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实根（即一根）。 ③若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴无交点，则一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠没有实根。

6、二次函数2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的图像与性质

【考点解析】

考点一：二次函数的概念

【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）

2.81A y x =+

.81B y x =-- 8.C y x = 2

3

.4D y x =

- 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A 中281y x =+符合

2(0)y ax bx c a =++≠的形式，所以是二次函数，,B C 分别是一次函数

和反比例函数，D 中右边2

3

4x -不是整式，显然不是二次函数。 【答案】A

【例2】已知函数2

234(2)3(1)m m y m m x mx m -+=--++是二次函数，则

m =_____。

【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且

x 的最高次数为2”。故有2220342

m m m m ?-≠??-+=??，解得02

12

m m m m ≠≠??

==?且或，综上所述，m 取1。

【答案】1 【针对训练】 1、若函数22

(2)m y m x

mx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为

__________y =。

考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用

【例1】已知点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（） 2.A 2.-B .C 2± 2.±D 【解析】因为点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，所以将点()8,a 代入二次函数2ax y =中，可以得出3a 8=，则可得2=a ， 【答案】.A

【例2】（2011，泰安）若二次函数

c bx ax y ++=2的x 与y 的部

分对应值如下表，则当1-=x 时，y 的值为（ ）

5.A 3.-B 13.-C 27- 【解析】设二次函数的解析式为()k h x a y +-=2，因为当4-=x 或

2-时，3=y ，由抛物线的对称性可知3-=h ，5=h ，所以

()532

++=x a y ，把()3,2-代入得，2-=a ，所以二次函数的解析

式为()5322++-=x y ，当3=x 时，27-=y 。 【答案】C

【针对训练】

1、(2002年太原)过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）

.A ()2,1 2

.(1,)3

B ()5,1.-

C 14.(2,

)3D

2、无论m 为何实数，二次函数2x y =()m x m +--2的图象总是过定点（ ）

()3,1.A ()0,1.B ()3,1.-C ()0,1-D

【例3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数

c bx ax y ++=2的图象顶点为()2,2.--A ，且过点

()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（

）

.A 2

2+=x y

.

B ()2

22

+-=x y

.

C ()222

--=x y

.D ()222-+=x y

【解析】设这个二次函数的关系式为()222-+=x a y ，将()2,0B 代入得()22022-+=，解得：1=a ，故这个二次函数的关系式是

()222

-+=x y ，

【答案】D 【针对训练】 1、二次函数

2

12

y x bx c =

++的顶点为(2,1)-，则二次函数的解析式为________.

【例4】二次函数

2y x bx c =++过点(3,0)(1,0)-、，则二次函数的

解析式为______。

考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系） 【例1】（2012，兰州）已知二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系为（ ）

.A b a > .B b a < .C b a = .D 不能确定

【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值

【解析】因为二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，所以0>a ，

1=-b ，1-=b ，所以b a >。

【答案】.A 【针对训练】

1、二次函数1422--=x x y 的最小值是 。

2、（2013，兰州）二次函数3)1(22+--=x y 的图象的顶点坐标是（ ）

.A )31(， .B )31(，- .C )31(-， .D )31(--，

3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ）

.A )11(--， .B )11(，

- .C )11(， .D )11(-，

【例2】（2012，兰州）抛物线3)2(2-+=x y 可以由抛物线2x y =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）

.A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

【考点】涉及函数平移问题

【解析】抛物线2x y =向左平移2个单位可得到抛物线2)2(+=x y ，再向下平移3个单位可得到抛物线3)2(2-+=x y 。【答案】.B 【针对训练】

1、（2012，南京）已知下列函数：（1）2x y =；（2）2x y -=；（3）

2)1(2+-=x y 。其中，图象通过平移可以得到函数322-+=x x y 的

图象的有 （填写所有正确选项的序号）。

2、（2009，上海）将抛物线22-=x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。

3、将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）

.A 22+-=x y .B 2)2(+-=x y .C 2)2(--=x y .D 22--=x y

4、将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移3个单

位，在向左平移4个单位得到抛物线2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是__________。

【例3】（2013，长沙）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，

则下列关系式错误的是（ ）

.A 0>a .B 0>c .C 042>-ac b .D 0>++c b a

【考点】图像与系数的关系

【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与

y 轴的交点在y 轴的正半轴上，与x 轴有两个交点，所以0>a ，

0>c ，042>-ac b ，且当1=x 时，0<++=c b a y 。显然选项A 、B 、

C 都正确，只有选项

D 错误。 【答案】.D

【例4】（2011，山西）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，对称轴为直线1=x ，则下列结论正确的是（ ）

.A 0>ac

.B 方程02=++c bx ax 的两根是11-=x ，32=x

.C 02=-b a

.D 当0>x 时，y 随x 的增大而减小

【考点】图像与性质的综合应用

【解析】由图象可知0c ，故A 错误；因对称轴为直线1=x ，

所以12=-

a

b

，故C 错误；由图象可知当01>>x 时，y 随x 的增大

而增大，故D 错误；由二次函数的对称性可知B 选项正确， 【答案】.B

【针对训练】

1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数m mx y +=和函数222++-=x mx y （m 是常数，且0≠m ）的图象可能是（ ）

.A .B .C

.D

2、（2011，重庆）已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）

.A 0>a .B 0++c b a

3、在反比例函数中x

a

y =)0(≠a ，当0>x 时，y 随

x 的增大而减小，则二次函数ax ax y -=2的图象大致是（ ）

.A .B .C

.D

4、如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过(1,2)A -，且与x 轴的交点的横坐标分别为12,x x ，其中1221,01x x -<<-<<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>，其中正确的选项有______________。

【例5】已知关于x 的函数243y x x =++，求当11x -≤≤时函数的最大值和最小值

【针对训练】 1、 已知函数2241y x x =+-，试求当12x -≤≤的最大值和最小值

2、 已知函数224||1y x x =+-，试求当12x -≤≤的最大值和最小值

【例6】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠其中a b c 、、满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数的对称轴是直线____________。

【针对训练】 1、

已知12(,2002)(,2002)A x B x 、是二次函数25(0)y ax bx a =++≠的图

像上的两点，则当12x x x =+时，二次函数的值是__________.

【例7】已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是____________。

【针对训练】 1、

若二次函数2()1y x m =--，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，

则m 的取值范围是_________。

讲到这儿了

考点四：二次函数的实际应用

【例1】（2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格1y （元）x 与月份（91≤≤x ，且x 取整数）之间的函数关系如下表：

月份x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

价格1y （元/件）

560 580 600 620 640 660 680 700 720 每件配件的原材料价格2y （元）与月份x （10≤x ≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出1y 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出2y 与x 之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量1p （万件）与月份x 满足函数关系式1.11.01+=x p （1≤x ≤9，且x 取整数）

10至12月的销售量

2

p （万件）与月份x 满足函数关系式

9.21.02+-=x p （10≤x ≤12，

且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%a ，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少%1.0a ．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．

（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025） 【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。 【解析】（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得1y 的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得2y 的解析式，；（2）分情况探讨得：1≤x ≤9时，利润=1p ×（售价﹣各种成本）；10≤x ≤12时，利润=2p ×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700

万元得到关系式求值即可。解：（1）设b kx y +=，则??

?=+=+580

2560b k b k ，解得??

?==54

20b k ， ∴540201+=x y （1≤x ≤9，且x 取整数）；设b ax y +=2

，

则???=+=+75

127310b a b a ，

解得??

?==63

10b a ，∴630102+=x y （10≤x ≤12，且x 取整数）

； （2）设去年第x 月的利润为W 元．1≤x ≤9，且x 取整数时

450)4(2418162)30501000(2211+--=++-=---?=x x x y p W ∴x =4时，

W

最大=450

元；10≤x ≤12，且x 取整数时，

222)29()30501000(-=---?=x y p W

∴x =10时，W 最大=361元；

（3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件）， 今年原材料价格为：750+60=810（元） 今年人力成本为：50×（1+20%）=60元．

∴5×[1000×（1+%a ）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×%a ）=1700， 设%a t =，整理得01099102=+-t t ， 解得20

940199±=t

∵9401更接近于9409， ∴979401≠， ∴1t ≈0.1，2t ≈9.8， ∴1a ≈10或2a ≈980， ∵1.7（1﹣0.1×%a ）≥1， ∴a ≈10． 【答案】（1）630102

+=x y （10≤x ≤12，且x 取整数）

；（2）x =10时，W 最大=361元；（3）a ≈10

【针对训练】

1、（2013湖北孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。

（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？

【例2】（2010，孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，

0），直线1+

=x

y 与二次函数的图象交于B

A,

两点，其中点A在y轴

上．

（1）二次函数的解析式为y = ；

（2）证明点)12,(--m m 不在（1）中所求的二次函数的图象上； （3）若C 为线段AB 的中点，过C 点作x CE ⊥轴于E 点，CE 与二次函数的图象交于D 点．

①y 轴上存在点K ，使以C D A K ,,,为顶点的四边形是平行四边形，则K K 点的坐标是 ；

②二次函数的图象上是否存在点P ，使得ABD POE S S ??=2？求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。

【解析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为)0,2(，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．（2）把该点代入抛物线上，得到m 的一元二次方程，求根的判别式．（3）由直线1+=x y 与二次函数的图象交于B A ,两点，解得B A ,两点坐标，求出D 点坐标，①设K 点坐标),0(a ，使C D A K ,,,为顶点的四边形是平行四边形，则

DC KA =，且DK BA //，进而求出K 点的坐标．②过点B 作x BF ⊥轴

于F ，则AO CE BF ////，又C 为AB 中点，求得B 点坐标，可得到

ABD POE S S ??=2，设)14

1

,(2+-x x x P ，由题意可以解出x ．

（1）解：14

12+-=x x y

（2）证明：设点)12,(--m m 在二次函数14

12+-=x x y 的图象上，

则有：14

1122++=-m m m ，

整理得0842=+-m m ， ∵01684)4(2<-=?--=? ∴原方程无解，

∴点)12,(--m m 不在二次函数14

12+-=x x y 的图象上．

（3）解：①)3,0(-K 或)5,0(

②二次函数的图象上存在点P ，使得ABD POE S S ??=2，

如图，过点B 作x BF ⊥轴于F ，则AO CE BF ////，又C 为AB 中点， ∴EF OE =，由于14

12+-=x x y 和1+=x y 可求得点)9,8(B

∴)5,4(),1,4(),0,4(C D E ∴x AD //轴，

∴16442

122=???==??ABD POE S S ．

设)14

1,(2

+-x x x P ，

由题意得：222

1)14

1(42

122+-=+-?=?x x x x S POE

∵ABD POE S S ??=2