动力系统模型
A First Course in Mathematical Modeling (Third Edition)
Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William P. Fox
China Machine Press
数学建模(原书第3版) 叶其孝姜启源等译机械工业出版社
第1章对变化进行建模
引言
为了更好地了解世界,人们常常用数学来描述某种特定现象.这种数学模型是现实世界现象的理想化,但永远不会是完全精确的表示.尽管任何模型都有其局限性,但是好的模型能够提供有价值的结果和结论.在本章中我们将重点介绍对变化进行建模.
简化比例性
多数模型简化了现实的情况.一般情况下,模型只能近似地表示实际的行为.
一种非常强有力的简化关系就是比例性.
定义两个变量y和x是(互成)比例的,如果kx
y=,我们记为x
y∝.从几何上看,y关于x的图形位于通过原点的一条直线上.
例1 测试比例性
做一个测量弹簧的伸长作为置于弹簧末端的质量的函数的实验,表1-1为该实验收集到的数据
表1-1 弹簧—质量系统
条直线.
图1-1 来自弹簧—质量系统的数据
看来该数据遵从比例性法则，伸长e与质量m成比例，或者说m
e∝。该直线看似通过原点。在本例中，假设这两种数据成比例看来是合理的，我们选位于
直线上的两点)25.3,200(和)875.4,300(来估计比例系数k （直线斜率）：
01625
.0200
30025.3875.4=--=
k
因此比例系数约为0.0163，于是可以建立以下估算模型：
m e 0163.0=
然后把表示该模型的直线图形重叠画到散点图上，以考察模型对这些数据的拟合效果。从图中可以看出这个简化的比例模型是合理的。
图1-2来自弹簧—质量系统的数据和比例性模型直线
对变化进行建模
对变化进行建模的一个非常有用的范例就是：
未来值=现在值+变化
人们往往希望从现在知道的东西加上精心观测到的变化来预测未来。在这种情形中，可以先按照公式：
变化=未来值-现在值
来研究变化。
1.1 用差分方程对变化进行建模
定义 数列{} n a a a A ,,,10=的一阶差分是
;
11
210
10n n n a a a a a a a a a -=?-=?-=?+
例1 储蓄存单
考虑一开始价值为1000美元的储蓄存单在月利率为1%的条件下的累积价值。下面的数列表示该储蓄存单逐月的价值：
{} ,30.1030,10.1020,1010,1000=A
其一阶差分为： 1010001010010=-=-=?a a a
10.10101010.1020121=-=-=?a a a
注意，一阶差分表示在一个时间周期里数列的变化，在储蓄存单的例子中即是所得的利息。
如果n 是月数而n a 是n 个月后储蓄存单的价值，那么每个月价值的变化（或者利息增长）由第n 个差分
n n n n a a a a 01.01=-=?+
来表示。即有如下的差分方程
n n n n a a a a 01.101.01=+=+
我们还知道一开始的存款（初值），于是就得出了以下动力系统模型
1000
,2,1,0,01.101===+a n a a n n
其中，n a 是n 个月后储蓄存单的价值。由于n 表示非负整数，故上面的方程可以表示为无穷多个代数方程，称为动力系统。动力系统能够描述从一个周期到下一个周期的变化。知道了该序列中的某一项，就可以通过差分方程算出紧接着它的下一项，但是不能直接算出任意特定项的值（例如，100个周期后的储蓄值100a ）。 修改一下这个例子，如果要从账户中每月提款50美元，那么一个周期里存款的变化就应该是该周期里挣的利息减去月提款：
5001.01-=-=?+n n n n a a a a
在大多数例子中，用数学方式描述变化不会像这里所说的那样精确，常常需要画出变化，观察模式，然后用数学术语来描述变化。即，试图寻求
f
a n 某个函数
变化=?=
变化可能是数据序列中前一项的函数（就象没有月提款的情形），或者还包含某些外来项（诸如上面提到的题款数或涉及周期n 的一个表达式）。即
)(该序列中的项，外来项
变化f a n =?=
例2 抵押贷款买房
六年前，你的父母筹措月利率为1%、每月还款为880.87美元的20年贷款资金80000美元买了房子。他们已经还款72个月，同时想知道他们还欠多少抵押贷款，他们正在考虑用他们得到的一笔遗产来付清欠款。或者他们可以重新根
据偿还期长短，以不同利率偿还抵押贷款。每个周期欠款额因要付的利息而增加，又因每月还款而减少：
87
.88001.01-=-=?+n n n n b b b b
求解1+n b 并加进初始条件就给出了下面的动力系统模型
80000
87.88001.101=-=?+=+b b b b b n n n n
其中n b 表示第n 个月后的欠款.因此:
45
.7983787.880)13.79919(01.013.7991913.7991987.880)80000(01.080000112001=-+=?+==-+=?+=b b b b b b
就给出了序列
),45.79837,13.79919,80000( =B
该序列的前13项数据如表1-2所示
表1-2 欠款额度表
图1-3 逐月欠款额
我们来总结一下例1和例2中介绍的重要思路.
定义 一个动力系统就是序列各项之间的一种关系.动力系统的数值解就是满足该动力系统的一张数据表.
习题1
写出能对所述情景的变化确切建模的动力系统的公式
1.目前你在储蓄账户上有月付利息为0.5%的存款5000美元,你每个月再存入200美元.
2.你的信用卡上有月付利息1.5%的欠款500美元.你每月偿还50美元并且不再有新的欠款.
3.你的父母正在考虑一项贷款期限30年、每月要支付0.5%利息的100 000美元抵押贷款，试建立一个能够在360次付费后还清借款的用月供p 表示的模型。提示：如果n a 表示n 个月后的欠款，那么0a 和360a 表示什么呢？
4.你的祖父母有一份养老金（年金）。每月把上一个月结余的1%作为利息自动存入养老金。你的祖父母每月初要取出1000美元作为生活费用。目前他们的养老金为50 000美元。试用动力系统对养老金建模。养老金会用光吗？什么时候用光？提示：当养老金用光时，n a 的值为多少？
研究课题
你希望买一辆新车而且选择范围只限于Saturn 、Cavalier 和Hyundai 三家公司。每家公司都向你提供其最优惠的交易条件：
Saturn 车价13 990美元 预付定金1000美元 月利率3.5%直到60个月 Cavalier 车价13 550美元 预付定金1500美元 月利率4.5%直到60个月 Hyundai 车价12 400美元 预付定金500美元 月利率6.5%直到48个月 你每个月为买车最多能支付475美元。利用动力系统模型决定你应该买哪家公司的车。
1.2 用差分方程近似描述变化
在大多数例子中，数学地描述变化不会像前节给出的储蓄存单和抵押贷款案例中那样有确切的步骤。一般情况下，我们必须画出变化，观察模式，然后再用数学术语来近似描述变化：
f
a n 某个函数
变化=?=
例1 酵母培养物的增长
图1-4中的数据是从测量酵母培养物增长的实验收集来的。图形显示可以假设种群量的变化和当前种群量的大小成比例。即，n n n n kp p p p =-=?+1，其中n p 表示n 小时后种群生物量的多少，而k 是一个正常数。k 的值依赖于时间的测量。
表1-3 酵母培养物随时间变化的数据
生物量pn
生物量变化d e l t a p n
图1-4 酵母培养物增长对以小时计的时间
虽然该数据的图形并不恰好位于过原点的一条直线上,但是可以用一条过原点的直线来近似.我们估算出该直线的斜率大约为0.5.利用直线斜率的估计
5.0=k ,我们假设比例模型为
n n n n p p p p 5.01=-=?+
它给出预测n n p p 5.11=+.这个模型预测种群量总是增长的,这是可疑的.
模型的改进:对出生、死亡和资源的建模
如果在一个周期里出生和死亡都和种群量成正比，那么例1所说明的那样种群量的变化应该和种群量成正比。但是，某些资源（例如食物）只能支持某个最大限度的种群量而不能支持无限增长的种群量。当接近这个最大限度时，增长就会慢下来。
例2 再论酵母培养物的增长
表1-4 酵母培养物随时间变化的数据
图1-5酵母生物量趋近一个极限种群量水平
从上面的数据表可以看出当资源变得更为有限或受到更多限制时，每小时种群量的变化就变得比较小。从种群量对时间的图形看，种群量趋于一个极限值或容纳量，我们根据图形估计容纳量为665（实际上，图形并不能确切地告诉我们容纳量是665而不是664或666）。然而n p 趋近665时，变化确实大大减慢了。因为
当n p 趋近665时，n p -665变得更小了，我们尝试以下模型
n n n n n p p k p p p )665(1-=-=?+
这造成了当n p 趋近665时，变化n p ?变得越来越小。数学上，这个假设的模型说明变化n p ?和乘积n n p p )665(-成比例。为测试模型，画出n n n p p p -=?+1对n n p p )665(-的图形，看看是否存在合理的比例性，然后来估算比例系数k 。
2
4
68
10
12x 10
4
pn(665-pn)
d e l t a p n
图1-6测试受限制的增长模型
考察图1-6,我们看到n n n p p p -=?+1对n n p p )665(-的图形确实合理地近似于过原点的一条直线.我们估计该直线的斜率约为00082.0≈k ,这样我们就给出如下的动力系统模型:
6
.9)665(00082.001=-=-=?+p p p p p p n n n n n
上面的模型也可以写成
6
.9)665(00082.001=-+=+p p p p p n n n n
该模型右边关于n p 是二次的，这种动力系统是非线性的。而且一般不能求得解析解。即通常不能直接求出用n 来表示n p 的公式解。但是，给定初值
6.90=p ，我们可以依次代入该模型得出数值解（一张数据表）。
模型的检验
将模型预测的数值解与观察值在画在同一幅图形中比较，可以看出我们的模型很好地抓住了所观察到的数据的趋势。
246
81012141618
以小时计的时间
酵母生物量
图1-7模型的检验
例3 接触性传染病的传播
假定学院宿舍里有400个学生而且一个或更多个学生得了严重的流感。令n
i 表示n 个时间周期后（例如n 天后）受感染的学生数。假设在已经感染的学生和尚未感染的学生之间存在某种相互作用使疾病得以传播,如果所有人对于该传染病都是易感的,那么n i -400就表示易感而尚未感染的学生.如果已经感染的学生在继续传播疾病,那么我们可以认为变化的已感染者数量(新增的感染者)n n n i i i -=?+1和已感染者与尚未感染者的乘积成比例:
)400(1n n n n n i i k i i i -=-=?+
这里我们虽然没有数据,但从酵母生物量的例子中可以想到,感染者的数量曲线也是S 形的.
这个模型可以有许多改进.例如,我们可以假设一部分人不易被感染、或者感染周期是有限制的、或者为防止和未感染者的相互作用，已感染的学生都搬出了宿舍。更复杂的模型甚至能分别处理已感染人口和易感染人口。
例4 血流中地高辛的衰减 地高辛用于治疗心脏病，医生开的处方上的剂量应能保持血流中地高辛的浓度高于一个有效水平值而又不能超过一个安全水平值（对不同的病人，这些值会有所不同）。对于血流中初始剂量为0.5毫克的情形,表1-5展示了该病人n 天后其血流中地高辛的剩余量n a ,以及每天的变化量n a ?.
表1-5 病人血流中地高辛的变化n a
图1-8是根据上表数据画出的n a ?对n a 的散点图.图形展示了在一个时间段里的变化n a ?和该时间段开始时血流中地高辛的含量n a 大致成比例.过原点的比例直线的斜率310.0345.0/107.0-≈-≈k ,所以我们有n n a a 310.0-=?.从而得到下面的动力系统模型:
5
.069.031.0011==-=-=?++a a a a a a a n n n n n n
图1-8 n a ?对n a 的图形表明其为过原点的直线
习题2
1. 从引进到塔斯马尼亚岛的新环境里的羊群数量的增长得到下面的数据。
根据数据画出图形.能看出某种趋势么?画出1814年后数量变化对年份 的图形.构建一个能合理描述你所观察到的变化的离散动力系统.
2.
数据值来测试你的模型。
3. 社会学家识别出一种称为社会扩散的现象，即在人群中传播一段信息、 一项技术革新或者一种文化时尚。人群可以分为两类：知道该信息的人 和不知道该信息的人。在人群数目已知的情形下，可以合理地假设扩散 率与知道该信息的人数和不知道该信息的人数的乘积成比例。然后记n a 为总数为N 的人群在n 天后已经知道该信息的人数，构建一个能近似表 示人群中已经知道该信息的人数变化的动力系统。
4. 虑在人口总数为N 的孤岛上一种传染性很强的疾病的传播问题。一部 分岛上的人到岛外旅行并患上这种疾病回到岛内。构建一个能近似表示 患病人数变化的动力系统。
5. 假设我们考虑鲸鱼的生存问题，如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平m 的话，那么该物种将会灭绝。还假设由于环境的容纳量M ，鲸鱼的数量 是受到限制的。即，如果鲸鱼的数量高于M ，因为环境无法支持，数量 将会下降。在下面的模型中，n a 表示n 年后的鲸鱼数量；试讨论模型
)
)((1m a a M k a a a n n n n n --=-=?+
6. 假设存在某种药物,当其浓度大于100毫克/升时,可以治疗疾病,药物的
初始浓度为640毫克/升.从实验知道该药物以每小时现有量的20%的比 率衰减.
(a)构造一个表示每小时浓度的模型.
(b)建立一张浓度值表并确定何时浓度达到100毫克.
7. 利用习题6研制的模型开一个初始剂量处方,以及一个能把浓度保持在 高出有效水平500ppm(即百万分之500或万分之五)但低于安全水平 1000ppm 的维持剂量处方.用不同的值来做实验,直到结果满意为止. 8. 附表的数据展示了一辆汽车的速率n(以5英里/小时的增量计)以及从刹
车到停止的(滑行)距离n a ,例如,6=n (表示6×5=30英里/小时)时所需
的停止距离为ft 476=a .
(a)计算并画出变化n a ?对n 的图形,该图形能合理地近似表示一种线性 关系么?
(b)根据你在(a)中的计算,对停止距离数据求一个差分方程模型,通过画 出与n 相对应的预测值的误差来测试你的模型,讨论模型的正确性.
1.3 动力系统的解法
例1 再论储蓄存单
在储蓄存单例子中,储蓄存单一开始存有1000美元,每月按结存的1%付给利息.如果既不存款也不取款,那么就确定了以下动力系统.
1000
01.101==+a a a n n
容易看出该动力系统的解为 ,2,1,0,1000)01.1(==n a n n
Th1 对r 为非零常数的线性动力系统n n ra a =+1,它的解为
,2,1,0,0==k a r a k
k
例2 污水处理
一家污水处理厂通过去掉污水中所有的污染物来处理未经处理的污水,以生产有用的肥料和清洁的水.该处理过程每小时去掉处理池中剩余的污物的12%.1天后处理池中将留下百分之几的污物?要多长时间才能把污物的量减少一半?要把污物减少为原来的10%,要多长时间？
1a r a n
n =+，r 为常数时的长期行为
(1)0=r 的情形;(2)1=r 的情形
(3)1>r 的情形:此时序列{}0a r a k k =是无界的（例如储蓄存单例子）
(4)0 (5) 1 ①如果10< →∞ →a r a k k k k ，地高辛的例子提供了一个例证。 ②如果01<<-r ，那么0lim lim 0==∞ →∞ →a r a k k k k ，但此时序列{}0a r a k k =将变 号地趋于0。例如线性动力系统6.0,)5.0(01=-=+a a a n n n (6) 1- b ra a n n +=+1的动力系统，其中r 和b 均为常数 定义：当a a =0时，如果对所有的 ,3,2,1=k 有a a k =，则将数a 称为动力系统)(1n n a f a =+的平衡点或不动点。即a a k =是该动力系统的常数解。 推论：a 是)(1n n a f a =+的平衡点的充要条件是当a a =0时，)(a f a =。 例3 地高辛处方 再次考虑地高辛问题。如何考虑地高辛在血流中的衰减问题，以开出能使地高辛浓度保持在可接受（安全而且有效）的水平上的剂量处方呢？ 假定开了每日0.1毫克的地高辛剂量处方，而且知道在每个剂量周期末还剩余一半地高辛。这就导致了下面的动力系统 1.05.01+=+n n a a 现在考虑三个初始剂量 A ：1.00=a ； B ：2.00=a ； C ：3.00=a ； 表1-6以及图1-9给出了三种初始剂量下的数值解 表1-6 三种地高辛初始剂量的数值解 图1-9三种地高辛初始剂量的数值解 注意到0.2是一个平衡点，因为一旦达到了这个值，系统永远停在0.2处。此外，如果从低于平衡点或高于平衡点的初值开始，那么显然会趋于平衡点作为其极限。 例4 投资年金 讨论活期存款账户问题并考虑年金（养老金）问题。年金常常是为退休目的而规划的。年金基本上是活期存款账户，对现有的存款付给利息而且允许每月有固定数额的提款，直到提尽为止。一个有趣的问题是确定每月必须存入的存款数以建立一笔允许提款的年金，使得在账户中的存款用尽之前，能在计划的年数期间从某个年龄开始每月提取规定的款项。 现在考虑月利率为1%以及月提款额为1000美元的情形。可以建立如下动力系统模型： 1000 01.11-=+n n a a 我们考虑下面的三种初值情形 A ：000900=a ； B ：0001000=a ； C ：0001100=a ； 图1-10给出了三种情形下的数值解 图1-10 三种初始投资的年金 注意到000100=a 是该动力系统的一个稳定点,因为一旦达到这个值,序列中的项将不再变化. 但是如果我们的初值高于这个平衡点,就会导致序列中的项的数值将无限增长(试对01.0001000=a 的情形画出图形). 另一方面,如果我们从低于100000美元的初值开始,那么存款将以不断增加的速率取尽(试对99.999990=a 的情形画出图形). 注意即使初值仅相差0.02美元,动力系统解的长期行为也会有巨大差异.在这种情形下,我们说该平衡点是不稳定的,而在地高辛处方的例子中,我们称0.2这个平衡点是稳定的. 例5 活期储蓄账户 大多数学生不可能在其活期储蓄账户中保持足够的存款以获取一点点利息.假定你有一个无息账户,而且每个月你只支付宿舍租金300美元,这就给出了动力系统: 300 1-=+n n a a 显然在初值30000=a 的情形下,该动力系统的数值解图形如下 图1-11 支付宿舍租金的活期储蓄账户 现在把迄今的观察结果集中起来,按照常数r 的值来对三个例子及其长期行为进行分类. 求平衡点并对其进行分类 确定是否存在平衡点并将其分为稳定的或不稳定的,这将有助于分析该动力系统的长期行为. 在例3(地高辛处方)中,怎么知道0.2的起始值会导致常数解或平衡点呢?类似地，怎么知道例4（年金问题）中对于投资100000美元的同样问题的答案呢？ 对于形为：b ra a n n +=+1的动力系统，如果存在平衡点a 的话，根据平衡点定义不难看出，平衡点a 必将满足 b ra a += 由此容易求出 1,1≠-= r r b a 如果0,1==b r ，那么每个初始值都将导致常数解（平衡点）。因此每个值（起始值）都是平衡点。下面的定理总结了我们的观察。 Th2 动力系统1,1≠+=+r b ra a n n 的平衡点就是r b a -= 1，如果1=r 而且 0=b ，那么每个数都是平衡点。如果1=r 而0 ≠b ，那么平衡点不存在。并且 有：①1 对动力系统1,1≠+=+r b ra a n n 的解的猜测 在1 r b a a a r k k k k k k -= ===∞ →+∞ →∞ →1lim lim ,0lim 1 因此我们猜测该动力系统的解为： r b c r a k k -+ =1 其中c 为依赖于初始条件的某个常数（在给定起始值0a 的条件下，?=c ）。请同学们对这个解的正确性加以验证。事实上对于1>r 的情形也有类似结论。 Th3 动力系统1,1≠+=+r b ra a n n 的解为r b c r a k k -+ =1，其中c 为依赖于初 始条件的某个常数。 例6 再论投资年金 对于例4中建立过模型的年金问题，需要多少初始投资才能保证20年（240个月）才把它用尽？ 解：动力系统100001.11-=+n n a a 的平衡点为 100000 01 .1110001=--=-= r b a 。 设它的解是 10000001.1+=c a k k ， 令 1000001.10240240+==c a ， 解得 58 .9180) 01.1/(100000240 -=-=c 。 所以有 42 .9081910000058.918010000)01.1(0 0=+-=+=c a 因此，初始投资90819.42美元就能使我们在20年里从账户中每月提款1000美元（总的提款额为240000美元）。在20年的年底，账户中的存款就被取尽了。 再次考虑酵母生物量的模型: 6 .9)665(00082.001=-+=+p p p p p n n n n 做一些代数运算后,该动力系统可以改写为: n n n a a r a )1(1-=+ 其中546.1,0005306.0==r p a n n .由该方程决定的序列n a 的长期行为对参数r 的值是非常敏感的.我们从1.00=a 开始,对不同的r 值画出了数值解的图形. 第10章系统动力学模型 系统动力学模型(System Dynamic)是社会、经济、规划、军事等许多领域进行战略研究的重要工具，如同物理实验室、化学实验室一样，也被称之为战略研究实验室，自从问世以来，可以说是硕果累累。 1 系统动力学概述 2 系统动力学的基础知识 3 系统动力学模型 第1节系统动力学概述 1.1 概念 系统动力学是一门分析研究复杂反馈系统动态行为的系统科学方法，它是系统科学的一个分支，也是一门沟通自然科学和社会科学领域的横向学科，实质上就是分析研究复杂反馈大系统的计算仿真方法。 系统动力学模型是指以系统动力学的理论与方法为指导，建立用以研究复杂地理系统动态行为的计算机仿真模型体系，其主要含义如下： 1 系统动力学模型的理论基础是系统动力学的理论和方法； 2 系统动力学模型的研究对象是复杂反馈大系统； 3 系统动力学模型的研究内容是社会经济系统发展的战略与决策问题，故称之为计算机仿真法的“战略与策略实验室”； 4 系统动力学模型的研究方法是计算机仿真实验法，但要有计算 机仿真语言DYNAMIC的支持，如：PD PLUS，VENSIM等的支持； 5 系统动力学模型的关键任务是建立系统动力学模型体系； 6 系统动力学模型的最终目的是社会经济系统中的战略与策略决策问题计算机仿真实验结果，即坐标图象和二维报表； 系统动力学模型建立的一般步骤是：明确问题，绘制因果关系图，绘制系统动力学模型流图，建立系统动力学模型，仿真实验，检验或修改模型或参数，战略分析与决策。 地理系统也是一个复杂的动态系统，因此，许多地理学者认为应用系统动力学进行地理研究将有极大潜力，并积极开展了区域发展，城市发展，环境规划等方面的推广应用工作，因此，各类地理系统动力学模型即应运而生。 1.2 发展概况 系统动力学是在20世纪50年代末由美国麻省理工学院史隆管理学院教授福雷斯特（JAY.W.FORRESTER）提出来的。目前，风靡全世界，成为社会科学重要实验手段，它已广泛应用于社会经济管理科技和生态灯各个领域。福雷斯特教授及其助手运用系统动力学方法对全球问题，城市发展，企业管理等领域进行了卓有成效的研究，接连发表了《工业动力学》，《城市动力学》，《世界动力学》，《增长的极限》等著作，引起了世界各国政府和科学家的普遍关注。 在我国关于系统动力学方面的研究始于1980年，后来，陆续做了大量的工作，主要表现如下： 1）人才培养 弹簧阻尼系统动力学模 型a m s仿真 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 震源车系统动力学模型分析报告一、项目要求 1）独立完成1个应用Adams软件进行机械系统静力、运动、动力学分析问题，并完成一份分析报告。分析报告中要对所计算的问题和建模过程做简要分析，以图表形式分析计算结果。 2）上交分析报告和Adams的命令文件，命令文件要求清楚、简洁。 二、建立模型 1）启动admas，新建模型，设置工作环境。 对于这个模型，网格间距需要设置成更高的精度以满足要求。在ADAMS/View菜单栏中，选择设置（Setting）下拉菜单中的工作网格（WorkingGrid）命令。系统弹出设置工作网格对话框，将网格的尺寸(Size)中的X和Y分别设置成750mm和500mm，间距（Spacing）中的X和Y都设置成50mm。然后点击“OK”确定。如图2-1所表示。 图2-1设置工作网格对话框 2）在ADAMS/View零件库中选择矩形图标，参数选择为“onGround”，长度（Length）选择40cm高度Height为1.0cm，宽度Depth为30.0cm，建立系统的平台，如图2-2所示。以同样的方法，选择参数“NewPart”建立part-2、part-3、part-4，得到图形如2-3所示， 图2-2图2-3创建模型平台 3）施加弹簧拉力阻尼器，选择图标，根据需要输入弹簧的刚度系数K和粘滞阻尼系数C，选择弹簧作用的两个构件即可，施加后的结果如图2-4 图2-4创建弹簧阻尼器 4）添加约束，选择棱柱副图标，根据需要选择要添加约束的构件，添加约束后的模型如2-5所示。 图2-5添加约束 至此模型创建完成 三、模型仿真 1)、在无阻尼状态下，系统仅受重力作用自由振动，将最下层弹簧的刚度系数K设置为10，上层两个弹簧刚度系数均设置为3，小物块的支撑弹簧的刚度系数为4，阻尼均为0，进行仿真，点击图标，设置EndTime为5.0，StepSize为0.01，Steps为50，点击图标，开始仿真对所得数据进行分析。 选择物块的位移、速度、加速度与时间的图像如图3-1、3-2、3-3所示，经过傅里叶变换之后我们可以清楚地看到系统的各阶固有频率。 图3-1位移与时间图像以及FFT变换图像 图3-2速度与时间图像以及FFT变换图像 图3-3加速度与时间图像以及FFT变换图像 通过傅里叶变换，从图中可以看出系统为三阶系统，表现出三阶的固有频率，通过测量得到w1=2.72，w2=4.29，w3=6.15.。 2）为了更进一步验证系统的各阶固有频率，我们给系统施加一定频率的正弦激振力，使系统做受迫振动，观察系统的振动情况， （a）F1=50*sin(2*3.14*w1*time)时，物块振动的速度与时间的图像如3-4所示。 图3-4 F1作用下速度与时间图像以及FFT变换图像 系统动力学模型介绍 1.系统动力学的思想、方法 系统动力学对实际系统的构模和模拟是从系统的结构和功能两方面同时进行的。系统的结构是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。而系统的功能是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构和功能，分别表征了系统的组织和系统的行为，它们是相对独立的，又可以在—定条件下互相转化。所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素，才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度，而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系和相互作用关系与实际系统结构的一致程度。模拟过程中所需的系统功能方面的信息，可以通过收集，分析系统的历史数据资料来获得，是属定量方面的信息，而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识和理解程度，其中也包含着大量的实际工作经验，是属定性方面的信息。因此，系统动力学对系统的结构和功能同时模拟的方法，实质上就是充分利用了实际系统定性和定量两方面的信息，并将它们有机地融合在一起，合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。 2.建模原理与步骤 (1)建模原理 用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就是系统动力学的系统观和方法论。系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性和相似性。系统内部的反馈结构和机制决定了系统的行为特性，任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。系统动力学模型的系统目标就是针对实际应用情况，从变化和发展的角度去解决系统问题。系统动力学构模和模拟的一个最主要的特点，就是实现结构和功能的双模拟，因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。与其它模型一样，系统动力学模型也只是实际系统某些本质特征的简化和代表，而不是原原本本地翻译或复制。因此，在构造系统动力学模型的过程中，必须注意把握大局，抓主要矛盾，合理地定义系统变量和确定系统边界。系统动力学模型的一致性和有效性的检验，有一整套定性、定量的方法，如结构和参数的灵敏度分析，极端条件下的模拟试验和统计方法检验等等，但评价一个模型优劣程度的最终标准是客观实践，而实践的检验是长期的，不是一二次就可以完成的。因此，一个即使是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善，以适应实际系统新的变化和新的目标。 (2)建模步骤 系统动力学构模过程是一个认识问题和解决问题的过程，根据人们对客观事物认识的规律，这是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程，因此它必须是一个由粗到细，由表及里，多次循环，不断深化的过程。系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验和模型使用五大步骤这五大步骤有一定的先后次序，但按照构模过程中的具体情况，它们又都是交叉、反复进行的。 第一步系统分析的主要任务是明确系统问题，广泛收集解决系统问题的有关数据、资料和信息，然后大致划定系统的边界。 第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量和信息反馈机制。 第三步模型建立是系统结构的量化过程(建立模型方程进行量化)。 第四步模型试验是借助于计算机对模型进行模拟试验和调试，经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。 第五步模型使用是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究和做各种政策实验。 3.建模工具 系统动力学软件VENSIM PLE软件 4.建模方法 因果关系图法 在因果关系图中，各变量彼此之间的因果关系是用因果链来连接的。因果链是一个带箭头的实线(直线或弧线)，箭头方向表示因果关系的作用方向，箭头旁标有“+”或“-”号，分别表示两种极性的因果链。 系统动力学优化方法案例研究 1研究背景 农业生态系统是由自然生态系统和社会经济系统组成的复杂系统，它的发展受人类、社会、经济、政策、科技和自然等因素综合作用，呈现高度非线性、多回路、复杂的动态特性。农业生态系统的优化管理就是对农业生产进行合理的人为干预，通过政策实施和技术支撑，对系统结构和功能进行合理调控，使农业生态系统处于安全与健康状态，为人类提供持续的生态服务、满足人类生存和发展需求。 禹城农业生态系统为县级尺度的生态系统。全市拥有耕地52927 hm2，全市总人口499755人，其中农业人口415913人。土地平坦，水资源丰富，适合农业生产，经济以农业为主，农业长期以种植业为主，20世纪90年代，粮食单产稳定在12000kg/hm2以上，畜牧业有了较快发展，逐步呈现农牧结合的良好态势，到2000年种植业产值和畜牧业产值在农业生产总产值中分别占到65.0%和29.8%。种植业以小麦、玉米为主，部分为棉花、蔬菜、瓜果等经济作物，养殖业以牛、猪、鸡为主。目前，随着我国农业发展进入新阶段，面临新一轮农业结构调整，根据区域资源特点及我国优势农产品区划，禹城市既是粮食生产优势产区，同时也是畜牧业生产的优势产区，种植业子系统和养殖业子系统是禹城市农业生态系统两个最主要的子系统，种植业和养殖业的结合也是农业生产最基本的形式。养殖业在农业生态系统中的重要作用，一方面主要表现为提供营养丰富的动物性食品和增加经济收入，另一方面则表现为充分利用种植业副产物，并为种植业提供大量有机肥从而可适当减少化肥用量。种植业和养殖业的有机结合，有利于减少工业辅助能的投入，能够提高抵抗自然灾害和社会经济风险的能力，可以增加系统的稳定性。运用系统动力学方法优化并调控种植业和养殖业内部组分结构比例，协调种植业和养殖业两个子系统之间的相互关系，探讨实现系统的整体高效和良性循环的途径。 2模型的建立与检验 （1）建模思路 应用系统动力学模型对禹城市农牧结合生态系统发展趋势进行动态模拟，并 第10 章系统动力学模型 系统动力学模型(System Dynamic)是社会、经济、规划、军事等许多领域进行战略研究的重要工具，如同物理实验室、化学实验室一样，也被称之为战略研究实验室，自从问世以来，可以说是硕果累累。 1 系统动力学概述 2 系统动力学的基础知识 3 系统动力学模型 第1 节系统动力学概述 1.1 概念系统动力学是一门分析研究复杂反馈系统动态行为的系统科学方法，它是系统科学的一个分支，也是一门沟通自然科学和社会科学领域的横向学科，实质上就是分析研究复杂反馈大系统的计算仿真方法。 系统动力学模型是指以系统动力学的理论与方法为指导，建立用以研究复杂地理系统动态行为的计算机仿真模型体系，其主要含义如下： 1 系统动力学模型的理论基础是系统动力学的理论和方法； 2 系统动力学模型的研究对象是复杂反馈大系统； 3 系统动力学模型的研究内容是社会经济系统发展的战略与决策问题，故称之为计算机仿真法的“战略与策略实验室” ； 4 系统动力学模型的研究方法是计算机仿真实验法，但要有计算 机仿真语言DYNAMIC勺支持，如：PD PLUS VENSIM等的支持； 5 系统动力学模型的关键任务是建立系统动力学模型体系； 6 系统动力学模型的最终目的是社会经济系统中的战略与策略决策问题计 算机仿真实验结果，即坐标图象和二维报表； 系统动力学模型建立的一般步骤是：明确问题，绘制因果关系图，绘制系统动力学模型流图，建立系统动力学模型，仿真实验，检验或修改模型或参数，战略分析与决策。 地理系统也是一个复杂的动态系统，因此，许多地理学者认为应用系统动力学进行地理研究将有极大潜力，并积极开展了区域发展，城市发展，环境规划等方面的推广应用工作，因此，各类地理系统动力学模型即应运而生。 1.2 发展概况 系统动力学是在20世纪50年代末由美国麻省理工学院史隆管理学院教授福雷斯特（JAY.W.FORRESTERI出来的。目前，风靡全世界，成为社会科学重要实验手段，它已广泛应用于社会经济管理科技和生态灯各个领域。福雷斯特教授及其助手运用系统动力学方法对全球问题，城市发展，企业管理等领域进行了卓有成效的研究，接连发表了《工业动力学》，《城市动力学》，《世界动力学》，《增长的极限》等著作，引起了世界各国政府和科学家的普遍关注。 在我国关于系统动力学方面的研究始于1980 年，后来，陆续做了大量的工作，主要表现如下： 1 ）人才培养 自从1980年以来，我国非常重视系统动力学人才的培养，主要采用“走出去，请进来”的办法。请进来就是请国外系统动力学专家来华讲学，走出去就是派留学生，如：首批派出去的复旦大学管理学院的王其藩教授等，另外，还多次举办了全国性的讲习班。 2 ）编译编写专著 第四章 系统动力学仿真模型 由于上海地区的汽车市场只是全国市场的一部分，其供应系统除了上海本地汽车生产企业之外，还有全国各地的汽车企业。随着加入WTO ，汽车产业逐步放开，将使我国的汽车市场成为国际市场的一部分，而价格也将与国际市场接轨。另外世界汽车市场上潜在的生产能力极大，总体上已经形成生产过剩的卖方市场。因此上海地区的汽车市场主要是需求问题。研究上海市私车发展的主要问题也将是需求问题。本文建立上海地区私车变化的系统动力学模型，从需求方面来研究上海市的私车发展。 §4.1 系统分析 §4.1.1 系统边界的确定 系统动力学分析的系统行为是基于系统内部要素相互作用而产生的，并假定系统外部环境的变化不给系统行为产生本质的影响，也不受系统内部因素的控制。因此系统边界应规定哪一部分要划入模型，哪一部分不应划入模型，在边界内部凡涉及与所研究的动态问题有重要关系的概念模型与变量均应考虑进模型；反之，在界限外部的那些概念与变量应排除在模型之外。 图4-1 上海市私家车系统组成结构图 根据系统论原理，一个完整的城市居民私家车消费系统不仅包括汽车的流通、交换和消费等环节，而且还包括城市人口、经济、社会环境和消费政策、公交等其他指系统，它是一个复杂的社会经济大系统（图4-1）。只有建立一个适合于该系统的动态分析模型，才可能全面准确地研究系统中各因素间的相互作用关系和它们对系统行为的影响。 根据系统建模的目的，本文研究系统的界限大体包括以下内容： 私车的需求量 私车的报废量 私车的市场保有量 私车的价格 私车的使用费用 私车的上牌费用 牌照限额 居民人均可支配收入 上海市人口数量 上海市总户数 私车发展系统 城市公交系统 城市市政系统 汽车市场系统 人口经济系统 系统动力学与案例分析 一、系统动力学发展历程 （一）产生背景 第二次世界大战以后，随着工业化的进程，某些国家的社会问题日趋严重，例如城市人口剧增、失业、环境污染、资源枯竭。这些问题范围广泛，关系复杂，因素众多，具有如下三个特点：各问题之间有密切的关联，而且往往存在矛盾的关系，例如经济增长与环境保护等。 许多问题如投资效果、环境污染、信息传递等有较长的延迟，因此处理问题必须从动态而不是静态的角度出发。许多问题中既存在如经济量那样的定量的东西，又存在如价值观念等偏于定性的东西。这就给问题的处理带来很大的困难。 新的问题迫切需要有新的方法来处理；另一方面，在技术上由于电子计算机技术的突破使得新的方法有了产生的可能。于是系统动力学便应运而生。 （二）J.W.Forrester等教授在系统动力学的主要成果： 1958年发表著名论文《工业动力学——决策的一个重要突破口》，首次介绍工业动力学的概念与方法。 1961年出版《工业动力学》(Industrial Dynamics)一书，该书代表了系统动力学的早期成果。 1968年出版《系统原理》(Principles of Systems)一书，论述了系统动力学的基本原理和方法。 1969年出版《城市动力学》(Urban Dynamics)，研究波士顿市的各种问题。 1971年进一步把研究对象扩大到世界范围，出版《世界动力学》(World Dynamics)一书，提出了“世界模型II”。 1972年他的学生梅多斯教授等出版了《增长的极限》(The Limits to Growth)一书，提出了更为细致的“世界模型III”。这个由罗马俱乐部主持的世界模型的研究报告已被翻译成34种语言，在世界上发行了600多万册。两个世界模型在国际上引起强烈的反响。 1972年Forrester领导MIT小组，在政府与企业的资助下花费10年的时间完成国家模型的研究，该模型揭示了美国与西方国家的经济长波的内在机制，成功解释了美国70年代以来的通货膨胀、失业率和实际利率同时增长的经济问题。(经济长波通常是指经济发展过程中存在的持续时间为50年左右的周期波动) （三）系统动力学的发展过程大致可分为三个阶段： 1、系统动力学的诞生—20世纪50-60年代 由于SD这种方法早期研究对象是以企业为中心的工业系统，初名也就叫工业动力学。这阶段主要是以福雷斯特教授在哈佛商业评论发表的《工业动力学》作为奠基之作，之后他又讲述了系统动力学的方法论和原理，系统产生动态行为的基本原理。后来，以福雷斯特教授对城市的兴衰问题进行深入的研究，提出了城市模型。 2、系统动力学发展成熟—20世纪70-80年代 这阶段主要的标准性成果是系统动力学世界模型与美国国家模型的研究成功。这两个模型的研究成功地解决了困扰经济学界长波问题，因此吸引了世界范围内学者的关注，促进它在世界范围内的传播与发展,确立了在社会经济问题研究中的学科地位。 3、系统动力学广泛运用与传播—20世纪90年代-至今 在这一阶段,SD在世界范围内得到广泛的传播,其应用范围更广泛,并且获得新的发展.系统动力学正加强与控制理论、系统科学、突变理论、耗散结构与分叉、结构稳定性分析、灵敏度分析、统计分析、参数估计、最优化技术应用、类属结构研究、专家系统等方面的联系。许多学者纷纷采用系统动力学方法来研究各自的社会经济问题，涉及到经济、能源、交通、环境、生态、生物、医学、工业、城市等广泛的领域。 （四）国内系统动力学发展状况 20世纪70年代末系统动力学引入我国，其中杨通谊，王其藩，许庆瑞，陶在朴，胡玉奎等专家学者是先驱和积极倡导者。二十多年来，系统动力学研究和应用在我国取得飞跃发展。我国成立国内系统动力学学会，国际系统动力学学会中国分会，主持了多次国际系统动力学大会和有关会议。 目前我国SD学者和研究人员在区域和城市规划、企业管理、产业研究、科技管理、生态环保、海洋经济等应用研究领域都取得了巨大的成绩。 二、系统动力学的原理 系统动力学是一门分析研究信息反馈系统的学科。它是系统科学中的一个分支，是跨越自然科学和社会科学的横向学科。系统动力学基于系统论，吸收控制论、信息论的精髓，是一门认识系统问题和解决系统问题交叉、综合性的新学科。从系统方法论来说，系统动力学的方法是结构方法、功能方法和历史方法的统一。 系统动力学是在系统论的基础上发展起来的，因此它包含着系统论的思想。系统动力学是以系统的结构决定着系统行为前提条件而展开研究的。它认为存在系统内的众多变量在它们相互作用的反馈环里有因果联系。反馈之间有系统的相互联系，构成了该系统的结构，而正是这个结构成为系统行为的根本性决定因素。 1.1 海洋资源可持续开发研究综述 海洋可持续发展包括三层含义，即海洋经济的持续性、海洋生态的持续性和社会的持续性，海洋的可持续发展以保证海洋经济发展和资源永续利用为目的，实现海洋经济发展与经济环境相协调，经济、社会、生态效益相统。运用海洋可持续发展理论和海域承载力理论研究海洋资源开发的可持续性，从我国的海洋产业入手，分析我国海洋资源开发利用的状况，从海洋产业结构和产业布局、海洋管理和海洋开发技术等方面总结我国海洋开发的问题，并针对这些问题，提出切实可行的实现海洋可持续发展的途径和措施。国外学者对海洋资源的发展和研究进行研究，建立相应的模型，认为技术在海洋资源发展过程中起到极其重要的作用。国内学者则以具体省份为例研究海洋资源可持续发展，对辽宁省所拥有的海洋资源进行概述后，分析了辽宁海洋资源开发与海洋生态环境保护之间的关系，提出开展海域资源价值折损评估，采用政策调控和市场机制保护海洋生态环境。利用我国重要海洋产业数据，分析我国海洋资源开发利用的状况，并从海洋产业结构和布局及管理等角度总结海洋资源开发存在的问题，提出实现海洋资源可持续发展的途径。学者从海洋资源与环境保护角度分析，研究开发海洋的过程中，存在着海洋环境污染、海洋渔业资源衰退等问题。 1.2 系统动力学模型研究综述 到20 世纪70 年代初系统动力学被用来解决很多领域的问题，成为比较成熟的学科，系统动力学到20 世纪70 年代初所取得的成就使人们相信它是研究和处理诸如人口、自然资源、生态环境、经济和社会等相互连带的复杂系统问题的有效工具。基于市场均衡论和信用风险理论，完善运用于分析代际消费计划的系统动力学机制模型，并提出可替换选择。国内学者将系统动力学运用于研究资源与 系统动力学模型介绍 1、系统动力学的思想、方法 系统动力学对实际系统的构模与模拟就是从系统的结构与功能两方面同时进行的。系统的结构就是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。而系统的功能就是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构与功能,分别表征了系统的组织与系统的行为,它们就是相对独立的,又可以在—定条件下互相转化。所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素,才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度,而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系与相互作用关系与实际系统结构的一致程度。模拟过程中所需的系统功能方面的信息,可以通过收集,分析系统的历史数据资料来获得,就是属定量方面的信息,而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识与理解程度,其中也包含着大量的实际工作经验,就是属定性方面的信息。因此,系统动力学对系统的结构与功能同时模拟的方法,实质上就就是充分利用了实际系统定性与定量两方面的信息,并将它们有机地融合在一起,合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。 2、建模原理与步骤 (1)建模原理 用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就就是系统动力学的系统观与方法论。系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性与相似性。系统内部的反馈结构与机制决定了系统的行为特性,任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。系统动力学模型的系统目标就就是针对实际应用情况,从变化与发展的角度去解决系统问题。系统动力学构模与模拟的一个最主要的特点,就就是实现结构与功能的双模拟,因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。与其它模型一样,系统动力学模型也只就是实际系统某些本质特征的简化与代表,而不就是原原本本地翻译或复制。因此,在构造系统动力学模型的过程中,必须注意把握大局,抓主要矛盾,合理地定义系统变量与确定系统边界。系统动力学模型的一致性与有效性的检验,有一整套定性、定量的方法,如结构与参数的灵敏度分析,极端条件下的模拟试验与统计方法检验等等,但评价一个模型优劣程度的最终标准就是客观实践,而实践的检验就是长期的,不就是一二次就可以完成的。因此,一个即使就是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善,以适应实际系统新的变化与新的目标。 (2)建模步骤 系统动力学构模过程就是一个认识问题与解决问题的过程,根据人们对客观事物认识的规律,这就是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程,因此它必须就是一个由粗到细,由表及里,多次循环,不断深化的过程。系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验与模型使用五大步骤这五大步骤有一定的先后次序,但按照构模过程中的具体情况,它们又都就是交叉、反复进行的。 第一步系统分析的主要任务就是明确系统问题,广泛收集解决系统问题的有关数据、资料与信息,然后大致划定系统的边界。 第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量与信息反馈机制。 第三步模型建立就是系统结构的量化过程(建立模型方程进行量化)。 第四步模型试验就是借助于计算机对模型进行模拟试验与调试,经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。 第五步模型使用就是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究与做各种政策实验。 3、建模工具 系统动力学软件VENSIM PLE软件 4、建模方法 因果关系图法 在因果关系图中,各变量彼此之间的因果关系就是用因果链来连接的。因果链就是一个带箭头的实线(直线或弧线),箭头方向表示因果关系的作用方向,箭头旁标有“+”或“-”号,分别表示两种极性的因果链。 a.正向因果链A→+B:表示原因A的变化(增或减)引起结果B在同一方向上发生变化(增或减)。 3.2基于系统动力学的人口预测 21世纪是人类面临三大问题：第一是人口膨胀，第二是就业困难，第三是环境污染，这三大问题的焦点在于人口。因此，如何对未来的人口进行预测和控制，一直是人们关心的重要领域。 本课题是在宋健人口模型的基础上，考虑到上海作为一个开放城市，改良建立了双线性开放/动态人口模型。采用上述基于人口结构模型，预测上海2010—2050年的人口年龄、性别结构。为了更准确地研究人口系统，我们将人口按0-4岁、5-9岁、10-14岁、…、95-99岁、100岁及以上分群，分为21个群，并假设女性的生育时间以不同的概率分布在15-49岁之间。然后以政策系数和生育时间的分布概率为政策参数进行仿真分析和政策试验。 3.2.1系统模拟的一些基本假设 ●人口分年龄数据 2000年人口普查的数据上海常住人口总数为1640万，而根据上海统计年鉴2000年上海常住人口总数为1608万。因为后续计算都是采用上海统计年鉴上的数据，所以按上海统计年鉴的常住人口总数1608万对2000年人口普查的数据 《上海市2000年人口普查资料》、 《2005进行了同比例调整。通过《上海统计年鉴》、 年上海市1%人口抽样调查资料》等文献的搜索，得2000年上海市分年龄段的男、女人数数据见表1。 ●妇女生育时间 根据人口生育的一般规律可知，对出生有贡献的只有15-49岁的女性人口。出生率受人口政策的影响，如果严格实行“一对夫妇一个孩”的人口政策，那么 任何一个女性在一生中只能生育一次。我们假设生育时间是在15-49岁之间均匀分布，于是有出生率=1/35≈2.9%。通过对统计资料和参考文献的整理和分析，可得妇女生育时间到俄分布规律如表所示。 ●性别比 性别比是一个统计数据，是指新生婴儿中男性人口与女性人口的比例。新出生的人口可能是男性，也可能是女性。在自然出生的情况下，男性和女性的概率都是50%。但是根据前面的分析，新生婴儿中，男性与女性的平均性别比为105：100。 ●政策系数 政策系数是一个政策参数，表明计划生育政策执行的严格程度。如果严格执行“一对夫妇一个孩”的人口政策，政策系数=1，随着执行程度的放松，其值增加。例如，如果实施“一对夫妇两个孩”的人口政策，政策系数=2。 ●男、女性出生速率 根据政策系数，有 男性出生速率=“女性15-49”*出生率*（性别比）/（100+性别比）*政策系数；女性出生速率=“女性15-49”*出生率*100/（100+性别比）*政策系数。 ●死亡率 但不同年龄组死亡率存在差异。0-10岁组是少年儿童阶段，死亡率呈下降趋势，10-14岁组死亡率水平为最低，以后随着年龄的增长，死亡率逐步上升。由于上海市2008年男性预期寿命为79.06岁，女性预期寿命为83.50岁，人均寿命已经达到较高的水平，接近许多世界发达国家的水平，上升的空间已经不是很大，故在未来若干年中死亡率减低的速度必然逐步减弱。以2000年男性、女性死亡率为基期我们假设截止2050年上海人均死亡率每十年分别较上一个十年下降10%。 表3 上海市分年龄死亡率对比分析 1990年（?）1995年（?）2000年（?）2005年（?）0-4岁 2.88 0.939 1.1 0.98 5-9岁0.32 0.298 0.24 0.07 10-14岁0.33 0.375 0.21 0.23 《基于系统动力学的博弈建模仿真及案例实践》教学大纲 一、课程信息 课程编号： 课程中文名称：基于系统动力学的博弈建模仿真及案例实践 课程英文名称：Modeling and Simulation of Game based on System Dynamics and Case Study 适用专业：计算机软件与理论、计算机应用技术 开课时间：2015.3 总学时： 60（其中理论学时：16，实践学时：44） 总学分： 二、课程内容简介 课程主要介绍了系统科学与复杂理论在经济学博弈论的应用，以及基于系统动力学的社会科学计算机模型。简单介绍系统科学与复杂理论、博弈论方法，及其学科前沿的应用，重点介绍系统动力学基本理论及其应用，针对目前动态博弈的建模仿真问题进行案例讨论。 三、教学目标 该门课程主要培养学员的数学建模思想与计算机仿真手段的综合应用能力，提高学员在各个领域的计算机应用能力，能综合利用计算机仿真手段，分析现实社会中的某些复杂的现象，从而为分析解决现实中的这些问题提供决策支持。该门课程对于计算机网络、数据挖掘、公共安全甚至是社会信息经济等领域等的理论建模方面具有重要的作用。 通过本课程的学习，学员能够学习到以下几点： 1、了解系统科学与复杂理论的基本知识及其应用 2、熟悉博弈论基本理论和经典案例，系统动力学的应用 3、了解基于系统动力学的动态博弈建模仿真的技术实现路线 四、教学方法 课程的讲解从生活中的博弈论引入，以分析解决某个博弈案例为前提，在过程组织上，先介绍案例背景，再阐述分析方法与过程，最后完成博弈案例的建模和仿真的顺序进行，在介绍建模过程的同时穿插系统科学与复杂理论基本知识，简单的动手操作训练，加深理解和掌握。 五、及教学重难点 本课程的重点是系统科学的视角下，利用系统动力学分析动态博弈演化过程，难点是针对具体应用的分析建模、技术实现路线。 六、教学内容及学时安排 系统动力学模型案例 分析 系统动力学模型介绍 1.系统动力学的思想、方法 系统动力学对实际系统的构模和模拟是从系统的结构和功能两方面同时进行的。系统的结构是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。而系统的功能是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构和功能，分别表征了系统的组织和系统的行为，它们是相对独立的，又可以在—定条件下互相转化。所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素，才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度，而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系和相互作用关系与实际系统结构的一致程度。模拟过程中所需的系统功能方面的信息，可以通过收集，分析系统的历史数据资料来获得，是属定量方面的信息，而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识和理解程度，其中也包含着大量的实际工作经验，是属定性方面的信息。因此，系统动力学对系统的结构和功能同时模拟的方法，实质上就是充分利用了实际系统定性和定量两方面的信息，并将它们有机地融合在一起，合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。 2.建模原理与步骤 (1)建模原理 用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就是系统动力学的系统观和方法论。系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性和相似性。系统内部的反馈结构和机制决定了系统的行为特性，任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。系统动力学模型的系统目标就是针对实际应用情况，从变化和发展的角度去解决系统问题。系统动力学构模和模拟的一个最主要的特点，就是实现结构和功能的双模拟，因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。与其它模型一样，系统动力学模型也只是实际系统某些本质特征的简化和代表，而不是原原本本地翻译或复制。因此，在构造系统动力学模型的过程中，必须注意把握大局，抓主要矛盾，合理地定义系统变量和确定系统边界。系统动力学模型的一致性和有效性的检验，有一整套定性、定量的方法，如结构和参数的灵敏度分析，极端条件下的模拟试验和统计方法检验等等，但评价一个模型优劣程度的最终标准是客观实践，而实践的检验是长期的，不是一二次就可以完成的。因此，一个即使是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善，以适应实际系统新的变化和新的目标。 (2)建模步骤 系统动力学构模过程是一个认识问题和解决问题的过程，根据人们对客观事物认识的规律，这是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程，因此它必须是一个由粗到细，由表及里，多次循环，不断深化的过程。系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验和模型使用五大步骤这五大步骤有一定的先后次序，但按照构模过程中的具体情况，它们又都是交叉、反复进行的。 第一步系统分析的主要任务是明确系统问题，广泛收集解决系统问题的有关数据、资料和信息，然后大致划定系统的边界。 第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量和信息反馈机制。 第三步模型建立是系统结构的量化过程(建立模型方程进行量化)。 第四步模型试验是借助于计算机对模型进行模拟试验和调试，经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。 第五步模型使用是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究和做各种政策实验。 3.建模工具 系统动力学软件VENSIM PLE软件 4.建模方法 因果关系图法 在因果关系图中，各变量彼此之间的因果关系是用因果链来连接的。因果链是一个带箭头的实线(直线或弧线)，箭头方向表示因果关系的作用方向，箭 第四章 系统动力学仿真模型 由于上海地区的汽车市场只是全国市场的一部分，其供应系统除了上海本地汽车生产企业之外，还有全国各地的汽车企业。随着加入WTO ，汽车产业逐步放开，将使我国的汽车市场成为国际市场的一部分，而价格也将与国际市场接轨。另外世界汽车市场上潜在的生产能力极大，总体上已经形成生产过剩的卖方市场。因此上海地区的汽车市场主要是需求问题。研究上海市私车发展的主要问题也将是需求问题。本文建立上海地区私车变化的系统动力学模型，从需求方面来研究上海市的私车发展。 §4.1 系统分析 §4.1.1 系统边界的确定 系统动力学分析的系统行为是基于系统内部要素相互作用而产生的，并假定系统外部环境的变化不给系统行为产生本质的影响，也不受系统内部因素的控制。因此系统边界应规定哪一部分要划入模型，哪一部分不应划入模型，在边界内部凡涉及与所研究的动态问题有重要关系的概念模型与变量均应考虑进模型；反之，在界限外部的那些概念与变量应排除在模型之外。 图4-1 上海市私家车系统组成结构图 根据系统论原理，一个完整的城市居民私家车消费系统不仅包括汽车的流通、交换和消费等环节，而且还包括城市人口、经济、社会环境和消费政策、公交等其他指系统，它是一个复杂的社会经济大系统（图4-1）。只有建立一个适合于该系统的动态分析模型，才可能全面准确地研究系统中各因素间的相互作用关系和它们对系统行为的影响。 根据系统建模的目的，本文研究系统的界限大体包括以下内容： 私车的需求量 私车的报废量 私车的市场保有量 私车的价格 私车的使用费用 私车的上牌费用 牌照限额 居民人均可支配收入 上海市人口数量 上海市总户数 私车发展系统 城市公交系统 城市市政系统 汽车市场系统 人口经济系统 --- 时Sr“卅… 系统动力学模型介绍 1?系统动力学的思想、方法 系统动力学对实际系统的构模和模拟是从系统的结构和功能两方面同时进行的。系统的结构是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。而系统的功能是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构和功能，分别表征了系统的组织和系统的行为，它们是相对独立的，又可以在一定条件下互相转化。所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素，才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度，而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系和相互作用关系与实际系统结构的一致程度。模拟过程中所需的系统功能方面的信息，可以通过收集，分析系统的历史数据资料来获得，是属定量方面的信息，而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识和理解程度，其中也包含着大量的实际工作经验，是属定性方面的信息。因此，系统动力学对系统的结构和功能同时模拟的方法，实质上就是充分利用了实际系统定性和定量两方面的信息，并将它们有机地融合在一起，合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。 2.建模原理与步骤 任务）调研 * 问气定义划 定界限政策分析与模空便用系统分析*结构分析* 建官方程*修改模型 ----------------------- 时磊5说--------- - ------ --------- （1）建模原理 用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就是系统动力学的系统观和方法论。系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性和相似性。系统内部的反馈结构和机制决定了系统的行为特性，任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。系统动力学模型的系统目标就是针对实际应用情况，从变化和发展的角度去解决系统问题。系统动力学构模和模拟的一个最主要的特点，就是实现结构和功能的双模拟，因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。与其它模型一样，系统动力学模型也只是实际系统某些本质特征的简化和代表，而不是原原本本地翻译或复制。因此，在构造系统动力学模型的过程中，必须注意把握大局，抓主要矛盾，合理地定义系统变量和确定系统边界。系统动力学模型的一致性和有效性的检验，有一整套定性、定量的方法，如结构和参数的灵敏度分析，极端条件下的模拟试验和统计方法检验等等，但评价一个模型优劣程度的最终标准是客观实践，而实践的检验是长期的，不是一二次就可以完成的。因此，一个即使是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善，以适应实际系统新的变化和新的目标。 ⑵建模步骤 系统动力学构模过程是一个认识问题和解决问题的过程，根据人们对客观事物认识的规律，这是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程，因此它必须是一个由粗到细，由表及里，多次循环，不断深化的过程。系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验和模型使用五大步骤 这五大步骤有一定的先后次序，但按照构模过程中的具体情况，它们又都是交叉、反复进行的。 第一步系统分析的主要任务是明确系统问题，广泛收集解决系统问题的有关数据、资料和信息，然后大致划定系统的边界。 第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量和信息反馈机制。 第三步模型建立是系统结构的量化过程（建立模型方程进行量化）。 第四步模型试验是借助于计算机对模型进行模拟试验和调试，经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。 第五步模型使用是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究和做各种政策实验。 3?建模工具 系统动力学软件VENSIM PLE软件 4.建模方法 因果关系图法 在因果关系图中，各变量彼此之间的因果关系是用因果链来连接的。因果链是一个带箭头的实线（直线或弧线），箭头方向表示因果关系的作用方向，箭头旁标有“ +或-”号，分别表示两种极性的因果链。 系 统 动 力 学 模 型 综 述 经管1002 201009010202 张旭 摘要： 系统动力学(简称SD—system dynamics)的出现于1956年，创始人为美国麻省理工学院(MIT)的福瑞斯特(J．W．Forrester)教授。系统动力学是福瑞斯特教授于1958年为分析生产管理及库存管理等企业问题而提出的系统仿真方法，最初叫工业动态学。是一门分析研究信息反馈系统的学科，也是一门认识系统问题和解决系统问题的交叉综合学科。从系统方法论来说：系统动力学是结构的方法、功能的方法和历史的方法的统一。它基于系统论，吸收了控制论、信息论的精髓，是一门综合自然科学和社会科学的横向学科。 关键字：系统动力学模型建立 引言： 到20 世纪70 年代初系统动力学被用来解决很多领域的问题，成为比较成熟的学科，系统动力学到20 世纪70 年代初所取得的成就主要涉及的领域主要包括: 工程学、商业与经济学, 计算机科学等;系统动力学、仿真、模型、管理、设计、反馈、绩效、决策、建模、稳定性、错觉、思考、影响、行为、校验、算法等是系统动力学的热点研究领域；非线性数学模型的理论研究、与其他方法整合研究、系统动力学理论和管理和环境领域的应用等是系统动力学研究的前沿和未来趋势，成为研究和处理诸如人口、自然资源、生态环境、经济和社会等相互连带的复杂系统问题的有效工具。 一、系统动力学的基本概念 1.定义 系统动力学是一门分析研究信息反馈系统的学科。它是系统科学中的一个分支，是跨越自然科学和社会科学的横向学科。系统动力学基于系统论，吸收控制论、信息论的精髓，是一门认识系统问题和解决系统问题交叉、综合性的新学科。 2.相关概念 1）系统：一个由相互区别、相互作用的各部分(即单元或要素)有机地联结在一起，为同一目的完成某种功能的集合体。 2）反馈：系统内同一单元或同一子块其输出与输入间的关系。对整个系统而言，“反馈”则指系统输出与来自外部环境的输入的关系。 3）反馈系统：反馈系统就是包含有反馈环节与其作用的系统。它要受系统本身的历史行为的影响，把历史行为的后果回授给系统本身，以影响未来的行为。 如库存订货控制系统。 4）反馈回路：反馈回路就是由一系列的因果与相互作用链组成的闭合回路或者说是由信息与动作构成的闭合路径。 5）因果回路图(CLD):表示系统反馈结构的重要工具，因果图包含多个变量，变量之间由标出因果关系的箭头所连接。变量是由因果链所联系，因果链由箭头所表示。系统动力学模型部分集
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