基于空间滑动面理论的Lade2Duncan模型改进_邢国起_肖洪天_李大勇
第12卷 第5期2014年10月
南水北调与水利科技
S outh 2to 2North W ater Transfers and Water Science &Techn ology V ol.12N o.5
O ct.2014
收稿日期:2013211213 修回日期:2014207223 网络出版时间:网络出版地址:基金项目:国家自然科学基金资助项目(41172242)
作者简介:邢国起(19772),男,讲师,博士,主要从事区域性粉土及边坡支护技术研究。E 2mail:xgq1105@https://www.wendangku.net/doc/ce6465063.html,
D OI:10.13476/https://www.wendangku.net/doc/ce6465063.html,ki.nsbdqk.2014.05.005
基于空间滑动面理论的Lade 2Duncan 模型改进
邢国起1,2,肖洪天1,李大勇1
(1.山东科技大学山东省岩土与结构工程重点实验室,山东青岛266590;2.潍坊学院建筑工程学院,山东潍坊261061)
摘要:应用空间滑动面原理改进了L ade 2D uncan 弹塑性模型的屈服准则及破坏准则,建立了基于非关联流动法则的改进Lade 2Duncan 弹塑性模型,模型参数可通过常规三轴试验获取。利用潍坊中南部平原地区某深基坑持力层的粉土U U 三轴试验结果,验证了改进L ade 2Duncan 模型对粉土试样的适应性。改进模型较L ade 2Duncan 弹塑性模型能够更好地反映持力层粉土的(R 1-R 3)~E 1关系,以及应力路径的相关性与剪胀等特性。改进弹塑性模型可为该地区高层及超高层建筑粉土地基变形计算创造有利条件。
关键词:关键词:空间滑动面理论;L ade 2Duncan 模型;粉土;屈服准则;破坏准则中图分类号:T V 45 文献标志码:A 文章编号:167221683(2014)0520018204
Modified Lade 2Duncan model based on the theory of spatial mobilized plane
XIN G G uo 2qi 1,2,XIA O Ho ng 2tian 1,L I Da 2y ong 1
(1.S handong Pr ov ince K ey L abor ator y o f Geotechnical and S tr uctur al Engineer ing ,Shandong Univ er sity of S cience and T echnology ,Qingdao 266590,China;2.Co llege of ar chitectur al engineer ing ,Weif ang Univers ity ,Weif ang 261061,China)Abstract:T he theor y of spatial mo bilized plane was used to impr ove the y ield criter ion and failur e criterio n of L ade 2Duncan elas 2to plastic model,and then the mo dified L ade 2Duncan mo del w as established based o n the non 2asso ciated flo w rule.M odel parame 2ter s can be determined by the traditional tr iax ial t est.T he adaptability t o the modified L ade 2D uncan mo del for silt w as verified based o n t he tr iax ial U U test results o f the silt samples co llect ed in the deep foundatio n pit o f the so uth 2cent ral plain area in Weifang.T he modified model can better r eflect the r elationship bet ween (R 1-R 3)and E 1of support ing lay er of silt,and t he rela 2tivit y and shear dilatancy pro pert ies o f st ress paths.T he modified model can prov ide r eference fo r the calculation of silt founda 2tion defo rmatio n o f the high 2r ise building s and ultr a 2tall building s.
Key words:t heo ry of spat ial mo bilized plane;Lade 2Duncan elastoplastic mo del;silt;yield cr iterion;failure criterio n
近年来高层及超高层建筑的发展推动了土的本构关系研究日益广泛和深入,成为岩土工程的重要研究领域之一。土的弹塑性模型能够反映土的非线性、弹塑性、剪胀性以及各向异性等特点,在高层及超高层建筑的地基沉降计算中得到了广泛的应用并且取到了较好的效果。土的弹塑性模型建立在增量塑性理论基础上,弹性应变增量可用弹性理论求解,塑性应变增量可用增量塑性理论计算。R oscoe 等[1]在塑性力学加工硬化理论基础上,对正常固结重塑黏土建立了第一个土的弹塑性帽子模型,即剑桥模型(Cam 2Clay)。英国剑桥大学的Bur land [2](1965)采用了一种新的能量方程形式,得到了修正剑桥模型。魏汝龙(1981)[324]提出了不同于剑桥模型与修正剑桥模型的新的能量方程式,把弹性剪应变考虑进去,功能的假定更全面,比修正的剑桥模型适用性更广。
黄文熙[527](1979)通过进行土的等向固结试验和常规三轴压缩试验,建立了土的弹塑性模型(清华弹塑性模型)。濮家骝[8]、李广信[9]根据平面应变和真三轴试验资料和p 、v R 及q 三维应力空间的流动法则的推导,进一步建立了三维弹塑性模型。沈珠江[10211]提出了双重屈服面模型以及三重屈服面模型。Lade 和Duncan [12213]根据真三轴仪上砂土试验成果,建立了一个适应三维空间的弹塑性应力2应变模型。随后Lade [14]又针对Lade 2Duncan 弹塑性模型不能反映土在各向等压的应力下不产生屈服的现象,将原来的直线屈服轨迹改为弯曲的并增加了/帽子0屈服面,以反映比例加载条件、应变软化和强度随围压变化等因素。Lade 2Duncan 弹塑性模型采用非关联流动法则的砂土本构模型,但是塑性势函数却是基于传统塑性力学理论提出的,试验假定的塑性势函数与所
2014-08-27 22:31https://www.wendangku.net/doc/ce6465063.html,/kcms/doi/10.13476/https://www.wendangku.net/doc/ce6465063.html,ki.nsbdqk.2014.05.005.html
采用的屈服函数具有相似的形式,理论不严密。在松岗元等基于空间滑动面理论提出[15216]的空间滑动面模型(SM P)中,屈服准则考虑了三个应力张量不变量的影响。
本文将空间滑动面模型中的屈服函数作为L ade 2Duncan 弹塑性模型中的屈服函数,塑性势函数形式不变,破坏准则采用松冈元-中井准则,建立基于非关联流动法则的改进Lade 2Duncan 弹塑性模型,并以潍坊中南部地区持力层粉土为试样验证改进弹塑性模型对粉土类材料的可行性,为本地区高层及超高层建筑地基变形计算提供支持。
1 空间滑动面模型与Lade 2Duncan 弹塑性
模型
空间滑动面破坏时应考虑三向应力状态,其破坏面构成一个空间平面[16],理论推导的破坏准则形式为
I 1I 2
I 3
=k f 。空间滑动面模型的屈服条件同样属于三切应力屈服条件,理论推导的屈服准则形式为f =
I 1I 2
I 3
,该理论认为土体屈服由空间滑动面上切应力与正应力比值决定,屈服面在(平面上的性状与L ade 2D uncan 弹塑性模型中的屈服准则相似。由空间滑动面的屈服面在(平面上的性状可以得到该准则在主应力空间中满足外凸、连续、光滑的条件,并且包含了三个应力不变量对材料强度的贡献,该准则理论上较为严密。
Lade 2Duncan 弹塑性模型该模型基于砂土的真三轴试验得出,其应变总量由弹性应变总量与塑性应变总量组成,可表
示为{d E }={d E e
}+{d E p
}。弹性应变增量d E e 采用广义虎克定
律求得。假定砂土在生成和受荷过程中是各向同性。砂土破坏条件与屈服函数分别表示为I 31I 3=k f ,f =I 3
1I 3式中:k f 为与
砂土密实度有关的常数,通过试验确定。该模型认为:随着塑性变形的发展,土体内部应力增大,屈服面逐渐扩大,破坏面为屈服面的极限状态[12];土体受力时服从非关联流动准则,塑性势函数g 采用类似屈服函数形式的表达式,即g =I 31-K 2I 3,式中:K 2为取决于f 的常数,与侧压力R 3大小无关。
2 改进的Lade 2Duncan 弹塑性模型
Lade 2Duncan 弹塑性模型的屈服准则未考虑第二应力不变量I 2的影响,理论上不够严密,而空间滑动面模型的屈服准则考虑了三个应力不变量的影响,理论严密并且屈服面形状类似于L ade 2Duncan 屈服面。本文采用空间滑动面模型的屈服准则作为改进模型的屈服准则,以L ade 2Duncan 模型的塑性势函数作为改进模型的塑性势函数,破坏准则采用空间滑动面破坏准则,改进的弹塑性模型同样基于非关联流动法则。
2.1 弹性应变增量
弹性应变增量d E e
根据广义虎克定律计算如下:d E e x d E e y d E
e z
d E
e yz d E e zx
d E
e
xy
=
1E d R x -v (d R y +R z )d R y -v (d R z +R x )d R z -v (d R x +R y )
2(1+v)d S y z
2(1+v)d S zx 2(1+v)d S x y
(1)
式中:弹性模量E 可由卸载加载曲线求得,E =K p a (
R 3p a
)n
,其中,K 、n 是与土性有关的无量纲试验常数;p a 为一个大气压。
按式(1)计算弹性应变时,要假设泊松比V 。常规三轴压缩试验在轴向压力不大时,轴向应变与体积应变数值接近,可以认为不产生侧向应变,即假设泊松比V =0。
2.2 塑性应变增量2.2.1 屈服准则
由于L ade 等根据砂土的真三轴试验结果近似得到的屈服函数形式与空间滑动面模型提出的屈服函数形式在P 平面上相似,但是空间滑动面模型的屈服函数包含了I 2,本文建议的屈服函数形式为f =
I 1I 2I 3,破坏时k f =I 1I
2I 3
,式中:f 是与应力水平有关的材料参数,f 的变化范围从等向受压时的9到破坏时的k f 。改进模型的屈服准则在主应力空间和P 平面上的屈服形状见图1。塑性变形的进一步发展使得土体内部应力增大,屈服面也扩大,破坏面为屈服面的极限状态。
图1 改进模型屈服面
Fig.1 Yield surface of improved m odel
2.2.2 塑性势函数
Lade 等通过砂土的真三轴试验得到材料服从非关联流动法则[13],在Lade 2Duncan 弹塑性模型中采用与屈服函数形式相似的塑性势函数。改进的弹塑性模型采用Lade 2Duncan 弹塑性模型中的塑性势函数形式,即g =I 31-k 2I 3,与改进模型的屈服函数有了表达形式上的不同,符合非关联的流动法则。
根据塑性理论流动法则,塑性应变增量与应力之间的关
系为:[d E p
]=d K [
9g
9R
]。塑性应变增量各分量与应力之间的关系如式(2):
d E
p x
d E p y d E p z
d E
p
yz
d E p
zx d E p xy
=d K k 2
3k 2I 2
1
-R y R z +S 2yz 3k 2I 2
1
-R x R y +S 2x y 3k 2
I 2
1-R y R z +S 2yz 2R x S yz -2S zx S xy 2R y S zx -2S x y S yz 2R z S x y -2S y z S zx
(2)
式中:k 2、d K 为参数。k 2确定出塑性应变增量各分量之间的相对大小,d K 决定这些分量的绝对值。改进模型与L ade 2Duncan 模型都考虑了砂土的剪胀性。
3 改进模型中k 2、d K 的确定
3.1 k 2的确定方法
Lade 2Duncan 模型中通过三轴压缩试验结果得到的k 2
第12卷总第74期#南水北调与水利科技#2014年第5期
表达式为k2=
3I21(1+L p)
R
3
(R
1
+L p R3)
,L ade等人通过试验进一步得出
k2与屈服函数f之间存在着线性关系,即k2=A f+27(1-A),式中A为直线的斜率(如密砂的A为0.44)。
为了得到改进模型k2与f之间的关系,以潍坊中南部地区某深基坑大约7m处的粉土重塑试样(压实度为90%)进行了含水率为11%的U U常规三轴压缩试验。由于R
x
=
R y =R
3
,R
z
=R
1
,S
ij
=0(i X j),可得k2以偏应力(R
1
-R
3
)形式
表达的公式如式(3):
k2=3[(R
1
-R
3
)+R
3
]2(1+v p)
R
3
[(R
1
-R
3
)+R
3
(1+v p)]
(3)
假设V p=V,由常规三轴不排水试验,得E v=E1+2E3=
0,则v p=-E3
E1=-
1
2
,
进而得到k2=
1.5[(R
1
-R
3
)+3R
3
]2
R
3
[(R
1
-R
3
)+0.5R
3
]
,
k2与f之间的关系见图2,可以据图拟合得出k2与f之间
的数学表达式为k2=ae b f,该表达式与围压R
3
无关。进一步
得到ln k2=ln a+b/f,即ln k2与1/f呈线性关系,b为直线的
斜率,ln a为直线的截距,通过转换可以得到a与b的数值。
图2k2与f关系
Fig.2Relations hip betw een k2and f
3.2d K的确定方法
改进模型同样假设采用各向同性的加工硬化定律,认为
模型采用塑性功为硬化参数的加工硬化w p与应力水平f
之间存在唯一的关系,而和应力路径无关,即f=H(w p)。
计算常规三轴不排水试验的塑性功w p时,只考虑施加偏应
力(R
1
-R
3
)后所产生的塑性功。
w p=w-w E=Q(R
1
-R
3
)d E+R
3
Q d E v-
(R
1
-R
3
)2
2E
-
R
3
(1-2v)(R
1
-R
3
)
E
(4)
由于进行的是U U不排水三轴试验,所以E v=0,v=-
0.5,则
w p=w-w E=Q(R
1
-R
3
)d E-
(R
1
-R
3
)2
2E
-
2R
3
(R
1
-R
3
)
E
(5)
图3给出了f与w p之间的关系,本次试验得到的f与
w p之间的关系呈双曲线关系,并随围压R
3
而变化。对于不
同的围压R
3
可近似表达为
f-f t=
w p
A+B w p,f t=9(6)
式中:A值表示f~w p曲线的起始坡降。由图3可以看出,
围压R
3
越小,A值越大。可表示为
A=M p a(p a R
3
)L(7)
式中:M、L为与土性有关的试验常数。由式(6)可知
1
B表示
当塑性功达到无限大时(f-f t)的极限值。由图3可以看
出,围压R
3
越大,B越大,可用B=Cp a+D R
3
表示,C与D表
示与土性有关的试验常数。
图3含水率11%时f与w p关系
Fig.3Relationship betw een f and w p w h en w ater con tent is11%
对式(6)中的w p进行微分,得到:
dw p=
A d f
[1-B(f-f t)]2
(8)
根据塑性增量理论,得到:
d K=
dw p
ng
=
A d f
ng[1-B(F-F t)]2
(9)
由于塑性势函数g=I31-K2I3为三阶齐次方程,故n=
3,得到
d K=
dw p
3g
=
A d f
3g[1-B(f-f t)]2
(10)
由此建立了k2、d K的表达式,将其带入式(2)中可以得
到塑性应变增量大小。
改进弹塑性模型的最大特点是简单易行,且考虑了应力
不变量I2对应变增量的影响,理论较为严密,所需参数均可
通过常规三轴试验确定,模型同时考虑了土压缩过程中的剪
胀特性。
4室内试验验证
为了验证改进弹塑性模型的可行性,以潍坊中南部地区
持力层粉土为试样进行了常规U U三轴试验进行验证。运
用改进模型与L ade2Duncan弹塑性模型计算了竖向塑性应
变和弹性应变与试验值进行对比。试验选用的粉土试样含
水量分别为11%、15%,压实度为90%。不同轴向应力下的
竖向应变试验值与改进弹塑性模型和Lade2Duncan弹塑性
模型计算得到的竖向应变值见图4。
由图4可知,试验得到的竖向应变值与改进模型计算值
更为接近,改进弹塑性模型比L ade2Duncan弹塑性模型对潍
坊中南部地区持力层粉土具有更优越的适应性。
5结论
(1)改进弹塑性模型的屈服准则与破坏准则与L ade2
Duncan弹塑性模型的屈服准则与破坏准则在(平面上形状
相似,但是由于改进模型考虑了应力第二不变量,理论上较
为严密。
(2)改进模型的k2与d K之间符合指数关系,且与围压
R
3
无关。
(3)f与w p之间的关系呈双曲线关系,表达式中的土性邢国起等#基于空间滑动面理论的L ade2Duncan模型改进
图4试验值与理论计算值比较Fig.4Comparison of exp erimental and theoreticallycalcu lated values
参数A随围压R
3增大呈减小趋势;土性参数B随围压R
3
增
大而增大。
(4)针对试验粉土试样,改进模型的精度优于L ade2D un2 can弹塑性模型,改进模型可为本地区高层及超高层建筑地基变形计算创造更有利条件。
本次试验以潍坊中南部地区某深基坑持力层粉土重塑试样进行了常规U U三轴试验,验证了改进模型适用于高层及超高层粉土地基变形的可行性,但改进模型是否适用于CU及CD三轴试验,还有待于进一步研究。
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第12卷总第74期#南水北调与水利科技#2014年第5期
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝
λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 ,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，
概念数据模型设计讲解
、新建概念数据模型 1）选择File-->New,弹出如图所示对话框，选择CDM模型（即概念数据模型）建立模型。 2）完成概念数据模型的创建。以下图示，对当前的工作空间进行简单介绍。（以后再更详细说明）.
3）选择新增的CDM模型，右击，在弹出的菜单中选择“Properties ”属性项，弹出如图所示对话框。在“General ”标签里可以输入所建模型的名称、代码、描述、创建者、版本以及默认的图表等等信息。在 “Notes ”标签里可以输入相关描述及说明信息。当然再有更多的标签，可以点击 按钮，这里就不再进行详细解释。？牯?尾 二、创建新实体 1 ）在CDM的图形窗口中，单击工具选项版上的Entity工具，再单击图形窗口的空白处，在单击的位置 就出现一个实体符号。点击Pointer工具或右击鼠标，释放Entitiy 工具。如图所示
2）双击刚创建的实体符号，打开下列图标窗口，在此窗口“General ”标签中可以输入实体的名称、代码、描述等信 、添加实体属性 1 ）在上述窗口的“ Attribute ”选项标签上可以添加属性，如下图所示
迴扌 ftitity Propertr 已s - Entity 2 (Entity ?) 注意： 数据项中的“添加属性”和“重用已有数据项”这两项功能与模型中 Data Item 的Unique code 和Allow reuse 选项有关。 P 列表示该属性是否为主标识符 ；D 列表示该属性是否在图形窗口中显示 ；M 列表示该属性是否为强制的, 即该列是否为空值。 如果一个实体属性为强制的，那么， 这个属性在每条记录中都必须被赋值，不能为空。 2）在上图所示窗口中，点击插入属性按钮，弹岀属性对话框，如下图所示 General Attributes | Idenhfiers ] Notes 1 Rules 表示是否为主标识符 ami \ Code Data 7ype Donwiri M 建立标识符 b 尸单于…』 二、二如馨；二 __ 1 = …— 一追力 q“属性 描入属性 衣示该属性为融' 制不能为空值广 T 厂厂 厂厂*r r'匚厂 r 厂广亡看 rr 厂厂F 广厂厂厂厂厂「厂广厂厂 □K | 匚 anew A.PF.M | Help 袤示是否在图形窗口中 II H'+'lll-oRIIH- ?laii' + 'IIB'-'HII' 一上丄 J-：'- ■ ：
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
空间向量与立体几何知识点.docx
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公 式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0 a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，
试述数据模型的概念
试述数据模型的概念，数据模型的作用和数据模型的三个要素: 答案： 模型是对现实世界的抽象。在数据库技术中，表示实体类型及实体类型间联系的模型称为“数据模型”。 数据模型是数据库管理的教学形式框架，是用来描述一组数据的概念和定义，包括三个方面： 1、概念数据模型（Conceptual Data Model）：这是面向数据库用户的实现世界的数据模型，主要用来描述世界的概念化结构，它使数据库的设计人员在设计的初始阶段，摆脱计算机系统及DBMS的具体技术问题，集中精力分析数据以及数据之间的联系等，与具体的DBMS 无关。概念数据模型必须换成逻辑数据模型，才能在DBMS中实现。 2、逻辑数据模型（Logixal Data Model）:这是用户从数据库所看到的数据模型，是具体的DBMS所支持的数据模型，如网状数据模型、层次数据模型等等。此模型既要面向拥护，又要面向系统。 3、物理数据模型（Physical Data Model）:这是描述数据在储存介质上的组织结构的数据模型，它不但与具体的DBMS有关，而且还与操作系统和硬件有关。每一种逻辑数据模型在实现时都有起对应的物理数据模型。DBMS为了保证其独立性与可移植性，大部分物理数据模型的实现工作又系统自动完成，而设计者只设计索引、聚集等特殊结构。 数据模型的三要素： 一般而言，数据模型是严格定义的一组概念的集合，这些概念精确地描述了系统的静态特征（数据结构）、动态特征（数据操作）和完整性约束条件，这就是数据模型的三要素。 1。数据结构 数据结构是所研究的对象类型的集合。这些对象是数据库的组成成分，数据结构指对象和对象间联系的表达和实现，是对系统静态特征的描述，包括两个方面： （1）数据本身：类型、内容、性质。例如关系模型中的域、属性、关系等。 （2）数据之间的联系：数据之间是如何相互关联的，例如关系模型中的主码、外码联系等。 2 。数据操作 对数据库中对象的实例允许执行的操作集合，主要指检索和更新（插入、删除、修改）两类操作。数据模型必须定义这些操作的确切含义、操作符号、操作规则（如优先级）以及实现操作的语言。数据操作是对系统动态特性的描述。 3 。数据完整性约束 数据完整性约束是一组完整性规则的集合，规定数据库状态及状态变化所应满足的条件，以保证数据的正确性、有效性和相容性。
空间向量的基本运算
第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
概念数据模型,逻辑数据模型,物理数据模型 (原创)
概念数据模型设计与逻辑数据模型设计、物理数据模型设计是数据库及数据仓库模型设计的三个主要步骤。 在数据仓库领域有一个概念叫conceptual data model，中文一般翻译为“概念数据模型”。 概念数据模型是最终用户对数据存储的看法，反映了最终用户综合性的信息需求，它以数据类的方式描述企业级的数据需求，数据类代表了在业务环境中自然聚集成的几个主要类别数据。 概念数据模型的内容包括重要的实体及实体之间的关系。在概念数据模型中不包括实体的属性，也不用定义实体的主键。这是概念数据模型和逻辑数据模型的主要区别。 概念数据模型的目标是统一业务概念，作为业务人员和技术人员之间沟通的桥梁，确定不同实体之间的最高层次的关系。 在有些数据模型的设计过程中，概念数据模型是和逻辑数据模型合在一起进行设计的。 在数据仓库领域有一个概念叫logical data model，中文一般翻译为“逻辑数据模型”。 逻辑数据模型反映的是系统分析设计人员对数据存储的观点，是对概念数据模型进一步的分解和细化。逻辑数据模型是根据业务规则确定的，关于业务对象、业务对象的数据项及业务对象之间关系的基本蓝图。 逻辑数据模型的内容包括所有的实体和关系，确定每个实体的属性，定义每个实体的主键，指定实体的外键，需要进行范式化处理。 逻辑数据模型的目标是尽可能详细的描述数据，但并不考虑数据在物理上如何来实现。 逻辑数据建模不仅会影响数据库设计的方向，还间接影响最终数据库的性能和管理。如果在实现逻辑数据模型时投入得足够多，那么在物理数据模型设计时就可以有许多可供选择的方法。 在数据仓库领域有一个概念叫physical data model，中文一般翻译为“物理数据模型”。 物理数据模型是在逻辑数据模型的基础上，考虑各种具体的技术实现因素，进行数据库体系结构设计，真正实现数据在数据库中的存放。 物理数据模型的内容包括确定所有的表和列，定义外键用于确定表之间的关系，基于用户的需求可能进行发范式化等内容。在物理实现上的考虑，可能会导致物理数据模型和逻辑数据模型有较大的不同。
最新向量空间的定义教案(50分钟)
向量空间的定义教案 (50分钟)
“向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。
即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。 即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量 α，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。
空间向量与立体几何知识点汇总
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
概念数据模型设计讲解
一、新建概念数据模型 1）选择File-->New,弹出如图所示对话框，选择CDM模型（即概念数据模型）建立模型。 2）完成概念数据模型的创建。以下图示，对当前的工作空间进行简单介绍。（以后再更详细说明）．
3）选择新增的CDM模型，右击，在弹出的菜单中选择“Properties”属性项，弹出如图所示对话框。在“General”标签里可以输入所建模型的名称、代码、描述、创建者、版本以及默认的图表等等信息。在“Notes”标签里可以输入相关描述及说明信息。当然再有更多的标签，可以点击 按钮，这里就不再进行详细解释。?牯?尾 二、创建新实体 1）在CDM的图形窗口中，单击工具选项版上的Entity工具，再单击图形窗口的空白处，在单击的位置就出现一个实体符号。点击Pointer工具或右击鼠标，释放Entitiy工具。如图所示
2）双击刚创建的实体符号，打开下列图标窗口，在此窗口“General”标签中可以输入实体的名称、代码、描述等信 息。． 三、添加实体属性 1）在上述窗口的“Attribute”选项标签上可以添加属性，如下图所示。
注意： 数据项中的“添加属性”和“重用已有数据项”这两项功能与模型中Data Item的Unique code 和Allow reuse选项有关。 P列表示该属性是否为主标识符;D列表示该属性是否在图形窗口中显示;M列表示该属性是否为强制的，即该列是否为空值。 如果一个实体属性为强制的，那么，这个属性在每条记录中都必须被赋值，不能为空。 2）在上图所示窗口中，点击插入属性按钮，弹出属性对话框，如下图所示。
向量空间的定义教案(50分钟)
“向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。 即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与的积，并且记作。
即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量，在V 中存在一个向量，使得0=+'αα，这样的叫做的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。 ??? ???????????=∈??????? ??=n i F a a a a F i n n ,,2,1,|21 关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。 例3 复数域C 可以看成实数域R 上向量空间 },|{R b a b a C ∈+=ε
空间向量的基本概念习题
空间向量的基本概念习题 1. 如图所示，空间四边形OABC 中，OA ????? =a ? ,OB ?????? =b ? ,OC ????? =c ? ， 点M 在OA ????? 上，且OM ??????? =2MA ?????? ，N 为BC 的中点，MN ??????? =x a ? +y b ? +z c ? ，则x,y,z 的值分别为( ) A. 1 2,?23,1 2 B. ?23,12,1 2 C. 12,1 2,?2 3 D. 23,23,?1 2 2. 在四面体O ?ABC 中，设OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ，OC ????? =c ? .D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ????? =( ) A. 1 2a ? +1 4b ? +1 4c ? B. 1 2a ? +1 3b ? ?1 2c ? C. 1 3a ? +1 4b ? +1 4c ? D. 1 3a ? ?1 4b ? +1 4c ? 3. 如图，已知三棱锥A ?BCD 的每条棱的长度都等于1，点 E ， F ， G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF ???? ?EG ????? =( ) A. 14 B . 1 2 C. √2 2 D. 1 4. 如图，在正四棱锥P ?ABCD 中，设AB ????? =a ? ，AD ?????? =b ? ， AP ????? =c ? ，O 为底面ABCD 中一点，且PO ⊥平面ABCD ，则PO ????? =( ) A. a ? +b ? +c ? B. a ? +b ? ?c ? B. 1 2a ? +1 2b ? ?c ? D. 1 2a ? +1 2 b ? + c ? 5. 空间四边形OABC 中，OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ，OC ????? =c ? ，点M 在线段AC 上，且AM =2MC ，点N 是OB 的中点，则MN ??????? =( ) A. 2 3a ? +1 2b ? ?2 3c ? B. 23a ? ?12b ? +2 3c ? C. ?1 3a ? +1 2b ? ?2 3c ? D. 1 3a ? +1 2b ? ?1 3c ? 6. 如图，已知三棱锥A ?BCD 的每条棱的长度都等于1，点 E ， F ， G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF ????? ?EG ????? =( ) A. 1 4 B. 1 2
概念模型和数据模型 课堂练习和习题
概念模型和数据模型课堂练习和习题 一、单项选择题 1. 数据模型一般来说是由三个部分组成（即三要素），其中不包括C A.完整性规则 B.数据结构 C.恢复 D.数据操作 2. 按照数据模型分类，数据库系统可以分为三种类型： A. 大型、中型和小型 B. 西文、中文和兼容 C. 层次、网状和关系 D. 数据、图形和多媒体 3. 在关系数据库中,要求基本关系中所有的主属性上不能有空值,其遵守的约束规则是( ) . A.参照完整性规则 B. 用户定义完整性规则 C.实体完整性规则 D. 域完整性规则 4. 在( )中一个结点可以有多个双亲,节点之间可以有多种联系. A.网状模型 B. 关系模型 C.层次模型 D. 以上都有 5．用二维表结构表示实体以及实体间联系的数据模型称为（） A．网状模型 B. 层次模型C．关系模型 D. 面向对象模型6．层次模型的特点是( ) A.只有一个叶结点 B.只有两个叶结点 C.只有一个根结点 D.至少有一个根结点7．在一个用于表示两个实体间联系的关系中,用来表示实体间联系的是该关系中的( ) A.关键字 B.任何多个属性集 C.外部关键字 D.任何一个属性 8．E-R图是( ) A.表示实体及其联系的概念模型 B. 程序流程图 C.数据流图 D. 数据模型图 9．在下面给出的内容中，不属于DBA职责的是( ) A.定义概念模式 B.修改模式结构 C.编写应用程序 D.编写完整性规则 10．学校中有多个系和多名学生，每个学生只能属于一个系，一个系可以有多名学生，从学生到系的联系类型是( ) A.多对多 B.一对一 C.多对一 D.一对多 11．描述数据库中全体数据的逻辑结构和特征是（） A．内模式 B. 模式 C. 外模式 D. 存储模式 12．下列关于数据库三级模式结构的说法中，哪一个是不正确的？（） A．数据库三级模式结构由内模式、模式和外模式组成 B．DBMS在数据库三级模式之间提供外模式/模式映象和模式/内模式映像 C．外模式/模式映象实现数据的逻辑独立性 D．一个数据库可以有多个模式 13．数据库系统的体系结构是（） A.两级模式结构和一级映象 B.三级模式结构和一级映象 C.三级模式结构和两级映象 D.三级模式结构和三级映象 14．概念模型是现实世界的第一层抽象,这一类最著名的模型是( ) . A.层次模型 B. 关系模型 C. 网状模型 D. 实体-联系模型 15．关系数据模型是目前最重要的一种数据模型,它的三个要素分别为( ).
空间向量的概念和运算(一)
§9.5.1 空间向量的概念和运算 教学目标： ⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程设计： 一、复习引入 复习有关平面向量的一些知识 1．向量的概念，向量的表示，相等向量，自由向量，向量的平移 2．向量的加减以及数乘运算法则和运算律： 在平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27． 二、新课讲授 1．空间向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做向量． 空间的一个平移就是一个向量，平移实际就是点到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 2．空间向量的表示方法：用有向线段表示 3．相等向量的内涵：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 4．空间向量的加法、减法、数乘向量的定义 总结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ 5．空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件 验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ． 说明：空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量．即：
空间向量及其运算
空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫作空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 概念方法微思考 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
概念数据模型,逻辑数据模型,物理数据模型
概念数据模型,逻辑数据模型,物理数据模型 概念数据模型设计与逻辑数据模型设计、物理数据模型设计是数据库及数据仓库模型设计的三个主要步骤。 在数据仓库领域有一个概念叫conceptual data model，中文一般翻译为“概念数据模型”。 概念数据模型是最终用户对数据存储的看法，反映了最终用户综合性的信息需求，它以数据类的方式描述企业级的数据需求，数据类代表了在业务环境中自然聚集成的几个主要类别数据。 概念数据模型的内容包括重要的实体及实体之间的关系。在概念数据模型中不包括实体的属性，也不用定义实体的主键。这是概念数据模型和逻辑数据模型的主要区别。 概念数据模型的目标是统一业务概念，作为业务人员和技术人员之间沟通的桥梁，确定不同实体之间的最高层次的关系。 在有些数据模型的设计过程中，概念数据模型是和逻辑数据模型合在一起进行设计的。 在数据仓库领域有一个概念叫logical data model，中文一般翻译为“逻辑数据模型”。 逻辑数据模型反映的是系统分析设计人员对数据存储的观点，是对概念数据模型进一步的分解和细化。逻辑数据模型是根据业务规则确定的，关于业务对象、业务对象的数据项及业务对象之间关系的基本蓝图。 逻辑数据模型的内容包括所有的实体和关系，确定每个实体的属性，定义每个实体的主键，指定实体的外键，需要进行范式化处理。 逻辑数据模型的目标是尽可能详细的描述数据，但并不考虑数据在物理上如何来实现。 逻辑数据建模不仅会影响数据库设计的方向，还间接影响最终数据库的性能和管理。如果在实现逻辑数据模型时投入得足够多，那么在物理数据模型设计时就可以有许多可供选择的方法。 在数据仓库领域有一个概念叫physical data model，中文一般翻译为“物理数据模型”。 物理数据模型是在逻辑数据模型的基础上，考虑各种具体的技术实现因素，进行数据库体系结构设计，真正实现数据在数据库中的存放。
52向量空间的定义和基本性质
5.2向量空间的定义和基本性质 授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质 教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质 授课时数：3学时 教学重点：线性空间的定义及基本性质 教学难点：性质及有关结论的证明 教学过程： 一、线性空间的定义 1. 引例―――定义产生的背景 例子． 设F b a F n ∈∈,,,,γβα则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律. （1）αββα+=+ （2）)()(γβαγβα++=++ （3）ααα=+??有零向量 （4） 0=-+-?）（使，有对αααα （5）βαβαa a a +=+)( （6）αααb a b a +=+)( （7）)()(ααb a ab = （8）αα=?1 这里F b a F n ∈∈,,,,γβα 2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质 Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 ,,,γβα；F 是一个数域F c b a ∈ ,,,如果在集合V 中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F ?V 到V 的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F 中元素a 与V 中α的乘积记作V a a ∈αα,）。如果加法和纯量乘法满足： 1）αββα+=+ 2）)()(γβαγβα++=++ 3）ααα=+∈?∈?0,0，有对V V （找出0元） 4）?∈?，V ααˊV ∈使得αα+ˊ=称αˊ为α的负向量（找出负元） 5）βαβαa a a +=+)( 6）αααb a b a +=+)( 7）)()(ααb a ab =
8）αα=?1 V 是F 上的一个线性空间，并称F 为基数域. 3. 进一步的例子――加深定义的理解 例1：复数域C 对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R 上的线性空间. 例2：任意数域F 可看作它自身的线性空间. 例3 {}V α=其加法定义为ααα+=, 数乘定义为a αα=, 则V 是数域F 上的线性空间. 注: V={0}对普通加法和乘法是数域F 上的线性空间, 称为零空间. 例4：设F 是有理数域，V 是正实数集合，规定),,(,F a V a a ∈∈=?=⊕βααααββα 练习 集合V 对规定的,⊕ 是否作成数域F 上的线性空间？ 1212112212,(,,,)(,,,) (,,,), (,,,)(0,0,,0) n n n n n n V F a a a b b b a b a b a b a a a a =⊕=+++= 解 显然V 对,⊕ 满足条件1）—7），但对任意的 12(,,,)n n a a a F ∈ 有12121(,,,)(0,0,,0)(,,,),n n a a a a a a =≠ 故集合V 对规定的不作成数域F 上的线性空间. 由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8)是独立的, 它不能由其他条件推出. 二、线性空间的简单性质 1、线性空间V 的加法和纯量乘法有以下基本性质. Th5.2.1 1） V 的零向量唯一，V 中每个向量的负向量是唯一的. 2） αα=--)( 证明：1）设120,0是V 的两个零向量，则11220000=+=. 设12,αα是α的负向量, 则有 120,0,αααα+=+= 于是 111212220()()0αααααααααα=+=++=++=+= *由于负向量的唯一性, 以后我们把的α唯一负向量记作α-. 2） 因()0,αα+-= 所以().αα--= 3） *我们规定: (),αβαβ-=+- 且有.αβγαγβ+=?=-
空间向量的基本定理
§9.5.4 空间向量的基本定理 教学目标： ⒈了解空间向量基本定理及其推论； ⒉理解空间向量的基底、基向量的概念 教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）． 教学难点：空间作图． 教学方法：讲授法． 教学过程设计： 一、复习引入 1．复习向量与平面平行、共面向量的概念． 区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的． （2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内． 2．空间共面向量定理及其推论． （1）共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ． （2）共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使得MB y MA x MP +=，或对于空间任意一定点O ，有 y x OM ++=．② OB y OA x OM y x OP ++--=)1( ③ 今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理． 二、新课讲授 问题1：右图中的向量、、AA 是不共面的三个向量，请问向量'AC 与它们是什 么关系？由此可以得出什么结论？AA AC ++=． 由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向 量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量． 问题2：如果向量、AD 、'AA 分别和向量a 、b 、c 共线，能否 用向量a 、b 、c 表示向量AC ？'AC ＝x a +y b +z c 事实上，对空间任一向量AC ，我们都可以构造出上述平行六 面体，由此我们得到了空间向量基本定理：