上海市2020-2021学年虹口区高三数学一模试卷 附答案
虹口区2020学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
高三数学 试卷
（时间120分钟，满分150分） 2020.12
一．填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，本大题满分54分）
1．已知集合{}R x x x A ∈>+=,03，{}
R x x x x B ∈<-+=,0822，
则=?B A ． 2．方程0222=++x x 的根是_____________. 3．行列式
α
ααα
ααcos sin cos cos sin sin +-的值等于 ．
4．函数()2()log 24f x x =+的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -= ．
5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的
概率为 （用数字作答）．
6．在8(21)x +的二项式展开式中，2x 项的系数是 ． 7．计算：=-∞
→n
n n 2234lim
．
8．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A 、B 两点，且4=AB ，则=p ．
9．已知）
，（πα0∈，且有αα2cos 2sin 21=-，则=αcos __________． 10．设21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，点P 在双曲线右支上
且满足||212F F PF =，双曲线的渐近线方程为034=±y x ，则=∠21cos F PF ．
11．若,a b 分别是正数p ，q 的算术平均数和几何平均数，且,,2a b - 这三个数可适当排序
后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq q p ++ 的值形成的集合．．
是 ． 12．已知数列{}n a 满足21-=a ，且n a S n n +=
2
3
（其中n S 为数列{}n a 前n 项和），)(x f 是
定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，则=)(2021a f . 二．选择题（每小题5分，满分20分）
13．若a b >，则下列各式中恒正的是（ ）
.A )lg(b a - .B 33b a - .C b a 5.05.0- .D b a -
14．在ABC ?中，若02
=+?AB BC AB ，则ABC ?的形状一定是（ ）
.A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰三角形， .D 等腰直角三角形
15．已知函数)0,0(,
)sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的图像与直线)0(A b b y <<=的三
个相邻交点的横坐标依次是1，2，4，下列区间是函数)(x f 单调递增区间的是（ ）．
.A []3,0 .B ??????3,23 .C []6,3 .D ??
????
29,3 16．在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A 、B ，过直线l 做平面α，使得点A 、B 到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能．．．
是（ ）． .A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 无数个
三．解答题（本大题满分76分）
17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）
如图在三棱锥ABC P -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3===AP AC AB ，点M 在AP 上，且1=AM ．
（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥BMC P -的体积．
18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）
已知函数)1()1()1()(22-+-++=a x a x a x f ，其中R a ∈．
（1）当)(x f 是奇函数时，求实数a 的值；
（2）当函数)(x f 在),2[+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围．
19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）
如图所示，,A B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电．要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km ）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得,A B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨． （1）当15AP km =时，求APB ∠的值；
（2）发电厂尽量远离居民区,要求PAB ?的面积最大．问此时发电厂与两个垃圾中转站的
距离各为多少？
20．（本题满分16分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题6分.）
已知点)0,1(-A 、)0,1(B ,直线0:=++c by ax l (其中R c b a ∈,,），点P 在直线l 上.
（1）若a ，b ，c 是常数列，求PB 的最小值；
（2）若a ，b ，c 成等差数列，且l PA ⊥，求PB 的最大值； （3）若a ，b ，c 成等比数列，且l PA ⊥，求PB 的取值范围．
·
·
居民生活区
北
P
21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）.
设x 是实数，n 是整数，若1
2
x n -<，则称n 是数轴上与x 最接近的整数． （1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数,写出
一个满足条件的数列{}n a 的前三项；
（2）数列{}n a 的通项公式为n a n =,其前n 项和为n S ，求证：整数n a 是数轴上与实数
n S 2最接近的整数；
（3）n T 是首项为2，公比为3
2
的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数，求202021d d d +++ .
参考答案
一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1、)2,3(-； 2、i ±-1； 3、1； 4、6； 5、
6
1
； 6、112； 7、2； 8、2； 9、
55； 10、5
4
； 11、{}9； 12、0； 二、选择题（每小题5分，满分20分）
13、B ； 14、B ； 15、D ； 16、C ； 三、解答题（本大题满分76分）
17、（14分）解:（1）如图，取线段1=AN ，连MN 、BN .
MN ∥PC ，∴BMN ∠的大小等于异面直线BM 和PC 所成的角或补角的大
小．…………3分
23
1
22=+=
AC PA MN ，10132=+==BN BM 10510
2221cos =
==∠BM MN
BMN ,105arccos =∠BMN ……6分 所以异面直线BM 和PC 所成的角的大小等于10
5
arccos
．………………7分 （2） AB 、AC 、AP 两两垂直,3==AC AB ，3=AP ,1=AM .
∴29
333213131=????=?=?-PA S V ABC ABC P .…………9分
2
3
133213131=????=?=?-MA S V ABC ABC M .…………11分
323
29=-=-=---ABC M ABC P BMC P V V V .
∴三棱锥BMC P -的体积大小等于3（立方单位）． (14)
分
18、（14分）解：（1） )(x f 是奇函数，∴对任意x 均有
)()(x f x f -=-成立．…………2分
∴)]1()1()1[()1())(1())(1()(2222-+-++-=-+--+-+=-a x a x a a x a x a x f
整理得0)1()1(22=-++a x a ．……………………4分
∴?
??=-=+01012a a ，从而解得1-=a .………………7分．
（2）当1-=a 时，x x f 2)(-=,在),2[+∞上递减，不符合题意．…………9分 当1-≠a 时，此函数是二次函数，根据二次函数的单调性，要使得)(x f 在)
,2[+∞上单调递增，只要??
?
??≤+-->+2)1(21
1a a a ．………………11分
解得??
?
??-≥->531
a a ,∴53-≥a ……………………14分
19、（14分）解：（1）由条件，得
505
303PA PB ==, 15,9PA PB ==，……2分 则222
159165cos 215927APB +-∠==?? ,所以5
arccos 27
APB ∠=； (6)
（2）由条件①，得505
303
PA PB ==，可设5,3PA t PB t ==，其中28t <<……8分
22222
(5)(3)1617128
cos 25315t t t APB t t t +--∠==?? , sin APB ∠=10分 则=?PAB S 11165322h t t ????=900)34(440961088162
224+--=-+-t t t 当t =,PA PB ==时，h 取得最大值15千米. …………13分 即当PA =PB =.…………14分
20、（16分）解：（1）当a ，b ，c 是常数列时，直线方程是01:=++y x l .
B 到直线l 的距离22
1
01=++=
d ,所以PB 的最小值为2.………………3分
(2)当a ，b
，c 成等差数列时，c a b +=2,即02=+-c b a ，
直线l 过点)2,1(-M …………………………5分
由于l PA ⊥,点P 在以AM 为直径的圆上，此圆的圆心为)1,0(-C ，半径为2，方程为
2)1(22=++y x .………………………………7分
而点B 在此圆上,所以PB 的最大值22.……………………10分
另解：当0=a 时，则0≠b ,由c a b +=2得b c 2=,:l 02=+y ，)2,1(--P ，
22=PB .……………………4分
当0=b 时，则0≠a ,由c a b +=2得a c -=,:l 01=-x ，)0,1(P ，
居民生活区 北
0=PB .………………5分
当0≠a 且0≠b 时，)1(:+=x a b y MP ,又c a b +=2,由???
??=+++=0)1(c by ax x a
b y 得 ???
???
?+-=+--=222
22
2)(22b a b a b y b a b ab a x ……………………7分 81
)(88)()(4)12(2222222222
22222
<+=+=+-+-+--=b
a b a b b a b a b b a b ab a PB ,所以22 所以PB 的最大值22.……………………10分 （3）由a ，b ，c 成等比数列，得ac b =2 ，a 、b 、c 都不为0. 由?????=+++=0) 1(c by ax x a b y 得??? ?? ??+-= +-=)()(2222 2222b a a b a b y b a b x ……………………12分 1)(1 )(6)()(6)()()12(2242 224 2 24 22222 22 2 2222 2+++=+++=+-+-+-=a b a b a b b a a b b a a b a a b a b b a b PB .……14分 令2 ()1(1,2) (2,)b t a =+∈+∞，则2 4 4(1,4)(4,)PB t t =- +∈+∞， 所以PB 的取值范围是122+∞（，）（，）……16分 21、（18分）解：(1) 2111< -a ，得23211< 7